【高考数学】高考数列不动点法解题方法整理版

利用“不动点”法巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。

笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．1 不动点的定义一般的，设()f x 的定义域为D ,若存在0x D ∈，使f x x ()00=成立，则称x 0为f x ()的 不动点，或称00(,)x x 为f x ()图像的不动点。

2 求线性递推数列的通项定理 1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且x 0为f x ()的不动点，{}a n 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，证明{}a x n -0是公比为a 的等比数列。

证：∵x 0是f x ()的不动点，所以ax b x 00+=，所以，所以a n -=+-=-=----x a a b x a a ax a a x n n n 0101010()()··，∴数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列。

例1（2010上海文数21题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .证：(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，即1651n n a a -=+(2)n ≥即15166n n a a -=+(2)n ≥，记51()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：151(1)(2)6n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1}是等比数列。

(2)解略。

3求非线性递推数列的通项定理2 设()(00)ax bf x c ad bc cx d +=≠-≠+，，且x x 12、是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，（ⅰ）若12x x ≠，则数列{}a x a x n n --12是公比为a x ca x c--12的等比数列；（ⅱ）120x x x ==，则数列{}1a x n -是公差为2c a d +的等差数列。

证：（ⅰ）由题设知111111111()ax b b dx x x dx b a cx x cx d a cx +-=⇔=-⇔-=-+-；同理222().dx b a cx x -=-∴1122()()n n a cx a b dx a cx a b dx -+-=-+-1122n n a x a cx a cx a x --=⋅--， 所以数列{}a x a x n n --12是公比为a cx a cx --12的等比数列。

（ⅱ）由题设知ax bcx d++＝x 的解为120xx x ==，∴x a dc 02=-且b dx a cx --00＝-x 0。

所以1110000a x aa b ca dx ca d a cx a b dx n n n n n +-=++-=+-+-()00000()()()()n n n nca d ca d a cx a x a cx a a cx ++==---+- 000000001()()n n n ca cx d cx d cx c a cx a x a cx a cx a x -+++==+⋅-----00122n a dd c c c a cx a x a c c-+⋅=+⋅---⋅ 000112n n c ca cx a x a x a d=+=+---+，所以数列{}10a x n -是公差为2c a d +的等差数列。

例2 （2006年全国Ⅱ卷22题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程02=-⋅-n n a x a x 有一根为1-n S )(*N n ∈。

求数列{}n a 的通项公式。

解：依题211=a ，且0)1()1(2=--⋅--n n n n a S a S ，将1--=n n n S S a 代入上式，得121--=n n S S ，记()12f x x=-，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理2（ⅱ）知：12111111n n n n S S S S +-==-+---，所以数列11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以1+=n nS n，因此数列{}n a 的通项公式为11+=n a n 。

例3 （2010年全国卷Ⅰ22题）已知数列{}n a 中，1111,.n na a c a +==-（Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式. （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 . 解：（Ⅰ）依题1525122n n n na a a a +-=-=，记52()2x f x x -=，令()f x x =，求出不动点121,22x x ==；由定理2（ⅰ）知：11112222n n nna a a a +--=-=⋅，12111222n n nna a a a +--=-=⋅ ；两式相除得到1122111422n n n n a a a a ++--=⋅--，所以212n n a a ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭是以14为公比，112212a a -=--为首项的等比数列，所以，112132,2,14242n n n n n a a a ---⎛⎫=-⋅=- ⎪+⎝⎭-从而124.33n n b -=--（Ⅱ）解略。

定理 3 设2()(0)2ax bf x a ax d+=≠+，且x x 12、是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，则有2111122()n n n n a x a x a x a x ++--=--；若11120a xa x ->-，则12ln n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为2的等比数列。

证：∵x x 12、是f x ()的不动点，∴211dx b ax =-，222dx b ax =-。

21112122(2)(2)n n n n n n a x a a b a a d x a x a a b a a d x ++-⋅+-⋅+=-⋅+-⋅+2211222222n n n n a a b a a x ax ba ab a a x ax b⋅+-⋅⋅+-=⋅+-⋅⋅+- 22211122222(2)()(2)n n n n n n a a a x x a x a a a x x a x -⋅+-==-⋅+-，又11120a x a x ->-，则120n n a x a x ->-， ∴111122ln2ln n n n n a x a xa x a x ++--=--，故12ln n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为2的等比数列。

例4 （2010东城区二模试题）已知数列{}n x 满足14x =，21324n n n x x x +-=-．⑴求证：3n x >；⑵求证：1n n x x +<；⑶求数列{}n x 的通项公式． 证：⑴、⑵证略；⑶依题21324n n n x x x +-=-，记23()24x f x x -=-，令()f x x =，求出不动点121,3x x ==；由定理3知：2213(1)112424n n n n n x x x x x +---=-=--，2213(3)332424n n n n n x x x x x +---=-=--， 所以2111133n n n n x x x x ++⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，又111413343x x --==--，所以133111log 2log 33n n n n x x x x ++--=--． 又1311log 13x x -=-，令31log 3n n n x a x -=-，则数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列．所以12n n a -=．由31log 3n n n x a x -=-，得133n a n n x x -=-．所以11121231313131n n n n a n a x --++--==--． 利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。

定理 4 设222()(0),4b bf x ax bx a a-=++>且0x 是f x ()的最小不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，则有2010().n n a x a a x --=-定理5 设23322()(0),3273b b bf x ax bx x a a a a=+++-≠且0x 是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，则有3010().n n a x a a x --=-。