常微分方程教程 第二版 丁同仁 第二章答案
常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题 第二章答案
习 题 ２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．0)12()13(2=++-dy x dx x解：13),(2-=x y x P ， 12),(+=x y x Q ，则0=∂∂y P ，2=∂∂x Q ， 所以 xQy P ∂∂≠∂∂ 即 原方程不是恰当方程．２．0)2()2(=+++dy y x dx y x解：,2),(y x y x P += ,2),(y x y x Q -=则,2=∂∂y P ,2=∂∂x Q 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx两边积分得：.22222C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax （a,b 和c 为常数）． 解：,),(by ax y x P += ,),(cy bx y x Q +=则,b y P =∂∂,b x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx两边积分得：.2222C cy bxy ax =++ 4．)0(0)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax解：,),(by ax y x P -= ,),(cy bx y x Q -=则,b y P -=∂∂,b x Q =∂∂ 因为 0≠b , 所以xQ y P ∂∂≠∂∂，即 原方程不为恰当方程５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t解：,cos )1(),(2u t u t P += u t u t Q sin 2),(=则,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则,0cos )sin 2cos (2=++udu udt t udu t两边积分得：.sin )1(2C u t =+ ６．0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye x x x解： xy e y x Q y e ye y x P x x x 2),(,2,(2+=++=，则,2y e y P x +=∂∂,2y e x Q x +=∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e x x x 两边积分得：.)2(2C xy e y x =++７．0)2(ln )(2=-++dy y x dx x xy解：,2ln ),(),(2y x y x Q x xy y x P -=+=则,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则02)ln (2=-++ydy dx x xdy dx xy两边积分得：23ln 3y x y x -+.C = ８．),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++解：,),(,),(22cxy y x Q by ax y x P =+=则,2by y P =∂∂,cy x Q =∂∂ 所以 当xQy P ∂∂=∂∂，即 c b =2时， 原方程为恰当方程则0)(22=++cxydy dx by dx ax两边积分得：233bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程．９．01222=-+-dt ts s ds t s 解：,),(,12),(22ts s s t Q t s s t P -=-= 则,212t s t P -=∂∂,212t s s Q -=∂∂ 所以xQ y P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,两边积分得：C ts s =-2．10．,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数．解：),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=则,2f xy y P '=∂∂,2f xy x Q '=∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,两边积分得：22()f xy dx C +=⎰,即原方程的解为C y x F =+)(22 (其中F 为f 的原积分)．习 题 ２-2. 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义 的区域:：（１）yx dx dy 2=解：原方程即为：dx x ydy 2= 两边积分得：0,2332≠=-y C x y ．（２）)1(32x y x dx dy += 解：原方程即为：dx xx ydy 321+=两边积分得：1,0,1ln 2332-≠≠=+-x y C x y ．（３）0sin 2=+x y dxdy解： 当0≠y 时原方程为：0sin 2=+xdx y dy两边积分得：0)cos (1=++y x c ．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为0)cos (1=++y x c ．（４）221xy y x dxdy+++=； 解：原方程即为：2(1)1dyx dx y=++ 两边积分得：c x x arctgy ++=22， 即 )2(2c x x tg y ++=． （５）2)2cos (cos y x dxdy= 解：①当02cos ≠y 时原方程即为：dx x y dy 22)(cos )2(cos = 两边积分得：2222sin 2tg y x x c --=． ②y 2cos =0，即42ππ+=k y 也是方程的解. （N k ∈） （６）21y dxdyx-= 解：①当1±≠y 时 原方程即为：xdx y dy =-21 两边积分得：c x y =-ln arcsin ． ② 1±=y 也是方程的解.（７）．yxe y e x dx dy +-=- 解．原方程即为：dx e x dy e y xy)()(--=+两边积分得：c e x e y x y ++=+-2222， 原方程的解为：c e e x y x y =-+--)(222.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）,03cos 2sin =+ydy xdx 3)2(ππ=y ；解：两边积分得：c yx =+-33sin 22cos ， 即 c x y =-2cos 33sin 2因为 3)2(ππ=y , 所以 3=c .所以原方程满足初值问题的解为：32cos 33sin 2=-x y ．（２）．0=+-dy ye xdx x， 1)0(=y ；解：原方程即为：0=+ydy dx xe x，两边积分得：c dy y dx e x x=+-2)1(2， 因为1)0(=y ， 所以21-=c ， 所以原方程满足初值问题的解为：01)1(22=++-dy y dx e x x ．（３）．r d dr=θ， 2)0(=r ； 解：原方程即为：θd rdr=，两边积分得：c r =-θln ， 因为2)0(=r ， 所以2ln =c ，所以原方程满足初值问题的解为：2ln ln =-θr 即θe r 2=．（４）．,1ln 2yx dx dy+= 0)1(=y ; 解：原方程即为：dx x dy y ln )1(2=+,两边积分得：3ln 3y y x x x c ++-=, 因为0)1(=y ， 所以1=c ，所以原方程满足初值为：3ln 13y y x x x ++-=（５）．321xy dxdyx=+， 1)0(=y ； 解：原方程即为：dx xx y dy 231+=， 两边积分得：c x y ++=--22121， 因为1)0(=y ， 所以23-=c ，所以原方程满足初值问题的解为：311222=++yx ．１． 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图． （１）．x dxdycos = 解：两边积分得：c x y +=sin ． 积分曲线的简图如下：（２）．ay dxdy=， （常数0≠a ）； 解：①当0≠y 时，原方程即为：dx aydy= 积分得：c x y a +=ln 1，即 )0(>=c ce y ax②0=y 也是方程的解． 积分曲线的简图如下：y（３）．21y dxdy-=； 解：①当1±≠y 时，原方程即为：dx y dy =-)1(2 积分得：c x yy+=-+211ln ，即 1122+-=x x ce ce y ．②1±=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：（４）．n y dx dy =， )2,1,31(=n ； 解：①0≠y 时，ⅰ）2,31=n 时，原方程即为 dx ydyn =， 积分得：c y n x n=-+-111．ⅱ）1=n 时，原方程即为dx ydy=积分得：c x y +=ln ，即)0(>=c ce y x．②0=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从点开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为)(x y y =,由题意及导数的几何意义，则有22yb ydx dy --=，所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足b y =)0(的解．解之得：222222ln 21y b y b b y b b b x ----++=．5. 设微分方程)(y f dxdy=（2.27），其中f(y) 在a y =的某邻域（例如，区间ε<-a y ）内连续，而且a y y f =⇔=0)(，则在直线a y =上的每一点，方程（2.27）的解局部唯一，当且仅当瑕积分∞=⎰±εa ay f dy)(（发散）． 证明：（⇒）首先经过域1R ：,+∞<<∞-x a y a <≤-ε 和域2R ：,+∞<<∞-x ε+≤<a y a内任一点（00,y x ）恰有方程（2.13）的一条积分曲线， 它由下式确定00)(x x y f dyyy-=⎰. （*） 这些积分曲线彼此不相交. 其次，域1R （2R ）内的所有 积分曲线c x y f dy +=⎰)(都可由其中一条，比如0)(c x y f dy+=⎰ 沿着 x 轴的方向平移而得到。
常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答_2
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
习题 4-1 1．求解下列微分方程 1） 2 y = p + 4 px + 2 x
y = xp + f ( p )
(p =
dy ) （1） dx
dp =0 dx
dp =0 dx
即 p = c时 （2）
代入（1）得（1）的通解
y = cx + f (c)
它的 C—判别式为
y = cx + f (c) x + f ' (c ) = 0
由此得
Λ:x = − f '(c)) = ϕ (c ) ， y = −cf '(c) + f (c) = ψ (c )
1 = dy 2 cos t 5
5 1 ( 2 sin t ) = d 2 cos t
5 dt 从而得 2
x=
5 2
t+c 5 t + c ， y = 2 sin t 2
x 因此方程的通解为 =
消去参数 t，得通解
= y
2 sin
2 (x − C) 5 dy = 0 ，显然 dx
对于方程除了上述通解，还有 y = ± 2 ，
检验知
y = 2x +
Fy' ( x, y, p) = 1 ，
" Fpp ( x, y , p ) = 2 p ，
Fp' ( x, y, p) =−1 + p 2
常微分方程第二章练习与答案
1 / 16习题２-１判断下列方程是否为恰当方程,并且对恰当方程求解： １．0)12()13(2=++-dy x dx x解：13),(2-=x y x P , 12),(+=x y x Q ,则0=∂∂y P ,2=∂∂xQ, 所以 x Q y P ∂∂≠∂∂ 即 原方程不是恰当方程． ２．0)2()2(=+++dy y x dx y x 解：,2),(y x y x P +=,2),(y x y x Q -=则,2=∂∂y P ,2=∂∂xQ所以x Q y P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx两边积分得：.22222C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax 〔a,b 和c 为常数〕． 解：,),(by ax y x P +=,),(cy bx y x Q +=则,b y P =∂∂,b xQ =∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx两边积分得：.2222C cy bxy ax =++ 4．)0(0)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax解：,),(by ax y x P -=,),(cy bx y x Q -=则,b y P -=∂∂,b xQ=∂∂ 因为 0≠b , 所以x Q y P ∂∂≠∂∂,即 原方程不为恰当方程５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t解：,cos )1(),(2u t u t P +=u t u t Q sin 2),(=则,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t xQ=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程则,0cos )sin 2cos (2=++udu udt t udu t2 / 16两边积分得：.sin )1(2C u t =+ ６．0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye xxx解： xy e y x Q y e ye y x P xxx2),(,2,(2+=++=,则,2y e y P x +=∂∂,2y e xQx +=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e xxx两边积分得：.)2(2C xy e y x=++７．0)2(ln )(2=-++dy y x dx x xy解：,2ln ),(),(2y x y x Q x xy y x P -=+=则,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程 则02)ln (2=-++ydy dx x xdy dx x y两边积分得：23ln 3y x y x -+.C = ８．),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++解：,),(,),(22cxy y x Q by ax y x P =+=则,2by y P =∂∂,cy xQ =∂∂ 所以 当x Q y P ∂∂=∂∂,即 c b =2时, 原方程为恰当方程则0)(22=++cxydy dx by dx ax两边积分得：233bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程．９．01222=-+-dt ts s ds t s 解：,),(,12),(22ts s s t Q t s s t P -=-= 则,212t s t P -=∂∂,212tss Q -=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂, 即原方程为恰当方程,两边积分得：C ts s =-2．3 / 1610．,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数．解：),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=则,2f xy y P '=∂∂,2f xy xQ '=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂, 即原方程为恰当方程,两边积分得：22()f xy dx C +=⎰,即原方程的解为C y x F =+)(22<其中F 为f 的原积分>．习题２-2. 1. 求解下列微分方程,并指出这些方程在平面上的有意义 的区域:：〔１〕yx dx dy 2= 解：原方程即为：dx x ydy 2= 两边积分得：0,2332≠=-y C x y ．〔２〕)1(32x y x dx dy += 解：原方程即为：dx xx ydy 321+=4 / 16两边积分得：1,0,1ln 2332-≠≠=+-x y C x y ．〔３〕0sin 2=+x y dxdy解： 当0≠y 时原方程为：0sin 2=+xdx y dy两边积分得：0)cos (1=++y x c ．又y=0也是方程的解,包含在通解中,则方程的通解为0)cos (1=++y x c ．〔４〕221xy y x dx dy +++=；解：原方程即为：2(1)1dyx dx y =++ 两边积分得：c x x arctgy ++=22, 即 )2(2c x x tg y ++=． 〔５〕2)2cos (cos y x dxdy= 解：①当02cos ≠y 时原方程即为：dx x y dy 22)(cos )2(cos = 两边积分得：2222sin 2tg y x x c --=． ②y 2cos =0,即42ππ+=k y 也是方程的解. 〔N k ∈〕 〔６〕21y dxdyx-= 解：①当1±≠y 时 原方程即为：xdx y dy =-21 两边积分得：c x y =-ln arcsin ． ②1±=y 也是方程的解.〔７〕．yxe y e x dx dy +-=- 解．原方程即为：dx ex dy e y xy)()(--=+5 / 16两边积分得：c e x e y x y++=+-2222, 原方程的解为：c ee x y xy=-+--)(222.2. 解下列微分方程的初值问题． 〔１〕,03cos 2sin =+ydy xdx 3)2(ππ=y ；解：两边积分得：c yx =+-33sin 22cos , 即c x y =-2cos 33sin 2因为 3)2(ππ=y , 所以 3=c .所以原方程满足初值问题的解为：32cos 33sin 2=-x y ． 〔２〕．0=+-dy ye xdx x, 1)0(=y ； 解：原方程即为：0=+ydy dx xe x,两边积分得：c dy y dx e x x=+-2)1(2, 因为1)0(=y , 所以21-=c , 所以原方程满足初值问题的解为：01)1(22=++-dy y dx e x x．〔３〕．r d dr=θ, 2)0(=r ； 解：原方程即为：θd rdr=,两边积分得：c r =-θln ,因为2)0(=r , 所以2ln =c ,所以原方程满足初值问题的解为：2ln ln =-θr 即θe r 2=．〔４〕．,1ln 2yx dx dy+=0)1(=y ; 解：原方程即为：dx x dy y ln )1(2=+,两边积分得：3ln 3y y x x x c ++-=, 因为0)1(=y , 所以1=c ,所以原方程满足初值为：3ln 13y y x x x ++-=6 / 16〔５〕．321xy dxdyx=+, 1)0(=y ； 解：原方程即为：dx xx y dy 231+=, 两边积分得：c x y ++=--22121, 因为1)0(=y , 所以23-=c ,所以原方程满足初值问题的解为：311222=++yx ．１． 解下列微分方程,并作出相应积分曲线的简图． 〔１〕．x dxdycos = 解：两边积分得：c x y +=sin ． 积分曲线的简图如下：〔２〕．ay dxdy=, 〔常数0≠a 〕； 解：①当0≠y 时,原方程即为：dx ay dy = 积分得：c x y a +=ln 1, 即 )0(>=c cey ax②0=y 也是方程的解． 积分曲线的简图如下：7 / 16〔３〕．21y dxdy-=； 解：①当1±≠y 时,原方程即为：dx y dy =-)1(2 积分得：c x yy+=-+211ln ,即 1122+-=x x ce ce y ．②1±=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：〔４〕．n y dx dy =, )2,1,31(=n ； 解：①当0≠y 时, ⅰ〕2,31=n 时,原方程即为 dx y dy n =,积分得：c y n x n=-+-111．8 / 16ⅱ〕1=n 时,原方程即为dx ydy= 积分得：c x y +=ln ,即 )0(>=c ce y x．②0=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发,沿x 轴正方向前进；同时某9 / 16B 从点开始跟踪A,即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为)(x y y =,由题意与导数的几何意义,则有22yb ydx dy --=,所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足b y =)0(的解．解之得：222222ln21y b y b b y b b b x ----++=． 5. 设微分方程)(y f dxdy=〔2.27〕,其中f<y> 在a y =的某邻域〔例如,区间ε<-a y 〕内连续,而且a y y f =⇔=0)(,则在直线a y =上的每一点,方程〔2.27〕的解局部唯一,当且仅当瑕积分∞=⎰±εa ay f dy)(〔发散〕． 证明：〔⇒〕首先经过域1R ：,+∞<<∞-x a y a <≤-ε 和域2R ：,+∞<<∞-x ε+≤<a y a内任一点〔00,y x 〕恰有方程〔2.13〕的一条积分曲线, 它由下式确定00)(x x y f dyyy-=⎰. 〔*〕 这些积分曲线彼此不相交. 其次,域1R 〔2R 〕内的所有 积分曲线c x y f dy +=⎰)(都可由其中一条,比如0)(c x y f dy+=⎰ 沿着 x 轴的方向平移而得到。
常微分方程教程-丁同仁
常微分方程2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：3解：原式可化为：,0)1(.22=++dy x dx y 。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,1112yxy dx dyxy 321++=x x y x x y x yx y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy yydx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dxdy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dx xx du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y ee e ee e ee x y uu xy x u u xyxy y x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分2课后习题答案
常微分2课后习题答案常微分2课后习题答案在学习常微分2这门课程中，我们不可避免地会遇到一些挑战性的习题。
这些习题旨在帮助我们巩固所学的知识，并提供实践应用的机会。
然而，有时候我们可能会遇到一些难以理解或解答的问题。
在本文中，我将分享一些常微分2课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用这门课程的内容。
1. 题目：求解方程 dy/dx = 2x + 3解答：这是一个一阶线性常微分方程。
我们可以将它转化为标准形式 dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) = 0，Q(x) = 2x + 3。
根据一阶线性常微分方程的解法，我们可以通过求解齐次方程 dy/dx + P(x)y = 0 的通解和特解来得到原方程的解。
首先，我们求解齐次方程 dy/dx = 0。
显然，它的通解为 y = C，其中 C 是常数。
接下来，我们寻找特解。
由于 P(x) = 0，我们可以猜测特解为 y = Ax + B，其中 A 和 B 是待定常数。
将这个猜测代入原方程，得到 A = 2，B = 3。
因此，原方程的通解为 y = C + 2x + 3，其中 C 是任意常数。
2. 题目：求解方程 d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = e^(-2x)解答：这是一个二阶常系数齐次线性常微分方程。
我们可以使用特征方程的方法来求解。
首先，我们假设 y = e^(rx) 是方程的解。
将这个解代入方程，得到特征方程r^2 + 4r + 4 = 0。
解这个二次方程，得到 r = -2。
因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是任意常数。
接下来，我们寻找特解。
由于右侧是指数函数，我们猜测特解为 y = Ae^(-2x)，其中 A 是待定常数。
将这个猜测代入方程，得到 A = 1/9。
因此，原方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x) + 1/9e^(-2x)，其中 C1 和 C2是任意常数。
常微分方程第二章
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6：x
dy x− y =e dx 解：变量分离， e dy = e dx 两边积分得： e =e +c 11.
2 dy = ( x + y) dx y x y x
变量分离得：2
1 +1
12． 解
令x + y = t，则 变量分离
t2 dt = dx，两边积分t − arctgt = x + c，代回变量 t 2 +1 x + y − arctg ( x + y) = x + c dy 2 x − y − 1 = dx x − 2 y + 1
2
ww
w.
e
y x
解：变量分离，得
9 : x (ln x − ln y )dy − ydx = 0 y y 解：方程可变为： − ln • dy − dx = 0 x x y 1 ln u 令u = , 则有： dx = − d ln u x x 1 + ln u y 代回原变量得：cy = 1 + ln 。 x dy x− y 10： = e dx 解：变量分离 e dy = e dx 两边积分 e = e + c
w.
0
19. 已知 f(x) ∫ f ( x)dt = 1, x ≠ 0, 试求函数f ( x)的一般表达式 .
x
1 y = − 2 y' 1 y 解：设 f(x)=y, 则原方程化为 ∫ f (x)dt = 两边求导得 y 0 − y3 = dy 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; dx = − 3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 两边积分得x + c = ; ; ; ; ; 所以y = ± 2 dx 2y y dy 2x + c 1 代入
丁同仁常微分方程教程第二章小结
−( Q
∂M ∂N − ) ∂y ∂x = −1 M
仅与 y 有关，故方程有积分因子 µ ( y ) = e ∫
− dy
= e− y
从而方程 −e − y + e− y ( x + 2 y )dy = 0 为全微分方程 其通解为： − ∫x e − y dx + ∫y ( x0 + 2 y )dy = c1
z =y−y1
Riccati方程不恒为零。观察其一 特解为y = ϕ ( x)
1
dy = p ( x) y 2 + q ( x ) y + r ( x), dx p( x)
习题课 目的：①对 1-5 节内容即初等积分法求解方法的归纳，并通过几个 典型例题的讲解，使大家认识到一阶方程解法的灵活性，多样性。 ②关于一阶方程的通解公式和通解结构定理， 也是一重要的
变量分离方程
∆=0
dy = f ( x)ϕ ( y ) dx
y = c(x)e ∫
− p( x)dx
线性方程
dy = p ( x) y + q ( x) dx
1 µ= ϕ1(y)
dy a x + b1 y + c1 = f( 1 ) dx a2 x + b2 y + c2
a1 b1 a2 b2
µ=
u= y x
从而 δ lim ce x →+∞
∫x0 a (τ ) dτ
≤ lim c e− k ( x − x0 ) = 0
δ x →+∞
再讨论前一项，首先，由积分性质
−
e
∫x0 a (τ ) dτ
x
∫
x
x0
常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答_4
对 应 于 λ1 = 7 所 有 的 特 征 向 量
1 7 x v1 = 1 ，则 v 2 = 1 那么对应的实值解为 y1 = 1 e ；
对应 λ 2 = −2 的特征向量
v1 v1 5 4 v1 = ( 2 ) 0 满足 即 + A E 5 4 = 0 ，取 v1 = 4 ，则 v v v 2 2 2
λ1 = −4 ， λ1 = λ 2 = −1 。
，特征向量应满足
3 1 0 v1` 0 3 0 v 2 = 0 1 0 0 v 3
3 1 0 1 0 0 又 0 3 0 → 0 1 0 （只能进行行变换） 1 0 0 0 0 0
cos t s int 因 此 Φ (t ) 中方程组的一个基 又 det = [Φ (t )] = 1 ≠ 0 ， − s int cos t
解矩阵。故方程组的通解为
y1 cos t s int = + c2 c1 − s int cos t y2
-1-
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
′ = y3 y1 ′ = y2 （3）程组的分量形式为： y 2 y′ = y 1 3
解 ①+③得 解 ①-③得 解之得
① ② ③
d ( y1 + y 3 ) = y1 + y 3 dt d ( y1 − y3 ) =y1 − y3 dt = y1 − y3 k2 e − t
dy dx
（1）任意一个特解，则 y1 ( x) + ϕ ( x), y 2 ( x) + ϕ ( x), , y n ( x) + ϕ ( x) 是(1)的 n+1 个线性无关解.这是因为,若存在常数 k1 , k 2 , k n , k n +1 使得