常微分方程第二章练习与答案

习 题 ２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．0)12()13(2=++-dy x dx x解：13),(2-=x y x P ， 12),(+=x y x Q ，则0=∂∂y P ，2=∂∂x Q ， 所以 xQy P ∂∂≠∂∂ 即 原方程不是恰当方程．２．0)2()2(=+++dy y x dx y x解：,2),(y x y x P += ,2),(y x y x Q -=则,2=∂∂y P ,2=∂∂x Q 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx两边积分得：.22222C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax （a,b 和c 为常数）． 解：,),(by ax y x P += ,),(cy bx y x Q +=则,b y P =∂∂,b x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx两边积分得：.2222C cy bxy ax =++ 4．)0(0)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax解：,),(by ax y x P -= ,),(cy bx y x Q -=则,b y P -=∂∂,b x Q =∂∂ 因为 0≠b , 所以xQ y P ∂∂≠∂∂，即 原方程不为恰当方程５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t解：,cos )1(),(2u t u t P += u t u t Q sin 2),(=则,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则,0cos )sin 2cos (2=++udu udt t udu t 两边积分得：.sin )1(2C u t =+ ６．0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye x x x解： xy e y x Q y e ye y x P x x x 2),(,2,(2+=++=，则,2y e yP x +=∂∂,2y e x Q x +=∂∂ 所以x Qy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e x x x 两边积分得：.)2(2C xy e y x =++７．0)2(ln )(2=-++dy y x dx x xy解：,2ln ),(),(2y x y x Q x xy y x P -=+=则,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则02)ln (2=-++ydy dx x xdy dx xy两边积分得：23ln 3y x y x -+.C = ８．),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++解：,),(,),(22cxy y x Q by ax y x P =+=则,2by y P =∂∂,cy x Q =∂∂ 所以 当xQy P ∂∂=∂∂，即 c b =2时， 原方程为恰当方程则0)(22=++cxydy dx by dx ax两边积分得：233bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程．９．01222=-+-dt ts s ds t s 解：,),(,12),(22ts s s t Q t s s t P -=-= 则,212t s t P -=∂∂,212t s s Q -=∂∂ 所以xQ y P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,两边积分得：C ts s =-2． 10．,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数．解：),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=则,2f xy yP '=∂∂,2f xy x Q '=∂∂ 所以x Qy P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,两边积分得：22()f xy dx C +=⎰,即原方程的解为C y x F =+)(22 (其中F 为f 的原积分)．习 题 ２-2. 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义 的区域:：（１）yx dx dy 2=解：原方程即为：dx x ydy 2= 两边积分得：0,2332≠=-y C x y ．（２）)1(32x y x dx dy += 解：原方程即为：dx xx ydy 321+= 两边积分得：1,0,1ln 2332-≠≠=+-x y C x y ．（３）0sin 2=+x y dxdy解： 当0≠y 时原方程为：0sin 2=+xdx ydy两边积分得：0)cos (1=++y x c ．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为0)cos (1=++y x c ．（４）221xy y x dxdy+++=； 解：原方程即为：2(1)1dyx dx y =++ 两边积分得：c x x arctgy ++=22， 即 )2(2c x x tg y ++=． （５）2)2cos (cos y x dxdy= 解：①当02cos ≠y 时原方程即为：dx x y dy 22)(cos )2(cos = 两边积分得：2222sin 2tg y x x c --=． ②y 2cos =0，即42ππ+=k y 也是方程的解. （N k ∈） （６）21y dxdyx-= 解：①当1±≠y 时 原方程即为：xdx y dy =-21 两边积分得：c x y =-ln arcsin ．② 1±=y 也是方程的解.（７）．yxe y e x dx dy +-=- 解．原方程即为：dx e x dy e y x y )()(--=+两边积分得：c e x e y x y++=+-2222， 原方程的解为：c e e x y x y =-+--)(222.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）,03cos 2sin =+ydy xdx 3)2(ππ=y ；解：两边积分得：c yx =+-33sin 22cos ， 即 c x y =-2cos 33sin 2因为 3)2(ππ=y , 所以 3=c .所以原方程满足初值问题的解为：32cos 33sin 2=-x y ．（２）．0=+-dy ye xdx x， 1)0(=y ；解：原方程即为：0=+ydy dx xe x ，两边积分得：c dy y dx e x x=+-2)1(2， 因为1)0(=y ， 所以21-=c ， 所以原方程满足初值问题的解为：01)1(22=++-dy y dx e x x ．（３）．r d dr=θ， 2)0(=r ； 解：原方程即为：θd rdr=，两边积分得：c r =-θln ， 因为2)0(=r ， 所以2ln =c ，所以原方程满足初值问题的解为：2ln ln =-θr 即θe r 2=．（４）．,1ln 2y x dx dy+= 0)1(=y ;解：原方程即为：dx x dy y ln )1(2=+,两边积分得：3ln 3y y x x x c ++-=,因为0)1(=y ， 所以1=c ，所以原方程满足初值为：3ln 13y y x x x ++-= （５）．321xy dxdyx=+， 1)0(=y ； 解：原方程即为：dx xx y dy 231+=，两边积分得：c x y ++=--22121， 因为1)0(=y ， 所以23-=c ，所以原方程满足初值问题的解为：311222=++y x ．１． 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图． （１）．x dxdycos = 解：两边积分得：c x y +=sin ． 积分曲线的简图如下：（２）．ay dxdy=， （常数0≠a ）； 解：①当0≠y 时，原方程即为：dx aydy= 积分得：c x y a +=ln 1，即 )0(>=c ce y ax②0=y 也是方程的解． 积分曲线的简图如下：（３）．21y dxdy-=； 解：①当1±≠y 时，原方程即为：dx y dy =-)1(2 积分得：c x y y+=-+211ln ，即 1122+-=x x ce ce y ．②1±=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：（４）．n y dx dy =， )2,1,31(=n ； 解：①当0≠y 时， ⅰ）2,31=n 时，原方程即为 dx ydyn =， 积分得：c y n x n=-+-111．ⅱ）1=n 时，原方程即为dx ydy=积分得：c x y +=ln ，即)0(>=c ce y x．②0=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从点开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为)(x y y =,由题意及导数的几何意义，则有22yb ydx dy --=，所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足b y =)0(的解．解之得：222222ln 21y b y b b y b b b x ----++=．5. 设微分方程)(y f dxdy=（2.27），其中f(y) 在a y =的某邻域（例如，区间ε<-a y ）内连续，而且a y y f =⇔=0)(，则在直线a y =上的每一点，方程（2.27）的解局部唯一，当且仅当瑕积分∞=⎰±εa ay f dy)(（发散）． 证明：（⇒）首先经过域1R ：,+∞<<∞-x a y a <≤-ε 和域2R ：,+∞<<∞-x ε+≤<a y a内任一点（00,y x ）恰有方程（2.13）的一条积分曲线， 它由下式确定00)(x x y f dyyy-=⎰. （*） 这些积分曲线彼此不相交. 其次，域1R （2R ）内的所有 积分曲线c x y f dy +=⎰)(都可由其中一条，比如0)(c x y f dy+=⎰ 沿着 x 轴的方向平移而得到。

因此只需详细考虑经过1R 内某一点),(0ε-a x 的积分曲线， 它由（*）式确定.若⎰-aa y f dyε)(收敛，即存在 1x x = ，使得01)(x x y f dyaa -=⎰-ε, 即所讨论的积分曲线当 1x x = 时达到直线a y =上点（a x ,1）. 由（*）式易看出，所论积分曲线在（a x ,1）处与a y = 相切，在这种情形下，经过此直线上的一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以⎰-aa y f dyε)(发散.若积分⎰-aa y f dyε)(发散，此时由（*）式易看出，所论的经过),(0ε-a x 的积分曲线，不可能达到直线 a y =上，而以直线a y =为渐近线，又注意到a y =也是（２.13）的积分曲线，所以（2.13）过),(0ε-a x 的解是唯一的. 注：对于2R 内某点（ε+a x ,0）完全可类似地证明.6. 作出下列微分方程积分曲线族的大致图形． （１）．y dxdy =；（２）．⎩⎨⎧=≠=00ln y y yy dx dy()⇐习 题 ２-3１．求解微分方程：（１）x xe y dxdy-=+2; 解：,2)(=x p xxe x q -=)(，由公式得：x x xx x x e xe cedx e xe c e y ------+=+=⎰222)(， 原方程的解为：x x x e xe ce y ----+=2．（２）x ytgx dxdy2sin =+； 解：,)(tgx x p = x x q 2sin )(=，c x dx xx d dx x x tgxdx dx x p +-=-===⎰⎰⎰⎰cos ln cos )(cos cos sin )(， 则有xx c x c x dx xxc x dx ex c ey xx2cos ln cos ln cos 2cos )cos 2(cos )cos 2sin (cos )2sin (-=-=+=+=⎰⎰-原方程的解为：x x c y 2cos 2cos -=．（３）,sin 2x y dx dy x=+ ππ1)(=y ； 解：原方程即为：x x y x dx dy sin 2=+，则x xx q x x p sin )(,2)(==，c x dx xdx x p +==⎰⎰2ln 2)(， 则有)sin cos (1)sin (1)sin (22ln ln 22x x x c x xdx x c x e xx c e y x x +-=+=+=⎰⎰- 因为ππ1)(=y ， 所以0=c ．原方程满足初值问题的解为：x xx x y sin 1cos 12+-= ． （４）x y x dx dy +=--1112，1)0(=y ； 解：x x q x x p +=-=1)(,11)(2, 2111ln )(⎰+-=x x dx x p 则2111ln+-=x x ey ⎰++)1((x c )2111lndx ex x -+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+-+>-+-+=⎰⎰1)1(111)1(1122x dx x c xx x dx x c x x要求满足初值问题1)0(=y 的解 只需求⎩⎨⎧<-+-+⎰1)1(112x dx x c xx)121a r c s i n 21(112x x x c x x -++-+=代入初值得1=c所以满足初值问题的解为)121a r c s i n 211(112x x x x x y -++-+=. 2. 将下列方程化为线性微分方程：（１）yy x dx dy 222+=； 解：令z y =2， 则原方程化为：2x z dxdz+=． （２）2yx ydx dy +=； 解：由原方程得：，yy x dy dx 2+=, 即 y x y dy dx +=1 ． （３）03332=++x y dxdyxy； 解：令z y =3， 则原方程化为：21x z xdx dz --=．（４）xtgy ydx dy +=cos 1； 解：原方程即为：yyx y dx dy cos sin cos 1+= 即y x dxydysin 1cos +=. 令y z sin =， 则 1+=xz dxdz． 3. 设)(x y φ=满足微分不等式)0(,0)(≥≤+'x y x a y ．求证：,)0()(0)(⎰≤-xdss a e x φφ )0(≥x证明：将0)(≤+'y x a y 两边同乘0()xa s ds e⎰ 则有⎰xdss a e 0)(+'y ⎰xds s a e 0)(0)(≤y x a即0))((0)(≤⎰dxx e d xdss a φ 从０到x 积分得：⎰xds s a e0)()0()(φφ≤x ，得证．4. 用常数变易法求解非齐次线性方程)()(x q y x p dxdy=+． 解：设方程有形如⎰=-dxx p e x c y )()(的解，将其代入方程则有 解：设方程有形如⎰=-dx x p e x c y )()(的解，将其代入方程则有-⎰-dxx p e dxx dc )()(+⎰-dx x p e x p x c )()()()()()()(x q e x p x c dx x p =⎰- 即)()()(x q e dx x dc dxx p =⎰-， 则c e x q x c dx x p +⎰=⎰)()()(， 所以方程的解为⎰=-dx x p e y )())(()(c e x q dxx p +⎰⎰.5. 考虑方程)()(x q y x p dxdy=+，其中)(x p 和)(x q 都是以0>ω为周期的连续函数．试证：（１）若0)(=x q ，则方程的任一非零解以ω为周期⇔)(x p 的平均值⎰==ωω0)(1dx x p p ．（２）若0)(≠x q ，则方程的有唯一的ω周期解⇔0≠p ．试求出此解．证明：（１）设)(x y φ=是方程的任一非零解 则,0)(⎰-=xx dxx p cey 且,0)(⎰++-=wx x dxw x p cey 也是解⇔⎰-xx dxx p e 0)(,0)(⎰++-=wx x dxw x p e⎰⎰+--=wx x dxx p xx dxx p ee)(0)( 10)(=⇔⎰ωdxx p e⎰=⇔ω00)(dx x p(2) 方程的通解为+=⎰-xdxx p cey 0)(⎰⎰-xdt t p xse s q 0)()( 选择常数c 使)(x y 成为 ω周期函数，即)()(x y w x y =+（*）我们先来证明，要使（*）对所有x 成立，其实只需对某一特定 x （例如0=x ）成立,即只需)0()(y y =ω.事实上，由于)(x y 是方程的解， 且)()(x p w x p =+)()(x q w x q =+， 所以)(w x y +也是解. 因此，函数)()()(x y w x y x u -+=是相应齐次方程0)(=+'y x p y 满足初始条件0)0(=y 的解。