7.5数列综合应用[复习+提高]教案
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7.5数列综合应用
【知识要点回顾】
一、数列综合问题中应用的数学思想
1．用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在自然数集上的函
数；
2．用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程；
3．用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究； 4．数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。
二、解决问题的主要思路有
1．把综合问题分解成几个简单的问题 2．把综合问题转化为熟悉的数学问题 3．通过观察，探索问题的一般规律性 4．建立数列模型，使用模型解决问题
三、实际问题的数列模型
依据实际问题的递推、等差、等比情境，将问题转换为递推数列、等差数列和等比数列，建立数列模型探究和解决实际应用问题。
四、注意
（1）直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。
（2）求一般数列的前n 项和，无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列前n 项和的求法。
（3）数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
【课前小练】 1、某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，6小时后细胞成活的个数是（ B ）
A ．63
B ．65
C ．67
D ．71
65
6122)1(1125361
1121==+=∴?-=-∴-===-+a n a a a a a a a n n n n n n 时，，，解：
2、根据市场调查结果、预测某种家用商品从年初开始的几个月内积累的需求量n S （万件）
近似的满足：），，，，1221()521(90
2 =--=
n n n n
S n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ C ）
A ．5月，6月
B ．6月，7月
【解析】6
111=
=S a ， 9
6054152
3)915(301)915(30
1
22221<<<+->-+--+-=-=≥-n n n n n n n S S a n n n n 所以，所以，，由
时， *∈N n ，所以n =7或8，选C
3、过圆x y x 1022=+内一点(5，3)有k 条弦,其长度组成等差数列,且最小弦长为数列{}n a 的
首项1a ，最大弦长为m 末项k a ，若公差)32
,31(∈d ，则k 最大值为（ B ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【解析】因为圆内过点（5，3）的最小的弦长为以（5，3）为中点的弦长为8，即1a =8，又
最大的弦为直径，所以k a =10 B
k k k k d k k a a d k ，选故即所以，又所以67
32163
2
1231)3231(12
1max 1=<<>-><-<∴∈-=--=
4、已知一个运算程序如下：
6026
20091)(3)1(211是的运算结果，则，，，，?∈+=+?=?=?*N k n m k n m k n m {}6026
3120092200913213
)1(111=?-+=??+=+?=?=）（等差数列，则
的，公差是为首项是可知数列，
，由已知解：令n k n k n m 5、某工厂2003年至2006年的产量和为100吨，2005年至2008年的产量和为121吨，则该工厂从2003年到2008年平均增长率为10﹪
【解析】设年平均增长率为p ，则各年的年产量依次成等比数列，公比为1+p ，
[]
[]
%
101.021.1)1121)1(1)1(1)1(100)1(1)1(124
214
1==∴=+?????
??=+-+-+=+-+-p P p p p a p p a 所以（则
【典例精析】
题型一 函数与数列的综合问题
的等差数列。
，公差为是首项为，，，设，
且：已知例24)()()()()10(log )(121*∈≠>=N n a f a f a f a a x x f n a ①设a 是常数，求证：{}n a 成等差数列；
②若)(n n n a f a b =，{}n b 的前n 项和是n S ，当2=a 时，求n S 【解析】①222)1(4)(+=?-+=n n a f n ，
{}为等比数列。
所以为定值所以，所以即n n n n n n n n a a n a a
a a a a a n a )2(22log 222
212
2≥===+=+-+ ②)(n n n a f a b =
3
3
143254332542
5432
2222222222)1(2
1)21(2162)1(222222)1(2232222)1(2423222)1()2()22(2)22(log ++-++++++++++?=?+---+=?+-++++?=-?++?++?+?=?+++?+?+?=?+=?+==+==n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n S n n S n n S n S n n b a a n a a 所以两式相减得
时，
当
【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，
题型二 数列模型实际应用问题
【例2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2007年底全县的绿化率已达30﹪，从2008年开始，每年将出现这样的局面：即原有沙漠面积的16﹪将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4﹪又被沙化。
①设全县面积为1，2007年底绿化面积为10
3
1=a ，经过n 年绿化面积为1+n a ， 求证：25
4
541+
=
+n n a a ②至少需要多少年（取整数）的努力，才能使全县的绿化率达到60﹪？
【解析】①证明：由已知可得n a 确定后，1+n a 表示如下： 1+n a =n a (1－4﹪)＋(1－n a )16﹪
即25
4
54%16%801+
=+=+n n n a a a ②由254
541+
=
+n n a a *
-++++∈>-+
≥≤---≤---≤-≤≥
?-≥?-=?-=-≠-=--=-N n n n n n a a a a a a n n n n
n n
n n n 42lg 312
lg 12
lg )12lg 3)(1(2
lg )5lg 2lg 2)(1(2lg 54lg )1(215453
54215453)54
(2154)54
(21540
2
1
54)
54
(5454111111所以，
，）即（）（，则有若即：所以又有
∴n 最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60﹪.
【点拨】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题。
??
?--+=-=-+-=-+=-+-=-+=∴∴=-+=+=+--++++为偶数）为奇数）
所以：成等差数列。成等差数列，（常数），n a n n a n x a
n n a n x x a n n x x x x x x x x x x n x x n x x n n n n n n n n n n n ((12)
1(22)1(21)12()1(2,,,,,,2)1(222211224
212312211 角三角形。时，存在直或或综上：时无解。
，当时，当所以：为偶数时，当时无解；当，时，当时当所以：为奇数时，当角三角形，则要使等腰三角形为直轴于作（，1276132412
7
2121
4)12
1
4(2256
1
,332,1)
311(12
1)1214(2)1(221214,2)0,)0,(111===≥==+
=+=≥====-=+=-=∴+=∴⊥=+-+++a a a n a n n a n a n n a n a n n a n a n C B A A n C B C x C B a
A A a n A a n A n
n n n n n n n n n n n n 题型三 数列中的探索性问题
【例3】已知点,),,2(),,1(2211 y B y B ),,(n n y n B （*∈N n ）顺次为直线12
1
41+=
x y 上的点，点)0,(,),0,(),0,(2211n n x A x A x A 顺次在x 轴上的点，其中)10(,1<<=a a x ，对于任意正整数n ，点n n n n B A B A 构成以1,,+为顶点的等腰三角形。
①求数列{}n y 的通项公式，并证明它为等差数列； ②求证：{}n n n x x x 是常数，并求数列-+2的通项公式；
③上述等腰三角形1+n n n A B A 中是否可能存在直角三角形，若可能求此时a 的值，若不可能，请说明理由。
【解析】①4
1
,12141=-+=+n n n y y n y 为定值，所以{}n y 为等差数列。
②由题意得： ③当n 为奇数时，
当n 为偶数时，
【点拨】本题关键依据几何性质及题设获取题目信息，找出数列的递推关系式或变化规律，转化为比较直接的数列问题来解。 )1(2)0,1()0,1(11a A A a n A a n A n n n n -=-+-+++，
1
211
2)
4
11(400411400400)5
11(800)5
11(800--+=+==-=-=n n n n b n b b a n a 年收入第）（第二年收入万元第一年收入年投入第，第二年投入58.2)2lg 31(22lg 12lg 312
lg 224
5lg 2
lg 22)4
5(2)45(40054800221
1≈-+>->->-∴
?
-=?++?+=----n n n n a n )54(14000)5
4
(80054800800,5118005
1
18001
1 所以总投入：
）（年投入第）万元
（第二年投入?
?-=?++?+=++--1)5(1600)45
(40045400400411400)41
1(4001
1
n n n n b n 总收入：）
（年收第，
第二年收【易错题】
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，
根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少5
1
，本年度当地旅游业收入
估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一
年增加41
。
①设第n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b ，写出n a 、n b 的表达式。
②至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 【错解】
①第一年投入1a =800 ②，因为n n a b >
所以 n ≥3
【正解】①第一年投入800万元，
同理，第一年收入400万元，
②，因为n n a b >所以
5
113
.45
2
)54(0
7)45
(2)54(50)45(140001451600≥><>-?+?>?????
?
--??????-n n n n n n n 即：，所以，所以化简得：）（ 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。
【总结提高】
1. 数列模型应用问题的求解策略 ①认真审题，准确理解题意； ②依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式，前n 项和公式以及性质求解，
或通过探索、归纳构造递推数列求解。 ③验证、反思结果与实际是否相符。 2. 数列综合问题的求解策略
①数列与函数综合问题或应用数学思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数
列的知识求解；
②数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征建立数列的递推关系式，然后求解问
题。
【课堂演练】
1、一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，现将纸对折7次，这时报纸的厚度和面积分别为（C ）
b
a D b
a C b
a B b
a A 256
1
256128
1
12864
1
6481
8，．，．，．，． 2、东北农场年初有森林木材存量S 3m ，木材以每年25%的增长率增长，而每年末要砍伐固定的木材量x 3m ，为实现经过2次砍伐后木材的存量增加50%，则x 的值是（ C ）
38
36
34
32
S D S C S B S
A ．．．．
3、设2
44)(+=x x x f ，则22007
)20082007()20082()20081(=+++f f f 4、光线通过一块玻璃板，其强度要失掉10%，若使光强度减弱为原来的3
1
，则重叠以上相同
的玻璃板的块数是 11 。
{}4
33)1(136612186186
12
11
12121211-=?-+-==+-==-=?+=n n a a d d S a d a S n n n 的通项公式：所以数列，所以所以，又，
则{}716)81(17168
11)81(128
1
28
1
)21(131<
??????
-=-?
?????
-=====+n n n n n n T q b b b b 所以，公比是等比数列，首项所以所以
5、某市2003年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型辆公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： （1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？
（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车的总量3
1
？
【解析】
（1）该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{}n a ，其中1a =128，q =1.5，则在2010
年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=?==q a a （2）记n n a a a a S ++++= 321，
5
.732
657
5.150005.11)5.11(1283
1
10000≈>>--=>
+n S S S n n n n n ，则有即，
于是依题意得
因此n ≥8，所以到2011年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的3
1
。
6、已知数列{}n a 的等差数列，且1861121=-=S a ， ①求数列的通项公式；
②若数列{}n b 满足n a n b )21
(=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，
试证明：7
16
<
n T 对*∈N n 恒成立。 【解析】①设等差数列{}n a 的公差为d ， ②43)21
()21(-==n a n n b
对*∈N n 恒成立。
【课后训练】 一、选择题
1、等差数列共有2n +1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于（ B ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 2、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
)(955
935A S S a a ==，则
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．
2
1 3、在等比数列{}n a 中，n S 是前n 项和，若12123423+=+=S a S a ，，则公比q 等于（ C ）
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
4、一正项等比数列前11项的几何平均值为32，从这11项中抽出一项后余下的10项的几何平均值为32，那么，抽出的这一项是（ A ）
A ．第6项
B ．第7项
C ．第9项
D ．第11项
二、填空题
5、已知整数对的数列如下：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3） （3，2）（4，1）（1，5）（2，4）…，则第60个数对是（5，7）
6、已知数列{}n a 是等比数列，且70301032=
==m m m S S S ，则，
7、△ABC 内有任意不公线的2010个点，加上A.B.C 三个点,共2013个点,把这2013个点连线形成互不重叠的小三角形,则一共可形成小三角形的个数为 4021
三、解答题
8、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，2)1(4
1
+n n a S 与是的等比中项；
①求证：数列{}n a 是等差数列； ②若n
n
n a b 2=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ③在②的条件下，是否存在常数λ，使得数列???
???++2n n a T λ为等比数列？若存在，试求
出λ；若不存在，说明理由。
【解析】 ①2)1(41
+n n a S 与是的等比中项，
)2)(()22(4
1)1(4
1
21
)1(41
1)1(4
1
1112
121
211
12112
=--+-+-=
-=+=≥=∴+==+=-------n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a S S a a S n a a a n a S 即所以时，当，时，当所以
2
02011=-=-->--n n n n n a a a a a 即：，所以因为
所以数列{}n a 是等差数列。 ②n
n n T 2
3
23+-=
321)2
323(2+?++-=++n n a T n n n λλn
n 21
323-++=λ 所以当且仅当3+λ=0，即λ=－3时，数列 ?
??
???++2n n a T λ为等比数列。
9、已知在正项数列{}n a 中，1a =2，且），1(+n n n a a A 在双曲线122=-x y 上，数列{}n b 中，点（n b ，
n T ）在直线12
1
+-=x y 上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和；
①求数列{}n a 的通项公式； ②求证：数列{}n b 是等比数列。 ③若n n n n n C C b a C
【解析】①由已知带点），1(+n n n a a A 在122=-x y 上知，1+n a －n a ＝1， 所以数列{}n a 是以2为首项，以1为公差的等差数列。
所以1)1(1+=-+=n d n a a n
②因为点（n b ,n T ）在直线12
1
+-=x y 上，
{}111111
3
12
11232313212
()333n n n n n n
b b n b b b b b --===-+==?=所以，
令得，所以所以是一个以为首项，以为公比的等比数列。
所以 1111112
1
12
11
22n n n n n n n n n T b T b b T T b b ----=-+=-+=-=-+所以所以两式相减得：
③n n n n n b a C 3
2
)1(?+=?=
n
n n n
n n n C C n n n C C <<--?=
+-?+=-++++11
1
10
)12(3
232)
1(32)2(所以所以
10、在数列{}n a 中134211+-==+n a a a n n ，， *∈N n ①证明数列{}n a n -是等比数列。 ②求数列{}n a 的前n 项和n S
③证明不等式1+n S ≤4n S 对任意*∈N n 都成立。
【解析】①由1341+-=+n a a n n 有11)(4)1(11=--=+-+a n a n a n n 又 所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列。 ②由①知,41-=-n n n a
2
)1(314)21()441(411++
-=+++++++=+=--n n n S n a n n n n n ，所以：
所以
③对任意的*∈N n ，
)43(2
1
2)1(3
1442)
2)(1(3144211≤-+-=?
?????++--+++
-=-++n n n n n n S S n n n n 所以不等式1+n S ≤4n S 对任意*∈N n 都成立。
理科数学高考真题分类训练专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用答案
高中复习系列资料
专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析：对于B ，令2 104x λ-+=，得12 λ=， 取112a = ，所以211 ,,1022n a a ==
当4n …时，11 13 2122 n n n n a a a a +=+>+=， 所以54 65109 3 23232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ，所以6 10432a a ??> ???，所以107291064a > >故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+， 解得10,2a d ==． 从而* 22,n a n n =-∈N ． 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -． 所以2* ,n b n n n =+∈N ． （2 ）*n c n = ==∈N ． 我们用数学归纳法证明． ①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立，即12h c c c +++ 数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：21 ③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++ 数列的综合应用 导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用． 自主梳理 1．数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论． 2．数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型． (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n . (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值； ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和． 自我检测 1．(原创题)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为 ( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 2．(2017·汕头模拟)在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6 a 16 等于 ( ) A.23 B.32 C ．－16 D ．－56 3．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( ) A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝1 2(3n －1) B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝1 2(3n －1) C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝1 2(3n －1)－2n D ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝1 2 (3n －1)－2n 专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 一、选择题 1．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家 学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是0 2，接下来的两项是0 2，1 2，再接下来的三项是0 2，1 2，2 2，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 2．（2016年全国Ⅲ）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项 为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若m =4，则不同 的“规范01数列”共有 （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 3．(2015湖北)设12,, ,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,, ,n a a a 成等比数列；q ： 22 2121()n a a a -++ +?22 2 22312231()()n n n a a a a a a a a a -+++=++ +，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充分必要条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．（2014新课标2）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = A ．()1n n + B ．()1n n - C ． ()12 n n + D ． ()12 n n - 5．（2014浙江）设函数21)(x x f =，),(2)(2 2x x x f -=|2sin |31)(3x x f π= ，99 i i a =， 0,1,2,,99i =???，记10|()()|k k k I f a f a =-+21|()()|k k f a f a -+???+ 9998|()()|k k f a f a -，.3,2,1=k 则 第五章 第五节 数列的综合应用 (时间60分钟，满分80分) 一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．(2011·济南模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D. 2 解析：依题意有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4 ＝4a 1－2a 1q 2 ，整理得q 4 ＋q 2 －2＝0，解得q 2 ＝1(q 2 ＝－2舍去)，所以q ＝1或－1. 答案：C 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N * )的直线的一个方向向量的坐标可以是( ) A ．(－1 2，－2) B ．(－1，－1) C ．(－1 2 ，－1) D ．(2，1 2 ) 解析：设数列{a n }的公差为d ，则有????? 2a 1 ＋2×12 d ＝104a 1 ＋4×3 2 d ＝36，解得d ＝4，于是直线PQ 的 斜率k ＝ a n ＋2－a n n ＋2－n ＝d ＝4，故直线的一个方向向量的坐标可以是(－1 2 ，－2)． 答案：A 3．(2011·福州模拟)等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( ) A ．156 B ．52 C ．26 D ．13 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13a 1＋a 13 2＝13a 4＋a 102 ＝26. 答案：C 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2 －b n x ＋2n 的两个零点，则 b 10等于( ) A ．24 B ．32 三、解答题 6. (2016 山西太原市二模)数列｛a n ｝的前n 项和记为S n , a 1 = t,点(S n , a n +1)在直线y = 3x + 1 上，n € N . (1) 当实数t 为何值时，数列｛a n ｝是等比数列； 第14讲 数列求和及数列的综合应用 1111专题突破，限时训练 |||| [P 82] 一、选择题 1 1.设函数f(x) = x m + ax 的导函数f ' (x)= 2x + 1,则数列｛f-^｝ (n € N )的前n 项和是(C ) n + 2 B.^ 解析：因为 f ' (x)= 2x + 1,所以 f(x)= x 2 + x, 1 111 乔=1 —市,易求得其和为 C. f(n 2.右正项数列｛ a n ｝满足 Ig a n +1 = 1 + l g a n ,且玄2001 + a 2002 + a 2003 +…+ a 2010= 2013,则 a 2011 + a 2012 + a 2013 + …+ a 2°2o 的值为(A ) 10 11 A. 2013 X 10 B.2013 X 10 C. 2014X 1010 D.2014 X 1011 a n +i “ a n +i 解析：由 lg a n +1= 1 + lg a n ,可得 lg = 1, = 10, a n a n 10 10 a 2011 + a 2012 + a 2013+ …+ a 2020 =(82001 + 82002+ a 2oo3 + …+ a 2O1o ) X 10 = 2013 X 10 . 3.设某商品一次性付款的金额为 a 元,以分期付款的形式等额地分成 n 次付清，若每期 利率r 保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是(B ) a n 一 口 ar(1+ r ￡ 一 A .;(1+「)元 B. 1+宀1 元 C.a (1 + r )n —1 元 D.屮二元 n' ' 1 + r — 1 解析：设每期期末所付款是 x 元，则各次付款的本利和为 x(1 + r)n — 1 + x(1 + r)n —2+ x(1 + r)n 3 + …+ x(1 + r)+ x = a(1 + r)n ,即 x 「十「) = a(1 + r)n ,故 x =\ . r (1 + r ) — 1 二、填空题 4.(原创题)已知数列｛a .｝满足a 1=— 1, ? n € N *, a n + a *+1= 2,其前n 项和为S n ,则 屜仃 2015 . m - 2016 - __________________________________________________________ 解析：S 2017= a 1+ (a 2 + a 3)+ (a 4 + a 5)+ …+ (a 2016+ a 2017)= — 1 + ~2 x 2 = 2015. 5.(2016湖南十三校联考)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n = 2n — a .,则数列｛a n ｝的 1 通项公式a n = 2—(1)n —1 . 解析：当n = 1时，a 1= 1; 当 n >2 时,a n = S n — S n -1,所以 2a n = a n -1+ 2, 则 2(a n — 2) = a n - 1— 2, n. 所以 a n — 2 = (a i — n — 1,a n = 2—(捫1 数列的综合应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 11 =+ 1、等差数列{}n a 中,若124a a +=, 91036a a +=,则10S =______. 2. 设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 11a =,21179 d -<<-, 则当n S 取最大值时,n 的值为_ __. 3.在等差数列{}n a 中，S n 是它的前n 项的和，且8776,S S S S ><，给出下列命题：①此数列公差0 7.5数列综合应用 【知识要点回顾】 一、数列综合问题中应用的数学思想 1．用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在自然数集上的函 数； 2．用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程； 3．用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究； 4．数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。 二、解决问题的主要思路有 1．把综合问题分解成几个简单的问题 2．把综合问题转化为熟悉的数学问题 3．通过观察，探索问题的一般规律性 4．建立数列模型，使用模型解决问题 三、实际问题的数列模型 依据实际问题的递推、等差、等比情境，将问题转换为递推数列、等差数列和等比数列，建立数列模型探究和解决实际应用问题。 四、注意 （1）直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。 （2）求一般数列的前n 项和，无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列前n 项和的求法。 （3）数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。 【课前小练】 1、某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，6小时后细胞成活的个数是（ B ） A ．63 B ．65 C ．67 D ．71 65 6122)1(1125361 1121==+=∴?-=-∴-===-+a n a a a a a a a n n n n n n 时，，，解： 2、根据市场调查结果、预测某种家用商品从年初开始的几个月内积累的需求量n S （万件） 近似的满足：），，，，1221()521(90 2 =--= n n n n S n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ C ） A ．5月，6月 B ．6月，7月 第2讲 数列求和及数列的综合应用 自主学习导引 真题感悟 1．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列??? ? ? ? 1a n a n ＋1的前100项和为 A. 100101 B.99101 C.99100 D.101 100 解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15， ∴? ???? a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－1 2d ＝15，， ∴???? ? a 1＝1d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1 a n a n ＋1＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴数列{1 a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…1100－1101＝1－1101＝100101 . 答案 A 2．(2012·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N ＋，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N ＋. (1)求a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解析 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 所以a n ＝4n －1，n ∈N ＋. 由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N ＋. (2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N ＋， 高中数学-数列求和、数列的综合应用 考点一 数列求和 知识点 数列的求和方法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 ①等差数列的前n 项和公式： S n ＝ n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1) 2 d . ②等比数列的前n 项和公式： S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. ③常见数列的前n 项和公式： a ．1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ； c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2； d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝ n (n ＋1)(2n ＋1) 6 ； e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝????n (n ＋1)22. (2)倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式有： ①1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1； ②1n (n ＋2)＝12??? ?1 n －1n ＋2； ③1(2n －1)(2n ＋1)＝12??? ?1 2n －1－12n ＋1； ④ 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (4)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． (5)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分 第十一讲 数列的综合应用 【复习要求】 灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解决一些综合性问题． 【复习重难点】 掌握一些简单的递推数列、子数列问题的处理方法及一些数列证明题的证明方法． 一、【基础训练】 1． 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________． 答案：56n 2－76 n 解析：由条件得 ???S 6＝6a 1＋6× 52d ＝23，S 9＝9a 1 ＋9×82d ＝57，即???a 1＝－13，d ＝53，故a n ＝56n 2 －76n ． 2．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________． 答案：64 解析：a 22＝a 1a 5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，所以d ＝2，故S 8＝8＋8×72 ×2＝64． 3． 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足关 系式S n ＝n 90 (21n －n 2－5)(n ＝1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是________． 答案：7、8 解析：由S n 解出a n ＝130 (－n 2＋15n －9)， 再解不等式130 (－n 2＋15n －9)>1．5，得6 第五节 数列的综合应用 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，1 2a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4 的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5－12或5＋12 解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4 ＝q ＝1＋5 2. 答案 B 2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( ) A ．10秒钟 B ．13秒钟 C ．15秒钟 D ．20秒钟 解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15. 答案 C 3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列???? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析 由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1. ∴f (x )＝x 2 ＋x ，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 . ∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1 n ＋1 ＝1－ 1n ＋1＝n n ＋1 . 答案 A 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1 n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( ) A ．有最小值63 B ．有最大值63 C ．有最小值31 D ．有最大值31 解析 ∵a n ＝log 2n ＋1 n ＋2 ＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 22－log 23＋log 23－log 24＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝1－log 2(n ＋2)． 由S n <－5，得log 2(n ＋2)>6， 即n ＋2>64，∴n >62，∴n 有最小值63. 答案 A 5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2 －b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( ) A ．24 B ．32 2020年高考文科数学二轮复习： 专题三 第二讲 数列的综合应用 一、选择题 1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3 ＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D.52 解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2 n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7a 3＝22＝4，故选B. 答案：B 2．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24 D ．23 解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23 的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473 >0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23. 答案：D 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝????? 2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．120 解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C. 答案：C 4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44 D ．44＋1 解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ， 即a n ＋1a n ＝4(n ≥2)， 所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝ 一、填空题 1．设等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 的值为________．解析：由条件知a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4d ＋(n －1)d ＝(n ＋3)d ，即a n ＝(n ＋3)d (n ∈N *)．又a 2k ＝a 1·a 2k ，所以(k ＋3)2d 2＝4d ·(2k ＋3)d ，且d ≠0，所以(k ＋3)2＝4(2k ＋3)，即k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1(舍去)． 答案：3 2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线 连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12 n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________． 解析：由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2；当n ＝1时也适合．据题意令a n ≥150?n ≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年． 答案：7 3．等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________． 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2 ＝26.答案：26 4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于________． 解析：依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案：64 5．有限数列A ：a 1，a 2，…，a n ，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S n n 为A 的“凯森和”，若有99项的数列a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为________． 解析：设a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为 §1.4数列在日常经济生活中的应用 一、教学目标 1. 知识与技能：（1）掌握等差、等比数列的左义、通项公式、前n项和公式及其应用：（2）了解银行存款的种类及存款计息方式；（3）体会“零存整取”、“宦期自动转存”等日常经济生活中的实际问题：（4）了解"教冇储蓄”. 2. 过程与方法:通过温故、设问、思考、讨论、推导等具体的问题情境，发现并建立等差数列这个数学模型，会利用它解决一些存款汁息问题，感受等差数列的广泛应用. 3. 情感态度与价值观:通过本丹的学习，使学生对等差、等比数列的进一步理解，体会等差、 等比数列与日常经济生活紧密相关，引导学生学会思考、交流、讨论、推导与归纳，学会调査学习，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，提髙学生学习数学新知识的兴趣和信心. 二、教学重点：建立“零存整取模型”、“泄期自动转存模型”，并用于解决实际问题；难点：在实际的问题情境中，利用等差、等比数列数学模型，发现并建立“零存整取模型” 与“泄期自动转存模型”； 关键：结合例题，分析弄淸“零存整取”与“沱期自动转存”的储蓄方式?“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获的利息组成一等差数列："泄期自动转存”是下期的利息计算以上期的本利和为本金. 三、教法与学法：学生通过对具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括, 发现并建立等差、等比数列这个数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差、等比数列的广泛应用，从而更好地完成本节课的教学目标. 四、教学过程： 1. 创设情境： ①温故知新：等差数列：等比数列；泄义；通项公式；前n项和公式 ②等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型?例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关. 师：同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？ 2. 探索新知： （1）储蓄业务种类①活期储蓄②泄期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取左期储蓄、存本取息左期储蓄、左活两便储蓄） ③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款 6.5数列的综合应用 考点一 等差数列与等比数列的综合问题 『典例』 (2011·江苏高考)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 『解析』 因为a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，又a 1＝1，所以a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3.因为a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，所以a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2. 法一： 因为1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，所以???? ? 1≤a 2≤a 3≤a 4，a 4≤a 5≤a 6， a 7≥a 6， 即???? ? a 2 ≤q ≤a 2 ＋1， a 2 ＋1≤q 2 ≤a 2 ＋2，解得 33≤q ≤ 3，故q 的最小值为 3 3. q 3 ≥a 2 ＋2， 法二： a 6＝a 2＋2≥3，即a 6的最小值为3.又a 6≤a 7，所以a 7的最小值为3即q 3≥3，解得a ≥ 3 3.故q 的最小值为3 3. 『答案』 33 『备课札记』 『类题通法』 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 『针对训练』 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ， 2021年高考数学第五节数列的综合应用教材 考点串串讲 1．用数学模型解题的基本模式 (1)日常生活中涉及到的利息、产量、繁殖等与增长率有关的实际问题，以及经济活动中的分期付款、期货贸易等问题均可转化为相应的数列问题，利用数列的有关知识去解决． (2)建立数学模型的一般步骤 ①认真审题，准确理解题意，明确问题属于哪类应用问题，弄清题目的已知事项，明确题目所求的结论； ②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达出来； ③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学表达式．2．常见的数列模型 (1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题． (2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题． (3)递推数列模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推关系式表达出来，然后通过分析递推关系式求解． 注意 ①认真阅读题干，明确所给条件是组成等差数列、等比数列还是一个递推关系式，确定出相应的数列模型． ②如果是等差数列、等比数列，应明确a1，an ，n ，d ，q ，Sn 这些基本量，已知哪几个，要求哪几个；如果是递推关系式，应明确关系式是关于Sn 的还是an 的，又或者是二者综合的，然后再确定要求解的量． 3．数列与其他知识的综合 (1)数列与函数、不等式的综合主要是由函数解析式得到数列递推关系式，或利用函数的单调性证明数列中的不等关系． (2)数列与解析几何的综合主要是利用曲线上点的坐标满足曲线的方程，利用解析几何的有关知识，如中点坐标公式，弦长公式等建立递推关系式，然后用数列知识求解． 注意 ①数列与其他知识的综合，关键是根据题中条件，结合相关知识的概念与公式，列出递推关系式． ②数列与其他知识的综合是近几年高考命题的热点，除了传统的数列与函数、不等式的综合外，数列与解析几何、三角函数、程序框图等的综合也经常出现，对此需要引起注意. 典 例 对 对 碰 题型一等差数列模型 例1如图，在一直线上共插有13面小旗，相邻两面间距离为10m ，在第一面小旗处某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？ 分析 本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和． 解析 设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗处，共走路程为10(x －1)，然后回到第二面处再到第x 面处是20(x －2)，……，从第x 面处到第(x ＋1)面处的路程为20，从第x 面处到第(x ＋2)面取旗再到第x 面处，路程为20×2，…… 总的路程为 S ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×2＋20×1＋20＋20×2＋…＋20×(13－x) ＝10(x －1)＋20×x －1x －22＋20×13－x 14－x 2 ＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x)(14－x)] ＝10(2x2－29x ＋183) ＝20(x －294)2＋31154 ∵x ∈N*，∴x ＝7时，S 有最小值S ＝780(m)． 答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短． 点评 本题属等差数列应用问题，应用等差数列前n 项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程. 变式迁移1 某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的 2019-2020年高考数学专题复习数列的综合应用教案文 1.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等 式知识解决数列中的相关问题. 2.数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付 款、合理定价等. 3.解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该 数列的结构和特征. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中. 4.数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或 减少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型， 这个固定的数就是公比. (3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b ＝r＋r n ＋r n－1 a. [难点正本疑点清源] 1.用函数的观点理解等差数列、等比数列 (1)对于等差数列，由a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，a n是关于n的一次函数，对应的点(n，a n)是位于直线上的若干个离散的点.当d>0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常函数，对应的数列是常数列；d<0时，函数是减函数，对应的数列是递减数列. 若等差数列的前n项和为S n，则S n＝pn2＋qn (p、q∈R).当p＝0时，{a n}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题. (2)对于等比数列：a n＝a1q n－1.可用指数函数的性质来理解. ①当a1>0，q>1或a1<0,0 课时规范练 A 组基础对点练 3 * 1. （2018嘉兴调研）已知a n =亦二而（n € N ），数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,则使 各>0的n 的 最小值为（ ） A . 99 B . 100 C . 101 D . 102 、 、 3 解析： 由通项公式得 a 1 + a 100= a 2 + a ?9= a 3+ a 98 =??? = a 50 + a 51 = 0, a 1°1 = 101>0，故选 C. 答案：C 2. （2018昆明七校调研）在等比数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和，若q = 2，且a ?与2a 4的等 差中项为18,则S 5=（ ） A . 62 B . - 62 D . - 32 62,选 A. 答案：A 5 3. 已知等差数列｛a n ｝的各项均为正数，a 1= 1，且a 3, a °+ ?, an 成等比数列?若p -q = 10, 则 a p — a q = （ ） A . 14 B . 15 C . 16 D . 17 5 解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,由题意分析知d>0，因为a 3, a °+ ?, an 成等比数列， 所以 a 4 + 5 2 = a 3an ，即 §+ 3d 2= (1 + 2d) (1 + 10d)，即 44d — 36d — 45 = 0,所以 d =号 15谷土 I 才「、『 3n — 1 3 d =— 22舍去，所以 a n = — ?所以 a p — a q = ^(p — q)= 15. 答案：B 4. 已知数列｛a n ｝满足 a n + 2— a n +1= a n +1 — a n , n € N *，且 a 5 =寸，若函数 f(x)= sin 2x + 2cos^, 记y n = f(a n )，则数列｛y n ｝的前 9项和为( ) A . 0 B . — 9 C . 9 D . 1 C . 32 解析: 依题意得 a 2 + 2a 4= 36, q = 2，则 2a 1 + 16a 1 = 36,解得 a 1 = 2, 因此S 5 = 5 2X( 1 — 25 )_ 1-2 =数列综合应用(放缩法)教案资料
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