专题：函数单调性的证明
定义法证明单调性
定义法证明单调性
定义法证明单调性：
单调性是指一个函数的值在某一区间内从一端到另一端的变化，是单方向的而不中断的。
定义法证明单调性就是通过定义函数的性质来证明其单调性，常用的定义如下：
1. 如果函数y=f(x)满足：对于所有x和x'都满足
f(x)<f(x')，则称函数y=f(x)为单调递增函数；
2. 如果函数y=f(x)满足：对于所有x和x'都满足
f(x)>f(x')，则称函数y=f(x)为单调递减函数；
3. 如果函数y=f(x)满足：对于所有x和x'都满足
f(x)=f(x')，则称函数y=f(x)为常数函数。
4. 如果函数y=f(x)既不满足上述条件1，也不满足上述条件2，则称函数y=f(x)为非单调函数。
通过定义函数的上述定义，可以根据函数特性判断函数是否单调，从而得出单调性的证明。
函数单调性的判断或证明方法
函数单调性的判断或证明方法.（1）定义法。
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得（2）运算性质法.①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）②若.③当函数.④函数二者有相反的单调性。
⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。
（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。
例3.求函数的单调区间。
解：在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为减区间为.（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
函数单调性的判断和证明省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
总结：求二次函数f (x) ax bx c
在m, n上的值域或最值的一般方法是：
若a 0
（1）当x0
-
b 2a
m时值域为 f
(m),
f
(n)
(2)当m
x0
-
b 2a
m 2
n 时值域
为
f
(-
b ), 2a
f
(n)
(3)当
m 2
n
x0
-
b 2a
n时值域
为
f
(-
b ), 2a
f
(m)
(4)当x 0
x
kk
解：对于x2>x1>0,f(x2)-f(x1)=x2-x1+ x2 - x1
=
x2 x1 x2 x1
(x1x2-k)
因 x2 x1 x2 x1
>0
X12-k <x1x2-k <x22-k 故x22-k≤0即x2≤ k
时，f(x2)<f(x1) 同理x1≥ k 时，f(x2)>f(x1)
总之，f(x)旳增区间是 k , ，减区间是 0, k
0 f (-x) 1当x R时，f (x) 0
设x1 x2则
f (x2 ) f (x1)
f (x1 (x2 - x1)) f (x)
f (x1) f (x2 - x1) f (x)
f (x2 - x1) 1
f (x)是R上的增函数。
三.复合函数单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
解：任取x, x, 且 -1 x1 x2 1则f (x1) f (x2 )
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】1.函数单调性的说课稿2.高中数学函数的单调性的教学设计3.导数与函数的单调性的教学反思4.高中函数单调性的教学设计5.《函数的单调性》的说课稿6.函数单调性教案练习题7.函数单调性说课课件8.《函数的单调性》教学设计上文是关于证明函数单调性的方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
(6)函数的单调性的证明以及典型题型
函数单调性的证明一、定义法证明普通函数的单调性1、求证函数y=x ³+x 在R 上是增函数。
3、求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数.4、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5、证明函数xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。
6、求证：函数x x x f --=21)(在R 上是单调减函数.7、指出f(x)=2x ²+4x 的单调区间，并对减区间的情况给予证明。
8、求12)(2--=x x x f 的单调区间一、定义法证明带字母的函数的单调性1、 用定义证明：（1）函数f(x)=kx+b(k<0,k 、b 为常数)在R 上是减函数。
（2）函数xk x g =)((k<0,k 为常数)在)0,(-∞上是增函数。
2、 求证函数x a x x f +=)(（a>0）在（0，a ）上是减函数，在（a ，+∞）上是增函数。
3、 讨论1)(2-=x ax x f （-1<x<1,a ≠0）的单调性 4、 设函数（a >b>0）,求b x a x x f ++=)(的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。
二、定义法证明抽象函数的单调性：1、已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(-x)= 0)(1>x f ,且g(x)=f(x)+c(c 为常数)，在区间[a,b]上是减函数，判断并证明g(x)在区间[-b,-a]上的单调性。
2、已知g(x)在[m,n]上的减函数，且a ≤g(x)≤b,f(x)是[a,b]上的增函数，求证f[g(x)]在[m,n]上也是减函数。
三、利用单调性求函数的值域：求下列函数的值域：1、 y=-+2x x -6 2、 y=+x 1-x3、 y=+3-x 2x +四、利用函数单调性比较大小1、 如果函数f(x)=x ²+bx+c,对于任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。
证明函数单调性的方法总结归纳
证明函数单调性的方法总结归纳1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。
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函数单调性的证明
函数的单调性需抓住单调性定义来证明，这是目前高一阶段唯一的方法。
一、证明方法步骤为：
① 在给定区间上任取两个自变量1x 、2x 且1x ＜2x
② 将()1f x 与()2f x 作差或作商（分母不为零）
③ 比较差值（商）与0（1）的大小
④ 下结论，确定函数的单调性。
在做差比较时，我们常将差化为积讨论，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（无理式）、配方等手段。
二、常见的类型有两种：
（一）已知函数的解析式：
例1：证明：函数()1=x-1
f x 在x ∈（1，+∞）单调递减
例2：证明：函数()3
=x +x+1x f x R 在∈时单调递增
例3：证明：函数()x [1+f x ∞∈，）时单调递增
例4：讨论函数()1=x+
1+x-1
f x ∞在（，）的单调性，并求最小值
例5：求函数()x+2=
x-1
f x 的单调区间
练习：1、证明函数()a =x+a 0x
f x ∞（＞）单调递增
2、讨论函数()f x 的单调性 （二）抽象函数的单调性：
抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用，同时，要注意选择作差还是作商，这一点可观察题意中()f x 与0比较，应作差；与1比较，应作商。
如下三例：
例1：已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时，f (x +y )=f (x )+f (y ) 恒成立，且当x ＞0时，f (x )＞0.证明：f (x )在R 上单调递增.
例2：已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时，f (xy )=f (x )+f (y ) 恒成立，且当x ＞1时，f (x )＞0.证明：f (x )在(0,+∞)上单调递增.
例3：已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时，f (xy )=f (x )f (y ) 恒成立，且当x ＞1时，f (x )＞
1.若f (x )≠0.证明：f (x )在(0,+∞)上单调递增.
练习：
1、已知函数()f x 对于任意的x 、y ∈R ，总有
()()()()()2+=+y x 00=-.3
y 1f x f f x f x f ，且当＞时，＜； （1）求证：()f x 在R 上是减函数
（2）求()f x 在[-3，3]上的最大值与最小值
2、已知函数()()()()m n m+n m n +=+1f x R R f f f 的定义域为，且、∈，恒有，且=1-20f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当x ＞1-2
时，()f x ＞0. （1）求证：()f x 是单调递增函数
（2）求()f x 在[-2,2]的最大值与最小值.
3、定义在R 上的函数()f x 恒为正，且满足()()()+y =y f x f x f ，当x ＞0时，()f x ＞1.
（1）证明：()f x 在R 上单调递增 .
（2）若函数()f x 的定义域为[-1,1]时，解不等式()2-1f x ＞()2f x
4、函数()f x 的定义域为R ，对于任意的a 、b ∈R 皆有()()()+=b +b 1a a+f f f ，且x ＞0时， ()f x ＞1
（1） 求证：()f x 是R 上的增函数
（2） 若()()
243m -m-2=53f f ，解不等式＜。