matlab算法和蒙特卡罗计算教程
matlab用蒙特卡洛方法进行概率和分位计算
matlab用蒙特卡洛方法进行概率和分位计算【主题】matlab用蒙特卡洛方法进行概率和分位计算【序号1】引言在概率和统计领域，计算概率和分位数一直是一个重要的课题。
传统的方法可能在计算复杂的分布时显得力不从心，而蒙特卡洛方法却能够以随机模拟的方式来解决这些问题。
本文将介绍如何使用MATLAB来进行概率和分位计算，重点讨论如何利用蒙特卡洛方法来进行模拟，以及如何在MATLAB环境中实现这一过程。
【序号2】MATLAB中的蒙特卡洛方法MATLAB作为一个强大的数值计算工具，提供了丰富的函数和工具箱，可以方便地进行概率和统计计算。
在MATLAB中，蒙特卡洛方法可以通过随机数生成函数和循环结构来实现。
我们需要生成符合指定分布的随机数样本，然后利用这些样本进行模拟计算，最终得到所需的概率和分位数结果。
【序号3】随机数生成在MATLAB中，可以利用内置的随机数生成函数来生成符合某个特定分布的随机数样本。
可以使用randn函数来生成符合正态分布的随机数样本，使用rand函数来生成在[0,1]区间均匀分布的随机数样本。
除了内置函数，MATLAB还提供了更多灵活的工具箱，可以生成更加复杂的分布样本，如指数分布、泊松分布等。
【序号4】模拟计算一旦得到了符合特定分布的随机数样本，就可以利用这些样本进行模拟计算。
以正态分布为例，我们可以利用蒙特卡洛方法来估计在某个区间内的概率，或者计算某个分位数的取值。
通过多次模拟，取平均值可以得到一个较为准确的估计结果。
在MATLAB中，可以利用循环结构和向量化的方式来高效地实现这一过程，并得到稳健可靠的结果。
【序号5】具体案例下面通过一个具体案例来展示如何在MATLAB中使用蒙特卡洛方法进行概率和分位计算。
假设我们需要计算标准正态分布的概率P(-1<Z<1)和95%的分位数。
我们可以利用randn函数生成一组标准正态分布的随机数样本，然后利用循环结构来进行模拟计算。
我们得到了P(-1<Z<1)约等于0.6827和95%的分位数约等于1.645，这些结果可以帮助我们更好地理解正态分布的性质。
matlab蒙特卡洛法求定积分
matlab蒙特卡洛法求定积分摘要：一、蒙特卡洛法简介二、蒙特卡洛法求定积分的步骤1.确定积分区间2.生成随机点3.计算原函数在随机点的值4.计算积分三、Matlab 编程实现蒙特卡洛法求定积分1.编写蒙特卡洛积分函数2.生成随机点3.计算原函数在随机点的值4.计算积分四、结论正文：蒙特卡洛法是一种通过随机抽样来估算数学期望值的方法。
在求解定积分问题时，蒙特卡洛法可以通过模拟原函数在区间上的取值，用随机点代替实际点，从而近似计算定积分。
Matlab 提供了丰富的工具箱，可以方便地实现蒙特卡洛法求定积分。
首先，我们需要确定积分区间。
例如，对于积分区间[a, b]，我们需要确定a 和b 的值。
接下来，生成随机点。
在Matlab 中，我们可以使用rand 函数生成随机数。
在[a, b] 区间内生成足够多的随机点，例如n 个点。
然后，计算原函数在随机点的值。
这需要我们先编写一个原函数的Matlab 函数。
例如，如果原函数是f(x)，我们可以使用f(x) = ...来计算原函数在随机点的值。
最后，计算积分。
根据蒙特卡洛法的原理，我们可以用生成随机点的个数n 来近似计算定积分。
具体地，定积分的值约等于(1/n) * Σ[f(xi)]，其中xi 是随机点。
在Matlab 中，我们可以使用sum 函数计算Σ[f(xi)]。
综上所述，我们可以通过以下步骤在Matlab 中实现蒙特卡洛法求定积分：1.确定积分区间。
2.生成随机点。
3.计算原函数在随机点的值。
4.计算积分。
通过这种方法，我们可以有效地求解定积分问题。
matlab蒙特卡洛模拟路径
matlab蒙特卡洛模拟路径蒙特卡洛模拟路径是一种常用的数值模拟方法，它在金融领域、工程学和科学研究中广泛运用。
这种方法使用随机数生成器来模拟系统中的随机变量，并通过多次重复模拟来得出模拟路径。
在Matlab中，我们可以使用随机数生成函数和循环结构来实现蒙特卡洛模拟路径。
下面是一个简单示例：```matlab% 定义模拟参数N = 1000; % 模拟路径的步数T = 1; % 模拟的时间长度dt = T / N; % 时间步长S0 = 100; % 初始股价mu = 0.05; % 平均收益率sigma = 0.2; % 波动率% 生成随机数路径paths = zeros(N+1, 1);paths(1) = S0;for i = 1:Npaths(i+1) = paths(i) * exp((mu - sigma^2/2)*dt + sigma*sqrt(dt)*randn);end% 绘制路径图t = linspace(0, T, N+1);plot(t, paths);title('蒙特卡洛模拟路径');xlabel('时间');ylabel('股价');```在上述示例中，我们定义了模拟路径的步数`N`、模拟的时间长度`T`、时间步长`dt`、初始股价`S0`、平均收益率`mu`和波动率`sigma`。
然后，使用随机数生成函数`randn`来生成服从正态分布的随机数，并根据蒙特卡洛模拟的路径计算公式更新路径值。
最后，使用`plot`函数绘制路径图。
通过蒙特卡洛模拟路径方法，我们可以模拟出多条随机变量路径，并可以根据所定义的参数进行灵活调整。
这种方法不仅可以用于金融领域，还可以应用于其他领域，如物理学、生物学等。
matlab学习——02整数规划（蒙特卡洛法,指派问题，混合整数规划）
matlab学习——02整数规划（蒙特卡洛法,指派问题，混合整数规划）02整数规划蒙特卡洛法(随机取样法)编写⽂件mengte.m，⽬标函数f和约束向量gfunction[f,g]=mengte(x);f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)^2-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-x(4)-...2*x(5);g=[sum(x)-400x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-8002*x(1)+x(2)+6*x(3)-200x(3)+x(4)+5*x(5)-200]; 主函数format compact;rand('state',sum(clock)); % 初始化随机数发⽣器p0=0;tic % 计时开始for i=1:10^6x=randi([0,99],1,5); % 产⽣1⾏5列的区间[0,99]上的随机整数[f,g]=mengte(x);if all(g<=0)if p0<fx0=0;p0=f; % 记录下当前较好的解endendendx0,p0toc % 计时结束指派问题clearC=[2 10 9 715 4 14 813 14 16 114 15 13 9];A = perms(1:4);%perm显⽰1，2，3，4四个数的全排列L = length(A)for i=1:La = zeros(4,4);b = A(i,:);%遍历全排列中的每⼀种c = 1:4;a(sub2ind(size(a), b, c))=1;%a矩阵指定的位置赋值为1D{i}=a;S(i)=sum(sum(a.*C));%求出费⽤和end[a,b]=find(S==min(S))D{b}S(b)%适⽤于任意n阶系数矩阵clear all；C=[2 10 9 7,15 4 14 8,13 14 16 11,4 15 13 9,];%效率矩阵Cn=size(C,1);%计算C的⾏列数nC=C(:);%计算⽬标函数系数，将矩阵C按列排成⼀个列向量即可。
蒙特卡罗方法详解与MATLAB实现
蒙特卡罗方法详解与MATLAB实现1.定义问题：首先需要明确问题的数学表达式或目标函数。
2.设计抽样方法：根据问题的特点，设计合适的抽样方法，通过生成随机数进行模拟。
3.数据生成：根据设定的抽样方法，生成一组模拟数据。
4.计算统计量：根据数据计算求解问题所需要的统计量，如均值、方差、概率等。
5.统计推断：通过统计量的计算结果，进行推断和分析，得出对问题的解答或估计。
1.定义问题函数：首先需要用MATLAB编写问题的数学表达式或目标函数。
例如，如果要判断一个点是否在一些区域内，可以定义一个函数来判断该点的坐标是否满足区域的条件。
2. 设计抽样方法：根据问题的特点，设计合适的抽样方法，通过生成随机数进行模拟。
在MATLAB中可以使用rand(或randn(等函数生成随机数。
3.数据生成：根据设定的抽样方法，生成一组模拟数据。
可以使用循环来生成多组随机数，以模拟多次试验的结果。
4. 计算统计量：根据生成的模拟数据，计算求解问题所需要的统计量。
根据具体的问题，可以使用MATLAB内置的统计函数，如mean(、var(等。
5. 统计推断：根据统计量的计算结果，进行推断和分析，得出对问题的解答或估计。
可以使用if语句或逻辑判断来判断判断是否满足条件，得到对问题的解答。
以求解圆的面积为例，详细说明蒙特卡罗方法在MATLAB中的实现：1. 定义问题函数：定义一个函数isInsideCircle(x, y)来判断点(x, y)是否在单位圆内：function inside = isInsideCircle(x, y)if x^2 + y^2 <= 1inside = true;elseinside = false;endend2. 设计抽样方法：通过rand(函数在区间[-1, 1]上生成一组随机数，表示点的横纵坐标。
x = 2 * rand(n, 1) - 1;y = 2 * rand(n, 1) - 1;4.计算统计量：根据生成的模拟数据，计算圆的面积的统计量。
21——matlab——用蒙特卡罗方法计算pi的值
用蒙特卡罗( Monte Carlo ) 投点法计算 的值程序：n=10000;m=0; a=2;for i=1:nx=rand(1)*a/2;y=rand(1)*a/2;if x^2+y^2<=(a/2)^2m=m+1;endendfprintf('蒙特卡罗投点法计算的pi为：%f\n',4*m/n)结果：蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.117200蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.132400蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.165600蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.135200蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.146800蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.140400蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.114800蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.117200 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.154800 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.140400 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.121200 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.134400 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.122800 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.127600 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.147200 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.145200 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.158400 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.147600 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.147600 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.146400 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.112000 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.180000 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.120000 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.153600 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.144000 蒙特卡罗投点法计算的pi为：3.148000 >>。
Matlab学习系列18-蒙特卡罗方法
Matlab学习系列18-蒙特卡罗⽅法18. 蒙特卡罗⽅法（⼀）概述⼀、原理蒙特卡罗（Monte Carlo ）⽅法，是⼀种基于“随机数”的计算机随机模拟⽅法，通过⼤量随机试验，利⽤概率统计理论解决问题的⼀种数值⽅法。
其理论依据是：⼤数定律、中⼼极限定理（估计误差）。
常⽤来解决如下问题：1. 求某个事件的概率，基于“频率的极限是概率”；2. 可以描述为“随机变量的函数的数学期望”的问题，⽤随机变量若⼲个具体观察值的函数的算术平均值代替。
⼀般形式为求积分：[]()()()d ba E f X f x x x ?=? X 为⾃变量（随机变量），定义域为[a,b], f (x )为被积函数，()x ?为概率密度函数。
蒙特卡罗法步骤为：(1) 依据概率分布()x ?不断⽣成N 个随机数x , 依次记为x 1, …, x N , 并计算f (x i );(2) ⽤f (x i )的算术平均值1()Nii f x N =∑近似估计上述积分类⽐：“积分”同“求和”，“d x ”同“1/N ”，“()x ?”同“服从()x ?分布的随机数”；(3) 停⽌条件：⾄⾜够⼤的N 停⽌；或者误差⼩于某值停⽌。
3. 利⽤随机数模拟各种分布的随机现象，进⽽解决实际问题。
⼆、优缺点优点：能够⽐较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程；受⼏何条件限制⼩；收敛速度与问题的维数⽆关；误差容易确定。
缺点：收敛速度慢；误差具有概率性；进⾏模拟的前提是各输⼊变量是相互独⽴的。
三、应⽤随机模拟实验，随机最优化问题，含有⼤量不确定因素的复杂决策系统进⾏风险模拟分析（⾦融产品定价、期权）。
（⼆）⽤蒙特卡罗法求事件概率⼀、著名的“三门问题”源⾃博弈论的⼀个数学游戏：参赛者⾯前有三扇关闭的门，其中⼀扇门的后⾯藏有⼀辆汽车，⽽两扇门的后⾯各藏有⼀只⼭⽺。
参赛者从三扇门中随机选取⼀扇，若选中后⾯有车的那扇门就可以赢得该汽车。
当参赛者选定了⼀扇门，但尚未开启它的时候，节⽬主持⼈会从剩下的两扇门中打开⼀扇藏有⼭⽺的门，然后问参赛者要不要更换⾃⼰的选择，选取另⼀扇仍然关着的门。
fso信道蒙特卡洛代码matlab
fso信道蒙特卡洛代码matlab本文将介绍如何使用Matlab进行FSO信道蒙特卡洛模拟。
一、FSO信道模型FSO（Free-Space Optical Communication）是一种基于光的无线通信技术，通过可见光或红外线在自由空间中传播信息。
FSO信号在传输过程中会受到大气吸收、散射、折射等影响，因此信号强度会随着传输距离的增加而衰减。
FSO信道模型可以使用以下公式来描述：Pr = Pt * Gt * Gr * (λ / 4πd)^2 * L其中，Pr为接收端接收到的功率，Pt为发送端发送的功率，Gt 和Gr分别为发送端和接收端的天线增益，λ为信号的波长，d为传输距离，L为FSO信道损耗因子。
二、蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样的方法，可以用于估计计算机模拟、风险分析等问题。
在FSO信道模拟中，可以通过随机抽样的方法模拟各种不同的传输距离、大气吸收、散射和折射等因素对信号强度的影响。
Matlab提供了很多用于生成随机数的函数，如rand、randi和randn等。
可以使用这些函数生成一组随机数，然后根据这些随机数来模拟不同的传输距离、大气吸收、散射和折射等因素。
下面是一个简单的蒙特卡洛模拟FSO信道的Matlab代码示例：```matlab% FSO信道蒙特卡洛模拟% 设置信号参数Pt = 1; % 发送功率（W）Gt = 1; % 发送天线增益Gr = 1; % 接收天线增益lambda = 1550e-9; % 信号波长（m）L = 1; % 损耗因子% 设置模拟参数N = 1000; % 抽样次数d_min = 10; % 最小传输距离（m）d_max = 1000; % 最大传输距离（m）% 生成随机数d = (d_max - d_min) .* rand(N, 1) + d_min; % 传输距离（m）Atm = 0.01 .* randn(N, 1); % 大气吸收Scat = 0.001 .* randn(N, 1); % 散射Ref = 0.0001 .* randn(N, 1); % 折射% 计算接收功率Pr = Pt * Gt * Gr * (lambda / (4 * pi .* d)).^2 .* L .* (1 - Atm) .* (1 - Scat) .* (1 - Ref);% 绘制结果histogram(Pr, 'Normalization', 'probability');xlabel('接收功率（W）');ylabel('概率密度');title('FSO信道蒙特卡洛模拟');```在这个示例中，我们首先设置了一些信号参数和模拟参数。
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第一章：Monte Carlo方法概述一、Monte Carlo历史渊源Monte Carlo方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。
它和Simulation有细微区别。
单独的Simulation只是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte Carlo在计算的中间过程中出现的数是随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。
历史上有记载的Monte Carlo试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffon）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。
（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例子）。
虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为Monte Carlo则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用Monte Carlo方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。
出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之一von Neumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Monte Carlo 方法广为流传。
十一、Monte Carlo方法适用用途（一）数值积分计算一个定积分，如，如果我们能够得到f(x)的原函数F(x)，那么直接由表达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。
但是，很多情况下，由于f(x)太复杂，我们无法计算得到原函数F(x)的显示解，这时我们就只能用数值积分的办法。
如下是一个简单的数值积分的例子。
数值积分简单示例如图，数值积分的基本原理是在自变量x的区间上取多个离散的点，用单个点的值来代替该小段上函数f(x)值。
常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全部加起来，用这个面积来近似函数f(x)（蓝色曲线）与x轴围成的面积。
这样做当然是不精确的，但是随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。
Monte Carlo数值积分方法和上述类似。
差别在于，Monte Carlo方法中，我们不需要将所有方柱的面积相加，而只需要随机地抽取一些函数值，将他们的面积累加后计算平均值就够了。
通过相关数学知识可以证明，随着抽取点增加，近似面积也将逼近真实面积。
在金融产品定价中，我们接触到的大多数求基于某个随机变量的函数的期望值。
考虑一个欧式期权，假定我们已经知道在期权行权日的股票服从某种分布（理论模型中一般是正态分布），那么用期权收益在这种分布上做积分求期望即可。
（五）随机最优化Monte Carlo在随机最优化中的应用包括：模拟退火(Simulated Annealing)、进化策略(Evolution strategy)等等。
一个最简单的例子是，已知某函数，我们要求此函数的最大值，那么我们可以不断地在该函数定义域上随机取点，然后用得到的最大的点作为此函数的最大值。
这个例子实质也是随机数值积分，它等价于求此函数的无穷阶范数（-Norm）在定义域上的积分。
由于在金融产品定价中，这部分内容用的相对较不常见，所以此课程就不介绍随机最优化方法了。
十二、Monte Carlo形式与一般步骤（一）积分形式做Monte Carlo时，求解积分的一般形式是：X为自变量，它应该是随机的，定义域为(x0, x1)，f(x)为被积函数，ψ(x)是x的概率密度。
在计算欧式期权例子中，x为期权到期日股票价格，由于我们计算期权价格的时候该期权还没有到期，所以此时x是不确定的（是一随机变量），我们按照相应的理论，假设x的概率密度为ψ(x)、最高可能股价为x1(可以是正无穷）、最低可能股价为x0（可以是0），另外，期权收益是到期日股票价格x和期权行权价格的函数，我们用f(x)来表示期权收益。
（二）一般步骤我将Monte Carlo分为三加一个步骤：1．依据概率分布ψ(x)不断生成随机数x, 并计算f(x)由于随机数性质，每次生成的x的值都是不确定的，为区分起见，我们可以给生成的x赋予下标。
如x i表示生成的第i个x。
生成了多少个x，就可以计算出多少个f(x)的值2．将这些f(x)的值累加，并求平均值例如我们共生成了N个x，这个步骤用数学式子表达就是3．到达停止条件后退出常用的停止条件有两种，一种是设定最多生成N个x，数量达到后即退出，另一种是检测计算结果与真实结果之间的误差，当这一误差小到某个范围之内时退出。
有趣的类比：积分表达式中的积分符合类比为上式中累加符号，dx类比为1/N（数学知识告诉我们积分实质是极限意义下的累加；f(x)还是它自己，积分中的ψ(x)可类比为依据ψ(x)生成随机数4．误差分析Monte Carlo方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。
严格的误差分析首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。
在本课程中我们假定此方法收敛，同时得到的结果服从正态分布，因此可以直接用样本方差作区间估计。
详细过程在例子中解释。
这个步骤的理论意义很重要，但在实际应用中，它的重要性有所淡化，倘若你的老板不太懂这些知识，你报告计算结果时可以只告诉他点估计即可。
注意，前两大步骤还可以继续细分，例如某些教科书上的五大步骤就是将此处的前两步细分成四步。
十三、最简单的例子举个例子:计算从函数从0到2的定积分值。
数学方法：我们已知的原函数是，那么定积分值就是：=6.38905609893065 。
计算这个数值可以在Matlab中输入代码：exp(2)-exp(0)上面得到的值是此不定积分的真实值。
常规数值积分：在区间内取N个点，计算各个点上的函数值，然后用函数值乘以每个区间宽度，最后相加。
Matlab代码：N=100;x=linspace(0,2,N);sum(exp(x).*2/N)试着调大N的值，你会发现，最后的结果将更接近真实值。
Monte Carlo数值积分法：在内随机取N个点，计算各个点上的函数值，最后求这些函数值的平均值再乘以2（为何要乘以2在后面小节详细讲）。
看Matlab代码：N=100;x=unifrnd(0,2,N,1);mean(2*exp(x))同样的，通过增大N，这种方法得到的结果也将越来越接近真实值。
解释这个例子要求的积分形式是：，还不完全是形式，我们先做变换，，这里是f(x)；1/2是ψ(x)，它表示，在取值范围(0,2)区间内，x服从均匀分布。
前一例子共三条语句，逐句解释如下：N=100;设定停止条件，共做N次Monte Carlo模拟。
x=unifrnd(0,2,N,1);按照(0,2)区间均匀分布概率密度对x随机抽样，共抽取N个x i。
此句相当于第一个步骤中的前半部分。
mean(2*exp(x))2*exp(x)作用是对每个x i计算f(x i)的值,共可得到N个值，这个相当于第一个步骤后半部分；Mean()函数的作用是将所有的f(x i)加起来取平均值，相当于第二个步骤。
这段代码中的停止条件隐含于N值设定中，它一次性生成N个x值，完成此次计算后整个程序就结束了。
十四、Monte Carlo方法的优点对比前面常规数值积分和Monte Carlo数值积分代码，同样数量的N值——也就意味这几乎相同的计算量——常规数值积分结果的精确度要高于Monte Carlo数值积分的结果。
那么，我们为何还需要用Monte Carlo来算数值积分呢？答案的关键在于，常规数值积分的精度直接取决于每个维度上取点数量，维度增加了，但是每个维度上要取的点却不能减少。
在多重积分中，随着被积函数维度增加，需要计算的函数值数量以指数速度递增。
例如在一重积分中，只要沿着x轴取N个点；要达到相同大小的精确度，在s重积分中，仍然需要在每个维度上取N个点，s个纬度的坐标相组合，共需要计算N s个坐标对应的f()函数值。
取点越多，会占用计算机大量内存，也需要更长运算时间，最终导致这种计算方法不可行！Monte Carlo方法却不同，不管是积分有多少重，取N个点计算的结果精确度都差不多。
因此，即使在一重积分的情形下，Monte Carlo方法的效率比不过常规数值积分，但随着积分维度增加，常规数值积分的速度呈指数下降，Monte Carlo方法的效率却基本不变。
经验表明，当积分重数达到4重积分甚至更高时，Monte Carlo方法将远远优于常规数值积分方法。
现在回到金融产品定价，欧式期权理论定价公式只需要一重积分，此时Monte Carlo方法的效果不明显，但是如果我们考虑一个亚式期权：期限为1年期，期权价格基于此1年内每天某个时点时的价格，全年共252个交易日，这样此亚式期权理论定价公式是一个252重积分。
常规的数值积分方法，需要取N252个点，这个数有多大，你自己去计算一下就知道了（注意：N取值要远远大于2），常规数值积分方法不可行，只能用Monte Carlo。
综上，如果计算高维度多重积分，如路径依赖的exotic options（奇异期权）等金融产品定价，我们一般用的方法都是Monte Carlo。
十五、Monte Carlo方法原理(选读)Monte Carlo方法计算的结果收敛的理论依据来自于大数定律，且结果渐进地（Asymptotically）服从正态分布的理论依据是中心极限定理。
以上两个属性都是渐进性质，要进行很多次抽样，此属性才会比较好地显示出来，如果Monte Carlo计算结果的某些高阶距存在，即使抽样数量不太多，这些渐进属性也可以很快地达到。
这些原理在理论上意义重大，但由于我们一般遇上的Monte Carlo问题都是收敛的、结果也都是渐进正态分布，所以工作中使用时可以不加考虑。
详细推导见相关书籍。
第二章：随机数的生成由前文可知，Monte Carlo积分解决的问题形如，f(x)值只需由x值决定，因此此处最重要的就是如何生成服从ψ(x)概率分布的随机数。
可以说，正确生成随机数，Monte Carlo方法就做完了一半。
一、随机变量基本概念（一）随机变量现实世界中有很多可以用数字来衡量的事物，站在当前时间点来看，它们在未来时刻的值是不确定的。
例如，我们掷一骰子，在它停稳前，我们不可能知道掷出多少点（传说中的赌王除外，哈哈）；例如某只股票在明天的股价，没有人能准确知晓第二天股票的价格（不然他就发惨了！）。
但是，我们却可以描述这些事物未来各种值的可能性。
（二）离散型随机变量离散型随机变量最重要的是分布律，即每个取值的概率是多少。
例如掷骰子，我们认为扔出任何一个点的概率都是骰子点数123456概率1/61/61/61/61/61/6连续型随机变量有两个重要的概念。
概率密度函数(PDF)和累积概率分布函数(CDF)，具体定义见数学书籍。