数列综合应用(放缩法)教案资料

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数列放缩小专题复习的教学案例设计

数列放缩小专题复习的教学案例设计郭㊀增(浙江省金华市汤溪高级中学㊀３２１０７５)摘㊀要:数列问题既是归纳推理的重要载体ꎬ也在考察演绎推理能力中占有重要的地位.证明数列型不等式ꎬ因其思维跨度大㊁构造性强ꎬ需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性ꎬ能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力ꎬ这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构ꎬ深入剖析其特征ꎬ抓住其规律进行恰当地放缩.关键词:放缩尺度ꎻ项数ꎻ待定系数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)１５－００２９－０３收稿日期:２０２２－０２－２５作者简介:郭增(１９９１.２－)ꎬ男ꎬ浙江省金华人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.１教学内容分析本节安排在数列求和复习结束后ꎬ在学生充分了解并掌握数列常见的几种求和方法的前提下ꎬ更进一步对数列与不等式的放缩问题进行深入挖掘.教学内容分为三个方面:第一个方面是让学生学会识别不同类的数列放缩ꎬ第二个方面是掌握放缩的两大基本要素ꎬ第三个方面从构造方面让学生切实掌握有效可操作的方法解决数列放缩问题并领会其思想.２学情分析对于刚复习完数列的普通学生来说ꎬ对数列的基本知识与方法有了一定熟练度ꎬ尤其是求和公式也能熟练应用.但是对于数列不等式放缩ꎬ大部分学生都有一定程度的惧怕心理ꎬ苦于无方法ꎬ难操作ꎬ因此思维灵活性受到制约.３设计思想本节课采取探究式课堂教学模式ꎬ即课前讨论课上探究课后总结ꎬ在学案启发设计引导下ꎬ以学生独立自主和合作交流为前提ꎬ以问题为导向设计教学情境ꎬ以数列放缩的方法和思想为基本探究内容ꎬ让学生通过个人㊁小组㊁集体等多种解决问题的尝试活动ꎬ在探究学习的过程中把放缩的思想融入到解决问题的方法中.４教学目标(１)引导学生从已有的简单放缩问题出发ꎬ通过一道数列放缩小题的求解ꎬ由特殊到一般地对放缩技巧理解并归纳.(２)通过对实际问题的探索ꎬ培养学生观察问题㊁分析问题㊁解决问题的能力ꎬ增强学生的协作能力和交流能力ꎬ发展学生的创新意识ꎬ培养创造性思维的能力.(３)培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法ꎬ通过数列放缩技巧的归纳和整理提升学生逻辑推理与演绎推理的能力.５教学重点与难点教学重点:数列放缩的两大基本要素以及放缩９２的基本思路.教学难点:放缩技巧的实际应用:转化与计算６教学过程６.１回顾数列求和的基本内容以及数列放缩的问题教师:数列问题难度可分为以下三个层次:通项公式ꎬ求和公式都能求解ꎻ通项公式能求解ꎬ求和需要放缩ꎻ通项ꎬ求和都需要放缩.６.２例题讨论ꎬ分析放缩的两大基本要素问题一:数列放缩注意哪些点?(带着问题做例１)例１㊀证明:(１)１＋１２２＋１３２＋＋１ｎ２<２ｎɪＮ∗()(２)１＋１２２＋１３２＋＋１ｎ２<７４ｎɪＮ∗()(３)１＋１２２＋１３２＋＋１ｎ２<５３ｎɪＮ∗()设计意图:了解学生掌握放缩的程度以及技巧性的能力学生:讲解方法(让学生讲解放缩的过程)第一类是１ｎ２<１ｎｎ－１()＝１ｎ－１－１ｎｎȡ２()第二类是１ｎ２<１ｎ２－１＝１２１ｎ－１－１ｎ＋１æèçöø÷ｎȡ２()第三类是１ｎ２<１ｎ２－１４＝１ｎ－１２－１ｎ＋１２ｎȡ２()教师:三种不同的放缩方式可以观察出什么特点吗?学生:一类比一类更加贴近原式的值ꎬ也就是放缩的尺度更精准.教师:若是大部分同学想不到第二类或者第三类的放缩方式ꎬ只有第一类放缩的方式容易想到ꎬ是否就无法解决２ꎬ３两个问题?设计意图:通过参与学生的讨论ꎬ把放缩的项数问题渗透到学生的思想中.学生:既然放缩的技巧达不到精度ꎬ我们可以尝试把放缩的项数减少ꎬ前几项用真实值.１＋１２２＋１３２＋＋１ｎ２<１＋１２２＋１２－１３æèçöø÷＋＋１ｎ－１－１ｎæèçöø÷＝１＋３４－１ｎ<７４.发现只要从第三项开始放缩ꎬ用第一类放缩也可以解决第二类问题.以此类推让学生们尝试用第二类放缩技巧去解决第三类问题.教师:回顾第一个问题ꎬ数列放缩注意哪些点?学生:放缩的技巧以及项数归纳总结:尺度不够ꎬ项数来凑ꎬ项不过三ꎬ尺度再转设计意图:学生通过运算对比体会到放缩的技巧和项数同样重要.６.３探究放缩的技巧与方法教师:如何有效构造数列放缩?思考有哪些常见的求和式可以与常数比较大小?学生:裂项相消ꎬ等比数列错位相减问题二:如何构造裂项相消和等比数列才是问题难点ꎬ带着这个问题一起来做一下例２.例２㊀已知数列ａｎ{}的首项ａ１＝１ꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ且ａｎ＋１＝Ｓｎ＋ｎ＋１ꎬｎɪＮ＋(１)求证数列ａｎ＋１{}为等比数列ꎻ(２)设数列１ａｎ{}的前ｎ项和是Ｔｎꎬ求证Ｔｎ<９５.(第一小问容易解决ａｎ＝２ｎ－１ꎬ重点分析第二小问)学生:用糖水公式ꎬ１２ｎ－１<２２ｎ＝１２ｎ－１让学生尝试运算可以发现ꎬ用这个放缩必须要从第四项开始放缩才能解决ꎬ且运算量大.设计意图:学生通过运算体会到放缩的尺度的把握的重要性.教师:若是把最后的９５改成５３ꎬ那放缩更加要往０３后推ꎬ运算量不言而喻了.回顾刚才方法还是要放缩成等比数列ꎬ问题在于这个尺度我们无法把握ꎬ所以如何在放缩过程中调整才是关键?学生:能不能试着用待定系数?目标就是等比数列求和.师生合作:１２ｎ－１ɤλ１２ｎꎬ通过计算放缩后的结果再限定参数λ的范围.ȵ１２ｎ－１ɤλ２ｎꎬʑＴｎ＝１＋１３＋１７＋＋１２ｎ－１ɤλ２＋λ２２＋λ２ｎ＝λ２１－１２æèçöø÷ｎæèçöø÷１－１２<λ＝９５.ʑλ＝９５ꎬ而此时２ｎ２ｎ－１ɤλ＝９５ꎬ当ｎ＝１时不成立ꎬ因而作调整.不等式调整为ꎬ当ｎȡ２时ꎬ１３＋１７＋＋１２ｎ－１<４５ꎬ同样的做法ꎬ不等式左边<λ２２＋λ２３＋λ２ｎ＝λ４１－１２æèçöø÷ｎ－１æèçöø÷１－１２<λ４１２＝λ２ɤ４５ꎬʑ取λ＝８５ꎬ此时２ｎ２ｎ－１ɤλ＝８５ꎬｎȡ２成立ꎬ故不等式成立.由此可得:１２ｎ－１ɤ８５１２ｎ(此类放缩优点在于尺度和项数可以在运算中进行调整ꎬ以满足不同程度的放缩)设计意图:通过师生共同合作体验待定系数可控式的放缩技巧.教师:前面的问题中提到常见的求和式可以与常数比较大小的除了等比数列的错位相减还有裂项相消ꎬ那在这个题目中能实现吗?学生:裂项关键在于分母因式分解ꎬ然后裂项观察相消ꎬ无法拼出.教师:对比之前的例１ꎬ同学们可以发现裂项的前后两项是可以通过项与项的关系来放缩的.结合待定系数ꎬ我们能不能试用一下?师生合作:可以对比等比设未知数来裂项ꎬ通过代入结果来实现参数的范围求解ꎬ对比前面的等比放缩可得:１２ｎ－１ɤλ１２ｎ－１－１２ｎ＋１－１æèçöø÷学生参照等比待定系数的过程自行操作ꎬ并挑部分学生进行展示.教师提供完整的思路供学生参考.设计意图:通过实践以及点评让学生体会数列放缩待定系数法的逻辑合理性ꎬ消除对于数列放缩技巧性的突兀感.６.４实践巩固课堂练习:(２０１２年广东理)１３－２＋１３２－２２＋＋１３ｎ－２ｎ<３２ꎬｎɪＮ＋()设计意图:通过实践让学生进一步体会两种放缩的技巧的关键.６.５课堂小结教师:提示引导学生总结本节课的主要内容学生:思考交流ꎬ归纳总结设计意图:通过学生的总结ꎬ培养学生的归纳总结能力和语言表达能力６.６作业设计已知Ｓｎ为数列ａｎ{}的前ｎ项和ꎬａ１＝２ꎬａｎ>０且２Ｓｎ＋１－ａｎ＋１２＝－２Ｓｎ其中ｎɪＮ＋ꎬ(１)求ａｎ{}的通项公式ꎻ(２)若数列ｂｎ{}满足ｂｎ＝３ａｎ２ꎬＴｎ是数列ｂｎ{}的前ｎ项和ꎬ求证Ｔｎ<５４.参考文献:[１]刘巍.数列的最值问题专题复习教学案例[Ｊ].上海中学数学ꎬ２０１３(１１):１２－１４.[２]胡国兴ꎬ谭景宝.例析放缩法在数列敛散性求证中的应用[Ｊ].保山学院学报ꎬ２０１９ꎬ３８(００２):９－１２.[责任编辑:李㊀璟]１３。

(完整word版)数列综合应用(放缩法)

(完整word 版)数列综合应用(放缩法)数列综合应用（1)—-——用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ，试求：(1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B2。

先放缩再求和①．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n a a S +=。

（1）求证：2214n n n a a S ++<;（2) 求证<⋅⋅⋅+②．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a ，n ∈N ＊，a ≥2，证明:n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2;(2)等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nnn a ab -=12，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明:B n ＜13．③．放缩后为差比数列,再求和例4．已知数列{}n a 满足:11=a ，(完整word 版)数列综合应用(放缩法) )3,2,1()21(1 =+=+n a na n n n ．求证：④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中, 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数)，则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ,排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式;(2）令nn n nn a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++<n b b b n n ，n =1,2，…。

2 数列求和(有放缩法)(教师版)

第二讲数列求和（用放缩法证明求和不等式）知识回顾：数列求和主要方法：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：222221(1)(21)1236nk n n n kn =++=++++=∑2333331(1)1232nk n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑ 3．错位相减法：比如{}{}1122为等差数列,为等比数列 ,求的和.n n n n a b a b a b a b +++4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n1111()(2)22n n n n =-++)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n nn n n 21121)12(21--=- 112112()(21)(21)2121n n n n n --=-++++1111[](n 1)(2)2(n1)(n 1)(2)=-+++++n n n n =-5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．倒序相加法：7．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等热身题：一、裂项相消法求和例1、在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪：第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和．解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)又b n ＝S n2n ＋1＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.二、错位相减法求和例2、设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .思维启迪：(1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n}之积，可用错位相减法．解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n .(2)∵b n ＝na n，∴b n ＝n ·3n.∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n，③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋ (3))，即2S n ＝n ·3n ＋1－31－3n1－3，∴S n ＝2n －13n ＋14＋34.数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴，所以）因为，所以，所以；，证明：；中，，前成等差数列．设，数＜．，于是，．．）∵，，，∴公比．∴．．∴．例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．例5．题1. 已知数列{}n a 中2n a n =，证明：22221233nS n =+++< 放缩一：21111(1)1n n n n n<=---(2)n ≥ 222222222111111111111111()()1231234556671n S n n n=+++<+++++-+-++-- ＝131211131212389240051111.3640036400360036003n ++-<++=+<+= 点评：此种放缩为常规法，学生很容易想到，但需要保留前5项，从第6项开始放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚强而放弃。

放缩法教案(精).doc

第三节放缩法(教案)知识梳理1.放缩法证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值或，简化不等式，从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.知识导学1.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A2B,需通过B<B b Bi<B2<- <Bi<A(si( A>A!,A I>A2>-^>6),再利用传递性，达到证明的目的.疑难突破1.放缩法的尺度把握等问题(1)放缩法的理论依据主要有：%1不等式的传递性；%1等量加不等量为不等量；%1同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较；%1基本不等式与绝对值不等式的基本性质；%1三角函数的有界性等.(2)放缩法使用的主要方法：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项，减项，利用分式的性质,利用不等式的性质, 利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.比如：13 1舍去或加上一些项:(a+^ )2+ —>(a+-)2;将分了或分母放大(缩小)：4 < —-—,4 > —-—A < r- ------------------------------------ ,k~ k(k-i)k- *佐+1)4k1 2~~j=〉~~j= / (k u R,k> 1)等.,y k+ 1典题精讲【例1】设n是正整数+-1—+■■■+-n<l.2〃 + 1 n + 2 2思路分析：要求一个n项分式— + —的范围，它的和又求不出，可以采用“化整〃 + 1 〃 + 2 2n1"SI) 进行放为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围.证明：由 2n>n+k>n(k=l,2,…,n),得」—-—< —.2n n + k n当 k=l 0t, —<——< —; 2n 〃 +1 n当 k=2 0t, —<—-— < —；； 2n n + 2 n、□ 工 1 1 1当 k=n 时,一< ----- < —,2n 〃 +1 n2 2n n + 1 n + 2 2n n思路整理：放缩法证明不等式，放缩要适度，否则会陷入困境，例如证明{ + A + .•. +」？ <7,由」T< ——［，如果从第3项开始放缩,正好可证明;如果从第2 1~ 2- tr 4 k~ k-1 k项放缩，可得小于2,当放缩方式不同时，结果也在变化.放缩法一般包括:用缩小分母，扩大分子,分式值增大；缩小分子，扩大分母,分式值缩小; 全量不少于部分.每一次缩小其和变小，但需大于所求;每一次扩大其和变大，但需小于所求.即不能放缩不够或放缩过头,同时要使放缩后便于求和.【变式训练】若 neN +,n>2,求证：-+ • • •< 1 --. 2 〃 +1 22 32 n~ n思路分析：利用一-—<上< k(k + l) k- 证明：,•* ^7 + ^7 + • • 2- 32 1 1 1• + 〉 ++ 1 ,. + -------- n(ji +1) 1 1 1 1 =( — - — )+( — -—)+•• 2 3 3 4j_ _J_ 2 n + 1 1 1 •+( ) n n + 11 1 ------- 1 ------- ... + 2x1 3x2 n(n -1)11111 12 〃 + 1 22 32 n 2 n【例2】(经曲回放)求证：耕3>*思路分析：利用|a+bg|+|b|进行放缩，但需对a,b 的几种情况进行讨论，如a=b=O 时等. 证明：若a+b=O 或a=b=O 时显然成立.1 1 1 1若a+l#O且a,b不同时为0时，1 1+|。

数列放缩法1

放缩法的注意问题以及解题策略1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。

2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。

3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：<<（2）在分式中放大或缩小分子或分母：2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，11n n n n -<+；假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221n nn n +>-；（3）应用基本不等式放缩：222n n n n ++>=+；（4）二项式定理放缩：如2121(3)n n n -≥+≥；（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n n a a a a a a a a n --≤-+-++-≥。

（6）裂项放缩:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C nn (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r nr n r n n C T rr rn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n(5)nn nn 21121)12(21--=-(6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n(8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(+-=+n n n n(11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i一、放缩后转化为等比数列。

数列与不等式的放缩法(教师版)

数列与不等式的放缩法放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。

因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。

要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。

掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的后三题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．（本小题满分14分）（2013广东文数）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<．【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦点拔：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．练习1、（本小题满分14分）（2014汕头金山中学）已知数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+)n N *∈（．（1）求证：数列}1{na 为等差数列；（2）设211n n b a =+ ，数列}{2+n n b b 的前n 项和n T ，求证：43<n T ．解：（1）由121n n n a a a +=+得：1112n n a a +-=且111a =， …………2分k$s#5u 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列， …………3分（2）由（1）得：1112(1)21,21n n n n a a n =+-=-=-得：； ------------5分由211n nb a =+得：212112,n n n n b b n =-+=∴= ， ------------7分从而：)211(21)2(12+-=+=+n n n n b b n n ------------9分则 24231++++=n n n b b b b b b T=)]211()4121()311[(21+-++-+-n n --------12分=)2111211(21+-+-+n n 31113()42124n n =-+<++ ------14分练习2、正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知平方去根号得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以=-+-+--+111111(1)23352121n B n n =-<+11122(21)2n （减项放缩法）练习3、已知函数2()(1),()4(1)f x x g x x =-=-，数列{}n a 满足12a =，且1()()()0n n n n a a g a f a +-+=．（1）试探究数列{1}n a -是否是等比数列？（2）试证明11nii an =≥+∑.解：（1）由1()()()0n n n n a a g a f a +-+=得214()(1)(1)0n n n n a a a a +--+-=，即1(1)(441)0n n n n a a a a +--+-=∴10n a -=或14410n n n a a a +-+-= ∵12a =，∴10n a -=不合舍去. 由14410n n n a a a +-+-=得1431n n a a +=+，13144n n a a -=+，（2n ≥） ∴1113111344114n n n n a a a a ---+--==--， ∴数列{1}n a -是首项为111a -=，公比为34的等比数列.（2）证明：由（1）知数列{1}n a -是首项为111a -=，公比为34的等比数列 ∴131()4n n a --=，∴13()14n n a -=+，∴2113331()()444nn i i a n -==+++++∑＝3[1()]344[1()]3414n n n n -+=-+-∵对n N ∀∈*有33()44n ≤，∴3311()1444n -≥-=∴34[1()]14nn n -+≥+，即11n i i a n =≥+∑二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1)求证：2214n n na a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+<解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有21112n n n a a S ++++=，上述两式相减，注意到nn n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S += 所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （基本不等式222a b ab +≤放缩法）法二：44)1(412222)1(2122222++=++=++<+=+=n n n a a n n n n n n n n S （添项放大）（2）因为1)1(+<+<n n n n ，（不等式性质放缩法）所以212)1(2+<+<n n n n ，n S +(2n n ⨯=+212322++++<n2122312-=+=+n S n n ；(放缩后成等差数列)n S+2n>+++==放缩后成等差数列) 综上, <⋅⋅⋅2．放缩后成等比数列，再求和例3． (本小题满分14分)（2012广东高考理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1*1221()n n n S a n N ++=-+∈，且123,5,a a a +成等差数列。

放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳) 教师版

放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳)证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、放缩技巧(1)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1(2)1C1n+1C2n=2(n+1)n(n-1)=1n(n-1)-1n(n+1)(3)T r+1=C r n⋅1n r=n!r!(n-r)!⋅1n r<1r!<1r(r-1)=1r-1-1r(r≥2)(4)1+1 nn<1+1+12×1+13×2+⋯+1n(n-1)<3(5)12n(2n-1)=12n-1-12n(6)1n+2<n+2-n(7)2(n+1-n)<1n<2(n-n-1)(8)22n+1-12n+3⋅12n=1(2n+1)⋅2n-1-1(2n+3)⋅2n(9)1k(n+1-k)=1n+1-k+1k1n+1,1n(n+1+k)=1k+11n-1n+1+k(10)n(n+1)!=1n!-1(n+1)!(11)1n<2(2n+1-2n-1)=222n+1+2n-1=2n+12+n-12(11)2n(2n-1)2=2n(2n-1)(2n-1)<2n(2n-1)(2n-2)=2n-1(2n-1)(2n-1-1)=12n-1-1-12n-1(n≥2)(12)1n3=1n⋅n2<1n(n-1)(n+1)=1n(n-1)-1n(n+1)⋅1n+1-n-1=1n-1-1n+1⋅n+1+n-12n <1n-1-1n+1(13)2n +1=2⋅2n=(3-1)⋅2n>3⇒3(2n-1)>2n⇒2n-1>2n 3⇒12n -1<2n3(14)k +2k !+(k +1)!+(k +2)!=1(k +1)!-1(k +2)!(15)1n (n +1)<n -n -1(n ≥2)(16)i 2+1-j 2+1i -j =i 2-j 2(i -j )(i 2+1+j 2+1)=i +j i 2+1+j 2+1<1二、经典试题解析(一)、经典试题01、裂项放缩1.(1)求∑nk =124k 2-1的值；(2)求证:∑nk =11k2<53.【分析】(1)根据裂项相消求和即可；(2)根据1n 2<1n 2-14放缩再求和即可【详解】(1)因为24n 2-1=2(2n -1)(2n +1)=12n -1-12n +1，所以∑nk =124k 2-1=11-13+13-15+...+12n -1-12n +1=2n2n +1(2)因为1n 2<1n 2-14=44n 2-1=212n -1-12n +1 ，所以∑nk =11k2≤1+213-15+⋯+12n -1-12n +1 <1+23=532.求证:1+132+152+⋯+1(2n -1)2>76-12(2n -1)(n ≥2).【分析】根据1(2n -1)2>1(2n -1)(2n +1)放缩后利用裂项相消求和即可【详解】因为1(2n -1)2>1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1 ，(n ≥2)故∑nk =11(2k -1)2>1+1213-15+...+12n -1-12n +1 =1+1213-12n +1 =76-122n -1，故1+132+152+⋯+1(2n -1)2>76-12(2n -1)(n ≥2)3.求证:14+116+136+⋯+14n2<12-14n .【详解】由14+116+136+⋯+14n 2=141+122+⋯+1n 2<141+1-1n =12-14n 根据1n 2<1n ⋅n -1 得122+⋯+1n 2<1-12+12-13+⋯1n -1-1n =1-1n 所以141+122+⋯+1n2<141+1-1n =12-14n 4.求证:12+1⋅32⋅4+1⋅3⋅52⋅4⋅6+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<2n +1-1【分析】利用分式放缩法证明出1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<12n +1，进而利用数学归纳法证明13+15+⋯+12n +1<2n +1-1即可.【详解】由1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n 2<12⋅23⋅34⋯2n -12n ⋅2n 2n +1=12n +1，得1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<12n +1，所以12+1⋅32⋅4+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n <13+15+⋯+12n +1，要证12+1⋅32⋅4+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n <2n +1-1，只需证13+15+⋯+12n +1<2n +1-1，下面利用数学归纳法证明：当n =1时，左边=13，右边=3-1。

数列的综合应用经典教案【强烈推荐】

第5讲数列的综合应用一、考点、热点回顾1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题。

2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力。

【复习指导】1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算。

2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等。

3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法。

基础梳理1．等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意。

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么。

(3)求解——求出该问题的数学解。

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中。

3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差。

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比。

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n ＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系。

一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解。

两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2的值为( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10解析由题意知：a 23＝a 1a 4.则(a 2＋2)2＝(a 2－2)(a 2＋4)，解得：a 2＝－6. 答案 B 2．(·运城模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 4＝( )． A ．7 B ．8 C ．15 D ．16解析设数列{a n }的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，∴q ＝2.∴S 4＝1－241－2＝15. 答案 C3．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定解析记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7，又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6⎝⎛⎭⎫1＋q 6q 3＝b 7⎝⎛⎭⎫1＋q 6q 3，又1＋q 6q 3＝1q 3＋q 3≥2(当且仅当q ＝1时，等号成立)，∴a 3＋a 9≥2b 7，即a 3＋a 9≥b 4＋b 10. 答案 B4．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )． A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4解析由c ，a ，b 成等比数列可将公比记为q ，三个实数a ，b ，c ，待定为cq ，cq 2，c .由实数a 、b 、c 成等差数列得2b ＝a ＋c ，即2cq 2＝cq ＋c ，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq ＋a q ＝－52a ＝10，所以a ＝－4.答案 D 5．(·苏州质检)已知等差数列的公差d ＜0，前n 项和记为S n ，满足S 20＞0，S 21＜0，则当n ＝________时，S n 达到最大值．解析 ∵S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＞0， S 21＝21a 11＜0，∴a 10＞0，a 11＜0， ∴n ＝10时，S n 最大．答案 10考向一等差数列与等比数列的综合应用【例1】►在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列．[审题视点] 第(1)问列首项a 1与公差d 的方程组求a n ；第(2)问利用定义证明． (1)解由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明由(1)，得b n ＝2a n －10＝22n＋10－10＝22n ＝4n ，∴b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4.∴{b n }是首项是4，公比q ＝4的等比数列．对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．【训练1】数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1. (2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2，解得d 1＝2，d 2＝－10.∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0，∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .考向二数列与函数的综合应用【例2】►等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[审题视点] 第(1)问将点(n ，S n )代入函数解析式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，得到a n ，再利用a 1＝S 1可求r . 第(2)问错位相减求和．解 (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1·(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， ∴T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．【训练2】 (·福建)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1. 又0＜φ＜π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 考向三数列与不等式的综合应用【例3】►(·惠州模拟)在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn＜k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．[审题视点] 第(1)问由等比数列的性质转化为a 3＋a 5与a 3a 5的关系求a 3与a 5；进而求a n ；第(2)问先判断数列{b n }，再由求和公式求S n ；第(3)问由S n n 确定正负项，进而求S 11＋S 22＋…＋S nn的最大值，从而确定k 的最小值．解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n. (2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n (9－n )2.(3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n2.当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S nn ＝0；当n ＞9时，S nn＜0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn ＝18最大．故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn＜k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．【训练3】 (·岳阳模拟)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值．(1)解设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，可得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32. 又∵数列{a n }单调递增，所以q ＝2，a 1＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)因为b n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，所以S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，2S n ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1]，两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1.要使S n ＋n ·2n ＋1＞50，即2n ＋1－2＞50，即2n ＋1≥52.易知：当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32＜50；当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64＞50.故使S n ＋n ·2n ＋1＞50成立的正整数n 的最小值为5.难点突破14——数列与解析几何、三角的交汇问题从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．一、数列与解析几何交汇【示例】► (·陕西)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n .记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.二、数列与三角交汇【示例】►(·安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.。

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数列综合应用（1）————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<nB 2. 先放缩再求和①．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<； (2)<⋅⋅⋅+ ②．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明： n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；（2）等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{b n } 前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．③．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 11213-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令nn n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++<n b b b n n Λ，n =1,2,…. 高考真题再现：1.（06浙江卷）已知函数32()f x x x =+，数列{}n x (n x ＞0)的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线()y f x =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（n x ，()n f x ）两点的直线平行（如图）求证：当*n N ∈时，(Ⅰ) 221132n n n n x x x x +++=+；（Ⅱ）21)21()21(--≤≤n n n x 。

2.（06福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）证明：*122311...().232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈3.（07浙江）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程023)23(2=⋅++-k k k x k x 的两个根，且212(123)k k a a k-=L ≤，，，．（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；（II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅲ）记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， (2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…，求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．4.（07湖北）已知m n ，为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时， (1)1m x mx ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132m m m n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =L ，，，；（III ）求出满足等式34(2)(3)n n n m n n ++++=+L的所有正整数n ．5. （08辽宁）在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==, 且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. ⑴求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论;⑵证明:1122111512n n a b a b a b +++<+++L .数列综合应用（1）————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<nB2. 先放缩再求和①．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅+②．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；（2）等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{b n } 前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．③．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 11213-++-≥>n n n n a a④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令nn n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++<n b b b n n Λ，n =1,2,….高考真题再现：1.（06浙江卷）已知函数32()f x x x =+，数列{}n x (n x ＞0)的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线()y f x =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（n x ，()n f x ）两点的直线平行（如图）求证：当*n N ∈时，(Ⅰ) 221132n n n n x x x x +++=+；（Ⅱ）21)21()21(--≤≤n n n x 。