双曲线的焦点
双曲线焦点弦的八大结论
双曲线焦点弦的八大结论
1、双曲线的焦点弦是一条对称的曲线；
2、双曲线的焦点弦的长度等于2a；
3、双曲线的焦点弦的中点到双曲线的中心的距离等于a；
4、双曲线的焦点弦的中点到双曲线的两个焦点的距离等于2a；
5、双曲线的焦点弦的任意一点到双曲线的中心的距离等于a；
6、双曲线的焦点弦的任意一点到双曲线的两个焦点的距离等于2a；
7、双曲线的焦点弦的任意一点到双曲线的两条渐近线的距离等于a；
8、双曲线的焦点弦的任意一点到双曲线的两条渐近线的夹角都等于45°。
双曲线焦点坐标定义-概述说明以及解释
双曲线焦点坐标定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是一种在数学中常见的曲线形式。
它的定义和性质在数学研究中具有重要的地位。
本文将重点探讨双曲线的焦点坐标的定义。
首先，我们需要了解双曲线的基本定义和性质。
双曲线是平面上的一个曲线，它的形状类似于两个分离的不同曲线在无穷远处相交的形态。
双曲线有许多独特的性质，例如它的轴线、渐近线、焦点等等。
这些性质使得双曲线在数学和其他领域中具有广泛的应用。
而双曲线焦点坐标是一个关键的概念。
焦点是指双曲线上特殊的两个点，它们对于双曲线的形状和性质起着至关重要的作用。
双曲线焦点坐标可以帮助我们描述双曲线的形状和位置，并且在解决一些数学问题时起到指导作用。
本文的目的就是详细介绍双曲线焦点坐标的定义。
我们将解释什么是双曲线的焦点，如何确定它们的坐标以及它们对于双曲线的影响。
另外，我们还将探讨双曲线焦点坐标在实际应用中的重要性和作用。
通过本文的阐述，读者将能够深入理解双曲线焦点坐标的概念和定义，掌握使用它们解决问题的方法，以及理解双曲线的几何特性和属性。
这对于进一步研究数学和应用数学领域中更复杂的问题将会有很大的帮助。
综上所述，本文将从双曲线的基本定义和性质入手，详细介绍双曲线焦点坐标的概念和定义。
希望通过对双曲线焦点坐标的深入探讨，能够为读者提供有关双曲线的全面理解，并引发对于更广泛数学问题的思考和探讨。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行叙述：第一部分是引言。
在引言中，我们会对双曲线焦点坐标的定义进行简要介绍，并说明本文的目的和重要性。
第二部分是正文。
正文分为两个小节。
2.1 将首先介绍双曲线的定义和性质。
我们将探讨双曲线的几何特征，包括其形状、焦点、直线渐近线等基本性质。
通过了解双曲线的定义和性质，我们可以为后续的双曲线焦点坐标的讨论提供必要的背景知识。
2.2 接下来，我们将详细讨论双曲线焦点坐标的概念。
双曲线焦点坐标是双曲线上的特殊点，它在双曲线的几何性质中起到重要的作用。
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结双曲线是高中数学中的一个重要概念，属于二次曲线的一种。
其特点是曲线两支无限延伸且不相交，且中心对称。
双曲线有很多重要的性质和应用，在此对双曲线的知识点进行归纳总结。
1. 双曲线的方程形式双曲线的标准方程由两部分构成，具体形式为：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1 或者 (y-k)^2/b^2 - (x-h)^2/a^2 = 1其中(h, k)为中心点坐标，a和b为两支曲线的半轴长度。
2. 双曲线的焦点和直径双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值恒为常数，记作2c。
而双曲线的直径是指通过中心点且垂直于双曲线的线段，其长度为2a。
3. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与两支曲线无限接近而永不相交。
渐近线的方程为：y = k1(x-h) + k2 或者 y = k1(x-h) - k2其中k1为双曲线的纵轴斜率，k2为两支曲线与渐近线的交点与中心距离之差。
4. 双曲线的对称轴双曲线的对称轴是通过两支曲线的对称轴的中点且垂直于对称轴的一条直线。
对称轴的方程为：x = h5. 双曲线的准线和离心率离心率是双曲线的一个重要性质，定义为焦点到中心点的距离与准线的长度之比，记作e。
准线是通过中心点且与两支曲线相切的一条直线。
准线的方程为：y = k 或者 y = -k其中k为焦点到中心点的距离。
6. 双曲线的图象特点双曲线的图象是两个关于中心点对称的分支，并且曲线无限延伸。
双曲线的左右两支是无边界的，而上下两支则被渐近线所截断。
双曲线在原点处有一个拐点，两支曲线在拐点处相切。
7. 双曲线的变形双曲线可以通过坐标变换进行平移、伸缩和旋转等变形。
平移是通过改变中心点的坐标实现的，伸缩是通过改变半轴长度实现的，旋转是通过改变坐标轴的方向实现的。
8. 双曲线的应用双曲线在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如在物理学中，双曲线可以用于描述光的折射和反射现象；在工程领域，双曲线可以用于设计梁和拱桥等结构。
圆锥曲线解题技巧如何确定双曲线的焦点和准线
圆锥曲线解题技巧如何确定双曲线的焦点和准线圆锥曲线解题技巧：如何确定双曲线的焦点和准线双曲线是圆锥曲线家族中的一种，它具有许多独特的特点和性质。
在解题过程中，确定双曲线的焦点和准线是非常重要的一步。
本文将介绍一些有效的解题技巧，帮助您准确确定双曲线的焦点和准线。
一、了解双曲线的定义和基本方程在开始解题之前，我们首先需要了解双曲线的定义和基本方程。
双曲线可以用以下方程表示：x²/a² - y²/b² = 1 （若为横轴为主轴）y²/a² - x²/b² = 1 （若为纵轴为主轴）其中，a和b是两个参数，代表双曲线的形状和大小。
根据这个方程，我们可以推导出焦点和准线的具体位置。
二、确定双曲线的主轴和方向双曲线的主轴是与双曲线对称的轴线。
要确定主轴的位置和方向，我们需要观察双曲线方程中的平方项的系数。
如果x²的系数较大，那么双曲线的主轴将与x轴平行；反之，如果y²的系数较大，主轴将与y 轴平行。
三、确定双曲线的中心双曲线的中心是双曲线主轴上的一个点，它的坐标可以通过将方程中的平移项归零来确定。
对于横轴为主轴的双曲线，中心的坐标为（h，k），其中h为平移项在x方向上的值，k为平移项在y方向上的值。
同理，对于纵轴为主轴的双曲线，中心的坐标为（k，h）。
四、确定双曲线的焦点焦点是双曲线上具有特殊性质的点，它的位置可以通过中心和双曲线的参数来确定。
对于横轴为主轴的双曲线，焦点的坐标为（h±c，k），其中c为焦距，c²=a²+b²。
同理，对于纵轴为主轴的双曲线，焦点的坐标为（k，h±c）。
五、确定双曲线的准线准线是双曲线上的一组直线，它与双曲线的渐近线相切。
对于横轴为主轴的双曲线，准线的方程为x=±a/e，其中e为离心率，e²=1+b²/a²。
双曲线的焦点坐标公式
双曲线的焦点坐标公式双曲线是一种二次曲线，具有特定的形状和性质。
在直角坐标系中，双曲线的方程可以表示为：x²/a²-y²/b²=1（水平双曲线）或者y²/a²-x²/b²=1（垂直双曲线）其中a和b是正常数，表示双曲线在x轴和y轴上的交点的距离。
在数学中，焦点是双曲线的一个重要属性。
双曲线有两个焦点，分别位于曲线的两条渐近线的中心。
双曲线的焦点坐标可以使用以下公式来计算：对于水平双曲线，焦点的坐标为（±c,0），其中c的计算公式为：c=√(a²+b²)对于垂直双曲线，焦点的坐标为（0,±c），其中c的计算公式也为：c=√(a²+b²)现在让我们更详细地解释这个公式。
双曲线的渐近线是根据双曲线的方程计算出来的，它们的方程为y=±(b/a)*x。
这意味着在渐近线上，y的绝对值除以x的绝对值的极限值将等于b/a。
换句话说，当x趋于正无穷或负无穷时，曲线将无限接近于渐近线。
一个重要的性质是，曲线和渐近线之间的距离被称为焦距，它等于c。
焦距是从焦点到曲线或渐近线的最短距离。
那么，如何计算焦点的坐标？首先，我们假设有一个水平双曲线，其方程为x²/a²-y²/b²=1、我们可以观察到，当x=c时，y=0。
这意味着曲线上的任何一个点（c,0）在x坐标轴上。
这个点到焦点的距离等于焦距c。
同样地，当x=-c时，y=0，曲线上的另一个点也在x坐标轴上，且到焦点的距离也等于焦距c。
所以，水平双曲线的焦点分别为（±c,0）。
对于垂直双曲线，我们可以得到类似的结论。
根据方程y²/a²-x²/b²=1，我们可以观察到，当y=c时，x=0。
这意味着曲线上的任何一个点（0,c）位于y坐标轴上，且到焦点的距离等于焦距c。
双曲线的焦点
2
2
F(±5,0)
F(0,±5)
双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系? 椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
方程
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a.b.c的关系
a>b>0，a2=b2+c2
例 1:
x2 y2 如果方程 2 m m 1 1表示双曲线，
求m的取值范围.
变式:
x2 y2 1 表示焦点在x轴的双曲线时， 方程 2m m1
双曲线定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差 的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
F
1
o
F
2
| |MF1| - |MF2| | = 2a
x y 2 1 2 a b
2
2
y
M
y
M F2
F ( ±c, 0)
2.3.1双曲线及其标准方 程(一)
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a ②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
双曲线的渐近线与焦点
双曲线的渐近线与焦点双曲线是高等数学中的一个重要概念，它与渐近线和焦点有着密切的关系。
本文将围绕双曲线的渐近线和焦点展开讨论，详细介绍它们的定义、性质以及它们在数学和实际生活中的应用。
同时，我们将探讨如何通过双曲线的渐近线和焦点来解决相关的问题。
一、双曲线的定义与性质双曲线是由一个动点P与两个焦点F1和F2之间的距离之差恒为常数的点的轨迹。
对于双曲线而言，与其相对应的还有一个重要的参数，即离心率e。
离心率决定了双曲线的形状，当离心率大于1时，双曲线呈现拉长的形态，当离心率等于1时，双曲线退化为一对直线。
双曲线除了具有曲线本身的性质外，还有两个重要的特征：渐近线和焦点。
二、双曲线的渐近线双曲线的渐近线是指在双曲线的两侧，与双曲线趋于无限远时的直线。
具体来说，有两种情况需要考虑：当离心率e大于1时，双曲线的两个渐近线呈现斜线形态，而当离心率等于1时，双曲线的渐近线则是两条垂直交于曲线的渐近线。
另外，渐近线还有一个重要的性质，即双曲线的切线与渐近线的夹角在趋于无穷大时趋于零。
三、双曲线的焦点双曲线的焦点是指在双曲线上具有特殊意义的两个点，它们与双曲线上的其他点具有不同的性质。
对于离心率大于1的双曲线而言，焦点是由公式c = √(a^2 + b^2)计算得出的点，它们与双曲线的中心相距为c个单位。
而对于离心率等于1的双曲线，焦点是曲线的两个端点。
双曲线的焦点在数学学科中有着广泛的应用，尤其是在几何、物理、工程和光学等领域。
例如，在天文学中，双曲线的焦点可以用来描述天体的运动轨迹；在建筑工程中，双曲线的焦点可以用来设计拱顶等结构。
四、双曲线焦点与渐近线的应用举例1. 天文学应用：通过双曲线的焦点和渐近线，我们可以研究近地小行星或彗星的运动轨迹，进而了解它们与地球的相对关系，并预测可能的撞击风险。
2. 工程应用：在建筑设计中，通过双曲线的渐近线和焦点，可以用来构造特殊形状的拱顶或者设计照明设备，优化室内或室外的照明效果。
双曲线的焦点
双曲线的焦点在《双曲线的焦点》一书中，作者对曲线运动的定义为：从曲线运动的定义出发，讨论了在某一时刻所发生的两个事件，这两个事件可以用直线和双曲线来表示。
明：双曲线运动的焦点是两条直线之间、以及一条与另一条重合。
由于这些性质都是描述运动现象所必须具有的性质，因此可以说，这是一个基本理论问题。
在讨论双曲线运动时，为了说明双曲线的焦点和双曲线本身存在着的关系。
因此我们需要进一步分析双曲线运动和焦点之间存在怎样的联系？双曲线运动：从直线和双曲面来看，是一个整体（而不是一个局部）。
在两条射线相交时所形成的图形即为“焦点”。
在平面上，双曲线由垂直于坐标轴移动的两个部分组成。
一、双曲线的焦点只存在于坐标轴上。
当双曲线运动时，在坐标轴上的两个定点之间会产生一个移动。
[在这种情况下，焦点和双曲线中各个点的关系是：[当双曲线运动时，我们可以将它看成两条射线之间的距离，而不把它看成直线。
]当直线垂直于坐标轴移动到点时，我们可以得到：[双曲面在双曲线中是以焦点来描述的。
][当焦点存在时，焦点和双曲面的关系也同样如此：]。
1、双曲线的焦点，也叫"点"。
点的坐标是：[点]坐标=[(x, y)]/2,（x≠0, y≠0）/2,其中： T是双曲线在原点的位置。
[a]是双曲线的焦点；[b]是坐标轴上的两个定点；[c]是双曲线方程组中的常数 a、 b。
2、在焦点处的两个点，都叫做双曲线外端，双曲线内端叫双曲线中端。
（3）当双曲线的中点不在焦点上时，我们可以认为这条双曲线的焦点也不在中点上。
当双曲率相等时，双曲线和直角坐标轴之间的夹角是0°。
因此，双曲线和直角坐标图中的直线、圆、椭圆都是同轴三角形（或同向三角形）。
如果双曲率不相等时，也就是双曲率曲率为0°时，在同一平面内将出现两个交点坐标：直线、圆和椭圆。
在双曲率相同时，双曲面和两个交点的坐标应该相同：如果双曲线和直角坐标图中的直线、圆和椭圆都不相交，那么我们只能将焦点看成两条线段之间的距离；如果双曲率不相等，那么我们可以将双曲率不等的两个交点看作双曲率不等的两段之间的距离（此时也不把双曲度不一样或交点坐标不同视为同一交点）；如果双曲率相等，则只能将在同一交点不同视为相同交点。
双曲线 焦半径 焦点弦
双曲线、焦半径和焦点弦1. 双曲线的定义和性质双曲线是解析几何中的一种重要曲线，它是由平面上满足特定数学关系的点集所组成。
双曲线的定义如下：在平面上取定两个不重合的点F1和F2，并给定一个常数a，称为焦距。
点P到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数a，即|PF1 - PF2| = a，那么P的轨迹就是一条双曲线。
双曲线的形状和性质与焦距a的大小有关。
当a的值增大时，双曲线的形状变得更加扁平，离焦点越远。
当a的值减小时，双曲线的形状变得更加尖锐，离焦点越近。
在双曲线上，有两个特殊的点，称为焦点F1和F2，它们是双曲线的两个极点。
2. 焦半径的定义和计算方法焦半径是指从焦点到双曲线上任意一点的线段的长度。
我们可以通过以下步骤来计算焦半径：步骤1：给定双曲线的焦点F1和F2的坐标，以及焦距a的值。
步骤2：选择双曲线上的任意一点P，求出点P到焦点F1和F2的距离PF1和PF2。
步骤3：计算焦半径r，即焦点到点P的距离的一半，即r = (PF1 + PF2) / 2。
焦半径的计算方法可以用于确定双曲线上任意一点的位置和性质。
3. 焦点弦的定义和性质焦点弦是指双曲线上通过焦点的直线。
具体来说，给定双曲线的焦点F1和F2，以及焦距a的值，我们可以通过以下步骤来确定焦点弦的性质：步骤1：选择双曲线上的两个点A和B，分别与焦点F1和F2相连，得到直线AB。
步骤2：求出直线AB与双曲线的交点C和D。
步骤3：根据焦点弦的定义，焦点F1和F2分别位于焦点弦CD的两个焦点。
焦点弦具有以下性质：•焦点弦的中点是双曲线的中心点，也是双曲线的对称中心。
•焦点弦的长度等于双曲线的焦距。
4. 双曲线、焦半径和焦点弦的应用双曲线、焦半径和焦点弦在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：4.1. 光学在光学中，双曲线被用于描述抛物面镜和双曲面镜的形状。
焦半径可以用于计算镜面的曲率半径，从而确定光线的聚焦和散焦效果。
焦点弦可以用于确定光线的传播路径和聚焦点的位置。
双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明复习课程
点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点（四）双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径MF 2为直径的圆的半径为r 1，圆心为O 1；以MF 1为直径的圆的半径为r 2，圆心为O 2，由双曲线定义知12||||||MF MF AB =+∴112111||||(||||)22OO F M M F AB r a ==+=+，∴圆O 1与圆O 外切又12||||||MF AB MF -=∴221211||||(||||)22OO F M M F AB r a ==-=-，∴圆O 2与圆O 内切（五）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b +=.证明：设交点0012(,),(,),(,)S x y P m n P m n -∵111P A A SK K =，222P A P S K K =，∴0220000222200000y n m a x ay y y n n n y m a m a x a x a a m x a n m a x a ⎧=⎪++-⎪⇒⋅=⋅⇒=⎨+-+----⎪=⎪--⎩又222222222222211m n n m n b a b b a a m a-=⇒=-⇒=--，∴22220002222201y x y b x a a a b =-⇒+=-即22221x y a b+=（六）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.证明：求导可得：202220220'x b x y y y a b y a '⋅-=⇒=，切线方程2000002220()1x b x x y yy y x x y a a b-=-⇒-=（七）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外，则过P 0作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.证明：设111222(,),(,)P x y P x y ，则过12P P 切线分别为11122:1x x y yl a b -=，22222:1x x y yl a b-=∵0P 在12l l 、上∴1010221x x y y a b +=，2020221x x y y a b+=∴过12P P 方程00221x x y y a b-=（八）AB 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.证明：设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则()22A B A Bx x y y M ++⋅，2222A B A B A B OM ABA B A B A By y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+--又22222222222222A b A AB B A Bx x x y x y y y a b a b a b ---=-⇒=，∴22OM ABb K K a=（九）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.证明：设弦与双曲线交于111222(,),(,)P x y P x y ，中点(,)S m n 122222220112212222222012()()P P POS n y x y x y x x b mb K K m x a b a b y y a na -+-=-⇒====-+22222200m b mb x n a na y ⇒-=-22002222x m y ym n a b a b⇒+=-，即22002222x x y yx y a b a b-=-。
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• 此法为定义法求曲线方程，好处是省去繁 琐的运算。注意使用的步骤（需交代曲线 类型） 。
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则 PA PB 340 2 680 即 2a=680，a=340 Q AB 800
Ao Bx
2c 800,c 400, b2 c2 a2 44400
Q 800 PA PB 680 0 , x 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
图形
M
F1
F2
F2 M
F1
方程
焦点
a.b.c的关 系
x2 a2
y2 b2
1a 0, b 0
F1(-c,0), F2(c,0) c2=a2+b2
y a
2焦椭2 点 圆bx位看22 置分1确母a 定大 0：小,b
0
F双1(0曲,-c线), 看F2x(20、,cy) 2
的系数正负
0
x2
y2
1( 0)
115600 44400
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处 测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方 程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
* * * * * * 小结 * * * * * *
•
本节课学习了双曲线的定义、图象
和标准方程，要注意使用类比的方法，仿
• 想一想
焦点在y轴上的双曲线的图象是什么？ 标准方程怎样求？
焦点在y轴上的双曲线的标准方程
y2 a2
x2 b2
1a
0,b 0
c2 a2 b2
观察图形 找出图形中a,b,c所表示的几何意义
F2
F1 y
a F1 O c F2 x
定义
||MF1|—|MF2||=2a（2a＜|F1F2|）
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
• 作业布置：《导与练》相应练习
思考:如果方程 x2 y2 1 表示双 2m m1
曲线，求m的取值范围.
感谢您的聆听！ THANKS FOR YOUR KIND
ATTENTION ！
LOVELL
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B
（0<a<c)
x2 y2 a2 b2 1
y2 a2
x2 b2
1
x2 a2 -
y2 b2 = 1
y2 x2 a2 - b2 = 1
F（±c，0） F（0，±c）
焦点
a>b>0，a2=b2+c2
a、b、c 的关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一
定大于b，c2=a2+b2
照椭圆的定义、图象和标准方程的探究思
路来处理双曲线的类似问题。
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a< |F1F2| ；
地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
焦点位置的 看x2,y2项系数的正负,哪项系数为正,焦点就在哪一条轴上 判定
注:任何一条双曲线,只需选择适当的坐标系,其方程均可写成标准形式,当且仅
当双曲线的焦点在坐标轴上,且两焦点的中点是原点时,其方程才具有标准形式
例 1 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
思考：
（2）2a >0 ；
F1 o F2
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线
（2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹
（3）若2a=0,则轨迹是？
(3)线段F1F2的垂直平分线
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
定义
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a (a>c)
双曲线 ||MF1|－|MF2||=2a