高中数学放缩法技巧全总结
基本不等式放缩法
基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。
放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。
以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。
2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。
3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。
4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。
5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。
6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。
7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。
8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。
9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。
10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。
在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。
通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k nk (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)1111(1)1132132(1)n n n n +<+++++<⨯⨯-(5)nn n n 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8)nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n (11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n (12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ (14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n k 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n. 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知nn n a 24-=,nnn a a a T +++=212,求证:23321<++++n T T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n nnn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n nn T T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ .解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n+++--<++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n nn ααααααα解析:构造函数x x x f ln )(=,得到22ln ln n n n n ≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n nn n,求和后可以得到答案例10.1-n 所以有n n 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x xx x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x , 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 例14. 已知112111,(1).2n n n a a a n n +==+++证明2na e < 解析: n n nn n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+,然后两边取自然对数,可以得到n nn a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路：⇒+++≤+n n n a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结如下，仅供参考：
1. 舍掉（或加进）一些项。
2. 在分式中放大或缩小分子或分母。
3. 应用基本不等式放缩（例如均值不等式）。
4. 应用函数的单调性进行放缩。
5. 根据题目条件进行放缩。
6. 构造等比数列进行放缩。
7. 构造裂项条件进行放缩。
8. 利用函数切线、割线逼近进行放缩。
9. 利用裂项法进行放缩。
10. 利用错位相减法进行放缩。
请注意，使用放缩法时，要确保放缩的方向一致，适度地进行放与缩，且很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
另外，用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。
因此，对放缩法只需了解，不宜深入。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结在高中数学学习中，放缩法是一种常用的解题技巧，尤其在不等式证明和极限计算中应用广泛。
掌握好放缩法的技巧，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
下面，我将对高中数学放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
首先，放缩法的基本思想是通过构造一个比原来更容易处理的不等式或者关系式，从而简化原问题的解决过程。
在实际运用中，我们可以通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，下面我们来看一些常用的放缩法技巧。
一、加减变形。
在不等式证明中，我们常常会遇到需要证明一个不等式成立的情况。
这时，我们可以通过在两边同时加上或者减去一个特定的数，来改变原不等式的形式，使得原不等式更容易证明。
例如，在证明数学归纳法中的不等式时，我们常常会通过加减变形来简化证明过程，这是一种常见的放缩法技巧。
二、乘除变形。
在极限计算中，我们常常需要通过放缩法来证明一个极限存在或者不存在。
这时，我们可以通过乘除变形，将原极限问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，当我们需要证明一个函数的极限不存在时，可以通过乘除变形将原函数转化为一个更容易处理的形式，从而简化证明过程。
三、配方。
在解决数学问题中，有时我们需要通过配方来进行放缩。
例如，在证明三角函数不等式时，我们可以通过对不等式进行配方，将原不等式转化为一个更容易处理的形式。
这种放缩法技巧在解决三角函数不等式问题中应用广泛，可以帮助我们更好地解决这类问题。
总结起来，放缩法是高中数学学习中常用的解题技巧，通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
希望以上总结的放缩法技巧对大家有所帮助，能够在高中数学学习中更好地运用这一技巧，提高数学成绩。
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结.pdf
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(i j)( i 2 1 j 2 1)
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例 2.(1) 求证 :1
1 ,所以 n 1
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k 1k2
1 12
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1 5
1
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1
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奇巧积累 :(1) 1
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4
1
1
4n2
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1
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高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结高中数学中的放缩法是一种常用的解题技巧，它通过适当调整式子的形式，进行等价转化，从而简化计算或者明晰问题的关键点。
下面总结了一些常见的高中数学放缩法技巧。
1. 分子分母同乘：当分式的分子和分母中含有相同的因式时，可以将分子和分母同时乘以这个因式的倒数，从而得到一个等价的分式。
这样做的好处是可以简化分式，消去分子分母中的公因式。
2. 导数法：在解决函数极值问题时，可以利用导数的概念进行放缩。
通过求函数的导数，并研究导数的正负性，可以找到函数的极值点。
这种方法可以有效地缩小问题的范围，简化计算。
3. 均值不等式：均值不等式是一种常用的放缩方法，它通过寻找合适的均值来放缩不等式。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
通过将不等式的两边同时取均值，可以得到一个更简单的等价不等式。
4. 三角函数变换：在解决三角函数相关的问题时，可以利用三角函数的性质进行放缩。
常见的三角函数变换有和差化积、倍角公式等。
通过适当的变换，可以将原问题转化为更容易处理的形式。
5. 幂函数变换：在解决幂函数相关的问题时，可以利用幂函数的性质进行放缩。
常见的幂函数变换有换元法、幂函数的反函数等。
通过适当的变换，可以使问题的形式更简单，更易于分析。
6. 递推关系式：在解决数列相关的问题时，可以利用递推关系式进行放缩。
通过找到数列的递推关系式，可以将原问题转化为递推问题。
递推关系式可以帮助我们找到数列的通项公式，从而简化问题的求解过程。
以上是一些高中数学中常用的放缩法技巧。
通过灵活运用这些技巧，可以在解题过程中简化计算、明晰问题的关键点，从而更高效地解决数学问题。
放缩法技巧全总结
放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析n35 (12) 11)1()1()1)(1(23--+⋅⎪⎪⎭ ⎝+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n412141361161412-<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n n n Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(21112131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i nin1+例解所以当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n.n++-m k 11]例例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明: nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ.解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n+++--<++++ΛΛ所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nnΛ解析例-in i n -取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+Λ,所以综上有n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ例11.求证:e n <+⋅⋅++!11()!311)(!211(Λ和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2Λ.解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n Λ 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案题) 例13.证明:)1*,()1(ln 4ln 3ln 2ln >∈-<++++n N n n n n Λ 例解析即.2ln ln 21e a a a n n <⇒<-注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n来放缩：.)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112<-<+-+⇒-<+-+⇒∑∑-=+-=na a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->∴函数k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]2,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有).2()(kg x g ≥而,2ln )()2ln (ln 2ln )2()2()2(k k f k k kk k k f k f k g -=-==-+=即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+令,,b x k a x=-=则.b a k +=例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x)n x +令2)1(n x n +=,有 所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n nn n ∈++>++++++Λ(方法二)⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++≥+++>++21114ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(222n n n n n n n n n 所以)2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+->++++++n n n n n Λ 又1114ln +>>n ,所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ 三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 和)0,0(>>>++<m b a m a mb a b记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:121211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ和121211()611)(411)(211(+<+---n n Λ也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 可得 ⇒例2)21n n > 例{}n B 满足OA . 解析:(1) 依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n +=∴=∈,又直线nnA B 在x 轴上的截距为n a 满足 显然，对于1101nn >>+，有*14,nn a a n N +>>∈(2)证明：设*11,n n nb c n N b +=-∈，则设*12,n n S c c c n N =+++∈L ，则当()*221k n k N =->∈时，212311112222222k k k -->⋅+⋅++⋅=L 。
放缩法大全
a −1 + 1 − 2a − ln x 解（1）：令g ( x) = f ( x) − ln x = ax + x 1 (a , x 1) 2 a − 1 1 ax 2 − x + 1 − a [ax − (1 − a)]( x − 1) g ( x) = a − 2 − = = 2 x x x x2 1 a[ x − ( − 1)]( x − 1) a g ( x) = 0 （或用二次函数图象分 析） 2 x
1 1 1 1 1 1 + + ... + dx + dx + ... + dx 2 3 n +1 1 x x x 2 n
n +1 2 3 n +1
n
=
1
1 dx = ln( n + 1) x
1 n
n +1
n
1 dx = ln( n + 1) − ln n x
同理证右。
n +1 1 n ln( ) ln( ) n n n −1
所以：
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
由
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
取n=2,3,…,n累加
ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 − n − 1 + 2 + ... + 2 f (n) − f (1) = 2 2 3 n 2(n + 1)
1 m an = 4n − 3, { }前n项和为S n , 若S 2 n +1 − S n 恒成立， an 15 求整数m的最小值。
1 1 1 m 解： + + ... + 对n N + 恒成立， an +1 an + 2 a2 n +1 15 1 1 1 令f ( n ) = + + ... + , an +1 an + 2 a2 n +1 1 1 1 f (n − 1) = + + ... + an an +1 a2 n −1
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2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Trr rn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8)nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 311212191817161514131213131216533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1)12ln 3ln 2ln 2--n n n αααααα解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。