抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用
抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用抛物线焦点弦的性质结论归纳与应用如下：
首先，抛物线焦弦的性质决定了抛物线的几何特性。
抛物线的焦弦公式是y=4ax，这个式子定义了抛物线的性质，一般在其中，a是抛物线的两个焦点之间的距离，因此可以用这个性质来确定抛物线的几何特性。
其次，抛物线焦弦的性质也可以应用于统计学中。
在统计学中，抛物线焦弦是一种线性回归的拟合方法。
它能推断出两个变量之间的相关性，从而用于市场营销、供应链管理以及其他方面的数据预测和分析研究。
最后，抛物线焦弦的性质也可以用于科学研究中。
以抛物线焦弦为模型，可以表达出粒子动力学中问题的数学解。
例如在分子动力学中，用抛物线焦弦可以解释温度和粒子冲突频率之间的关系，从而为科学研究提供新的指导思想。
抛物线焦弦的性质使抛物线变得更加精妙。
它对于几何的解决、统计的分析以及科学研究的指导都具有重要的意义，为我们探究物理现象提供了新的可能性。
2.4.2抛物线焦点弦的性质
tan 2 1 2p 2p 2 tan sin 2
二、抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点弦性质：
下记AB为焦点弦， H1 H 2为通径
O
y
F A
B
x
性质1
若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p 2
2
p 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2，则x1 x2 4 2 2. 若A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )在抛物线 y 2 px ( p 0)上， 2 则 y1 y2 p 直线AB过焦点F
2
性质1:
若A、B的纵坐标为 y1、y2，则 y1 y2 p
2
2
p 1. 若A、B的横坐标为 x1、x2，则x1 x2 4
2
2. 若直线与抛物线 y 2 px ( p 0)的两个交点 的纵坐标 是否经过焦点F ？分析： y1、y2，满足 y1 y2 p ，则该直线
2
2
4.焦点弦长 | AB | x A xB p。 2p 5.焦点弦长 | AB | 2 si n
(其中 为L AB的倾角）
6.焦点弦长 | AB | 小=2p。 p 7.SAOB = . 2sin 8.以焦点弦AB为直径的圆与准线L相切. p 1 1 2 9.若x1x 2＝ ，则 。 4 AF BF p 10.MFN =90 .
2
2. 若直线与抛物线 y 2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标y1、y2， 满足 y1 y2 p 2，则该直线是否经过焦 点F ？
设交点为A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) p 1) 若 x1 x2，则| y1 | | y2 | p x1 x2
高二数学抛物线焦点弦的性质
下记AB为焦点弦，H 1 H 2为通径 1. 若 H 1、 H 2的纵坐标为 y1、 y 2，则 y1 y 2 p 2 2. 若 A、 B的纵坐标为 y1、 y 2，则 y1 y 2 ？ p2
2 y y p 1) 若 AB x轴 ， 则 由 1 .知 1 2
课本P119习题 8.5的第7题
2 ) 若 AB不 垂 直 于 x轴 ， 则设 l AB
由 2 y 2 px 2p 2 消x，得 : y y p2 0 k y k( x
p ) 2
p : y k( x ) 2
y
B F
O
y1 y 2 p
2
xБайду номын сангаас
A
二、抛物线 y 2 px ( p 0 ) 的焦点弦性质
p 当 90 时 ， l AB : y ( x ) tan 2 p y ( x ) tan 2 由 2 y 2 px
2p , 2 tan x1 x 2 p 4
p 2
2p 2 p2 2 | AB | 1 tan ( p ) 4 2 tan 4
tan 2 1 2p 2p 2 tan sin 2
二、抛物线 y 2 px ( p 0 ) 的焦点弦性质
2
下记AB为焦点弦，H 1 H 2为通径 若 A、 B的纵坐标为 y1、 y 2，则 y1 y 2 p 2 p2 1. 若 A、 B的横坐标为 x1、 x 2，则x1 x 2 4 2. 若 A( x1 , y1 )， B ( x 2 , y 2 )在抛物线 y 2 2 px ( p 0)上， 则 y1 y 2 p 2 直线AB过焦点F
高二数学抛物线焦点弦的性质
课本P119习题 8.5的第7题
1) 若AB x轴 ， 则 由1.知 y1 y2 p2
2) 若AB不 垂 直 于 x轴 ， 则设
由
y
y2
k(x
2
p) 2
px
l AB
:
y
k(x
y
p )
2
B
消x，得 : y2 2 p y p2 0 k
y1、y2，满足 y1 y2 p2，则该直线是否经过焦点F ？
2. 若直线与抛物线y2 2 px ( p 0)的两个交点的纵坐标y1、y2， 满足 y1 y2 p2，则该直线是否经过焦点F ？
设交点为A( x1 , 1) 若 x1 x2，则|
y1 )，B( x2 , y1 | | y2 |
y
B
通径| H1H2 | 2 p
焦点弦长| AB | 2p sin2
(其中为直线AB与
OF A
x
的对倾称斜轴角的）夹角）
当 90 时 ， lAB : y
由
y y
( 2
x 2
p 2
px
)
tan
(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p ) tan
2
消 y，得：x2 tan2 ( p tan2 2 p)x
1) 焦点弦长 | AB | x1 x2 p
2)
焦点弦长|
AB
|
2p
sin2
(其 中为 直 线AB与
对称轴的夹角）
⒈过抛物线 y2 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1, y1 )， B( x2 , y2 ) 两点．若 x1 x2 6 ，则|AB|= ____8_______
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。
抛物线焦点弦8个结论
抛物线焦点弦8个结论抛物线是一种常见的二次曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。
抛物线的焦点是其特殊的性质之一，下面将介绍抛物线焦点的八个结论。
一、焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
抛物线的焦半径是从焦点到抛物线的准线的垂直距离，而抛物线的顶点是其最高点。
这个结论表明，焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
二、焦半径与准线垂直。
焦半径是从焦点到抛物线上的任意一点的线段，而准线是抛物线的对称轴。
这个结论说明，焦半径与准线垂直。
三、焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的准线的垂直距离。
这个结论说明，焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
四、焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的切线的垂直距离。
这个结论表明，焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
五、焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有切线都会经过焦点。
六、抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有切线都会与准线在焦点上相交。
七、焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有法线都会经过焦点。
八、抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有法线都会与准线在焦点上相交。
通过以上八个结论，我们可以更好地理解抛物线的性质和特点。
抛物线焦点的研究不仅对于数学学科有重要意义，也在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
对于工程设计、物理实验等方面的问题，我们可以利用抛物线焦点的性质来解决。
抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质
抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点，准线l的方程：.过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，又作AA1⊥l, BB1⊥l，垂足分别为A1、B1.AB⊥x轴时，, , 此时弦AB叫抛物线的通径，它的长|AB|＝2p．AB与x轴不垂直也不平行时，设弦AB所在直线的斜率为k(k≠0)，则方程为(如图)．由方程组消去y，得, 或消去x, 得.结论1：(定值)，,结论2：y1y2＝-p2(定值)，.结论3：弦长.结论4：若此焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，则为定值．事实上，若AB⊥x轴，则m＝n＝p，.若AB与x轴不垂直，则..结论5：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦中通径最小．证法1：设弦AB所在的直线方程为.由方程组消去x，得y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.当且仅当m＝0，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．证法2：设过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为，则|AF|=|AA1|=p+|AF|cos, |BF|=|BB1|=p-|BF|cos,∴.,当且仅当=90°时，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．结论6：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图)．事实上，取弦AB的中点C，作CC1⊥l，垂足为C1. 则.这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切．结论7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．事实上，.设AF的中点为D，则，∴D到y轴的距离.这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．结论8：A1F⊥B1F（如图）事实上，设，则，。
抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =结论2：p x x AB ++=21证：p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：假设直线L 的倾斜角为θ，那么弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)假设2πθ=时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)假设2πθ≠时, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ 结论4： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆011sin sin 22OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θϑ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅22sin p θ=238OABS P AB ∆∴=结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 那么 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论7：〔1〕AM 1⊥BM 1 〔2〕M 1F ⊥AB 〔3〕BF AF F M ⋅=21〔4〕设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 那么M 1，Q ，F ，H 四点共圆〔5〕2121214M M B M AM =+证：由结论〔6〕知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF FM ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论8： 〔1〕、A O 、B 1 三点共线 〔2〕B ，O ，A 1 三点共线〔3〕设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，那么BB 1平行于X 轴〔4〕设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，那么AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y p pk =-=-=所以三点共线。
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抛物线焦点弦的性质
1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到：
当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若
抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若 抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-= 3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=
4、焦点弦常用结论：
结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=px
y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04
)2(2
2222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和4
21p x x = 结论2：p x x AB ++=21
证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++
=+=2121)2
()2( 结论3：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p AB = 证: (1)若2π
θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2
(2)若2π
θ≠时, 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y y θsin 24422221p p k
p y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ 结论4： 过焦点的弦中通径长最小
p p 2sin 21sin 22≥∴
≤θ
θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8
3
2为定值p AB S oAB =∆ 011sin sin 22
OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θϑ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅22sin p θ=238OAB S P AB ∆∴= 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知
2221
11AB
BF
AF BB AA MM =+=+= 故结论得证
结论6：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=
同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F
结论7：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F
M ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2
121214M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1
11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点
111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥AB
BF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM
︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121
AB B M AM =+ ()()()212
12112
42MM MM BB AA BF AF ==+=+= 结论8： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线
（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴
（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y p p
y y x y k oB oA 221211
1122,221-=-====
，而221p y y -= 所以122
2
22oB oA k p y y p p k =-=-=所以三点共线。
同理可征（2）（3）（4） 结论9： p FB FA 211=+ 证：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为
E,θ的倾斜角为
因为直线L 则θθcos 1cos -=
∴=+=+=P AF AF AF P FR EF ER P AF θcos 11-=∴ 同理可得
P BF θcos 11+= ∴p FB FA 211=+。