双曲线焦点弦中的两个结论
中学数学研究
年第!
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期
中学
数学研究
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抛物线焦点弦的二级结论
抛物线焦点弦的二级结论
抛物线中焦点弦的二级结论如下：
1、当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
2、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。
3、当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。
抛物线的性质：
1、准线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹，这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
2、轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。焦准距：焦点到准线的距离称为焦准距，长度为p。 3、焦半径：连接抛物线上任意一点与抛物线焦点得到的线段，对于抛物线y2=2px，P(x0，y0)，则｜PF|=x0+p/2。
4、弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段，以上就是抛物线离心率e为什么等于1的原因，椭圆的离心率小于1，双曲线的大于1，抛物线等于1，三者合起来就是圆锥曲线。
椭圆双曲线的经典结论
椭圆双曲线的经典结论
一、椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.
6. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.
7. 椭圆22221xyab (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.
8. 椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式：
10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc , 2(,0)Fc00(,)Mxy).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka，
即0202yaxbKAB。
12. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.
13. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
22002222xxyyxyabab.
双曲线二级结论大全
双曲线
1. 2.
标准方程
3.
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4．点P处的切线PT平分△PF
1F
2在点P处的内角.
5．PT平分△PF
1F
2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直
径的圆，除去实轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 7．以焦点半径PF
1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8．设P为双曲线上一点，则△PF
1F
2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.
9．双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线22
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ab
1(,0)Aa
2(,0)Aa
交双曲线于P
1、P
2时A
1P
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2交点的轨迹方程是. 22
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10．若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是
000(,)Pxy22
221xy
ab
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ab
11．若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切
000(,)Pxy22
221xy
ab
点为P
1、P
2，则切点弦P
1P
2的直线方程是. 00
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12．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的22
221xy
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13．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是
000(,)Pxy22
221xy
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14．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
000(,)Pxy22
221xy
ab
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15．若PQ是双曲线（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则22
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16．若双曲线（b＞a ＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为22
221xy
双曲线知识点
成都书之香家教
双曲线
项目 内容
第一定义 平面内与两个定点12,FF的距离之差的绝对值等于常数（小于12||FF）的点的轨迹
叫双曲线。
第二定义 平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(1)ee的点的轨迹叫双曲线。
图形
标准方程 22221(,)xyaboab 22221(,)yxaboab
统一形式 0122BAByAx或0122BAByAx
几
何
性
质 范围 ||,xayR ,||xRya
顶点与实虚轴的长 12(,0),(,0),22,AaAaabab实轴长虚轴长叫等轴双曲线 12(0,),(0,),22,AaAaabab实轴长虚轴长叫等轴双曲线
焦点焦距 1222212(,0),(,0)||2()FcFcFFccab其中 1222212(0,),(0,)||2()FcFcFFccab其中
准线方程 2axc 2ayc
焦半径 当00(,)Pxy在右支上时
左1020,PFexaPFexa右
当00(,)Pxy在左支上时
左1020(),()PFexaPFexa右 当00(,)Pxy在上支上时
下1020,PFeyaPFeya上
当00(,)Pxy在下支上时
下1020(),()PFeyaPFeya上
渐近线方程 2222(0)bxyyxaab或 2222(0)ayxyxbab或
焦准距 22abpccc
离心率 2(1),1cbeeeaa（e越小，双曲线开口越小）,等轴双曲线的2e
准线间距 22adc
对称性 双曲线都是关于,xy轴成轴对称，关于原点成中心对称 成都书之香家教
通径 22bqa
焦点三角形 双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算
焦点弦三角形 双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。
双曲线二级结论大全 2
双曲线
1。122PFPFa 2。标准方程22221xyab 3。111PFed
4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角。
5．PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点。
6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切。
8．设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点。
9．双曲线22221xyab（a＞0，b＞0）的两个顶点为1(,0)Aa，2(,0)Aa，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.
10．若000(,)Pxy在双曲线22221xyab(a＞0，b＞0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab。
11．若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0)外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.
12．AB是双曲线22221xyab(a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则22OMABbkka。
13．若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0，b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.
14．若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.
15．若PQ是双曲线22221xyab（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)rOPrOQrrab.
16．若双曲线22221xyab（b＞a ＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为1AxBy(0)AB,则(1） 222211ABab;(2) 424222222||aAbBLaAbB. 17．给定双曲线1C:222222bxayab（a＞b＞0), 2C：222222222()abbxayabab,则（i)对1C上任意给定的点00(,)Pxy,它的任一直角弦必须经过2C上一定点M2222002222(,)ababxyabab.
焦点弦是什么
1 焦点弦是什么
焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦。焦点弦简述为数学中的弦是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦点弦长就是这两个焦半径长之和。⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记q=a^2/c-c，是焦准距，e是离心率。令|FE|=m,|ED|=n，则m+n=|FD|=。易知当且仅当时取|CD|最小值2a。定理1（配极理论的原则）.若点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P.
定义
连接圆锥曲线上任意两点得到的线段叫做圆锥曲线的弦。若这条弦经过焦点，则称为焦点弦。
焦点弦是指椭圆或者双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦.
焦点弦简述
数学中的弦是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。
焦点弦特点
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到
2 对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二定义)，因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。这是一个很好的性质。焦点弦长就是这两个焦半径长之和。此外，由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。(注意斜率不存在的情况！即垂直于x轴!)
高中数学双曲线二级结论大全-双曲线常用二级结论
高中数学双曲线二级结论大全-双曲线常用二级结论
第 1 页 共 30 页 双曲线二级结论大全
1.122PFPFa 2.标准方程22221xyab 3.111PFed
4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8．设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.
9．双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.
10．若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab.
11．若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.
12．AB是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则22OMABbkka.
13．若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.
14．若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.
15．若PQ是双曲线22221xyab（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)rOPrOQrrab.
椭圆 双曲线抛物线必背的经典结论
创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日 新梦想教育辅导讲义之蔡仲巾千创作
创作时间：二零二一年六月三十日
学员编号（卡号）：年 级： 第课时
学员姓名： 辅导科目：教师：
课 题
授课时间：月日 备课时间：月日
教学目标
重点、难点
考点及考试要求
教学内容
椭圆双曲线抛物线必背的经典结论
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角, 则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上, 则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.
6. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 , 则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2, 则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.
7. 椭圆22221xyab (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1, F 2, 点P为椭圆上任意一点12FPF, 则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.
8. 椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式：
10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc , 2(,0)Fc00(,)Mxy).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点, A为椭圆长轴上一个极点, 连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点, 则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的极点, A1P和A2Q交于点M, A2P和A1Q交于点N, 则MF⊥NF. 创作时间：二零二一年六月三十日
创作时间：二零二一年六月三十日 11. AB是椭圆22221xyab的不服行于对称轴的弦, M),(00yx为AB的中点, 则22OMABbkka,
椭圆双曲线的经典结论 2
椭圆双曲线的经典结论 1 / 12
椭圆双曲线的经典结论
一、椭 圆
1. 点 P 处的切线 PT均分△ PF1F2 在点 P 处的外角 .
2. PT 均分△ PF1F2 在点 P处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .
3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相离 .
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 .
5. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 x2 y2
1上，则过 x0 x y0 y
1.
2 2 P0 的椭圆的切线方程是
b2
a b a2
6. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 x2 y2
1外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点 a2 b2
弦 P P 的直线方程是 x0 x y0 y 1.
1 2
a2
b2
7. 椭圆 x2 y2 1 (a ＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为 F1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上随意一点
a2 b2
F1 PF2 ，则椭圆的焦点角形的面积为 SFPF
2 b2 tan .
1 2
8. 椭圆 x2 y2 1（ a＞ b＞ 0）的焦半径公式：
a2 b2
|MF1| a ex0 , |MF2 | a ex0 ( F1
( c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆订交 P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个极点，连接 AP 和
AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、 N两点，则 MF⊥ NF.
10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 、 A 为椭圆长轴上的极点， AP和 AQ