2014-2015年湖南省益阳六中高二(上)期中数学试卷和参考答案(文科)

2014-2015学年湖南省益阳六中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩（∁U B）=（）A．{4，5}B．{2，3}C．{1}D．{2}2．（5分）已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（）A．合格产品少于9件B．合格产品多于9件C．合格产品正好是9件D．合格产品可能是9件3．（5分）一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同B．真命题的个数一定是奇数C．真命题的个数一定是偶数D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数4．（5分）一个容量为100的样本分成若干组，已知某组的频率为0.3，则该组的频数是（）A．3 B．30 C．10 D．3005．（5分）若S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2则{a n}是（）A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，而且也是等比数列D．既非等比数列又非等差数列6．（5分）函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）满足f（2）=81，则f（）的值为（）A．B．±3 C．D．37．（5分）若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．6 B．2 C．3 D．48．（5分）如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为（）（用分数表示）A．B．C．1﹣D．9．（5分）从装有2个红球和2个白球的袋内任取两个球，那么下列事件中，对立事件的是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰好有一个白球；恰好有2个白球D．至少有1个白球；都是红球10．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）计算sin390°=．12．（5分）（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是．13．（5分）数y=a x﹣2+1﹙a＞0，且a≠1﹚的图象必经过点．14．（5分）函数y=的定义域是．15．（5分）①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．③是的充要条件；④“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件．以上说法中，判断错误的有．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，x∈R}，a为实数．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A是单元素集，求a的值；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．17．（12分）已知函数．（1）求函数的值域；（2）求函数的周期．18．（12分）已知点A（4，6），B（﹣2，4），求：（1）直线AB的方程；（2）以线段AB为直径的圆的方程．19．（12分）已知椭圆的中心在原点，且经过点P（3，0），a=3b，求椭圆的标准方程．20．（13分）某校有学生会干部7名，其中男干部有A1，A2，A3，A4共4人；女干部有B1，B2，B3共3人．从中选出男、女干部各1名，组成一个小组参加某项活动．（Ⅰ）求A1被选中的概率；（Ⅱ）求A2，B2不全被选中的概率．21．（14分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）2014-2015学年湖南省益阳六中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩（∁U B）=（）A．{4，5}B．{2，3}C．{1}D．{2}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，∴∁U B={1，4，5}A∩∁U B={1，2}∩{1，4，5}={1}故选：C．2．（5分）已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（）A．合格产品少于9件B．合格产品多于9件C．合格产品正好是9件D．合格产品可能是9件【解答】解：由已知中某厂的产品合格率为90%，则抽出10件产品检查合格产品约为10×90%=9件根据概率的意义，可得合格产品可能是9件故选：D．3．（5分）一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同B．真命题的个数一定是奇数C．真命题的个数一定是偶数D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数【解答】解：互为逆否命题的命题逻辑值相同，一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否，所以真命题的个数可能为0，2，4，一定是偶数，故选：C．4．（5分）一个容量为100的样本分成若干组，已知某组的频率为0.3，则该组的频数是（）A．3 B．30 C．10 D．300【解答】解：根据题意，该组的频数为100×0.3=30．故选：B．5．（5分）若S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2则{a n}是（）A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，而且也是等比数列D．既非等比数列又非等差数列【解答】解：当n=1时，S1=12=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，又n=1时，a1=2﹣1=1，满足通项公式，∴此数列为等差数列．故选：B．6．（5分）函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）满足f（2）=81，则f（）的值为（）A．B．±3 C．D．3【解答】解：∵函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）满足f（2）=81，∴a2=81，解得a=9，∴f（x）=9x，∴f（）==3．故选：D．7．（5分）若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．6 B．2 C．3 D．4【解答】解：由于实数a，b满足a+b=2，则3a+3b =≥2 =2=6，当且仅当a=b=1时，等号成立，故选：A．8．（5分）如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为（）（用分数表示）A．B．C．1﹣D．=a2，【解答】解：令正方形的边长为a，则S正方形则扇形所在圆的半径也为a，则S=扇形则黄豆落在阴影区域内的概率P=1﹣=1﹣故选：A．9．（5分）从装有2个红球和2个白球的袋内任取两个球，那么下列事件中，对立事件的是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰好有一个白球；恰好有2个白球D．至少有1个白球；都是红球【解答】解：从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，则“至少有一个白球”和“都是红球”是对立事件，故选：D．10．（5分）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：由已知得：a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；b==15；c=17，∴c＞b＞a．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）计算sin390°=．【解答】解：sin390°=sin（360°+30°）=sin30°=，故答案为．12．（5分）（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．【解答】解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．故答案为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．13．（5分）数y=a x﹣2+1﹙a＞0，且a≠1﹚的图象必经过点（2，2）．【解答】解：由x﹣2=0得x=2，此时y=a x﹣2+1=a0+1=1+1=2，即函数过定点（2，2），故答案为：（2，2）．14．（5分）函数y=的定义域是（﹣∞，2] ．【解答】解：∵4﹣2x≥0，∴2x≤22考察指数函数y=2x，它在R是增函数，∴x＜2，函数的定义域是（﹣∞，2]故答案为（﹣∞，2]．15．（5分）①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．③是的充要条件；④“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件．以上说法中，判断错误的有③④．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：①、一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，①正确；②、若∠B=60°，则∠A+∠C=120°，有∠A+∠C=2∠B，则∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，反之若∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，有∠A+∠C=2∠B，又由∠A+∠B+∠C=180°，则∠B=60°，故在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件，②正确；③、当x=，y=，则满足，而不满足，则是的不必要条件，③错误；④、若a＜b，当m=0时，有am2=bm2，则“am2＜bm2”是“a＜b”的不必要条件，④错误；故答案为③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，x∈R}，a为实数．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A是单元素集，求a的值；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．【解答】解（1）若A=Φ，则只需ax2+2x+1=0无实数解，显然a≠0，所以只需△=4﹣4a＜0，即a＞1即可．（2）当a=0时，原方程化为2x+1=0解得x=﹣；当a≠0时，只需△=4﹣4a=0，即a=1，故所求a的值为0或1；（3）综合（1）（2）可知，A中至多有一个元素时，a的值为0或a≥1．17．（12分）已知函数．（1）求函数的值域；（2）求函数的周期．【解答】解：（1）∵sin（2x﹣）∈[﹣1，1]，∴）∈[﹣2，2]，即函数的值域为[﹣2，2]；（2）由三角函数的周期公式可得函数的周期T=．18．（12分）已知点A（4，6），B（﹣2，4），求：（1）直线AB的方程；（2）以线段AB为直径的圆的方程．【解答】解：（1）设直线上的点的坐标为（x，y），根据直线的两点式方程可得：化简得x﹣3y+14=0；（2）根据两点间的距离公式得：，因为AB为直径，所以圆的半径；AB的中点为圆心，所以根据中点坐标公式求得：圆心坐标为所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣5）2=．19．（12分）已知椭圆的中心在原点，且经过点P（3，0），a=3b，求椭圆的标准方程．【解答】解：（1）当焦点在x轴上时，设其方程为（a＞b＞0）．由椭圆过点P（3，0），知，又a=3b，解得b2=1，a2=9，故椭圆的方程为．（2）当焦点在y轴上时，设其方程为（a＞b＞0）．由椭圆过点P（3，0），知又a=3b，联立解得a2=81，b2=9，故椭圆的方程为．故椭圆的标准方程为：或．20．（13分）某校有学生会干部7名，其中男干部有A1，A2，A3，A4共4人；女干部有B1，B2，B3共3人．从中选出男、女干部各1名，组成一个小组参加某项活动．（Ⅰ）求A1被选中的概率；（Ⅱ）求A2，B2不全被选中的概率．【解答】解：（Ⅰ）从7名学生会干部中选出男干部、女干部各1名，其一切可能的结果共有12种：（A 1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3）．…（4分）用M表示“A1被选中”这一事件，则M中的结果有3种：（A1，B1），（A1，B2，（A1，B3）．由于所有12种结果是等可能的，其中事件M中的结果有3种．因此，由古典概型的概率计算公式可得：P（M）=…（6分）（Ⅱ）用N表示“A2，B2不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A2，B2全被选中”这一事件．由于中只有（A2，B2）一种结果．∴P（）=由对立事件的概率公式得：P（N）=1一P（）=1一=．…（12分）21．（14分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．（2）当0＜x≤100时，P=60当100＜x＜550时，当x≥550时，P=51所以（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．。