用不动点法求数列通项(1)

用不动点法求数列的通项
定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.
利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.
定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系
)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.
证明：因为 p 是)(x f 的不动点
p b ap =+∴
ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---
所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++=
bc ad c d
cx b
ax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，
初值条件)(11a f a ≠
（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则
q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qc
a pc
a k --=）
（2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则
k p a p a n n +-=--111 （这里d
a c k +=2）
证明：由x x f =)(得x d
cx b
ax x f =++=
)(，所以0)(2=--+b x a d cx
（1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(2
2b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以 q a p
a qc a pc a qc a
b qd a p
c a b
pd a qc
a pc a qd
b a q
c a p
d b a pc a q
d
ca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅
--=------
⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc a pc
a k --=
，则q a p a k q a p a n n n n --=----1
1
（2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的唯一解，所以0)(2
=--+b p a d cp 所以ap cp pd b -=-2
，c
d
a p 2-=
所以 d
ca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=
+-+-=+-+-=-++=---------111211111)
)(()()(所以
d
a c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令d
a c
k +=
2，则
k p a p a n n +-=--111 例1：设}{n a 满足*11,2
,1N n a a a a n
n n ∈+=
=+，求数列}{n a 的通项公式 例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,22
1
1≠-==+a a a a a a a n
n ，求数列}{n a 的通项公式
定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=
e a
f ex c
bx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,
2
2
12111)(x u x u x u x u n n n n --=--++
证明: k x 是)(x f 的两个不动点
∴f
ex c bx ax x k k k k +++=2
即k k k bx x a e f x c --=-2
)()2,1(=k
∴
2
22221
2
11222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=
-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,
2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++⇔2
2
222
1
12222221211222)()()()(x u x u x u x u bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+ ⇔2
2222
11222222
1
2
112
22)()(x u x u x u x u a
bx x a e u a ex b u a bx x a e u a ex b u n n n n n n n n +-+-=--+
-+--+-+
⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-221
1
22x a ex b x a
ex b ⇔⎩⎨
⎧=-+=-+0)2(0)2(21x e a b x e a b 11
2
1
x x 0≠ ∴方程组有唯一解a e b 2,0==
例3：已知数列}{n a 中,*2
1
1,22,2N n a a a a n
n n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.
其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知1,011≠>a a 且)
1(4162
2
4
1+++=
+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.
解: 作函数为)
1(41
6)(2
24+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 3
3,33,1,14321=-
==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 4
2
3
4
23422
42
2
4
11)1
1(
1
46414641
)
1(41
61)
1(41
611-+=+-+-++++=-+++++++=-+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 逐次迭代后,得:1
1
1141414141)
1()
1()1()1(------+-++=
n n n n a a a a a n
已知曲线22
:20(1,2,
)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)
n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ． （１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；
（２）证明：13521n n n
x
x x x x y -⋅⋅⋅
⋅<
< 设p q ，为实数，αβ，是方程2
0x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，
22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，
…）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =，1
4
q =
，求{}n x 的前n 项和n S ．
已知函数2
()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()
(12)()
n n n n f a a a n f a +=-='，，． （1）求αβ，的值；
（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln
(12)n n n a b n a β
α
-==-，，，求数列{}n b 的前n 项和n S
13陕西文
21．（本小题满分
12
分）已知数列
{}
n a 满足，
*1
1212,,2
n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝
. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

山东文20.（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +
∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x
y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（11）当b=2时，记 1
()4n n
n b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T。