如图双曲线的左右焦点若△AF1F2的内切圆半径为
第12讲 破解离心率问题之内切圆问题(解析版)
第12讲破解离心率问题之内切圆问题参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，△12PF F 的内切圆的圆心为C ，且128OC F F ⋅=，则双曲线的离心率为()A ．2B ．12C ．2D ．【解答】解：过点C 作12F F 的垂线，垂足为D ，120DC F F ⋅=，设圆C 与x 轴切于点0(D x ，0)，则1212||||||||2F D F D PF PF a -=-=，00()()2x c c x a ∴+--=，即0x a =，则(,0)D a ，D 与双曲线的右顶点重合，则121212()28OC F F OD DC F F OD F F a ⋅=+⋅=⋅==，解得22a =-，∴22c =+，故离心率为：12e ==．故选：B ．2．如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，12||4F F =，P 是双曲线右支上的一点，12PF PF ⊥，直线2F P 与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是()A B C ．D ．2【解答】解：12PF PF ⊥ ，1APF ∆的内切圆半径为1，在直角三角形1APF 中，190APF ∠=︒，可得1111(||||||)2PF PA AF =+-，由双曲线的定义可得12||2||PF a PF =+，21||2||||2PF a PA AF ∴++-=，21||||22AF AF a ∴-=-，由图形的对称性知：21||||AF AF =，1a ∴=．12||4F F = ，2c ∴=，2ce a∴==．故选：D ．3．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆E 上，△12PF F 的重心为G ．若△12PF F 的内切圆H 的直径等于121||2F F ，且12//GH F F ，则椭圆E 的离心率为()A ．3B ．23C ．2D ．12【解答】解：因为△12PF F 的重心为G ，所以G 在PO 上且:2:1PG GO =，PM 是△12PF F 边12F F 上的高，HN 是△12PF F 的内切圆H 的半径，12//GH F F ，所以3PM HN =，1212112211||(||||||)22PF F S F F PM PF F F PF HN =⨯=++⨯ ，所以3222c a c ⨯=+，所以24a c =，所以离心率为12c e a ==，故选：D．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 是双曲线右支上两点，且223BF F A =，设△1AF B 的内切圆圆心为1I ，△12AF F 的内切圆圆心为2I ，直线12I I 与线段12F F 交于点P ，且123F P PF =，则双曲线C 的离心率为()A．2B．2CD【解答】解：如右图所示：由题意知2I 为12F AF ∠的角平分线，由角平分线的性质得1122||||||||AF F P AF F P =，因为123F P PF = ，所以1122||||3||||AF F P AF F P ==，由双曲线的定义得12||||2AF AF a -=，因此1||3AF a =，2||AF a =，因为223BF F A =，所以2||3BF a =，||4AB a =，由双曲线的定义得1||5BF a =，由勾股定理逆定理可得12F A F A ⊥，由在Rt △12F AF 中，2221212||||||AF AF F F +=，即22294a a c +=，所以252e =，2e =．故选：B ．5．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且122F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当3R r =时，椭圆的离心率为()A ．45B ．34C ．23D ．12【解答】解：椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，12||2F F c =，根据正弦定理可得1212||222sin 1F F cR c F PF ===∠，R c ∴=，1133r R c ==．设1||PF m =，2||PF n =，则2m n a +=，由余弦定理得，2222242cos ()2422c m n mn m n mn a mn π=+-=+-=-，2222mn a c ∴=-，∴121sin 2222F PF S mn a c π==- ，又121()(2)23F PF c a c S m n c r +=++⋅= ，()223c a c a c +∴-=，即22340a c ac --=，故2430e e +-=，解得：34e =或1e =-（舍)．故选：B ．6．已知点P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，点1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，若△12PF F 的内切圆半径的最大值为a c -，则椭圆C 的离心率为()A．3B．2C．2D．3【解答】解：设△12PF F 的内切圆的半径为r ，则121211||||222PF F P S F F y c b bc =⋅⋅⋅= ，而12121211(||||||)(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++⋅=+⋅=+ ，所以()a c r bc + ，所以bc r a c+，由题意可得bca c a c=-+，即222bc a b c =-=，所以c b =，可得22222a b c b =+=，即a =，可得离心率c e a ===故选：B ．7．已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点(A 在第一象限），若△12AF F 与△12BF F 内切圆半径之比为3:2，则双曲线离心率的取值范围为()A ．(1,5)B ．(1,2)C．D．【解答】解：如图，由题意设△12AF F 与△12BF F 内切圆圆心分别为M ，N ，对应的切点分别是P ，Q ，S ，T ，H ，则AP AQ =，111F P F H F S ==，222F Q F T F H ==，BS BT =，所以12122AF AF F H F H a -=-=，而12122F H F H F F c +==，故1F H a c =+，所以OH a =，2F H c a =-，设直线AB 的倾斜角为θ，则222HF M πθ∠=-，22HF N θ∠=，所以2tan()22MH HF πθ=⋅-，2tan 2NH HF θ=⋅，由题意，可得tan()3222tan 2MH NHπθθ-==，化弦后整理得222()3sin ()22cos θθ=，结合(0,22θπ∈，得tan 23θ=，所以tan θ=则要使直线AB 与双曲线右支交于两点，只需渐近线斜率满足tan baθ<=所以5e =<，故(1,5)e ∈即为所求．故选：A ．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△12AF F 的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为()A B ．2C D ．3【解答】解：设双曲线的左、右焦点，1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，可得直线2AF 的方程()by x c a=-，联立双曲线22221(0)x y b a a b -=>>，可得22(2c a A c +，22()2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得，2211()(2)22322b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2332c m n a c a+=--①，由双曲线的定义可得2m n a -=②，在三角形12AF F 中，22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan baθ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==，可得222c a n a-=③，由①②③化简可得2220c ac a --=，()(2)0c a c a +-=，所以c a =-（舍)，2c a =，所以离心率2ce a==，故选：B ．9．已知双曲线2222:1(0)4x y C a a a -=>-，点M 是该双曲线右支上的一点．点1F ，2F 分别为左、右焦点，直线1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若||PQ =则C 的离心率为()A B ．3C D 【解答】解：由双曲线的方程知，24c =，2c ∴=，设内切圆与1MF ，2MF 分别相切于点A ，B ，||BM x =，2||BF y =，由内切圆的性质知，||||MA MB x ==，22||||QF BF y ==，由对称性知，122||||||||PF PF PQ QF y ==+=，11||||||||MF MA AP PF x y ∴=++=+，由双曲线的定义知，12||||()2MF MF x y x y a -=+-+=，a ∴=∴离心率3c e a ===．故选：D．10．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为()A ．45B ．23C ．12D ．15【解答】解：椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，12||2F F c =，根据正弦定理可得1212||22sin 3sin 3F F c R F PF π===∠，R ∴=，14r R ==．设1||PF m =，2||PF n =，则2m n a +=，由余弦定理得，2222242cos()3433c m n mn m n mn a mn π=+-=+-=-，224()3a c mn -∴=，∴121sin 23F PF S mn π==又121(2)2F PF S m n c r =++⋅=，∴22)()36a c a c -+=，即22230a c ac --=，故2320e e +-=，解得：23e =或1e =-（舍)．故选：B ．11．过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于P ，Q 两点，且90OPQ ∠=︒，O 为坐标原点，若OPQ ∆内切圆的半径为3a，则该双曲线的离心率为()AB．2CD．2【解答】解：如图，设OPQ ∆的内切圆圆心为M ，则M 在x 轴上，过点M 分别作MN OP ⊥于N ，MT PQ ⊥于T，由2F P OP ⊥得，四边形MTPN 为正方形，∴焦点2(,0)F c 到渐近线b y x a =的距离2||bc bca a F Pbc a ==，又2||OF c =，||OP a ∴===，1||||3NP MN a ==，∴2||3aNO =，∴21||||13tan 2||||23aF P b MN NOM OP a NO a ==∠===，∴离心率e ===故选：B ．12．已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，△12PF F 的内切圆的圆心为C，12OC F F ⋅=()A．2B．2CD【解答】解：如图，设圆C 与x 轴切于点0(D x ，0)，则1212||||||||2F D F D PF PF a -=-=，00()()2x c c x a ∴+--=，即0x a =，则(,0)D a ，又 121212||||cos ||||2OC F F OC F F COD OD F F ac ⋅=∠=⋅=，且12OC F F ⋅=∴2ac =，得ac =，又223c a -= ，联立解得2a =，c =∴双曲线的离心率为c e a ==．故选：B ．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12122||||PF PF PF PF ⋅=⋅ ，若△12F PF 的内切圆的半径r 满足112||3sin PF r F F P =∠，则椭圆的离心率为()A ．47B ．23C ．13D ．37【解答】解：由题意，1212121222||||cos ,||||PF PF PF PF PF PF PF PF ⋅=<>=，所以121cos ,2PF PF <>= ，即123F PF π∠=，在三角形12PF F 中，222121212||||||1cos 322||||PF PF F F PF PF π+-==2222121212(||||)444112||||2||||PF PF c a c PF PF PF PF +--=-=-，解得2124||||3PF PF b =，则122121||||sin 23PF F S PF PF π== ，又由三角形12PF F 的内切圆半径为r ，由等面积法可得21(22)2a c r +⋅=，则23r a c=+，由已知112||3sin PF r F F P =∠可得112|2sin sin 3PF c F F P π==∠ ，所以23a c +，整理可得27430e e +-=，解得37e =或1-（舍去），所以椭圆的离心率37e =，故选：D ．14．已知点1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0)16x y C a a a -=>-的左、右焦点，点M 是C 右支上的一点．直线1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若||PQ =，则C 的离心率为()A．3B ．3C．2D．3【解答】解：双曲线2222:1(0)16x y C a a a-=>-的4c ==，设2MPF ∆的内切圆在边MP 上的切点为A ，在边2MF 上的切点为B ，如图可设||||MA MB s ==，22||||BF QF t ==，||||PA PQ ==，12||||PF PF t ==，由双曲线的定义可得12||||2MF MF s t s t a -=+--=，即有a =所以c e a ===故选：D．15．已知点1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P 与△12PF F 的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点Q ，且2PI IQ =，则该椭圆的离心率为()A ．12B ．13C ．14D ．23【解答】：△12PF F 内切圆的圆心I ，则I 是三角形的角平分线的交点，由角平分线定理可得1212||||||212||||||2PF PF PI a IQ F Q F Q c e+====+，所以离心率12e =，故选：A．16．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是△12PF F 的内切圆圆心，记1IPF ∆，2IPF ∆，△12IF F 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12312S S S -恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为()A ．(0，2]B ．[2，)+∞C ．(1，2]D．)+∞【解答】解：设△12PF F 的内切圆半径为r ，则111||2S PF r =，221||2S PF r =，3121||2S F F r =，所以1212121111||||(||||)2222S S PF r PF r r PF PF ar cr -=-=-= ，所以2a c ，所以2e ，故选：B ．17．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是△12PF F 的内切圆圆心，记1IPF ∆，2IPF ∆，△12IF F 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12312S S S -=恒成立，则双曲线的离心率为()ABC ．2D ．3【解答】解：设△12PF F 的内切圆半径为r ，则111||2S PF r =，221||2S PF r =，3121||2S F F r =，所以1212121111||||(||||)2222S S PF r PF r r PF PF ar cr -=-=-==，所以2a c =，所以2e =，故选：C ．18．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bω-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线ω上的一点，若12120F PF ∠=︒，且△12F PF 外接圆与内切圆的半径之比为8:1，则双曲线ω的离心率为()ABCD ．2【解答】解：设△12F PF 外接圆半径为R ，内切圆的半径为r ，设1F P m =，2PF n =，则2m n a -=，22sin1203c R ==︒，3R ∴=，又22222142()()2432c m n mn m n mn mn a mn =+-⨯-=-++=+，即2223444mn c a b =-=，即224()3mn c a =-，又22222221442()()()()23c m n mn m n mn m n c a =+-⨯-=+-=+--，得222164()33m n c a +=-，即m n +=△12F PF的面积11(2)22S mn m n c r ===++，即22)2c a r m n c-==++8R r = ，∴22)83c a c -=，2268c a =-，平方得222222164()(68)33c c a c a -=-，即422222416436966433c a c c a c a -=-+，即4224224164108288192c a c c a c a -=-+，4224922841920c a c a -+=，即42242371480c a c a -+=，得2222(2348)()0c a c a --=，得224823c a =，得c =，即c e a ==，故选：B ．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ∠=︒，且△12F PF ，则C 的离心率的取值范围是()A ．(0,]2B ．11(0,)12C ．11[)212D ．11(,1)12【解答】解：设12||2F F c =，△12F PF 内切圆的半径为r ，因为12||||2PF PF a +=，所以在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：22212121212||(||||)2||||(1cos120)4||||F F PF PF PF PF a PF PF =+-+︒=-，则212||||4PF PF b =，由等面积法可得22211(22)4sin120)22a c rb ac +=⨯⨯︒=-，整理得)12r a c a =->，故1112c a <，又12120F PF ∠=︒，则2c a ，从而11212e <，故选：C ．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 上一点，12120F PF ∠=︒，△12F PF 的内切圆与外接圆的半径分别为1r ，2r ，若216r r =，则C 的离心率为()A B C ．1920D ．910【解答】解：设12||2F F c =，则2222sin120c r r =⇒=︒因为12||||2PF PF a +=，所以22121212||(||||)2||||(1cos120)F F PF PF PF PF =+-+︒，则221244||||c a PF PF =-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得222111(22)4sin120)22a c rb ac +=⨯⨯︒=-，整理得1)r a c =-，因为216r r =)a c =-，故910c e a ==．故选：D ．二．多选题（共2小题）21．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂A 足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点(B A ，B 在y 轴同侧）．设O 为坐标原点，则下列结论正确的有()A ．||OA a=B ．若双曲线C 的一条渐近线的斜率为12，则双曲线C 的离心率等于2C ．若||2||FB FA =，则双曲线CD ．若OAB ∆，则双曲线C 【解答】解：由题意如图所示：设AB OA ⊥，因为tan bAOF a∠=，可得cos aAOF c∠==，||OF c =，所以||||cos aOA OF AOF c a c=⋅∠=⋅=，所以A 正确；B 中，由双曲线C 的一条渐近线的斜率为12，即12b a =，所以离心率2c e a ===，所以B 不正确；C 中，由题意可得||AF b ===，所以可得||2||2BF FA b ==，则||3AB b =，可得2222222||||||(3)9OB OA AB a b a b =+=+=+，而直线AB 的方程为b x y c a =-+与渐近线b y x a =-联立可得222(a c B a b -，22abc a b --，所以2222222()()||()a c abc OB a b +-=-，可得22222222()()9()a c abc ab a b +-+=-，222c a b =+，整理可得：422491850b a b a -+=，解得3b a =±或3±，所以C 不正确；D 中，若A ，B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限．如图，设OAB ∆内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得||FA b =，又||OF c =，所以||OA a =，又1||||2NA NM -==，所以3||2NO a -=，所以tan MN b AOF a NO =∠==3c e a ===，故D 正确；故选：AD ．22．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左．右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若1ABF ∆为等边三角形，则下列结论一定正确的是()A ．双曲线CB ．△12AF F的面积为2C ．△12AF F内切圆半径为1)a-D ．△12BF F 的内心在直线x a =±上【解答】解：对于D ，设△12BF F 的内心为I ，过I 作1BF ，2BF ，12F F 的垂线，垂足分别为H ，G ，P，如图：则1212||||||||2PF PF F B F B a -=-=，所以||OP a =，则△12BF F 的内心在直线x a =±上，故D 正确；因为1ABF ∆为等边三角形，当A ，B 都在同一支上时，则AB 垂直于x 轴，可得2(,)b A c a，由题意可得2tan 3023b a c ︒==，又222b c a =-，ce a=，所以可得2103e --=，(1,)e ∈+∞，解得：e =；△12AF F 的面积221223222b b c S c a a a =⨯⨯====，设△12AF F 内切圆的半径为r ，则由等面积法可得1(6)22r a +=，1)r a ∴=；当A ，B 都在双曲线的左，右两支上时，设11AB BF AF m ===，22AF a =，由双曲线的定义可知122AF AF a -=，得4m a =，在△12AF F 中由余弦定理，2224164cos120224a a c a a +-︒=⨯⨯，得ce a==，△12AF F 的面积124sin12022S a a =⨯⨯︒=，设内切圆的半径为r '，则11(6)2422a r a a ⋅+'=⋅⋅⋅，得r '=，故AC 错误；而不论什么情况下△12AF F 的面积为2，故B 正确．故选：BD ．三．填空题（共16小题）23．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点，A 、B 两点的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，若12||3y y -=，且2ABF ∆内切圆的面积为π，则椭圆E 的离心率为2．【解答】解：（1）由性质可知△1AF B 的周长为4a ，内切圆半径为1，则11211412||22AF B S a c y y =⨯⨯=⨯⨯- ，又12||3y y -=2c =，即2c e a ==．24．双曲线22221x y a b-=，点1F ，2F 是该双曲线的两焦点，P 在双曲线上，且1PF x ⊥轴，则△12PF F 的内切圆和外接圆半径之比rR=21)3．【解答】解：由ca=，得c =，则b a =，设1PF m =，2PF n =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，因为1PF x ⊥轴，所以2b m a a==，所以23n m a a =+=，所以△12PF F的内切圆半径为11221()(23)1)2r PF F F PF a c a c a a =+-=+-=-=-，△12PF F 的外接圆半径为21322R PF a ==，所以△12PF F的内切圆和外接圆半径之比1)21)332r a R a -==-．故答案为：21)3．25．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ．已知O 为坐标原点，若OAB ∆的内切圆的半径为12a -，则双曲线C的离心率为3或2．【解答】解：（1）若A ，B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限．如图，设OAB ∆内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得||FA b =，又||OF c =，所以||OA a =，又1||||2NA NM -==，所以3||2NO a -=，所以||tan ||b MN AOF a NO =∠==，从而可得3c e a ===；（2）若A ，B 在y 轴异侧，不妨设A 在第一象限如图，易知||FA b =，||OF c =，||OA a =，所以OAB ∆的内切圆半径为||||||122AB OA OB a +-=，所以||||2OB AB a -=-，又因为222||||OB AB a =+，所以||AB =，||2OB a =，所以60BOA ∠=︒，60AOF ∠=︒，则tan 60b a =︒=，从而可得2c e a ===．综上，双曲线C 2．故答案为：2或3．26．已知点P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，点1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，若△12PF F 的内切圆半径的最大值为a c -，则椭圆C 的离心率为2．【解答】解：设△12PF F 的内切圆半径为r ，则，1212||2PF F P S c y cb =⋅⋅ ，121(22)()2PF F S a c r a c r =+=+ ，所以bcr a c+ ，即r 的最大值为bca c+，由题意可得bca c a c-=+，所以可知22a c bc -=，即b c =，可得22222a b c c =+=所以椭圆的离心率c e a ==故答案为：2．27．已知点1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P 与△12PF F 的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点Q ，且PI mIQ =，35m <<，则该椭圆的离心率取值范围为1(5，1)3．【解答】解：△12PF F 内切圆的圆心I ，则I 是三角形的角平分线的交点，由角平分线定理可得1212||||||21||||||2PF PF PI a m IQ F Q F Q c e +====+，即1e m =，因为35m <<，所以1153e <<，故答案为：1(5，1)3．28．已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上的一点，2PF 与椭圆交于Q ．若△1PF Q 的内切圆与线段1PF 在其中点M 处相切，与PQ 切于2F ，则椭圆的离心率为．【解答】解：M 为1PF 的中点，111||||||2PM MF PF ∴==， △1PF Q 的内切圆与线段1PF 在其中点M 处相切，与PQ 切于2F ，∴由内切圆的性质可得，2||||PM PF =，P 为椭圆上的一点，12||||2PF PF a ∴+=，∴2||3PM a =，22||3PF a =，14||3PF a =，设△1PF Q 的内切圆与1F Q 切于C ，结合内切圆的性质可得，112||||3F C F M a ==，2PF 与椭圆交于Q ，21||||2QF QF a ∴+=，C ，2F 为切点，∴由内切圆的性质可得，2||||QC QF =，又12||3F C a ==，22||||3QC QF a ∴==，∴△1PF Q 为等边三角形，∴4223ac =⋅，∴3c e a ==．故答案为：3．29．如图，焦点在x 轴上的椭圆2221(0)2x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为4．【解答】解：设1APF ∆的内切圆的圆心为M ，1AF 、2AF 与圆M 的切点分别为E 、F ，连结ME 、MF 、MQ ，由题意得112||||||4EF F Q FF ===，||||PF PQ =，121212122||||||||||||||||||||8a PF PF F Q PQ PF F Q PF PF F Q FF ∴=+=++=++=+=，4a ∴=，则c =所以4c e a ==，故答案为：4．30．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2.F 与x 轴垂直的直线l 经过2F ，交C 于A 、B 两点．记12||2F F c =．若1ABF ∆内切圆的半径为2c，则C 的离心率为2．【解答】解：不妨设A 在第一象限，则直线OA 方程为b y x a=，把x c =代入b y x a =可得bc y a =，故2bcAF a=，12||2F F c = ．若1ABF ∆内切圆的半径为2c，可得12124222bc cc a a ⨯⨯=⨯⨯，222b a c =-，可得224(1)1e e -=∴椭圆的离心率e =．故答案为：2．31．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点1F 与y 轴交于点M ，与双曲线C 的右支交于点P ，2PMF ∆的内切圆与边2MF 切于点N ，若12|||F F MN =，则双曲线C 的离心率为【解答】解：根据题意画图：设G ，K 分别为2PMF ∆内切圆与PM ，2PF 的切点，故||||MG MN =，||||PG PK =，22||||F K F N =，根据双曲线的定义12||||2PF PF a -=，又1212||||(||||||)(||||)PF PF PG GM MF PK KF -=++-+12||||||GM MF KF =+-22||||||MN MF NF =+-||||2||2MN MN MN a =+==，所以||MN a =，又因为12|||F F MN =，所以2c =，所以ce a==32．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为5b，则该椭圆的离心率为14．【解答】解：由椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成的三角形面积S bc =，该三角形的周长为22a c +，由题意得1(22)25bS bc a c ==+⋅，即5a c c +=，所以14c e a ==．故答案为：14．33．已知点F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，A 为该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点O 作OA 的垂线交FA 于点B ，若B 恰为线段AF 的中点，且ABO ∆的内切圆半径为()4b ab a ->【解答】解：设||OA n =，||OB m =，由题意知，点A 在渐近线b y x a =上，点B 在渐近线by x a=-上，(a A n c ∴，)b n c ，(b B m c -，)am c ，B 为线段AF 的中点，且(,0)F c -，∴22b a m n c c ca b m n c c ⎧-⋅=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得2b m n a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，||OA a ∴=，||2b OB =，||AB ==，ABO ∆ 的内切圆半径为4b a-，2||||||r OA OB AB ∴=+-，即242b a b a -⨯=+，化简得，225b a =，∴离心率c e a ==．34．已知抛物线28y x =-的准线与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线分别交于A ，B两点，O 是坐标原点．若AOB ∆的内切圆的周长为π，则内切圆的圆心坐标为3(2，0)，双曲线C 的离心率为．【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为：2x =，由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，设三角形AOB 的内切圆半径为r ，则2r ππ=，所以12r =，所以圆心坐标为3(2，0)，且圆心到直线b y x a =的距离为3122ba d r ===解得3cb =，所以a =，则双曲线的离心率为c e a ===，故答案为：3(,0)2，4．35．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12122||||PF PF PF PF ⋅=⋅ ，若△12F PF 的内切圆的半径r 满足112||3sin PF r F F P =∠，则椭圆的离心率为37．【解答】解：由题意，1212121222||||cos ,||||PF PF PF PF PF PF PF PF ⋅=⋅<>=⋅，121cos ,2PF PF ∴<>= ，即123F PF π∠=，在△12PF F 中，22222121212121212||||||(||||)2||||41cos 322||||2||||PF PF F F PF PF PF PF c PF PF PF PF π+-+--===22121242||||42||||a PF PF c PF PF --=，可得2124||||3PF PF b =，得122121||||sin 23PF F S PF PF π== ，又△12F PF 的内切圆的半径r，由等面积法可得：21(22)23a c r +=，则23b r a c =+，由已知112||3sin PF r F F P =∠ ，可得112||3sin PF r F F P =∠ ，则2112||33sin PF a c F F P ⋅=+∠，结合正弦定理可得112||2sin sin 3PF c F F P π==∠ ，∴2a c =+，整理可得27430e e +-=，解得37e =或1e =-（舍)．故答案为：37．36．如图，已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线交两渐近线于A ，B 两点．若120OAB ∠=︒，OAB ∆内切圆的半径5br -=，则双曲线的离心率为4．【解答】解：过(,0)F c 作FH 垂直渐近线b y x a =于H ，则||||b c a FH b ⋅=，120OAB ∠=︒ ，60FAH ∴∠=︒，||3AF ∴=，在OAF ∆中，由余弦定理知，222||||||2||||cos120OF OA AF OA AF =+-⋅⋅︒，即222||)2||cos120c OA OA =+-⋅⋅⋅︒，解得||3OA a =-，设OAB ∆的内心为M ，作MN OA ⊥于N ，则60MAO ∠=︒，||5bMN r -==，3||||315a AN MN ∴==，312||||||31515a a ON OA AN a --=-=--=，||tan ||4MN MON ON ∴∠==，即b a =，e ∴===．故答案为：4．37．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点I 是△12PF F 的内切圆圆心，记1IPF ∆，2IPF ∆，△12IF F 的面积分别为1S ，2S ，S ，若1212S S S - 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是(1，2]．．【解答】解：设三角形12PF F 内切圆的半径为r ，则111||2PIF S PF r =，221||2IPF S PF r = ，12121||2IF F S F F r cr == ，∴12112111||||2222PIF IPF IF P S S S PF r PF r a r ar -==-=⋅⋅= ，12ar cr ∴ ，即2a c ，2ce a∴= ，又1e >，12e ∴< ．故答案为：(1，2]．38．如图，BCE ∆中，BC BE =，A 为BE 上一点，且60CAE ∠=︒，ABC ∆的内切圆与边AC 相切于D ，且:1:6AD AC =．设以C ，E 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为1e ，以C ，E为焦点且过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e +的值为．【解答】解：如图，设M ，G 分别是BC ，BE 与圆的切点．由圆的切线的性质可得BM BG =，AG AD =，CD CM =，又因为BC BE =，所以BC BM BE BG -=-，即CM EG =，设1AG AD ==，由:1:6AD AC =，可得6AC =，则5CD CM GE ===，4AE GE AG =-=，在ABE ∆中，2222cos6028CE AC AE CA EA =+-⋅︒=，即CE =所以以E ，C 为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1CE e AC AE ==+；以E ，C 为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ==，e e+=．所以125．。
椭圆+双曲线 离心率+焦点三角形问题(期末压轴专项训练30题)(原卷版)-25学年高二数学上学期期末
上的一个动点，且点 P 到 F2 距离的最大值和最小值分别为 3 和 1.下列结论正确的是（
A．椭圆 C 的离心率为
）
1
2
B．存在点 P ，使得 PF1 PF2
7
49π
，则 PF1 F2 外接圆的面积为
2
24
2
2
PF1
PF2
16
D．
的最小值为
A．焦点 F1 、 F2 坐标为 3, 0 ， 3, 0
B． MF1 的最大值为 7，最小值为 1
C． MF1 MF2 8
D． △MF1F2 为直角三角形的顶点 M 有 4 个
16．已知双曲线 C :
x2 y 2
1(b 0)的左，右焦点分别为�� −�, � 、F2 c, 0 ，直线 y 2 x c 与双曲线 C
．
4
，则该椭圆的
5
24．已知双曲线 C :
x2 y2
1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，若双曲线的左支上一点 P 满足
a 2 b2
sin PF1 F2
2 ，以 F2 为圆心的圆与 F1 P 的延长线相切于点 M ，且 F1M 2F1P ，则双曲线的离心率
C．
5
5
B．
6
3
D．
x2 y2
1 a b 0 的左、右焦点， B 是 C 的下顶点，直线 BF2 与 C 的另一个交
a 2 b2
点为 A ，且满足 F1 A F1 B ，则 C 的离心率为（
A．
4
5
2 5
2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破：专题28双曲线(解析版)
2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题28双曲线考点命题分析双曲线是圆锥曲线的重要组成部分，通过对近几年高考数学全国卷和省市卷的研究发现，高考对于双曲线的考查多以选择题、填空题为主.题型主要分为两类:一类是基础题，单纯考查双曲线的基本概念和简单几何性质，考查学生对双曲线基础知识的掌握情况；一类是综合题，表现为双曲线与平面几何的有关知识(如等边三角形的有关性质、三角形的中位线定理、线段垂直平分线的性质、圆的有关定理等)、向量、不等式、函数等知识相结合，考查数形结合、化归与转化、方程思想等，同时考查学生的运算求解能力.在求解策略上，对于基础题可直接套用相对应的公式或运用相关性质，学生要注重对双曲线基础知识的掌握，加强训练，熟练运用相关公式和性质；对于综合题，基本思想方法是“几何入手，代数解决”.根据题目给出的条件建立相对应的平面直角坐标系，画出图像，借助图像结合平面几何的知识对题目加以分析，从而找出问题求解的“钥匙”，最终实现对问题的求解.1依托方程思想与不等式，突破双曲线基础题双曲线的基本题型主要考查基本概念和几何性质，通常以求标准方程，求未知数的具体数值或取值范围的题目为主.求解方法主要是分析已知条件，结合双曲线的概念性质建立相应的方程组.涉及取值范围的题目则需要借助不等式来求解.例1双曲线的一条渐近线方程为y=x，则a= .思路探求:本题考查双曲线的简单几何性质，考查方程思想和学生的运算求解能力，由条件易知，解得a=5.方法点睛:这是一道基础题，学生只要把握好双曲线不同标准方程对应的不同渐近线方程，即可正确求解.类似的题目还有2017年高考数学北京卷文科第10题，这类题型主要考查学生对双曲线的基本概念和双曲线基础知识的掌握情况，如a，b，c之间的关系、离心率、渐近线等.例2已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( ) A．B．C．D．思路探求:本题主要考查双曲线的简单几何性质及求解不等式，考查学生的运算求解能力.解法1:根据双曲线的标准方程的概念，由可得，从而－m2<n<3m2.由已知条件和双曲线的定义可知，解得m2=1所以1<n<3，即n的取值范围是(－1，3).解法2:同解法1有m2=1.所以双曲线的方程变为，根据双曲线的定义，则或，由此解得n的取值范围是.方法点睛:本题求双曲线方程中未知数的取值范围，需要注意双曲线的焦距是2c而不是c，这点容易出错.学生容易根据焦距求出m2=1，但是如何根据m2=1找出n的不等关系，则体现学生对双曲线定义的理解和把握.2从“几何人手，代数解决”，突破双曲线高考综合题双曲线的综合题主要分为两种，一种是双曲线和椭圆或抛物线的综合题，一种是双曲线和平面几何的有关知识、函数、向量或不等式相结合的综合题.求解双曲线的综合题的中心思想就是“几何入手，代数解决”，大致分为三步:一是根据已知条件建立平面直角坐标系画出图像，使问题变得直观、清晰；二是“以形助数”，分析图像蕴含的几何信息，得出结论与条件之间的数量关系；三是“以数解形”，根据分析的结果运用代数的方法列式解题.例3已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为.思路探求:本题主要考查双曲线与圆的性质，数形结合、化归转化思想和运算求解能力.如图所示，可作AP ⊥MN，点A的坐标为(a，0)，AM=AN=b，而AP⊥AM，所以∠P AN=30°，根据距离公式，点A(a，0)到渐近线的距离为.在Rt△P AN中，，代入计算可得a2=3b2，即，由a，b，c的关系可得c=2b，所以.方法点睛:本题是求双曲线的离心率，中等难度.双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下几点:①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是，与此同时，要结合图形适当加以转化，方能顺利解决问题.例4已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A．B．2 C．D．思路探求:本题主要考查双曲线标准方程和简单几何性质、解直角三角形，考查学生的几何思想.设双曲线方程为如图所示，，∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N.在Rt△BMN中，|BN|=a，|MN|=a，故点M的坐标为，代入双曲线方程得a2=b2.又c2=b2+a2，即，所以，故选D.方法点睛:本题求双曲线的离心率，属于中档题，正确表示点M的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键.诸如此类题目的求解思路大多由几何入手，加以分析，最后用代数方法求解.3借助化归与转化，巧解双曲线高考综合题对部分双曲线高考综合题，经常要结合题目所给的条件加以化归转化求解.如双曲线的交点问题，可借助已知条件转化为一元二次方程，依托根与系数的关系(韦达定理)使得问题得以解决.例5在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A，B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为.思路探求:本题主要考查双曲线与抛物线的简单几何性质，考查化归与转化、方程思想和学生的运算求解能力.根据抛物线的性质可知:|AF |+|BF |=，化简可以得到.因为双曲线的右支与抛物线交于A ，B 两点，所以由可得，所以，整理得.所以渐近线的方程为.方法点睛:本题求双曲线的渐近线方程，难度中等.结合抛物线的定义将|AF |+|BF |=4|OF |转化为，同时根据条件联立方程得出关于y 的一元二次方程.由韦达定理得出p ，从而解得a ，b 之间的关系，进而求出双曲线的渐近线方程.由此可见，结合题目条件恰当进行化归转化，在解决此类双曲线综合题时往往会收到意想不到的惊喜. 4备考建议4.1重视基础，强化画图、计算能力在复习过程中，要重视学生对双曲线的基本概念、性质的理解，如a ，b ，c 的关系，双曲线的离心率和渐近线等；强化学生的作图能力，即强化文字语言，符号语言与图形语言之间的“互译”能力，这是解题的基础；加强学生的运算能力，尽可能减少运算上的失误.4.2重视思想方法的渗透，强化分析问题、解决问题的能力在复习的过程中要注重渗透数形结合、方程思想、化归与转化等思想方法，“思想引领”是正确解题的指明灯.以高考真题为解题训练的主要素材，把训练重点放在数学思想方法的提炼上，不断强化学生分析问题、解决问题的能力.最新模拟题强化1．设1F ，2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点.若双曲线上存在一点P ，使得124PF PF =，且1260F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率是（ ）A ．135B ．133C ．215D 21【答案】B 【解析】1F ,2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点,且双曲线上的点P 满足 124PF PF =所以121224PF PF a PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得128323a PF a PF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为1260F PF ∠=︒,122F F c =所以在三角形12F PF 中由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠,代入可得 2222644821499332a a c a a =⨯⨯⨯+- 化简可得22913c a =,即222139c e a ==所以e = 故选:B2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右焦点为F ，O 为坐标原点，右支上存在一点P 使得OFP △为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A1 B ．2CD．1【答案】A 【解析】设双曲线的左焦点为F '，点P 在双曲线右支上， 且OFP △为等边三角形，所以0||,60OP c POF =∠=，P点坐标为1(,)22c c ±，所以2||||||1)a PF PF c c '=-==，3131c e a ∴===+-. 故选:A. 3．如图，中，，，若以，为焦点的双曲线的渐近线经过点，则该双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 设AB=BC=2， 取AB 的中点为O ，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC ， 在三角形OBC 中， cosB=﹣，∴OC 2=OB 2+BC 2﹣2OB•BC•cosB=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，∴OC=，则cos ∠COB==，可得sin ∠COB==，tan ∠COB==，可得双曲线的渐近线的斜率为，不妨设双曲线的方程为﹣=1（a ，b ＞0），渐近线方程为y=±x ，可得=，可得e=====．故选：D ．4．已知点F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，P 为C 右支上一点.以C 的实轴为直径的圆与线段PF 交于A ，B 两点，且A ，B 是线段PF 的三等分点，则C 的渐近线方程为（ ）A ．13y x =±B ．25y x =±C ．5212y x =±D ．975y x =±【答案】B 【解析】设双曲线右焦点为F '，取AB 中点M ，连接,PF OM '设()30PF m m =>，由双曲线定义知：232PF PF a m a '=-=-OA OB =Q MA MB =∴且OM AB ⊥ 224m OM a ∴=-又AF BP = M ∴为PF 中点，又O 为FF '中点 1//2OM PF '∴且PF PF '⊥ ()2213242m a m a -=-，解得：65m a = 185PF a ∴=，85PF a '=1211887225525F PF S a a a '∆∴=⨯⨯=又双曲线焦点三角形面积122212tantan 24F PF F PF S b b b π'∆∠=== 227225b a ∴=625b a ∴= ∴双曲线渐近线方程为25y x =± 故选：B5．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．3,2)C ．(2,3)D ．2)【答案】A 【解析】双曲线22x a﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，不妨设过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba（x ﹣c ）， 与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bc a）， ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 2|，即有24c +2224b c a＞c 2， ∴22b a＞3，即b 2＞3a 2， ∴c 2﹣a 2＞3a 2，即c ＞2a ． 则e=ca＞2． ∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：A ．6．已知双曲线22:11648x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，1FQ QP =u u u r u u u r ，O 为坐标原点，若1|10|PF =，则||OQ =（ ） A ．10 B ．1或9C ．1D ．9【答案】D 【解析】因为1FQ QP =u u u v u u u v ，所以Q 为1F P 的中点， (如下图)连结QO ，则QO 是三角形12F PF 的中位线， 所以212OQ PF =， 由双曲线方程可得216a =，248b =，22264c a b =+=， 所以4a =，8c =，而122PF PF a -=±，110PF =， 所以22PF =或者2PF =18，因为24PF c a ≥-=，所以22PF =舍去， 故2PF =18，则9OQ =. 故选D.7．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x =交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠=-，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C 5D ．22【答案】B 【解析】双曲线()22221,0x y a b a b-=>的两条渐近线方程为b y x a =±，由抛物线24y x =和by x a =，联立可得22224444,,,a a a a A B bb b b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由抛物线的方程可得(1,0)F ，设AF 的倾斜角为α，斜率为224tan 41aba bα=-，而22222222cos sin 1tan 7cos cos 2cos sin cos sin 1tan 9AFB ααααααααα--∠==-===-++， 解得tan 22α=， 设a t b =，可得242241t t =-2t =，则2213c b e a a==+= 故选：B.8．设1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若1PF =，则C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．3y x =±【答案】B 【解析】双曲线2222:1(0x y C a a b -=>．0)b >的一条渐近线方程为b y x a=，∴点2F 到渐近线的距离d b ==，即2||PF b =，||OP a ∴==，2cos bPF O c∠=，1|||PF OP =Q ，1||PF ∴=，在三角形12F PF 中，由余弦定理可得22212122122||||||2||||PF PF F F PF F F COS PF O =+-∠g ， 2222222264224343()ba b c b c c b c c a c∴=+-⨯⨯⨯=-=--， 即223a c =，222a b ∴=，y ∴=故选：B ．9．双曲线222:1(0)x C y a a-=>的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，若PO PF =，则OPF S ∆的最小值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】由题意，双曲线222:1(0)xC y aa-=>的一条渐近线为1y xa=，设0Fc（，），因为PO PF=，可得点P的横坐标为2xc=，代入渐近线1y xa=，可得2yca=，所以点P的坐标为,22c ca⎛⎫⎪⎝⎭，所以22112244OPFc c aS ca a a+=⨯⨯===V111244442a aa a+≥⨯=，当且仅当144aa=时，即1a=时，等号成立，即OPFS∆的最小值为12.故选B.10．设直线0)30(x y m m-+=≠与双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的两条渐近线分别交于点,A B，若(),0,P m PA PB=，则双曲线的离心率等于( )A3B5C5D．2【答案】B【解析】双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的两条渐近线方程为2222x ya b-=，联立222230x ya bx y m⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩消去x得222222(9)60b a y mb b m--+=，当2222290,0,40b a m m a b-≠≠∆=>，设AB 中点为00(,)M x y ，则202239mb y b a =-， 2002239ma x y m b a =-=-，2222223(,)99ma mb M b a b a∴--， (),0,P m PA PB =，2222222223393299MPmb b b a k ma a b m b a-===----， 解得2222222154,,144b b a b e a a =∴==+=，e ∴=. 故选:B11．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B．2y x =±C．2y x =±D．3y x =±【答案】B 【解析】由题意，可得12122,2p MF MF a MF MF -=+=， 联立解得12,44p pMF a MF a =+=-， 又12F F 为直径，所以四边形12F NF M 为矩形，所以2212()4p S MF MF a ==-，即2223216p p a =-，即2232p a =，由2221212MF MF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即2232a b =，所以2b a =，所以双曲线的渐近线的方程为22y x =±，故选B ．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．3y x =±C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】如图，作OA ⊥1F M 于点A ，21F B F M ⊥于点B ，∵1F M 与圆222x y a +=相切，1245F MF ∠=︒∴2a 2OA F B BM a ===，，222F M a =，12F B b = 又点M 在双曲线上，∴1222222a F M F M a b a -=+-= 整理，得2b a =，∴2ba=∴双曲线的渐近线方程为2y x = 故选：A13．与圆x 2+y 2=1及圆x 2+y 2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（ ） A ．一个椭圆上 B ．一个圆上 C ．一条抛物线上 D ．双曲线的一支上【答案】D【解析】化圆的一般方程为标准方程，画出图形，由动圆与两定圆圆心距及半径的关系结合双曲线定义得答案． 由x 2+y 2﹣8x+12=0，得（x ﹣4）2+y 2=4， 画出圆x 2+y 2=1与（x ﹣4）2+y 2=4的图象如图， 设圆P 的半径为r ，∵圆P 与圆O 和圆M 都外切， ∴|PM|=r+2，|PO|=r+1， 则|PM|﹣|PO|=1＜4，∴P 点在以O 、M 为焦点的双曲线的左支上， 故选D ．14．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左焦点为(,0)F c -，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(2,0)P c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B 2C 3D ．2【答案】D 【解析】设线段AB 的中点坐标为()00,x y ，则有000112y x c y x c⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩0,2c x ⇒=032y c =， 设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程有，2222112222221,1x y x y a b a b-=-=两式相减得， 1212121222()()()()1x x x x y y y y a b -+-+-= 可得002210x y a b -⋅=，即2213,a b=223b a =， 2,c a ∴=2e =.故选:D.15．已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且线段1PF 的中点坐标为()0,b ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．2【答案】C 【解析】设线段1PF 的中点为M ，连接OM ，2PF .Q 线段1PF 的中点M 坐标为()0,b ∴点P 在双曲线C 的右支上.如图所示：Q 原点O 为线段12F F 的中点 ∴21//2OM PF ，即212PF F F ⊥，222PF OM b ==. 由双曲线的定义可知，12||||2PF PF a -=，即122PF a b =+，12||2F F c = 在12Rt F F P ∆中，2221212||||PF PF F F =+，即()()()2222222a b b c +=+，整理得2b a =.c e a ====故选：C16．已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B C ．53D ．73【答案】C 【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， Q O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥Q ，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()ay x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ， 解得：53e =，或1e =-（舍）故选：C17．如图，已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）A ．233B ．54C ．53D ．322【答案】C 【解析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan ba θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==， 可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=， 即为(35)()0c a c a -+=， 可得35c a =，则53c e a ==． 故选：C.18．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=【答案】A 【解析】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值，因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b -=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A19．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，若12PQ F P =u u u r u u u r ，则双曲线的离心率为（） ABC ．2D ．3【答案】B 【解析】记O 为坐标原点.由题意可得()1,0F c -，不妨设1l ：b y x a =-，2l ：by x a= 则直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x cab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =u u u r u u u r ，所以12PQ PF =所以2PQ b =，OQ =22221cos QOF ∠=.因为2tan b QOF a ∠=，所以2cos aQOF c∠=，22220ac+=，整理得4224430c a c a -+=，则42430e e -+=解得e =故选：B20．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点为,,A B P 是双曲线上不同于,A B 的一点，设直线,AP BP 的斜率分别为,m n ，则当()2323ln ln 3b mn mn m n a ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） ABCD【答案】D 【解析】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则(,0),(,0)A a B a -，设00(,)P x y ，则2200221x y a b -=，可得2222002()x a y b a -=， 则0000,y y m n x a x a ==+-，所以2202220y b mn x a a==-， 所以()22222222323ln ln 323ln 33b b b b b mn mn m n a a a a a ⎛⎫⎛⎫+--+=+⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23223()26ln 3b b b b a a a a=⋅+⨯-⨯-，设0b t a =>，则322()326ln 3f t t t t t =+--， 则322262436(2)(23)()324t t t t t f t t t t t t-+--+'=+--==， 当(0,2)t ∈时，()0f t '<，()f t 单调递减； 当(2,)t ∈+∞时，()0f t '>，()f t 单调递增，所以当2t =时，函数()f t 取得最小值，即当()2323ln ln 3b mn mn m n a ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭取得最小值时，2b a =，所以双曲线的离心率为c e a ====D ． 21．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右支上一点P 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H .若1PH PF +的最小值为4a ，则双曲线C 的离心率为______.【解析】由双曲线定义知，122PF PF a -=，则122PF PF a =+， ∴12||||2PH PF PH PF a +=++，所以，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线垂足为H ，交右支于点P ， 此时2||2PH PF a ++最小，且最小值为4a ， 易求焦点到渐近线的距离为b ，即2||PH PF b +=，所以24b a a +=，即2b a =，225c a =，可求离心率e =22．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c ，F 为右焦点，O 为坐标原点，P 是双曲线上一点，PO c =，POF V 的面积为12ab ，则该双曲线的离心率为______.【解析】设左焦点为1F ，(,)P m n ，则22221m n a b-= ①，因为PO c =，所以222m n c += ②，联立①②解得422b n c=③，因为POF V 的面积为12ab ，所以1122cn ab =，即abn c=④， 联立③④消去n 得42222b a bc c=，化简得a b =，所以离心率c e a ====.23．若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为________.【答案】22111164x y -= 【解析】因为抛物线2y x =的准线的准线方程为:14y =-,且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点,所以双曲线的实半轴长为14a =,焦点在y 轴上, 因为双曲线的一条渐近线为20x y +=,所以12a b =,所以12b =, 所以双曲线的标准方程为22111164y x -=. 故答案为: 22111164y x -=. 24．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0a b >>)的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若213PF PF =，24PQ PF =，则双曲线C 的离心率为_____.【解析】 设2PF m =，则13PF m =，4PQ m =，23QF m ∴=，由双曲线的定义，得121212232PF PF m a QF QF QF m a ⎧-==⎪⎨-=-=⎪⎩15QF a m a ⎧=⇒⎨=⎩，则此时满足22211PF PQ QF +=，1PQF ∴∆是直角三角形，且190QPF ∠=︒， 2221212PF PF F F ∴+=⇒222(3)(2)a a c +=，得e =.25．已知1F 、2F 是双曲线C ：22221x y a b -=的左、右焦点，点M 在双曲线C 上，1MF 与x 轴垂直，212sin 3MF F ∠=，则双曲线C 两条渐近线夹角的正切值为________ 【答案】43【解析】 由题,()1,0F c -, 因为1MF 与x 轴垂直,所以将x c =-代入22221x y a b-=中可得2by a =±, 所以21b MF a=, 由双曲线的定义可得22122b MF a MF a a=+=+, 因为212sin 3MF F ∠=,即121222232sin b MF ab MF MF a aF ===+∠, 所以2b a =,即渐近线为2y x =±,设两条渐近线的夹角为α02πα⎛⎫≤≤⎪⎝⎭, 所以2224tan 123α+==-故答案为:4326．已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b -=>的右焦点(),0F c 关于直线b y x a =的对称点在直线2a x c=-上，则该双曲线的离心率为______. 【答案】3 【解析】 如图：，由已知点F 到渐近线b y x a =的距离22AF b a b==+，由对称性可得22BF AF b ==， 由题得Rt OAF Rt BDF V :V ，所以OF AFBF DF=，即22c ba b c c=+，整理得223c a =，故3==ce a327．已知F 为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D 为垂足，且3||||FD OF =（O 为坐标原点），则C 的离心率为________.【答案】2 【解析】由题意(c,0)F ，一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， ∴FD b ==，由||||2FD OF =得2b c =，∴222234b c c a ==-，224c a =，∴2ce a==． 故答案为：2.28．已知离心率为1e 的椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=>>和离心率为2e 的双曲线2C ：222222221(0,0)x y a b a b -=>>有公共的焦点1F ,2F ,P 是它们在第一象限的交点,且1260F PF ︒∠=,则2212e e +的最小值为__________________.【解析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为12a ，双曲线实轴长为22a ，P 在双曲线的右支上，由椭圆的定义1212+=PF PF a ， 由双曲线的定义1222-=PF PF a ， 所以有112=+PF a a ，212=-PF a a ，因为1260F PF ∠=o，由余弦定理可得22212121212()()()()4a a a a a a a a c ++--+-=，整理得2221234a a c +=，所以22222222221212211222222212121233311114444a a a a a a c c e e a a a a a a +++=+=+=+⋅+⋅≥+，当且仅当222122123a a a a =时取等号， 故答案是：223+. 29．已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若113F P FT =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为________． 【答案】132【解析】如图,由题可知,则12OF OF c +=,OT a =,则1FT b =,又113F P FT =u u u r u u u r ,12,3TP b F P b ∴==,又1222,32PF PF a PF b a ==--Q作2//F M OT ,可得22,F M a TM b ==.则PM b =. 在2MPF V 中,22222PM MF PF +=；即()()222232b a b a +=-,得23b a =,又222c a b =+Q .化简可得22413c a =,132e ∴=,双曲线的离心率为132.30．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右两个焦点分别为1,F 2F ，A ，B 为其左、右两个顶点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30AMB ︒∠=，则该双曲线的离心率为________.【解析】双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线方程为b y x a =±，以F 1F 2为直径的圆的方程为222x y c +=，将直线b y xa =代入圆的方程，可得，x a ==（负的舍去），y=b ， 即有(,),M a b 又(,0),(,0)A a B a -， 由于30AMB ︒∠=，BM ⊥x 轴，则2tan 303a b ︒==，即有b =，则离心率c e a ===31．双曲线221916x y -=的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为______． 【答案】165【解析】设点P （x ，y ），∵F 1（-5，0）、F 2（5，0），PF 1⊥PF 2，∴0055y y x x --⋅+-=-1， ∴x 2+y 2=25 ①，又221916x y -=，∴22251916y y --=，∴y 2=21625，∴|y|=165， ∴P 到x 轴的距离是165． 32．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________．【答案】()⋃+∞【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 1（﹣c ，0），令x=﹣c ，可得y==±2b a ， 可得A （﹣c ，2b a ），B （﹣c ，﹣2b a），又设D （0，b ），可得AD u u u r =（c ，b ﹣2b a ），AB uuu r =（0，﹣22b a ），DB uuu r =（﹣c ，﹣b ﹣2b a）， 由△ABD 为钝角三角形，可能∠DAB 为钝角，可得AD AB ⋅u u u v u u u v＜0，即为0﹣22b a •（b ﹣2b a）＜0，化为a ＞b ，即有a 2＞b 2=c 2﹣a 2， 可得c 2＜2a 2，即e=ca， 又e ＞1，可得1＜e，可能△ADB 中，∠ADB 为钝角，可得AD AB ⋅u u u v u u u v＜0，即为c 2﹣（2b a +b ）（2b a﹣b ）＜0， 化为c 4﹣4a 2c 2+2a 4＞0， 由e=ca，可得e 4﹣4e 2+2＞0， 又e ＞1，可得e综上可得，e 的范围为（1+∞）．故答案为()⋃+∞33．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点M 为双曲线右支上一点，若122F F OM =，21tan 2MF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为_____.【答案】1e <≤【解析】法一:122F F OM =Q ，12π2F MF ∴∠=，222124c MF MF ∴=+，1212tan MF MF F MF ∠=,122MF MF a -=Q ，2212222212222222121122244()2MF MF MF MF MF c e a MF MF MF MF MF MF MF ++∴===--+,设122MF t MF =≥，则2221211212t e t t t t+==+-++-， 令()()()()222211111,'1t t t f t t f t t t t t+--=+=-==，所以2t >时，()'0f t >，()f t 在[)2,+∞上单调递增， 115222t t∴+≥+=，215e ∴<≤，1e ∴<≤法二：122F F OM =Q ，12π2F MF ∴∠=，令11MF r =，22MF r =，21=MF F θ∠，tan 2θ≥，1=2sin r c θ， 22cos r c θ=，122=2(sin cos )a r r c θθ∴=--，1sin cos e θθ∴=-， 222222221sin cos tan 12==151sin cos sin cos 2sin cos tan 12tan tan 2tan e θθθθθθθθθθθθθ++∴==+≤-+-+-+-（），1e ∴<≤故答案为：1e <≤34．已知双曲线2221(0)12x y a a -=>0y -=，左焦点为F ，当点M 在双曲线右支上，点N 在圆22(3)4x y +-=上运动时，则||||MN MF +的最小值为__________．【答案】7【解析】 由双曲线方程222112x y a -=，得b =y x =0y -=，得2a = 所以双曲线方程为221412x y -=，点()4,0F - 记双曲线的右焦点为()'4,0F ，且点M 在双曲线右支上，所以4'MF MF =+ 所以'4MN MF MN MF +=++ 由两点之间线段最短，得'4MN MF ++最小为'4F N +因为点N 在圆()2234x y +-=上运动 所以'F N 最小为点F 到圆心()0,3的距离减去半径2 所以'523min F N =-= 所以MN MF +的最小值为7故答案为7.35．已知双曲线C ：2222x y 1(a b 0)a b-=>>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF FB ⊥，设ABF θ∠=，且ππθ,124⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则双曲线C 离心率的取值范围是______．【答案】()2,∞+【解析】设双曲线的左焦点为，连接，， AF FB ⊥，可得四边形为矩形， 设AF m =，BF n =，即有， 且222m n 4c +=，n m 2a -=，mtan θn =，22222222222c 4c m n 11e 2mn 2a 4a m 2mn n 11m n m n n m+=====-+--++ 1211tan θtan θ=-+，由ππθ,124⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()t tan θ23,1=∈，则()1t 2,4t +∈，可得21,112t t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，即有2110,12t t⎛⎫-∈⎪⎝⎭+，则()12,211tan θtan θ∞∈+-+，即有)e 2,∞∈+．故答案为：()2,∞+．。
山东省威海市2019届高三二模考试理科数学试题(解析版)
2019年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足z（1+i）=（3+i）2，则|z|=（）A. B. C. D. 82.已知集合，，，则A∩B=（）A. B. C. D.3.如图所示茎叶图中数据的平均数为89，则x的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 94.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，M，为其终边上一点，则cos2α=（）A. B. C. D.5.若x，y满足约束条件，，，则z=3x-y的最大值为（）A. 2B. 1C. 0D.6.函数的图象可由y=2cos2x的图象如何变换得到（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位7.若P为△ABC所在的平面内一点，且，则△ABC的形状为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形8.已知函数f（x）=ln x+ln（a-x）的图象关于直线x=1对称，则函数f（x）的值域为（）A. B. C. D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）A. 6B. 8C.D.10.在△ABC中，AC=3，向量在向量的投影的数量为-2，S△ABC=3，则BC=（）A. 5B.C.D.11.已知函数f（x）的定义域为R，，对任意的x∈R满足f'（x）＞4x，当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为（）A. B. C. D.12.设F1，F2为双曲线＞，＞的左右焦点，点P（x0，2a）为双曲线上的一点，若△PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在的展开式中，x4的系数是______．14.已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，则p=______．15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1=2，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为______．16.“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1．已知正整数m经过6次运算后得到1．则m的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是递增的等比数列，a5=48，4a2，3a3，2a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b1=a2，b n+1=b n+a n，求数列{b n}的前n项和S n．18.如图，四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，PA=2AB=2，AC⊥CD，PD与平面PAC所成角的正切值为C2．（Ⅰ）证明：BC∥平面PAD；（Ⅱ）若M是BP的中点，求二面角P-CD-M的余弦值．19.某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如表：甲市场以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以X（单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，T（单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润．（Ⅰ）当n=19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；（Ⅱ）以销售利润的期望为决策依据，判断n=17与n=18应选用哪一个．20.在直角坐标系xOy中，设椭圆：＞＞的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B=60°，点，在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ 面积取得最大值时，求直线l的方程．21.已知函数＞．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当m∈[0，1）时，函数＞有最大值．设g（x）的最大值为h（m），求函数h（m）的值域．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，且曲线C1与C2恰有一个公共点．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）已知曲C1上两点，A，B满足，求△AOB面积的最大值．23.已知正实数a，b满足a+b=2．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若对任意正实数a，b，不等式|x+1|-|x-3|≥ab恒成立，求实数x的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由z（1+i）=（3+i）2，得z=，∴|z|=||=．故选：C．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵集合，∴A={y|-1≤y≤2}，B={x|0≤x≤4}，∴A∩B={x|0≤x≤2}=[0，2]．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查集合的运算及关系，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据茎叶图中数据，计算平均数为×（86+80+x+90+91+91）=89，解得x=7．故选：B．根据茎叶图中数据计算平均数即可．本题考查了利用茎叶图中数据计算平均数的应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：∵M，∴OM==．∴sinα==．∴cos2α=1-2sin2α=1-2×（）2=．故选：D．易得OM的长度，利用二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义即可求解．本题主要考查了二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：z=3x-y，得y=3x-z，平移直线y=3x-z，由图象可知当直线y=3x-z经过点B（1，1）时，直线y=3x-z的截距最大，此时z最大，z max=3×1-1=2．即z的最大值是2．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：函数=2，把函数的图象向左平移个单位，得到：y=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故：要得到y=2sin（）的图象，只需将y=2cos2x的图象向右平移个单位即可．故选：B．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】C【解析】，解：∵，∴||=||∴y根据向量加法及减法的平行四边形法则可知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等即ABCD为矩形，C=则△ABC的形状为直角三角形故选：C．由已知可得||=||，根据向量加法及减法的平行四边形法则可知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，可判断本题主要考查了向量加法及减法的平行四边形法则的简单应用，属于基础试题8.【答案】D【解析】解：根据题意，对于函数f（x）=lnx+ln（a-x），有f（a-x）=ln（a-x）+ln[a-（a-x）]=lnx+ln（a-x）=f（x），则函数f（x）的图象关于直线x=对称，若函数f （x ）=lnx+ln （a-x ）的图象关于直线x=1对称，则有=1，则a=2， 则f （x ）=lnx+ln （2-x ）=ln （2x-x 2），其定义域为（0，2）， 设t=2x-x 2，则y=lnt ，又由t=-（x-1）2+1，0＜x ＜2，则有0＜t≤1，则y=lnt≤0，即函数f （x ）的值域为（-∞，0]； 故选：D ．根据题意，分析可得f （a-x ）=f （x ），即可得函数f （x ）的图象关于直线x=对称，据此可得a 的值，进而可得f （x ）=lnx+ln （2-x ）=ln （2x-x 2），设t=2x-x 2，则y=lnt ，由换元法分析可得答案．本题考查函数的对称性，涉及换元法求函数的值域，关键是求出a 的值，属于基础题． 9.【答案】B【解析】解：根据三视图知，该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥P-ABCD ， 且长方体的长、宽、高分别为4、2、3，如图所示；结合图中数据，计算该四棱锥的体积为：V 四棱锥P-ABCD =V 三棱锥C-BDP +V 三棱锥D-ABP =××4×2×3+××4×3×2=8． 故选：B ．根据三视图知该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：AC=3，向量在向量的投影的数量为-2，S△ABC=3，可得|AB|cosA=-2，|AB|•|AC|•sinA=3，即|AB|sinA=2，即tanA==-1，内角A=135°，|AB|==2，|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB|•|AC|•cosA=8+9-2•2•3•（-）=29，即|BC|=，故选：C．由向量的投影和三角形的面积公式，可得A，|AB|，再由余弦定理可得所求值．本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查向量的投影的定义，以及化简运算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：令g（x）=f（x）+1-2x2，则g′（x）=f′（x）-4x＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（）=f（）+1-2×=-+1-=0，∴g（x）＞0的解集为x＞，∵cos2α=1-2sin2α，故不等式f（sinα）+cos2α＞0等价于f（sinα）+1-2sin2α＞0，即g（sinα）＞0，∴sinα＞，又α∈[0，2π]，∴＜α＜．故选：A．令g（x）=f（x）+1-2x2，求导可得g（x）单调递增，且g（）=0，故不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为g（sinα）＞0的解集．本题考查了导数与函数单调性的关系，考查函数单调性的应用，根据所求不等式构造函数是解题关键，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：如图设P在第一象限，内切圆的圆心为I，内切圆与PF1，PF2，F1F2分别切与点E，F，G，根据圆的切线的性质得：PE=PF，F1E=F1G，F2F=F2G，根据双曲线的定义知：PF1-PF2=2a，即（PE+F1E）-（PF-F2F）=2a，∴F1G-F2G=2a，①又F1G+F2G=2c，②，联立①②解得F1G=a+c，F2G=c-a，∴G（a，0），∴内心I的横坐标为a，∵△PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，∴△PF1F2的重心的横坐标为a，由三角形的重心坐标公式可得a=，解得x0=3a，∴P（3a.2a），将P的坐标代入双曲线可得：-=1，即9-=1，化简得3a2=2c2，所以离心率e==．故选：A．根据双曲线的定义和切线长定理可得内心的横坐标，从而可得重心的横坐标，再根据重心的坐标公式可得x0=3a，再将P的坐标代入双曲线可得．本题考查了双曲线的性质，属难题．13.【答案】80【解析】解：在的展开式的通项公式为T r+1=•25-r•，令5-=4，可得r=2，可得x4的系数是•23=80，故答案为：80．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】2或8【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，如图：可得|FQ|=3，所以p=5±|FQ|，所以P=2或8．故答案为：2或8．画出图形，利用抛物线的性质转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.【答案】16π【解析】解：如图，因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，设AB=a，BC=b，球的半径为r．连接AC1∩A1C=O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=，又因为三棱锥O-ABC的体积为1，即，即，所以r==≥=2，当且仅当a=b时等号成立，所以球O表面积的最小值为S=4πr2=16π．故填：16π．设AB=a，BC=b，球的半径为r．连接AC1∩A1C=O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=，三棱锥O-ABC的体积为1，即，即，表示出r，根据基本不等式可得r的最小值，从而得到球的表面积的最小值．本题借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等．属于中档题．16.【答案】64、10、1、8．【解析】解：根据题意，正整数m经过6次运算后得到1，则正整数m经过5次运算后得到2，经过4次运算后得到4，经过3次运算后得到8或者1，分2种情况讨论：①，当经过3次运算后得到8时，经过2次运算后得到16，则经过1次运算后得到32或5，则m的值为64或10，②，当经过3次运算后得到1时，经过2次运算后得到2，则经过1次运算后得到4，则m的值为1或8；综合可得：m的值可能为64、10、1、8．故答案为：64、10、1、8．根据题意，利用正整数m经过6次运算后得到1，结合变化的规则，进行逐项逆推即可得答案．本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键．17.【答案】解：（Ⅰ）设首项为a1，公比为q的递增的等比数列，a5=48，4a2，3a3，2a4成等差数列．故：，解得：q=2或1（舍去），整理得：a1=3，所以：，（Ⅱ）数列{b n}满足b1=a2，b n+1=b n+a n，所以：b1=6．则：b n=（b n-b n-1）+（b n-1-b n-2）+…+（b2-b1）+b1，=a n-1+a n-2+…+a2+a1+b1，=，=3•2n-1+3所以：S n=b1+b2+…+b n=．【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用叠加法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列通项公式的求法中的应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCVD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，CA∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，∴∠DPC为PD与平面PAC所成角，在Rt△PAC中，tan∠DPC==，在Rt△PAC中，PC=，∴CD=，在Rt△ACD中，AD=2，∠CAD=60°，∵∠BCA=60°，∴在底面ABCD中，BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD．解：（Ⅱ）设BC的中点为N，连结AN，则AN⊥BC，由（Ⅰ）知BC∥AD，∴AN⊥AD，分别以AN，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），C（，，0），D（0，2，0），M（，-，1），则=（-，，0），=（0，2，-2），=（，，），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，=（，，），设平面CDM的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（，，），设二面角P-CD-M的平面角为θ，则cosθ===．故二面角P-CD-M的余弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出PA⊥CD，CD⊥平面PAC，∠DPC为PD与平面PAC所成角，由此能证明BC∥平面PAD．（Ⅱ）设BC的中点为N，连结AN，则AN⊥BC，分别以AN，AD，AP为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向时法能求出二面角P-CD-M的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，当X≥19，T=500×19=9500；当X＜19，T=500×X-（19-X）×100=600X-1900，所以T与X的函数解析式为T=，，＜，由题意可知，一个销售周期内甲市场需求量为8，9，10的概率分别为0.3，0.4，0.3；乙市场需求量为8，9，10的概率分别为0.2，0.5，0.3，设销售的利润不少于8900元的事件记为A，当X≥19，T=500×19=9500＞8900，当X＜19，600X-1900≥8900，解得X≥18，由题意可知，P（X=16）=0.3×0.2=0.06；P（X=17）=0.3×0.5+0.4×0.2=0.23；所以P（A）=P（X≥18）=1-0.06-0.23=0.71．（Ⅱ）当n=17时，E（T）=（500×16-1×100）×0.06+500×17×0.94=8464；当n=18时，E（T）=（500×16-2×100）×0.06+（500×17-1×100）×0.23+18×500×0.71=8790；因为8464＜8790，所以应选n=18．【解析】（Ⅰ）先分2段求出T与X的函数关系式，再利用函数的解析式求得概率；（Ⅱ）计算两个期望比较大小，作出决策．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由∠AF1B=60°，可得a=2b，由点，在C上，可得+=1，∴b2=1，a2=4，∴椭圆C的方程为+y2=1，（Ⅱ）联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，∵直线l与椭圆相切，∴△=16（4k2+1-m2）=0，即4k2+1=m2，设P（x1，y1），可得x1==-，则y1==，∴|OP|2=+===4-又直线l与圆O相切，可得|OQ|=，则|OQ|2===4-∴|PQ|===，∴S△OPQ=|PQ|•|OP|=•=•=•≤，当且仅当k=1时取等号，此时m2=1+4=5，则m=±，故直线l的方程为y=x+或y=x-．【解析】（Ⅰ）由∠AF1B=60°，可得a=2b，由点在C上，可得+=1，解得b2=1，a2=4，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）联立，根据判别式求出4k2+1=m2，即可求出点P的坐标，可得|OP|，再求出|OQ|，表示出三角形的面积，根据基本不等式即可求出．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式与基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=e2x+2×e2x=e2x，x＞-1，令h（x）=-2x2+（2a-2）x+a-1，△=4（a2-1），当-1≤a≤1时，△≤0，则h（x）≤0，即f′（x）≤0，∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，当a＜-1或a＞1时，此时△＞0，设h（x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1=，x2=，若a＜-1，可知x1＜-1＜x2，则x∈（x2，+∞），f′（x）＜0，x∈（-1，x2），f′（x）＞0，若a＞1，可知-1＜x1＜x2，则x∈（-1，x1），（x2，+∞），f′（x）＜0，x∈（x1，x2），f′（x）＞0，综上所述，当a＜-1时，f（x）在（，+∞）上单调递减，在（-1，）上单调递增，（，+∞）上单调递减，在（，）当a＞1时，f（x）在（-1，），上单调递增，证明：（Ⅱ）＞，∴g′（x）====，由（Ⅰ）可知当a=1时，f（x）=e2x在（0，+∞）单调递减，且f（0）=1，f（1）=0，∴对任意m∈[0，1），存在唯一x m∈（0，1]，使f（x m）=m，（反之对任意x m（0，1]存在唯一m∈[0，1），f（x m）=m），∴当x∈（0，x m）时，f（x）＞m，此时g′（x）＞0，函数g（x）在（0，x m）上单调递增，当x∈（x m，+∞）时，f（x）＜m，此时g′（x）＜0，函数g（x）在（x m，+∞）上单调递减，∴当x=x m时，g（x）取得最大值，即最大值h（m）=g（x m）====令p（x）=e2x，p′（x）=-e2x≤0，（0＜x≤1），∴p（x）在（0，1]上单调递减，∴p（1）≤h（m）＜p（0），即-e2≤h（m）＜-2，∴h（m）的值域为[-e2，-2）．【解析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调的关系即可求出，（Ⅱ）先求导，g′（x）=，由（Ⅰ）可知当a=1时，构造函数，再根据导数和函数最值的关系即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，可得C2的直角坐标方程为：x+-6=0，即曲线C2为直线．曲线C1是圆心为（2，0），半径为|r|的圆．因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|==2，圆C1的普通方程为x2+y2-4x=0，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由题意可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），S△AOB=|OA||OB|sin=ρ1ρ2=4cosθcos（θ+）=4（cos2θ-sinθcosθ）=4（-）=2+2cos（2θ+），所以△AOB面积的最大值为2+2．【解析】（Ⅰ）消参可得C1的普通方程，再根据互化公式可得C1的极坐标方程．（Ⅱ）根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】（Ⅰ）证明：正实数a，b满足a+b=2，则=2（a+b）+2+2•≤6+2（a+b）+2=12，∴；（Ⅱ）解：对任意正实数a，b，有a+b≥2，所以2≤2，即ab≤1，当且仅当a=b 时取“=”；所以对任意a、b∈R+，不等式|x+1|-|x-3|≥ab恒成立，即|x+1|-|x-3|≥1恒成立；若x≤-1，则不等式化为-x-1-（3-x）≥1，即-4≥1，不等式无解；若-1＜x＜3，则不等式化为x+1-（3-x）≥1，解得≤x≤3；若x≥3，则不等式化为x+1-（x-3）≥1，即4≥1，不等式恒成立；综上，实数x的取值范围是[，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据题意，利用完全平方公式和基本不等式，即可证明；（Ⅱ）利用基本不等式得出ab≤1，把问题转化为|x+1|-|x-3|≥1恒成立，再利用分段讨论法求出不等式的解集．本题考查了基本不等式应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．。
上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含解析)
过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A 、 B 两点，
由切线长定理可得 AM AN ， F1M F1G ， F2G F2N ，
所以， AF2 F1F2 AF1 AN F2N F1G F2G AM F1M
F2N F2G 2 F2G 2c 2a ，则 F2G c a ，所以点 G 的横坐标为 c c a a .
n
a1
1 2
2a1 d
d
0，
与已知 Sn 0 恒成立，矛盾， 所以，假设不成立，所以 d 0 .
所以an 是严格增数列，故②正确； 对于③，设数列an 公比为 q ，则由已知可得 a1 0 ， q 1.
所以
S2023
a2023
a1
1 q2023 1 q
a1q2022
a12q2022
【详解】对于①，设 an 公差为d ，则 an1 an d ，
an1
2 2 2 则
an1 an
d
2an
个常数，所以 2an 为等比数列，故①正确；
是 对于②，设d 0，显然有a1 0.
则当 n 2a1 1时，有 n 1 2a1 ，
d
d
有
Sn
na1
nn 1ห้องสมุดไป่ตู้
2
d
n
a1
n 1d 2
0 3
0
即可得出答案.
【详解】将直线方程 2x my 3m 0 化为 2x m y 3 0 .
x 0
x 0
解
y
3
0
，可得
y
3
，
所以，当 m 变动时，所有直线都通过定点 0, 3 .
故答案为： 0, 3 .
2. 已知直线 l1 ： x 2y 3 0 ， l2 ： x ay 1 0 ，若 l1 l2 ，则实数 a 的值为______.
2017届高三数学二轮复习教师用书：组合练节奏 “5+2选1”解答题限时练(二)含答案
“5＋2选1”解答题限时练(二)1．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ，∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2，联立方程可得q ＝3，d ＝3， ∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由(1)知S n ＝n （3＋3n ）2，c n ＝32S n ＝32·23·1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.2．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝3.(1)过BC 的截面交A 1A 于P 点，若△PBC 为等边三角形，求出点P 的位置；(2)在(1)条件下，求四棱锥P -BCC 1B 1与三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积比． 解：(1)由题意可得PC ＝PB ＝BC ＝22，在三棱柱中，由AA 1⊥平面ABC 且AB ＝AC ＝2，可得P A ＝2， 故点P 的位置为AA 1的三等分点，且靠近点A 1处． (2)由(1)可知，VABC -A 1B 1C 1＝12×2×2×3＝6，VP -A 1B 1C 1＝13×12×2×2×1＝23，V P -ABC ＝13×12×2×2×2＝43， 所以VP -BCC 1B 1＝6－43－23＝4，所以所求两个几何体的体积比为23.3．为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为25.(1)求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值； (2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？(3)能够有多大把握认为疫苗有效？附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（c ＋d ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d解：(1)设“， 由已知得P (A )＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)未注射疫苗发病率为4060＝23，注射疫苗发病率为1040＝14.发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到了发病率，可以判断疫苗有效．(3)由数据计算得，K 2＝100×（20×10－30×40）250×50×40×60＝503≈16.67>10.828.所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2 ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2| ＝12|F 1F 2|·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12t 2＋14＋3t 2.而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2. 5．已知函数f (x )＝a 2x＋a ln x .(1)当a >0时，若曲线f (x )在点(2a ，f (2a ))处的切线过原点，求a 的值； (2)若函数f (x )在其定义域上不是单调函数，求a 的取值范围； (3)求证：当a ＝1时，ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1(n ∈N *)．解：(1)法一：因为f ′(x )＝－a 2x 2＋ax (x >0)，所以f ′(2a )＝14.又f (2a )＝a2＋a ln 2a ＝a ⎝⎛⎭⎫12＋ln 2a ， 故切线方程为y －a ⎝⎛⎭⎫12＋ln 2a ＝14(x －2a )． 又切线过原点，所以将点(0，0)代入切线方程得－a ⎝⎛⎭⎫12＋ln 2a ＝14×(－2a )，即ln 2a ＝0，解得a ＝12.法二：因为f ′(x )＝－a 2x 2＋a x (x >0)，所以f ′(2a )＝14.又切线过原点，所以切线方程为y ＝14x .当x ＝2a 时，y ＝a2.把点⎝⎛⎭⎫2a ，a 2代入函数f (x )＝a 2x ＋a ln x 得a 2＝a 2＋a ln 2a ，解得a ＝12. (2)因为f ′(x )＝－a 2x 2＋a x ＝a （x －a ）x 2(x >0)，当a ＝0时，f ′(x )＝0，此时f (x )＝0， 显然f (x )在(0，＋∞)上不是单调函数； 当a <0时，因为x >0，所以x －a >0，故f ′(x )<0，所以f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． 当a >0时，由f ′(x )>0得x －a >0，即x >a . 故f (x )在(0，a )上是单调递减函数， 在(a ，＋∞)上是单调递增函数， 即f (x )在(0，＋∞)上不是单调函数． 综上可知a 的取值范围是[0，＋∞)． (3)证明：当a ＝1时，f (x )＝1x ＋ln x ，由(2)知f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以当x >1时，f (x )＝1x ＋ln x >f (1)＝1⇒ln x >1－1x.设x ＝n ＋1n ，n ∈N *，则ln n ＋1n >1－n n ＋1＝1n ＋1.所以ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n >12＋13＋…＋1n ＋1，又ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n＝ln ⎝⎛⎭⎫2×32×43×54×…×n ＋1n ＝ln(n ＋1)，所以ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1.6．[二选一](选修4－4)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t(t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|P A |·|PB |的值． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， ∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.(2)将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t(t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得到t2＋22t －3＝0，∴t 1t 2＝－3， ∴|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝3. (选修4－5)设f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6，2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．解：(1)显然a ≠0，当a >0时，解集为⎣⎡⎦⎤－1a ，3a ，则－1a ＝－6，3a ＝2，无解； 当a <0时，解集为⎣⎡⎦⎤3a ，－1a ，令－1a ＝2，3a ＝－6，得a ＝－12.综上所述，a ＝－12.(2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －4，x ≤－14，6x －2，－14<x <32，2x ＋4，x ≥32，由此可知，h (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－14上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－14，32上单调递增，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上单调递增，则当x ＝－14时，h (x )取到最小值－72，由题意知，－72≤7－3m ，解得m ≤72，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，72.。
双曲线的焦点三角形的内心的相关结论
双曲线22221(0,0)xyabab的左，右焦点为F1，F2，P为双曲线右支上不同于顶点的
一点，则12PFF的内心的横坐标是a． 解：设12PFF的内切圆与12FF相切于点0(,0)Dx，则12122DFDFPFPFa，00()()2xccxa，0xa．
练习题1．双曲线22221(0,0)xyabab的左，右焦点分别为1F，2F，P是双曲线上一点，123FPF，12PFF的外接圆半径为R，内切圆半径为r，且4Rr，则该双曲线的离心率为_______．
答案：2217
解：2423sin3ccR，23cr，
设12PFF的内切圆与12FF，1PF，2PF的切点分别为D，E，F， 则32cPEr，11FDFEca，132cPFa，232cPFa， 由余弦定理可得，2223333()()()()(2)2222ccccaaaac，
22127ac，2217e．
练习题2．设双曲线C：22221(0,0)xyabab的离心率2ｅ，1F，2F是双曲线C的左、右焦点，过点1F的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点M，N分别为12AFF，12BFF的内心，则MN的取值范围是_______________．（用只含有a的式子表示）
43[2,)3aa
解：双曲线C的渐近线3byxxa的倾斜角为3， ∴直线AB的倾斜角的取值范围为2(,)33． 点M，N在直线xa上， 设双曲线C的左顶点为E，1FMN中，12MFN，1FEMN，1FEcaa，
设1MFE，则22(,)33， 243[2,)tansin23tan()2aaaMNMEENaa
．
平面解析几何试题 解析
平面解析几何1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．2【答案】A【解析】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+，所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =.故选A 。
2．（2020届河南省濮阳市高三模拟）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A．B ．8C．D ．4【答案】C【解析】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1．由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|==，故选C 。
3．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y +=D ．2214525x y +=【答案】B【解析】由题意可得c=F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=8=，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36，于是b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=，故选B 。
高考数学专题练习 (12)
“12＋4”限时标准练(七) (时间：40分钟 满分：80分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A. 2 B ．1 C.22D.12[解析] 解法一：因为z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝2，故选A.解法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2i 1＋i ＝|2i||1＋i|＝212＋12＝2，故选A.[答案] A2．已知集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |x ＝n 2－1，n ∈A }，P ＝A ∩B ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个[解析] 因为B ＝{x |x ＝n 2－1，n ∈A }＝{－1,0,3,8}，所以P ＝A ∩B ＝{0,3}，所以P 的子集共有22＝4(个)，故选B.[答案] B3．sin80°cos50°＋cos140°sin10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12D.12[解析] 解法一：sin80°cos50°＋cos140°sin10°＝cos10°cos50°－cos40°sin10°＝cos10°cos50°－sin50°sin10°＝cos(10°＋50°)＝12，故选D.解法二：sin80°cos50°＋cos140°sin10°＝cos10°sin40°－cos40°sin10°＝sin(40°－10°)＝12，故选D. [答案] D4．已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ≥1时，f (x )＝x －2x ，则{x |f (x ＋2)>1}＝( ) A ．{x |x <－3或x >0} B ．{x |x <0或x >2} C ．{x |x <－2或x >0} D ．{x |x <2或x >4}[解析] 由f (1－x )＝f (1＋x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为当x ≥1时，f (x )＝x －2x ，易知函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝1，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，f (0)＝1，所以由f (x ＋2)>1得x ＋2>2或x ＋2<0，解得x >0或x <－2，故选C.[答案] C5.如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB ⊥OA ，P 是圆上的动点，点P 关于直线OB 的对称点为P ′，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将|OP →－OP →′|表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )[解析] 根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则P (cos x ，sin x )，P ′(－cos x ，sin x )，所以OP →＝(cos x ，sin x )，OP ′→＝(－cos x ，sin x )，所以OP →－OP ′→＝(2cos x,0)，所以f (x )＝|OP →－OP ′→|＝|2cos x |，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2，－2cos x ，π2<x ≤π，由余弦函数的图象知A 正确，故选A.[答案] A6．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为( )A.1＋e 1－e r ＋2e1－e R B.1＋e 1－e r ＋e 1－e R C.1－e 1＋e r ＋2e 1＋rR D.1－e 1＋e r ＋e 1＋eR [解析] 设该卫星远地点离地面的距离为r ′，则由题意分析可知⎩⎨⎧a －c ＝r ＋R ，a ＋c ＝r ′＋R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝r ＋r ′＋2R 2，c ＝r ′－r 2，所以离心率e ＝c a ＝r ′－r r ＋r ′＋2R ，解得r ′＝1＋e 1－e r ＋2e1－eR ，故选A.[答案] A7．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女2名运动员组成．某班级从3名男生A 1，A 2，A 3和3名女生B 1，B 2，B 3中各随机选出2名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则A 1和B 12人组成一队参加比赛的概率为( )A.19B.29C.13D.49[解析] 从3名男生和3名女生中各随机选出2名，选出的4人的组队方法有C 23C 23A 22＝18(种)，其中A 1和B 12人组成一队参加比赛的组队方法有2×2＝4(种)，所以所求概率P ＝418＝29，故选B.[答案] B8．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的两个焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则△ABF 2的内切圆的半径为( )A.23B.33C.223D.233[解析] 由双曲线方程知b ＝1.由通径公式，知2b 2a ＝2，所以a ＝2，所以c ＝ 3.由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝2a ＋|AF 1|，|BF 2|＝2a ＋|BF 1|，所以|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋|AF 1|＋|BF 1|＝5 2.设△ABF 2的内切圆半径为r ，则12r ·(|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |)＝12·|AB |·|F 1F 2|，即r ·62＝2×23，解得r ＝33，故选B.[答案] B二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．设非零实数a >b >c ，那么下列不等式中一定成立的是( ) A ．a 2>bcB ．ac 2>bc 2C ．(a －b )2>(a －c )2D ．ln a －ba －c<0[解析] 当a ＝1，b ＝－2，c ＝－3时，a 2<bc ，所以选项A 不一定成立；因为a ，b ，c 是非零实数，所以c 2>0，又a >b ，所以ac 2>bc 2，所以选项B 一定成立；因为b >c ，所以－b <－c ，则a －b <a －c ，又a >b ，所以a －b >0，即a －c >a －b >0，当c >0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上单调递增，所以(a －c )c >(a －b )c ，故选项C 不一定成立；因为a －c >a －b >0，所以0<a －b a －c <1，所以ln a －ba －c<0，故选项D 一定成立．综上可知，选BD.[答案] BD10．已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，则下列说法正确的是( ) A ．数列{S n }中的最大项为S 10 B ．数列{a n }的公差d <0 C ．S 10>0 D ．S 11<0[解析] 由S 5>S 6>S 4得a 6<0，a 5>0，a 5＋a 6>0，所以公差d <0，故B 正确；由a 6<0，a 5>0知数列{S n }中的最大项为S 5，故A 不正确；S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)>0，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6<0，故C 、D 正确．综上，正确的说法为BCD.[答案] BCD11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，CC 1，C 1D 1的中点，则下列结论正确的是( )A ．EF ⊥B 1CB ．直线FG 与直线A 1D 所成的角为60°C ．过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形D ．三棱锥B －EFG 的体积为56[解析] 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，E (1,0,0)，F (0,2,1)，B 1(2,2,2)，C (0,2,0)，G (0,1,2)，A 1(2,0,2)，则EF →＝(－1,2,1)，B 1C →＝(－2,0，－2)，所以EF →·B 1C →＝－1×(－2)＋2×0＋1×(－2)＝0，所以EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C ，所以A 正确；FG →＝(0，－1,1)，A 1D →＝(－2，0，－2)，所以cos 〈FG →，A 1D →〉＝－22×22＝－12，所以〈FG →，A 1D →〉＝120°，则直线FG 与直线A 1D 所成的角为60°，所以B 正确；延长GF ，DC 交于H ，延长FG ，DD 1交于Q ，连接EH 交BC 于点N ，连接EQ 交A 1D 1于点M ，连接NF ，MG ，则EMGFN 为截面图形，所以过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形，所以C 不正确；连接BH ，则S △BEH ＝S 梯形ABHD －S △ABE －S △EDH ＝12×(2＋3)×2－12×1×2－12×1×3＝52，V B －GEF ＝V G －BEF ＝V H －BEF ＝V F －BEH ＝13S △BEH ·FC ＝13×52×1＝56，所以D 正确．故选ABD.[答案] ABD12．已知f (x )＝e x －2x 2有且仅有两个极值点，分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则下列不等式中正确的有(参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)( )A ．x 1＋x 2<114 B ．x 1＋x 2>114 C ．f (x 1)＋f (x 2)<0D ．f (x 1)＋f (x 2)>0[解析] 由题意得f ′(x )＝e x －4x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e14－1>0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e12－2<0，f ′(2)＝e 2－8<0.由ln3≈1.0986，得98>ln3，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫94>0，从而14<x 1<12，2<x 2<94，所以x 1＋x 2<114.因为f (0)＝1，所以易得f (x 1)>1.因为f ′(2ln3)＝9－8ln3>0，所以x 2<2ln3，因为f ′(x 2)＝0，所以f (x 2)＝4x 2－2x 22.设g (x )＝4x －2x 2，则g (x 2)>g (2ln3)>g (2.2)＝－0.88>－1，所以f (x 1)＋f (x 2)>0.[答案] AD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填写在各小题的横线上．) 13．设向量a ＝(m,1)，b ＝(2,1)，且a ·b ＝12(a 2＋b 2)，则m ＝__________.[解析] 由题意，得m ×2＋1×1＝12(m 2＋12＋22＋12)，整理，得m 2－4m ＋4＝0，解得m ＝2. [答案] 214．某种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且P (μ－3σ<Z ≤μ＋3σ)≈0.9973.某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的产品件数为__________．[解析] 10000件产品中质量指标值位于区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的产品件数为[1－P (μ－3σ<Z ≤μ＋3σ)]×10000≈(1－0.9973)×10000＝27.[答案] 2715．(3x 2－2x －1)5的展开式中，x 2的系数是______．(用数字填写答案)[解析] 解法一：因为(3x 2－2x －1)5＝[(3x 2－2x )－1]5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(3x 2－2x )5－r·(－1)r ，当r ＝0或r ＝1或r ＝2时，二项式(3x 2－2x )5－r 的展开式中无x 2项；当r ＝3时，二项式(3x 2－2x )5－r 的展开式中x 2的系数为4；当r ＝4时，二项式(3x 2－2x )5－r 的展开式中x 2的系数为3；当r ＝5时，二项式(3x 2－2x )5－r 的展开式中无x 2项．所以所求展开式中x 2的系数为4×C 35×(－1)3＋3×C 45×(－1)4＝－25.解法二：(3x 2－2x －1)5＝(3x ＋1)5(x －1)5，(3x ＋1)5的展开式中常数项为1，x 的系数为3C 45＝15，x 2的系数为9C 35＝90，(x －1)5的展开式中常数项为－1，x 的系数为C 45×(－1)4＝5，x 2的系数为C 35×(－1)3＝－10，所以(3x 2－2x －1)5的展开式中，x 2的系数为1×(－10)＋15×5＋90×(－1)＝－25.[答案] －2516．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C 且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，则sin2B ＋2cos B 的最小值为__________，最大值为__________．[解析] 由sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，得2sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理，得2b ＝a ＋c ，所以b 2＝14(a ＋c )2，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝38·a 2＋c 2ac －14≥38×2－14＝12，所以0<B ≤π3.设f (B )＝sin2B ＋2cos B ，则f ′(B )＝2cos2B －2sin B ＝2(1－2sin 2B )－2sin B ＝2(1＋sin B )(1－2sin B )．因为1＋sin B >0，所以当sin B <12，即B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(B )>0，函数f (B )单调递增，当sin B >12，即B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3时，f ′(B )<0，函数f (B )单调递减，所以当sin B＝12，即B ＝π6时，f (B )取得最大值，即f (B )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝332.又f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32＋1，所以f (B )min ＝32＋1. [答案]32＋1 332。
高三数学中难度小题
高三数学中难度小题一．选择题（共16小题）1．已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3的值为（）A．35 B．20 C．5 D．﹣52．已知函数f（x）=x+e x﹣a，g（x）=ln（2x+1）﹣4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）﹣g（x0）=4成立，则实数a的值为（）A．ln 1﹣1 B．1﹣ln 2 C．ln 2 D．﹣ln 23．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若|AB|=6，则|EM|的长为（）A．2 B．C．2 D．4．已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e为自然对数的底数，若不等式f（3a2）+f（﹣2a﹣1）≤f （0）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣]B．[﹣]C．[﹣1，]D．[]5．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a9a10﹣1＞0，＜0，则使T n＞1成立的最大自然数n的值为（）A．9 B．10 C．18 D．196．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量=λ+μ，则λ+μ的取值范围为（）A．[﹣1，5]B．[] C．[] D．[﹣1，]7．已知，为单位向量，且，向量满足|﹣﹣|=2，则||的范围为（）A．[1，1+]B．[2﹣，2+] C．[]D．[3﹣2，3+2]8．已知椭圆C：+=1，若直线l经过M（0，1），与椭圆交于A、B两点，且=﹣，则直线l的方程为（）A．y=±x+1 B．y=±x+1 C．y=±x+1 D．y=±x+19．已知函数f（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在区间[，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A．B．C．D．11．如图，F1，F2为双曲线C的左右焦点，且|F1F2|=2．若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1⊥PF2．设直线PF2与y轴交于点A，且△APF1的内切圆半径为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．4 C．D．212．已知f（x）=x+xlnx，若k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则整数k的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．613．若函数y=2sinωx（ω＞0）在区间（﹣，）上只有一个极值点，则ω的取值范围是（）A．1≤ω≤B．＜ω≤3 C．3≤ω＜4 D．≤ω＜14．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”15．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．16．已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（）A． B．C．D．二．填空题（共12小题）17．如图，圆锥的高PO=，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为．18．设函数f（x）=，数列{a n}是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，若f（a1）+f （a2）+…+f（a10）=a1，则a1=．19．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC 的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为．20．如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为10kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且|F1|=|F2|=|F3|．要提起这块钢板，|F1|，|F2|，|F3|均要大于xkg，则x的最小值为．21．在数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），S n为{a n}的前n项和，令T n=，n∈N*，则T n的最大值为．22．已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，若AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC 的表面积为．23．已知数列{a n}的通项为a n=，若{a n}的最小值为，则实数a的取值范围是．24．如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为．25．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为．26．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球体积．27．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a n}满足a1=a（a＞0），a2=1，a n+2=（n∈N），若a2015=4a，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015的值为．28．已知AD、BE分别是△ABC的中线，若AD=BE=1，且•=，则与的夹角为．三．解答题（共2小题）29．一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个．（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色球、黑色球的个数分别为a、b、c，令随机变量ξ表示a、b、c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．30．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（℃）1011131286就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组（每个有序数对（x，y）叫作一组）数据中随机选取2组作为检验数据，用剩下的4组数据求线性回归方程．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好来自相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月和6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅲ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？参考公式：．高三数学中难度小题参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3的值为（）A．35 B．20 C．5 D．﹣5【解答】解：（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1得，a0+a1+…+a7=2•（a﹣1）6=0，解得a=1，而a3表示x3的系数，所以a3=•（﹣1）3+•（﹣1）2=﹣5．故选：D．2．已知函数f（x）=x+e x﹣a，g（x）=ln（2x+1）﹣4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）﹣g（x0）=4成立，则实数a的值为（）A．ln 1﹣1 B．1﹣ln 2 C．ln 2 D．﹣ln 2【解答】解：f（x）﹣g（x）=x﹣ln（2x+1）+e x﹣a+4e a﹣x，令h（x）=x﹣ln（2x+1），则h′（x）=1﹣，∴h（x）在（﹣，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，所以h（x）min=h（0）=0，又e x﹣a+4e a﹣x≥2=4，∴f（x）﹣g（x）≥4，当且仅当时，取等号．解得x=0，a=﹣ln 2，故选：D．3．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若|AB|=6，则|EM|的长为（）A．2 B．C．2 D．【解答】解：由已知得F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，并与y2=4x联立得y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x0，y0），y1+y2=4m，则y0==2m，x0=2m2+1，所以E（2m2+1，2m），又|AB|=x1+x2+2=m（y1+y2）+4=4m2+4=6，解得m2=，线段AB的垂直平分线为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2﹣1），令y=0，得M（2m2+3，0），从而|ME|==．故选：B．4．已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e为自然对数的底数，若不等式f（3a2）+f（﹣2a﹣1）≤f （0）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣]B．[﹣]C．[﹣1，]D．[]【解答】解：易知y=x3﹣2x，与y=e x﹣，都是奇函数，所以函数f（x）为奇函数，又因为f′（x）=3x2﹣2+e x+e﹣x≥3x2≥0，所以函数f（x）为增函数，原不等式转化为：f（3a2）≤f（2a+1）⇒3a2﹣2a﹣1≤0，解得：﹣≤a≤1，故选：B．5．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a9a10﹣1＞0，＜0，则使T n＞1成立的最大自然数n的值为（）A．9 B．10 C．18 D．19【解答】解：根据题意，a9a10﹣1＞0，即a9a10＞1，则有a92×q＞1，即q＞0，等比数列{a n}的各项均为正数，若＜0，则有（a9﹣1）（a10﹣1）＜0，又由a1＞1，q＞0，分析可得a9＞1，a10＜1，则T18=a1•a2•a3•a4•…•a15•a16•a17•a18=（a9a10）9＞1；T19=a1•a2•a3•a4•…•a16•a17•a18•a19=（a10）19＜1；则使T n＞1成立的最大自然数n的值为18；故选：C．6．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量=λ+μ，则λ+μ的取值范围为（）A．[﹣1，5]B．[] C．[] D．[﹣1，]【解答】解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．设P（cosθ，sinθ），∴AC=（1，1）．再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（+μcosθ，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），∴，∴，∴λ+μ===﹣1+．由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．求得（λ+μ）′=＞0，故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，故当θ=时，即cosθ=0，这时λ+μ取最大值为=5，故λ+μ的取值范围为[，5]故选：C．7．已知，为单位向量，且，向量满足|﹣﹣|=2，则||的范围为（）A．[1，1+]B．[2﹣，2+] C．[]D．[3﹣2，3+2]【解答】解：由，是单位向量，•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量满足|﹣﹣|=2，∴|（x﹣1，y﹣1）|=2，∴=2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，其圆心C（1，1），半径r=2，∴|OC|=∴2﹣≤||=≤2+．故选：B．8．已知椭圆C：+=1，若直线l经过M（0，1），与椭圆交于A、B两点，且=﹣，则直线l的方程为（）A．y=±x+1 B．y=±x+1 C．y=±x+1 D．y=±x+1【解答】解：设直线l的方程为m（y﹣1）=x．A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（9+5m2）y2﹣10m2y+5m2﹣45=0，∴y1+y2=，y1y2=，∵=﹣，∴y1﹣1=﹣．联立解得m=±3．则直线l的方程为：y=x+1．故选：B．9．已知函数f（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在区间[，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：令f（x）=0可得：，令，则，令t（x）=x2+3x﹣4﹣2lnx，则，据此可得函数t（x）在区间上单调递增，且t（1）=0，故当x∈（0，1）时，t（x）＜0，h’（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，t（x）＞0，h’（x）＞0，则函数h（x）在区间上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，而：，据此可得：实数k的取值范围为．故选：A．10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（x+2），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4，∵f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）关于x=0对称，则f（x）关于x=﹣1对称，同时也关于x=1对称，若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，此时f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）=﹣，x∈[﹣1，0]，若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，则f（x）=﹣f（x+2）=﹣，x∈[﹣2，﹣1]，若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，则f（x）=﹣f（x﹣2）==，x∈[1，2]，作出函数f（x）的图象如图：由数g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b，由图象知当x∈[﹣1，0]时，由﹣=x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0，由判别式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，则f（x）=f（x﹣4）=，由=x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，由判别式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足﹣＜b＜﹣，即实数b的取值集合是4n﹣＜b＜4n﹣，即4（n﹣1）+＜b＜4（n﹣1）+，令k=n﹣1，则4k+＜b＜4k+，故选：D．11．如图，F1，F2为双曲线C的左右焦点，且|F1F2|=2．若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1⊥PF2．设直线PF2与y轴交于点A，且△APF1的内切圆半径为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．4 C．D．2【解答】解：由PF1⊥PF2，△APF1的内切圆半径为，由圆的切线和勾股定理可得：圆外一点引圆的切线所得切线长相等，可得|PF1|+|PA|﹣|AF1|=2r=1，由双曲线的定义可得|PF2|+2a+|PA|﹣|AF1|=1，可得|AF2|﹣|AF1|=1﹣2a，由图形的对称性知：|AF2|=|AF1|，即有a=．又|F1F2|=2，可得c=1，则e==2．故选：A．12．已知f（x）=x+xlnx，若k（x﹣2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则整数k的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵x＞2，∴k（x﹣2）＜f（x）可化为k＜=；令F（x）=，则F′（x）=；令g（x）=x﹣2lnx﹣4，则g′（x）=1﹣＞0，故g（x）在（2，+∞）上是增函数，且g（8）=8﹣2ln8﹣4=2（2﹣ln8）＜0，g（9）=9﹣2ln9﹣4=5﹣2ln9＞0；故存在x0∈（8，9），使g（x0）=0，即2lnx0=x0﹣4；故F（x）在（2，x0）上是减函数，在（x0，+∞）上是增函数；故F min（x）=F（x0）==；故k＜；故k的最大值是4；故选：B．13．若函数y=2sinωx（ω＞0）在区间（﹣，）上只有一个极值点，则ω的取值范围是（）A．1≤ω≤B．＜ω≤3 C．3≤ω＜4 D．≤ω＜【解答】解：函数y=2sinωx（ω＞0）则y′=2ωcosωx．∵x∈（﹣，）上，∴ωx∈（﹣ω，ω）．∵在区间（﹣，）上只有一个极值点，则﹣ω，且，解得：，即＜ω≤3．故选：B．14．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．15．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，；∴由得：①，②，③；①两边平方得：；∴；∴；∴OA⊥OB；同理②③两边分别平方得：，；∴；∴S△ABC =S△AOB+S△BOC+S△AOC==．故选：C．16．已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，故λ的取值范围为（0，）．故选：D．二．填空题（共12小题）17．如图，圆锥的高PO=，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为．【解答】解：设点O到平面PAC的距离为d，设直线OC和平面PAC所成角为α，则由等体积法有：V O﹣PAC=V P﹣OAC，即S△PAC •d=•PO•S△OAC，在△AOC中，求得AC=，在△POD中，求得PD=，∴d==，∴sin α==，于是cos α==，故答案为．18．设函数f（x）=，数列{a n}是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，若f（a1）+f （a2）+…+f（a10）=a1，则a1=e．【解答】解：若x＞1，则0＜＜1；则f（x）=xln x，=﹣xln x，故f（x）+f（）=0对任意x＞0成立．又∵{a n}是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，所以a6=1．故a2a10=a3a9=a4a8=a5a7=a6=1；故f（a2）+f（a3）+…+f（a10）=f（a2）+f（a10）+f（a3）+f（a9）+…+f（a5）+f（a7）+f（a6）=0，所以f（a1）+f（a2）+…+f（a10）=f（a1）=a1，若a1＞1，则a1ln a1=a1，则a1=e；若0＜a1＜1，则＜0，无解；故答案为：e．19．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC 的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为．【解答】解：由题意，AG=2，AD=1，cos∠BAC==﹣，∴sin∠BAC=，∴△ABC外接圆的直径为2r==，设球O的半径为R，∴R==∴球O的表面积为，故答案为．20．如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为10kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力同它相邻的三角形的两边之间的角都是60°，且|F1|=|F2|=|F3|．要提起这块钢板，|F1|，|F2|，|F3|均要大于xkg，则x的最小值为．【解答】解：由题意可得：3xsin60°≥10，解得x≥（kg），故答案为：．21．在数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），S n为{a n}的前n项和，令T n=，n∈N*，则T n的最大值为2+2．【解答】解：数列{a n}中，首项不为零，且a n=a n﹣1（n∈N*，n≥2），∴数列{a n}为等比数列，首项为a1，公比为．∴，．S n=，S2n=，T n====≤=2（），当且仅当n=2时取等号．∴T n的最大值为2+2．故答案为：2+2．22．已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，若AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC 的表面积为16．【解答】解：∵∠BSC=∠ASC=45°，且SC为直径，∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形，∴BO⊥SC，AO⊥SC；又AO∩BO=O，∴SC⊥面ABO；△SAB中，SA=AB=，AB=2，∴S△SAB=×2×=3，同理S△ABC=3，∵S△BSC =S△ASC=×2×=5，∴棱锥S﹣ABC的表面积为16．故答案为：16．23．已知数列{a n}的通项为a n=，若{a n}的最小值为，则实数a的取值范围是[，+∞）．【解答】解：由题可知当n≤5时结合函数y=x+（x＞0），可知a n≥a4=4+=，又因为{a n}的最小值为，所以当n＞5时y=alnn﹣≥，即alnn≥8，又因为lnn＞ln5＞0，所以当n＞5时a≥恒成立，所以，故答案为：[，+∞）．24．如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为72．【解答】解：连接CO延长交AB于M，则由O为重心，则M为中点，且=﹣2=﹣2×（+）=﹣（+），由OA⊥OB，AB=6，则=0，+==36．则•=（﹣）•（﹣）=（2+）（2+）=5+2（+）=0+2×36=72．故答案为：72．25．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；．【解答】解：∵g（x）=kx+1，∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣1，当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣2，当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣3，…当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，当k∈（1，e一1]时，k取中间值，交点在f（x）=e x上两点，定点（0，1），另一点在第一象限A点下方．当k∈（，1）时，任取k为中间值，则交点过C，另一点在笫二象限，点c的左下方．当k∈（0，]，交点有3点以上，与f（x）、f（x一1）都有交点．当k∈（一∞，e一1）时，与f（x）只交于点C．综上要使两个函数有两个交点，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故答案为：（，1）∪（1，e﹣1]；26．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球体积．【解答】解：由三视图知几何体是三棱锥A﹣BCD，是棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，AB=AD=BD=4，AC=BC==2，CD==6，设三棱锥C﹣ABD的外接球球心是O，设半径是R，取AB的中点E，连接CE、DE，如图所示：设OA=OB=OC=OD=R，△ABD是等边三角形，∴O在底面△ABD的射影是△ABD中心F，∵DE⊥BE，BE=2，∴DE==2，同理可得，CE=2，则满足CE2+DE2=CD2，即CE⊥DE；在Rt△CED中，设OF=x，∵F是等边△ABD的中心，∴DF=DE=，EF=DE=，则，∴，解得x=，代入其中一个方程得，R==，∴该四面体的外接球体积是=．故答案为：．27．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a n}满足a1=a（a＞0），a2=1，a n+2=（n∈N），若a2015=4a，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015的值为7254．【解答】解：当0＜a＜2时，∵a1=a（a＞0），a2=1，a n+2=（n∈N），∴a3=•2max{1，2}=＞2，a4=2max{，2}=，a5=•2max{，2}=4，a6=•2max{4，2}=a，a7=•2max{a，2}=1，a8=•2max{1，2}=，…∴数列{a n}是以5为周期的周期数列，∵2015=403×5，∴a2015=a5=4=4a，解得a=1，∴S2015=403（a+1+）=403（1+1+4+8+4）=7254；当a≥2时，∵a1=a（a＞0），a2=1，a n+2=（n∈N），∴a3=•2max{1，2}=＜2，a4=2max{，2}=4，a5=•2max{4，2}=2a≥4，a6=•2max{2a，2}=a＞2，a7=•2max{a，2}=1，a8=•2max{1，2}=，…∴数列{a n}是以5为周期的周期数列，∵2015=403×5，∴a2015=a5=2a=4a，解得a=0，不合题意．故答案为：7254．28．已知AD、BE分别是△ABC的中线，若AD=BE=1，且•=，则与的夹角为．【解答】解：∵AD、BE分别是△ABC的中线，∴，又，∴，∴=，=．∴且•=（）•（）=﹣﹣=，∵，∴．∴cos＜＞==﹣．∴与的夹角为．故答案为：．三．解答题（共2小题）29．一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个．（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色球、黑色球的个数分别为a、b、c，令随机变量ξ表示a、b、c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“从袋中随机取出（一次性）2个球，这2个球为异色球”，则P（A）=1﹣=；（5分）注：也可直接求概率P（A）==；（Ⅱ）根据题意，ξ的可能取值为1，2，3；计算P（ξ=3）==，P（ξ=2）==，P（ξ=1）==，则随机变量ξ的分布列为ξ123P于是数学期望为Eξ=1×+2×+3×=．（12分）30．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（℃）1011131286就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组（每个有序数对（x，y）叫作一组）数据中随机选取2组作为检验数据，用剩下的4组数据求线性回归方程．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好来自相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月和6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅲ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？参考公式：．【解答】解：（1）设选取的2组数据恰好是相邻两个月为事件A，因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的．其中选取的2组数据恰好是相邻两个月的情况有5种．所以P（A）==．（2）由数据求得=11，=24．由公式求得=，再由=﹣求得：=﹣，所以y关于x的线性回归方程为：=x﹣．（3）当x=10时，y=，|﹣22|=＜2；当x=6时，y=，|﹣12|=＜2；所以，该小组所得线性回归方程是理想的．。