高中数学第一章求递推数列通项的特征根法与不动点法拓展资料素材北师大版必修5

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求递推数列通项的特征根法与不动点法

求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数）再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ．例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+．例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=．二、形如2n n n Aa B a Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa B a Ca D ++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a ．若②有二重根αβ=，则可令111n n c a a αα+=+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a ．此方法又称不动点法．例3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn n na --∴=+-．例4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++ 由12,a =得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-．。

求递推数列的通项公式的十一种方法包含特征根和不动点

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一 • 一、作差求和法1 1a 2 a 1 — J a 31 21 1 a 4 a 3 — ,a 3 4得: a n a 1 1 —•故 a n 4 n 解：原递推式可化为 3, a n 1 a n1 求 n(n 1)' “ 1 1 小 : a n 1 a n则 n n 111a 2——23a n 11 1 逐项相加 nn 1 n1n例1在数列｛ a n ｝中，印通项公式a n . 13 4 1 1b 1 a 2 a 1，公比为• 故9 3 9 31. n 21,1、n2 .1 n 1. nb n 1 b 1()() ()•故 an an 1 ()•由 39 3 33逐差法可得：a n 3](〕)n .2 2 3例4已知数列｛ a n ｝，其中a 1 1,a 2 2，且当n 》3时，a n 2a n 1 a n 21 ,求通项公式a n 。

解由 a n2a n 1 a n21 得：(a n a n 1) (a n 1 a n 2)1，令b n 1 a n a n 1，则上式为b n 1 0 2 1，因此｛ g ｝是一个等差数列, b 1 b 2b 1a 2 a 1 1，公差为1.故b n又 b 1 b 2b n 1 a 2a 1 a 3 a 2a n a n 1 a n 1b n 1n(n 1) 21所以 a n 1 一 n(n21），即a n 如22)二、作商求和法例2 设数列｛ a n ｝是首为1的正项数列，且四、积差相消法例5（ 1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列a 0 ,2 2 (n 1)a n 1 na n a n 1a n0 (n=1,2,3 …)，则它的通项a n,…满足■. a n a n 22a n 1公式是a n = _____ （ 2000年高考15题）解：原递推式可化为：（n 2）且a 0 a 1 1，求｛a n ｝的通项公式解将递推式两边同除以.a n 1a n 2整理得：[(n 1)a n 1 na n ](a n 1 a n ) =0 a n 1a n >0, a n 1 na n n 1则a 21 a 32 a 43 a n n 1 则1 J Ja 1 2 a 2 3 a 34 a n 1na 逐项相乘得：- n 1即 a n = 1a 1 n n a na n 1a n 2a n设b n =a n 1b 2 2b 1 1 a 1=1, b n2b n 1，故有⑴ b 3 2b 21三、换元法4 13 例3 已知数列｛ a n ｝，其中a 1 -,a 2 ，且当n >3 3 9 1 时，a n a n 1 （a n 1 a n 2），求通项公式a n （1986年高 3 考文科第八题改编）• 解：设b n 1 a n a n 1,原递推式可化为： 1b n 1b n 2，｛b n ｝是一个等比数列， 3b n2b n 11(n 1)由⑴ 2n2+⑵2n 3 + ...+(n 1 )20得 b n 12 222n1 :2n1, 即an=2n1・,a n 1逐项相乘得： a n=：(21)2 (22 1)2 (2n 21),考虑到a 01,a n1(2 1)2(221)2(2n1)2(n (n 0)1)八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、a n 1 Aa n B （A、B为常数）型，可化为a n 1=A（a n ）的形式.a n五、a n2a n 1取倒数法已知数列｛a n｝中，其中a i1，求通项公式a n。

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学第一章求递推数列通项的特征根法与不动点法拓展资料素材北师大版必修5

求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ，则可令1212(,n nn a c c c c αβ=+是待定常数）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,nn a c nc c c α=+是待定常数）再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ．例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+．例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=．二、形如2n n n Aa Ba Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa B a Ca D++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…②若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a ．若②有二重根αβ=，则可令111n n c a a αα+=+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a ．此方法又称不动点法．例3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n na a c a a ++--=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn n na --∴=+-．例4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++由12,a =得2314a =，求得1c =，∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-．。

高中数学第一章由数列的递推公式求通项公式的常用方法拓展资料素材北师大版必修5

由数列的递推公式求通项公式的常用方法一准备知识所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{}n a ，a n 的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列．数列的前n 项和n S 与通项公式n a 的关系是：1(2)n n n a S S n -=-≥．有些数列不是用通项公式给出，而是用n a 与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：123n n a a +=+，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题．二例题精讲例1．（裂项求和）求222222818281335(21)(21)n nS n n ⨯⨯⨯=+++⨯⨯-⨯+．解：因为2222811(21)(21)(21)(21)n n a n n n n ⨯==--⨯+-+ 所以2222221111111335(21)(21)n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦211(21)n =-+例2．（倒数法）已知数列{}n a 中，135a =，121n n n a a a +=+，求{a n }的通项公式．解：211211+=+=+nn n n a a a a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以35为首项，公差为2的等差数列，即15612(1)33n n n a -=+-=，∴361n a n =-．练习1．已知数列{}n a 中，a 1=1，1121n n n S S S --=+，求{a n }的通项公式．解：21121111+=+=---n n n n S S S S ， ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧nS 1是以1为首项，公差为2的等差数列． ∴n S 1=1+2（n －1）=2n －1，即121n S n =-． ∴1112123n n n a S S n n -=-=---=)32)(12(2---n n ∴1112123n a n n ⎧⎪=⎨-⎪--⎩(1)(2)n n =≥ 例3．（求和法，利用公式1(2)n n n a S S n -=-≥）已知正数数列{}n a 的前n 项和112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式．解：1111112S a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以11a =．∵1n n n a S S -=-， ∴1112n n n n n S S S S S --=-+-∴111n n n n S S S S --+=-，即2211n n S S --=．∴{}2nS 是以1为首项，公差为1的等差数列．∴2nS n =，即n S =∴1n n n a S S -=-=n ≥2）∴n a =例4．（叠加法）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12132n n n S S --⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭（3n ≥），且1231,2S S ==-，求{}n a 的通项公式．解：先考虑偶数项有：S 2n －S 2n －2=－3·1221-⎪⎭⎫⎝⎛nS 2n －2－S 2n －4=－3·3221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 4－S 2=－3·321⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n －S 2=－3×4114112113-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ，所以21212(1)2n nS n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥．再考虑奇数项有：S 2n ＋1－S 2n －1=3·n221⎪⎭⎫⎝⎛S 2n －1－S 2n －3=3·2221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 3－S 1=3·221⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得22112(1)2nn S n +⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭．所以a 2n +1=S 2n +1－S 2n =4－3×n221⎪⎭⎫ ⎝⎛，a 2n =S 2n －S 2n －1=－4+3×1221-⎪⎭⎫⎝⎛n ．综上所述11143,21432n n n n a n --⎧⎛⎫-⨯⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫-+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数，为偶数，即111(1)432n n n a --⎡⎤⎛⎫=-⋅-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．例5．（1n n a pa r +=+类型数列）在数列{}n a 中，a n +1=2a n －3，a 1=5，求{}n a 的通项公式．解：∵a n +1－3=2（a n －3）∴{a n －3}是以2为首项，公比为2的等比数列． ∴a n －3=2n∴a n =2n+3．练习2．在数列{}n a 中，a 1=2，且1n a +=，求{}n a 的通项公式．解：2211122n n a a +=+， ∴22111(1)2n n a a +-=-． ∴{a n +12－1}是以3为首项，公比为21的等差数列． ∴a n +12－1=3×121-⎪⎭⎫⎝⎛n，即n a =．例6（1()n n a pa f n +=+类型）已知数列{}n a 中，a 1=1，且113n n n a a --=+，求{}n a 的通项公式．解：（待定系数法）设1133n n n n a p a p --+⋅=+⋅，则1123n n n a a p --=-⋅，与113n n n a a --=+比较可知12p =-．所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-23n n a 是常数列，且13122a -=-．所以3122n n a -=-，即n a =213-n ．练习3．已知数列{}n a 满足21n n S a n +=+，其中n S 是{}n a 的前n 项和，求{}n a 的通项公式．解：∵1n n n a S S -=-， ∴1221n n S S n -=++（待定系数法）设12()(1)n n S pn q S p n q -++=+-+，化简得：21pn p q n ---=+，所以⎩⎨⎧=+-=-12q p p ，即⎩⎨⎧=-=12q p∴2(21)2(1)1n n S n S n -+=--+，又∵11213S a +=+=，∴132S =，11212S -+=， ∴{21}n S n -+是以12为公比，以21为首项的等比数列． ∴1212nn S n ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即1212nn S n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，12122nn n a n S ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭．例7．（1rn n a pa +=型）（2005年江西高考题）已知数列{}n a 各项为正数，且满足11a =，1n a +=)4(21n n a a -． ⑴求证：12n n a a +<<；⑵求{}n a 的通项公式．解：⑴略．⑵211(2)22n n a a +=--+，∴2112(2)2n n a a +-=--，∴2112(2)2n n a a +-=-∴由⑴知20n a ->，所以221221log (2)log (2)2log (2)12n n n a a a +⎡⎤-=-=--⎢⎥⎣⎦，∴212log (2)12[log (2)1]n n a a +--=--，即2{log (2)1}n a --是以1-为首项，公比为2的等比数列， ∴12log (2)112n n a ---=-⨯，化简得11222n n a --=-．练习4．（2006年广州二模）已知函数4444(1)(1)()(1)(1)x x f x x x ++-=+--（0x ≠）．在数列{}n a 中，12a =，1()n n a f a +=（n *∈N ），求数列{}n a 的通项公式．解：4444114441(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++⎛⎫++-+++=⇒== ⎪+-----⎝⎭，从而有1111ln4ln 11n nn n a a a a ++++=--，由此及111lnln301a a +=≠-知：数列1ln 1n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为ln3，公比为4的等比数列，故有11141441131ln 4ln 331131n n n n n n n n n a a a a a ----+++=⇒=⇒=---（n *∈N ）．例8．（三角代换类型）已知数列{}n a 中，12a =，1111n n n a a a --+=-，求{}n a 的通项公式．解：令1tan n a θ-=，则a n +1=1πtantan π4tan π41tan tan 4n a θθθ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-⋅，∴(1)πtan arctan 24n n a -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

高中数学第一章数列归纳总结1学案北师大版必修5

第一章数列归纳总结知识结构知识梳理一、数列的概念与函数特征1.数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列，数列还可以看作一个定义域为N＋（或它的有限子集{1,2,…,n}）的函数的一列函数值.2.通项公式：如果数列{a n}的第n项与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.3.a n与S n之间的关系：如果S n是数列{a n}的前n项和，则S n=a1+a2+…+a n.S1, (n=1)数列{a n}的前n项和S n与a n之间的关系是a n= .S n-S n-1，(n≥2)4.数列的分类(1)根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类：①一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n+1>a n，那么这个数列叫作递增数列.②一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即a n+1<a n ，那么这个数列叫作递减数列.③一个数列{a n }，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列.④一个数列{a n }，如果它的每一项都相等，那么这个数列叫作常数列.5.根据数列的通项公式判定数列的单调性(1)已知a n =f (n )，若f (x )的单调性可以确定，则{a n }的单调性可以确定.(2)比较法①作差比较法n ∈N ＋，a n+1-a n >0⇒{a n }为递增数列；n ∈N ＋，a n+1-a n =0⇒{a n }为常数列；n ∈N ＋，a n+1-a n <0⇒{a n }为递减数列.②对各项同号的数列，可用作商比较法.n ∈N ＋，a n >0(<0)，nn a a 1+>1(<1) ⇔{a n }为递增数列； n ∈N ＋，a n >0(<0)，nn a a 1+=1⇔{a n }为常数列； n ∈N ＋，a n >0(<0)，n n a a 1+<1(>1) ⇔{a n }为递减数列. 二、等差数列1.定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，则这个数列就叫等差数列，其中的常数叫等差数列的公差，它常用字母d 表示.即定义的表达式为a n+1-a n =d (n ∈N ＋)或a n -a n-1=d (n ≥2，n ∈N ＋).2.通项公式：若数列{a n }为等差数列，则a n =a 1+(n -1)d .3.前n 项和公式：若数列{a n }为等差数列，则前n 项和S n =2)(1n a a n +=na 1+2)1(-n n d . 4.等差中项：若三个数a,A,b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，并且A =2b a +. 5.等差数列的性质:(1)已知等差数列{a n }的公差为d ，且第m 项为a m ，第n 项为a n ，则a n =a m +(n-m )d ;(2)在等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，（m,n,p,q ∈N +）则a m +a n =a p +a q ;(3)若数列{a n }满足S n =an 2+bn ，则{a n }为等差数列，且a 1=a+b ，d =2a ;(4)若数列{a n }满足S n =an 2+bn+c (c ≠0)，则{a n }从第2项起成等差数列;(5)等差数列和的最大值、最小值.1° 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 有最大值；若a 1<0，d >0，则S n 有最小值. 2° 求S n 的最值的方法：① 因为S n =2d n 2+（a 1-2d ）n ，所以可转化为二次函数求最值，但应注意n ∈N +; a n ≥0, a n ≤0，②利用则S n 为最大值；则S n 为最小值.a n+1<0, a n+1>0,三、等比数列1.定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，则此数列叫做等比数列；这个常数叫做等比数列的公比，用字母q 表示.2.等比中项：若三个数a,G,b 成等比数列,则G 叫做a 与b 的等比中项，且G =±ab .3.通项公式：等比数列{a n }的通项公式a n =a 1q n-1.4.前n 项和公式：若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，当q =1时，S n =na 1;当q ≠1时S n =q q a n --1)1(1=qq a a n --11. 5.等比数列的重要性质：(1)在等比数列{a n }中，若k +l =m+n ，（k,l,m,n ∈N +）则a k ·a l =a m ·a n .(2)数列{a n }为等比数列，则a n =a 1q n-1=qa 1·q n . ①q >1,a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列；②q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列；③q =1时，{a n }是常数列；④q <0时，{a n }是摆动数列.6.等差、等比数列的判定方法的区别.判定方法：(1)定义法：a n+1-a n =d (d 为常数)⇔ {a n }为等差数列；nn a a 1+=q (q 为非零常数) ⇔{a n }为等比数列. (2)中项公式法：2a n+1=a n +a n+2 (n ∈N +)⇔{a n }为等差数列.a 2n+1=a n ·a n+2 (a n ·a n+1·a n+2≠0，n ∈N +)⇔{a n }为等比数列.(3)通项公式法：a n =pn+q (p 、q 为常数) ⇔{a n }为等差数列；a n =cq n (c 、q 均是不为0的常数，n ∈N +)⇔{a n }为等比数列;S n =kq n -k (k 为常数，且q ≠0,1) ⇔{a n }为等比数列.四、数列的综合应用1.函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到.2.数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容.3.数列的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，都离不开数列的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路.4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.5.通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力.。

高中数学第一章数列第1节数列1.2数列的函数特性课件北师大版必修5

(2)作商比较法： ①若 an＞0，则当aan＋n 1＞1 时，数列{an}是递增数列；当aan＋n 1＜1 时，数列{an}是递减数列；当aan＋n 1＝1 时，数列{an}是常数列．
②若 an＜0，则当aan＋n 1＜1 时，数列{an}是递增数列；当aan＋n 1＞1 时，数列{an}是递减数列；当aan＋n 1＝1 时，数列{an}是常数列．
数列增减性的判断
数列．
已知数列{an}的通项公式为 an＝ n－ n＋1，求证：此数列为递增
【精彩点拨】根据数列单调性的定义，只需证明 an＋1－an＞0.
判断函数增减性的方法 (1)作差比较法： ①若 an＋1－an＞0 恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若 an＋1－an＜0 恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若 an＋1－an＝0 恒成立，则数列{an}是常数列．
2．数列的单调性
名称
定义
判断方法
递增数列从第 2 项起，每一项都大于它前面的一项递减数列从第 2 项起，每一项都小于它前面的一项
常数列各项都相等
an＋1＞an an＋1＜an an＋1＝an
数列的图像
[小组合作型]
在数列{an}中，an＝n2－8n， (1)画出{an}的图像； (2)根据图像写出数列{an}的增减性．【精彩点拨】 (1)画图像时利用列表、描点、连线三步去画． (2)根据图像的上升或下降判断增减性．
来解决数列的最值问题，但此时应注意“n∈N＋”这一条件．
1．已知数列{an}满足 an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不能确定
【解析】由条件得 an＋1－an＝3＞0，可知 an＋1＞an，所以数列{an}是递增数列．

北师大版高中数学选择性必修第二册课件第一章数列

小于
从第 2 项起，每一项都________它的前一项的数列
按项的变
化趋势
常数列
摆动数列
相等
各项________的数列
大于
从第 2 项起，有些项________它的前一项，有些项小于
它的前一项的数列
§1.2数列的函数特性
思考数列中的项与序号之间的关系
1.同学们观察数列中的项与序号之间的关系,你能从中得到什么启示?
如果数列的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.
名师点拨
(1)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两
个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．
(2)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于()，而项数是指这个数
；
③⑥
④
摆动数列是________；常数列是________．(填序号)
反思感悟
判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从
项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．
二数列的通项公式
例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：
叫作这个数列的通项公式.
二数列的函数特性
数列可视作定义在正整数集（或其子集）上的函数，数列的图象是一些孤立的点.
一般地，一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即 +1 > ，那么这个数列叫作
递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即
+1 < ，那么这个数列叫作递减数列；

高中数学第一章数列1.1数列1.1.2数列的函数特性课件北师大版必修5

∴an+1>an, �� ∴数列 3��+1 是递增数列.
3�� +4��
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二画数列的图像【例2】已知数列{an},an=n2-8n. (1)画出数列{an}的图像; (2)根据图像写出数列{an}的增减性. 分析:(1)当n∈N+时,分别在平面直角坐标系中描出点(n,an)即可.(2)图像的上升或下降显示数列的增减性. 解:(1)列表:
9 2 ��4 105 + . 8
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断数列的单调性
2 3 4 【例1】写出数列1 , , , , … 的通项公式, 并判断它的增减性. 3 5 7 分析:观察得到数列的通项公式,用作差法判断an与an+1之间的大小关系.
解 :题中数列的通项公式为 an=
∵an+1-an= 2��+1 − 2��-1 = ∴an+1<an, ∴数列{an}是递减数列.
【做一做1】已知数列{an},an=n+1,则数列{an}是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列解析:∵an+1-an=[(n+1)+1]-(n+1)=1>0, ∴{an}为递增数列. 答案:A 【做一做2】数列{-2n2+9n+3}中的最大项为 . 解析:由题意知an 因为n为正整数,所以当n取2时,an取到最大值,为13. 故数列{-2n2+9n+3}的最大项为a2=13. 答案:13 =-2n2+9n+3= -2

高中数学第一章数列本章整合课件北师大版必修5

专题一
专题二
应用 1
1 在数列{an}中,a1=1,an+1= an+1(n∈N+),求 an. 2
提示:已知递推关系an+1=kan+b求通项,用辅助数列求解的步骤: ①设an+1+λ=k(an+λ),②与已知式比较,求出λ,③由辅助数列{an+λ} 是等比数列即可得解.
解: 设 an+1+λ= (an+λ),
实际应用
银行利率分期付款
��(��1 + �� ) 2 前��项和公式 ��(��-1) �� = ��1 + �� 2
等差中项 ��1 > 0,�� > 1 或��1 < 0,0 < �� < 1 时递增增减性 ��1 > 0,0 < �� < 1 或��1 < 0,�� > 1 时递减
专题二
∴an+1(an+2)=2an, ∴an+1an=2an-2an+1. ∴数列
1
��
两边同除以 2an+1an,得
1 �� 2 1
1
是首项为 =1,公差为的等差数列,
∴�� =1+(n-1)×2 = ∴an=��+1.
1 ��1 ��+1 , 2
��1 (1-�� ) ��1 -�� = (�� ≠ 1) 1-�� 1-��

高一数学优质课件：第一章数列§1 1.2 数列的函数特性北师大版必修五

1.数列的概念是什么. 2.数列的通项公式的含义是什么.
由上节课的学习我们知道数列可以看作定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.
而数列的通项公式就类似于函数的解析式，因此研究数列的性质我们就可以借助数列的通项公式，而且数列的表示形式也和函数一样，有多种表示方法，下面来看几个例子.
an+1<an,那么这个数列叫作递减数列. 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.
例3 判断下列无穷数列的增减性.
（1）2,1,0，1,,3 n,
(2) 1 , 2 , 3 ,, n , 2 3 4 n1
解 (1)设an 3 n，那么
an1 3 (n 1) 2 n,
2 (1)n ; 5
(3)an

n
1
(1)n (n 2
1)
解：(1)an1

an

n 1 n2

n n 1

(n 1)2 (n 2)n (n 1)(n 2)

(n
1 1)(n

2)
,
an1 an 0 ，所以数列{an} 为递增数列.
（2）方法1：
例4 作出数列 1 , 1 , 1 , 1 ,, ( 1 )n , 的图像，
并分析数列的增减性.2 4 8 16
2
an
1
2
1
●
41
3ห้องสมุดไป่ตู้
5
●
O
2
4 ●n
●
1 4
1

●
2
图4

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求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数）再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ．例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+．例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=．二、形如2n n n Aa B a Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa B a Ca D++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D +=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…② 若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a ．若②有二重根αβ=，则可令111n n c a a αα+=+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1na α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a ．此方法又称不动点法．例3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n nn n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n nn a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn n n a --∴=+-．例4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++由12,a =得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！A书法文字发展简史：①古文字系统甲古文——钟鼎文——篆书早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。

（请学生讨论这几种字体的特点？）古文字是一种以象形为主的字体。

②今文字系统隶书——草书——行书——楷书到了秦末、汉初这一时期，各地交流日见繁多而小篆书写较慢，不能满足需要，隶书便在这种情况下产生了，隶书另一层意思是平民使用，同时还出现了一种草写的章草（独草），这时笔墨纸都已出现，对书法的独立创作起到了积极的推动作用。

狂草在魏晋出现，唐朝的张旭、怀素将它推向顶峰；行书出现于晋，是一种介于楷、行之间的字体；楷书也是魏晋出现，唐朝达到顶峰，著名的书法家有欧阳询、颜真卿、柳公权。

（请学生谈一下对今文字是怎样理解的？），教师进行归纳：它们的共同特点是已经摆脱了象形走向抽象化。

B主要书体的形式特征①古文字：甲骨文，由于它处于文明的萌芽时期，故字形错落有致辞，纯古可爱，目前发现的总共有3000多字，可认识的约1800字。

金文，处在文明的发展初期，线条朴实质感饱满而丰腴，因它多附在金属器皿上，所以保存完整。

石鼓文是战国时期秦的文字，记载的是君王外出狩猎和祈祷丰年，秦篆是一种严谨刻板的纯实用性的字体，艺术价值很小。

②今文字：隶书是在秦篆严谨的压抑下出现的一种潇洒开放型的新字体，课本图例《张迁碑》结构方正，四周平稳，刚劲沉着，是汉碑方笔的典范，章草是在隶书基础上更艺术化，实用化的字体，索靖《急就章》便是这种字体的代表作，字字独立，高古凝重，楷书有两大部分构成：魏碑、唐楷魏碑是北魏时期优秀书法作品的统称。

《郑文公碑》和《始平公造像》是这一时期的代表，前者气势纵横，雄浑深厚，劲健绝逸是圆笔的典型；唐楷中的《醴泉铭》法度森严、遒劲雄强，浑穆古拙、浑厚刚健，《神策军碑》精练苍劲、风神整峻、法度谨严，以上三种书体分别代表了唐楷三个时期的不同特点。

《兰亭序》和《洛神赋》作者分别是晋代王羲之、王献之父子是中国书法史上的两座高峰，前者气骨雄骏、风神跌宕、秀逸萧散的境界，后者在技法上达到了由拙到巧、笔墨洗练、丝丝入扣的微妙的境界。

他们都是不拘泥于传统的章法和技能，对后世学书者产生了深远的影响；明代文征明的书法文雅自如，现代书家沈尹默在继承传统书法方面起到了不可魔灭的作用。

3、欣赏要点：先找几位同学说一下自己评价书法作品的标准或原则是什么？[或如何来欣赏一幅书法作品？]学生谈完后，对他们的观点进行归纳总结。

然后自己要谈一下自己的观点：书法艺术的欣赏活动，有着不同于其它艺术门类的特征，欣赏书法伤口不可能获得相对直接的印象、辨识与教益，也不可能单纯为了使学生辨识书写的内容，去探讨言词语汇上的优劣。

进而得出：书法主要是通过对抽象的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受（结合讲授出示古代书法名作的图片，并与一般的书法作品进行比较，让学生在比较中得出什么是格调节器高雅，什么是粗庸平常）。

书法可以说是无声的音乐，抽象的绘画，线条流动的诗歌。

四、课堂评价：根据本节课所学的内容结合板书。

让学生体会到祖国书法艺术的博大精深，着重分析学生在书体形式特点和审美欣赏方面表现出的得失。

让学生懂得在欣赏书法时主要是通过对抽像的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受。