初二数学讲义(轴对称)(答案)分析

初二数学讲义（轴对称）

知识梳理

1、轴对称图形：

一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：

两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：

（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：

（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：

（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直

的直线，叫做线段的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段

两端点的距离相等。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

6、等腰三角形：

（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

底角只能是锐角。

（2）性质：

①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。

②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。

③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和地边上的高相互重合。

（3）判定方法：

①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

7、等边三角形：

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。（2）性质：

①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。

②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。

③等边三角形的三个内角都等于60°。

（3）判定方法：

①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。

②判定1：三个内角都相等的三角形是等边三角形。

③判定2：有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。

（4）重要结论1：在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。

（5）重要结论2：在Rt △中，所对如果一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角是 30。

8、平面直角坐标系中的轴对称： （1）),()

,(b a x b a -横不变，纵反向轴对称关于 （2）),(),(b a y b a -横反向，纵不变

轴对称

关于

说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称

点，再顺次连结各对称点。 9、对称轴的画法：

在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。

注意：①有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。 ②成轴对称的两个图形只有一条对称轴。 10、常见的轴对称图形： （1）英文字母。

A B D E H I K M O T U V W X Y

（2）中文。日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。 （3）数字。0 3 8 （4）图形。

说明：①圆有无数条对称轴。

②正n 边形有n 条对称轴。 11、其他结论

（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

12、作图题专练

1、如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，

且P到∠AOB两边的距离相等．

2、已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．（1）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；

作法：

（2）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大作法：

（3）如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．

（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题

A

C

·

·D

O B

1、如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B求作：点P，使点P在MN上，且∠APM＝∠BPN

2、如图点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小.

3、如图已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q 的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．

4、已知：如图点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小.

5、已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．

1.如图，DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8cm ，AB=10cm ，则△ABD 的周长为____。

2. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，•这个等腰三角 形的底边长是__________.

3. 如图，△ABC 为等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，•则四个结论正确的是（ ）．①点P 在∠A 的平分线上; ②AS=AR;③QP ∥AR; ④△BRP ≌△QSP.

A ．全部正确;

B ．仅①和②正确;

C ．仅②③正确;

D ．仅①和③正确 4．△ABC 为等腰直角三角形，∠C=90°，D 为BC 上一点，且AD=2CD ，

则∠DAB=（ ）．

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．15° 5. 点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ．

6、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为122cm ，则图中阴影部分的面积为 2cm ．

7.点(23)A -，关于一三象限角分线对称的点/

A 的坐标是_________. 8. 如图，在等边△ABC 中，AC=9，点O 在AC 上，且AO=3，点P

是边AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60° 得到线段OD ，要使点D 恰好落在边BC 上，则AP 的长是( ) ． A ．4 B ．5 C ． 6 D ． 8

拓展问题

9. 在ΔABC 中，高AD 、BE 所在直线交于H 点，若BH ＝AC ， 则∠ABC ＝（ ）．

A ．30︒

B ．45︒或135︒

C ．45︒

D ．30︒或150︒

10. 如图，在△ABC 中，AB=23，∠CAB=15︒，M 、N 分别是AC 、AB 上的动点，

则BM+MN 的最小值是__________．

F

E D

C

B

A

P （第8题）

B

O

C

D

A A

B

C

M

N

（第10题）