公式法确定双曲线焦点弦条数和位置
【高中数学】秒杀秘诀MS06双曲线的弦长和中点弦问题
双曲线的弦长公式与中点弦问题1.两条渐近线为02=+y x 和02=-y x 且被直线03=--y x 截得弦长为338的双曲线方程是.2.斜率为2的直线被双曲线22132x y -=截得的弦长为4，求直线的方程．3.已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．秒杀秘籍：双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。
设：()()1122,,,A x y B x y 则()22121214AB kx x x x =++-将y kx m =+代入22221x ya b-=得：()22222222220b k a x a km x a m a b ----=()221222222212222a km x xb k a a m b x x b k a ⎧⎪+=⎪⎪-⎨⎪--⎪⋅=⎪-⎩∴()222222212122222141ab b k a m AB kx x x x kb k a -+∴=++-=+-例1：已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将1y x =+代入2214yx -=得：23250x x --=21235123x x x x +=⋅=-⎧∴⎨⎩22218213AB k x x ∴=+-=双曲线与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=-+用来判断是否有两个交点问题。
面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。
设C 到l 的距离为d ，则22220000222211221ABCkx y m kx y m ab b k a m S AB d AB b k a k ∆-+-+⋅-+===-+例2：动点P 到A(-1,0)及B(1,0)连线的斜率之积为m (m >0)且P 的轨迹E 的离心率为2m ｡⑴求E 的方程;⑵设直线L:23=+y x 交曲线E 于M 、N,求ΔAMN 的面积｡解：(1)设点()()2200,011y y P x y m mx y m m x x --⋅=⇒-=>+-；故动点轨迹为双曲线，且离心率为2m ，即2222211211y c m x m m m a +-===⇒=；E 的方程为()2211x y x -=≠±(2)12AMN S MN d ∆=，设()()1122,,,M x y N x y 则()22121214MN k x x x x =++-；将32y x =-+代入221x y -=得：()2314350x x -++-=12122352x x x x ⎧+=⎪∴⎨⋅=⎪⎩；23232131A A x y d k+---==++；32134164222AMNS MN d ∆--⋅-++===。
焦点弦的常用公式
当前位置：首页>>高中数学>>学生中心>>解题指导圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用湖北省阳新县高级中学邹生书如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题——教案
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即ab k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若0222≠-k a b 即ab k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点；0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=则5y kx =+-217x =， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当k =21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。
双曲线中常见辅助线的作法
在双曲线中，常见的辅助线作法包括以下几种：焦点弦长公式法：过焦点的直线与双曲线交于两点，由焦半径公式可分别得到两条焦半径的长，进而求得焦点弦长。
平行线法：平行于双曲线渐近线的直线与双曲线交于两点，这两点间的线段中点坐标满足中点公式，且该线段所在直线的斜率为定值。
共轭双曲线法：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，它们的四个焦点共圆，半径为虚轴长的一半。
双曲线的切线法：以焦点在横轴上的双曲线为例，在横轴上任意取一点P，过P做横轴的垂线与双曲线交于两点A、B，连接AP、BP，过A、B分别做切线交于点C，则AC⊥BC。
三角形面积公式法：以双曲线的一个焦点为一个三角形的顶点，另外两个顶点在双曲线上，则这个三角形的面积可以由底和高求得，其中底就是双曲线的焦距，高就是其中一个顶点到对应焦点的距离。
利用已知条件和对称性找中点：若知道一条焦半径的长度和中点坐标，则可以利用中点公式和对称性找到另一条焦半径的中点坐标。
利用焦点的定义求轨迹方程：以焦点在横轴上的双曲线为例，若知道一条过焦点的直线与双曲线交于两点，且这两点到另一焦点的距离和为定值，则可以利用焦点的定义和距离公式求出这两点的轨迹方程。
利用对称性和距离公式求距离差：若知道两条过焦点的直线分别与双曲线交于两点，且这两点到两焦点的距离差相等，则可以利用对称性和距离公式求出这两点间的距离差。
利用定义和余弦定理求角度：若知道两条过焦点的直线分别与双曲线交于两点，且这两点间的线段与两焦点的连线所成的角为锐角或直角，则可以利用定义和余弦定理求出这个角的大小。
利用向量数量积求夹角：若知道两条过焦点的直线分别与双曲线交于两点，则可以求出这两点间的向量的数量积为零，进而求出这两点间的夹角为直角。
以上是常见的几种辅助线作法，可以根据具体的题目条件选择合适的方法来解题。
焦点弦定理公式
焦点弦定理公式嘿，咱今天就来好好唠唠这焦点弦定理公式。
要说这焦点弦定理公式啊，那在数学的圆锥曲线里可是个重要角色。
咱们先从抛物线说起，在抛物线中，焦点弦长等于 x₁ + x₂ + p （这里的 x₁、x₂是焦点弦端点的横坐标，p 是抛物线的焦准距）。
这公式看着简单，可真要用起来，那得好好琢磨琢磨。
我记得有一次给学生讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这咋这么复杂呀？”我就笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”然后我就给他举了个例子，比如说抛物线 y² = 2px ，有一条焦点弦的两个端点坐标是 (x₁, y₁) 和 (x₂,y₂) ，那根据抛物线的方程，咱就能得到 y₁² = 2px₁，y₂² = 2px₂。
然后呢，通过一系列的推导和计算，就能把焦点弦长给算出来啦。
再说说椭圆里的焦点弦，那也有它独特的公式。
对于椭圆 x²/a² +y²/b² = 1 （a > b > 0），焦点弦长可以用2ab² / (b² + c²sin²α) 来表示（这里的 c 是椭圆的半焦距，α 是焦点弦与长轴的夹角）。
在双曲线中呢，焦点弦长公式又有所不同。
双曲线 x²/a²- y²/b² = 1 ，焦点弦长是 2ab² / (|b² - c²sin²α|) 。
学习这些公式的时候，可不能死记硬背，得理解其中的原理。
就像搭积木一样，一块一块弄清楚了，才能搭出漂亮的城堡。
比如说在做练习题的时候，有这么一道题：已知抛物线 y² = 8x ，有一条焦点弦的两个端点横坐标分别是 2 和 6，让求这条焦点弦的长度。
这时候，咱们就可以先算出 p = 4 ，然后根据公式，焦点弦长就等于 2+ 6 + 4 = 12 。
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题
7弦问题1•直线与双曲线的位置关系的判断2 2设直线l:y = kx+ 工0),双曲线亠一亠=i(a > 0上> 0)联立解得(b 2 -a 2k 2)x 2 -2a 2mkx-a 2m 2 -a 2b 2 =0若b 2-a 2k 2= 0即k = ±-,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点; a 若戾一心2 H0即 a A = (~2a 2mk)2 -4(Z?2 -a 2k 2)(-a 2m 2 -a 2b 2)△ >0二>直线与双曲线相交，有两个交点：△ = o=>直线与双曲线相切，有一个交点：△ <0=>直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2•直线与圓锥曲线相交的弦长公式设直线/:.V=h+小 圆锥曲线：F(x,y)=O,它们的交点为P\ Uhyj), PiF(x. y) = 0且由 < ，消去 y —^ax 2+hx+c=0 (a*0), S=b 2 —4uc 。
y = kx+n设人(旺，”),3(£,儿)，则弦长公式为：贝UI AB 1= Jl +以J (册+七尸—4“勺若联立消去X 得y 的一元二次方程：©2 +by + c = 0(。
H 0)则I AB 1= {1 +右*儿+儿)'一4儿儿\PF\ 焦点弦长：—— =£ (点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，〃是P 到相应于焦 d 点F 的准线的距离，e 是离心率)。
2 2【例1】过点P (J7,5)与双曲线—=1有且只有一个公共点的直线有几条，分别 7 25 求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x = V7 •此时仅有一个交点(、/亍0),满足条件： 若直线的斜率存在时，设直线的方程为y_5 = k(x_# )则『=kx 七5-k#,(25 Jk 、》一7x2kx(5-k 厲 + (5-k 耐 一*25 = 0,当k = 0时，方程无解，不满足条件:直线与双曲线的位置关系及中点X 2 伙X + 5_kJ7)2 T_ 25 =1,••• 25x 2 一 7(匕 + 5 - MF = 7 x 25 ,当k = _丄时，2x5“xxlO = 75方程有一解，满足条件；7当&丰耳时，令厶= [14R(5 — M)F—4(25 — 7L)[(5 —Rd” 5] = 0,化简得: k无解，所以不满足条件：所以满足条件的直线有两条x = *和，=一节^'+1°。
双曲线_焦点弦公式_概述说明以及解释
双曲线焦点弦公式概述说明以及解释1. 引言1.1 概述双曲线焦点弦公式是研究双曲线特性中的重要公式之一。
它描述了在一条双曲线上，两焦点之间的任意弦的长度与弦与对应焦点到中心点距离的乘积之和为常数。
这个公式在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛应用。
1.2 文章结构本文将按以下结构逐步介绍双曲线焦点弦公式及其相关内容：- 引言：对文章进行引言和概述。
- 双曲线的基本概念和特性：介绍了双曲线的定义、焦点和焦距以及弦的特性。
- 双曲线焦点弦公式的介绍与解释：详细说明了焦点弦公式的概述，以及如何利用该公式求解双曲线参数，并提供实际应用案例分析。
- 双曲线焦点弦公式的推导过程与原理解释：探讨了该公式推导过程中的步骤说明，详细解释了公式背后所表示的几何意义，并介绍了数学推理与证明方法。
- 结论和总结：总结归纳了双曲线焦点弦公式的实际应用，并探讨了双曲线研究的启示和未来发展方向。
1.3 目的本文的目的是全面介绍双曲线焦点弦公式，为读者提供对其原理、应用和推导过程的深入理解。
通过这篇文章，读者可以了解到双曲线背后的数学原理以及在各个领域中该公式的具体应用。
同时，本文也将为读者提供一些关于双曲线研究的启示和未来发展方向，帮助他们更好地理解和应用这一概念。
2. 双曲线的基本概念和特性：2.1 双曲线定义:双曲线是由平面上满足特定条件的点构成的集合。
它具有一条对称轴和两个分离的焦点，以及与对称轴垂直并通过焦点的两条物理不可能存在的弦。
2.2 焦点和焦距:双曲线有两个焦点，分别表示为F1和F2。
每个焦点与双曲线上的任意一点之间的距离总是相等，这个共同的距离被称为焦距，用字母c表示。
2.3 弦的定义和特性:在双曲线上，弦是通过连接两个在双曲线上任意选取的点而形成的直线段。
弦将双曲线分成两部分，并且其长度小于或等于双曲线任何一边到原点（即与焦距c 相关）的距离。
而且对于给定长短固定，相同长度的弦总可以选择到达无穷远处或者退化成一个切线。
双曲线 焦半径 焦点弦
双曲线、焦半径和焦点弦1. 双曲线的定义和性质双曲线是解析几何中的一种重要曲线，它是由平面上满足特定数学关系的点集所组成。
双曲线的定义如下：在平面上取定两个不重合的点F1和F2，并给定一个常数a，称为焦距。
点P到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数a，即|PF1 - PF2| = a，那么P的轨迹就是一条双曲线。
双曲线的形状和性质与焦距a的大小有关。
当a的值增大时，双曲线的形状变得更加扁平，离焦点越远。
当a的值减小时，双曲线的形状变得更加尖锐，离焦点越近。
在双曲线上，有两个特殊的点，称为焦点F1和F2，它们是双曲线的两个极点。
2. 焦半径的定义和计算方法焦半径是指从焦点到双曲线上任意一点的线段的长度。
我们可以通过以下步骤来计算焦半径：步骤1：给定双曲线的焦点F1和F2的坐标，以及焦距a的值。
步骤2：选择双曲线上的任意一点P，求出点P到焦点F1和F2的距离PF1和PF2。
步骤3：计算焦半径r，即焦点到点P的距离的一半，即r = (PF1 + PF2) / 2。
焦半径的计算方法可以用于确定双曲线上任意一点的位置和性质。
3. 焦点弦的定义和性质焦点弦是指双曲线上通过焦点的直线。
具体来说，给定双曲线的焦点F1和F2，以及焦距a的值，我们可以通过以下步骤来确定焦点弦的性质：步骤1：选择双曲线上的两个点A和B，分别与焦点F1和F2相连，得到直线AB。
步骤2：求出直线AB与双曲线的交点C和D。
步骤3：根据焦点弦的定义，焦点F1和F2分别位于焦点弦CD的两个焦点。
焦点弦具有以下性质：•焦点弦的中点是双曲线的中心点，也是双曲线的对称中心。
•焦点弦的长度等于双曲线的焦距。
4. 双曲线、焦半径和焦点弦的应用双曲线、焦半径和焦点弦在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：4.1. 光学在光学中，双曲线被用于描述抛物面镜和双曲面镜的形状。
焦半径可以用于计算镜面的曲率半径，从而确定光线的聚焦和散焦效果。
焦点弦可以用于确定光线的传播路径和聚焦点的位置。
圆锥曲线焦点弦公式
圆锥曲线焦点弦公式
圆锥曲线是指圆锥与平面相交而产生的曲线。
焦点弦是指通过
焦点，并且与曲线相交于两点的直线。
对于圆锥曲线的焦点弦公式，具体的形式取决于所讨论的具体曲线类型，比如椭圆、双曲线或抛
物线。
下面我将分别介绍这三种情况下的焦点弦公式。
对于椭圆而言，焦点弦的公式可以表示为，对于椭圆
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$。
对于双曲线而言，焦点弦的公式可以表示为，对于双曲线
$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = -1$。
对于抛物线而言，焦点弦的公式可以表示为，对于抛物线$y^2
= 4ax$，焦点弦的公式可以表示为$y = mx + \frac{a}{m}$。
需要注意的是，以上给出的焦点弦公式是简化的形式，实际应
用中可能会根据具体问题的要求进行变形。
焦点弦在几何学和物理
学中有着重要的应用，比如在光学中的折射定律、天体运动中的轨
道分析等方面都有着重要的作用。
希望这些信息能够帮助到你理解焦点弦的公式。
抛物线的焦点弦公式
抛物线的焦点弦公式
抛物线的焦点弦公式是抛物线的一个重要的数学概念，这个概念在研究动力学、设计机器以及物理分析等方面有重要的意义。
抛物线可以用焦点弦公式表达，即直线弦长等于2倍小数点到顶点的距离。
为了更加清楚地表达这一概念，我们先来看看抛物线的几何特性，抛物线的定义为一条由原点出发的双曲线，它的端点可以是一个极值点，到极值点的距离叫做焦点弦。
这个焦点弦的长度可以用焦点弦公式来表达：
焦点弦公式为：弦长等于2倍小数点到顶点的距离。
其中，顶点用(h，k)表示，h和k分别代表x轴和y轴的坐标值；焦点弦公式
可以简单地用距离公式表示出：D = √((x–h)^2+(y–k)^2)。
有了这条焦点弦公式，我们就可以轻松地解决很多抛物线的问题，例如找出抛物线的最高点以及整条抛物线右侧的总长度等等。
甚至，可以使用抛物线的焦点弦公式证明一些重要的数学定理。
总的来说，抛物线的焦点弦公式是一个重要的数学概念，它不仅可用于解决抛物线的数学问题，而且也可应用于不同的领域，以期达到更好的精确度，研究出更多新奇的数学定理。