2018-2019年最新高考总复习数学(文理)全真模拟试题及答案解析五

2019年数学全真模拟试卷五试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ ． 【答案】{}19,2． 已知实数a ，b 满足(9+3i)(i)104i a b +=+（其中i 是虚数单位），则a b += ▲ ． 【答案】653． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图．根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品．则样本中三等品的件数为 ▲ ． 【答案】1004． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩 形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形 面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ． 【答案】135． 如图，是某校限时12 min 跑体能达标测试中计算每一个 参加测试的学生所跑路程S （单位：m ）及时间t （单位：min ）的流程图，每跑完一圈（400 m ），计一次路程，12 min 内达标或超过12 min 则停止计程．若某同学成功通过该项测试，则该同学所跑路程至少为 ▲ m ． 【答案】20005． 已知向量a ，b 满足1=a ，3=b ，()31+=, a b ，则-=a b ▲ ． 【答案】4；开始122000S t ≤≤且结束N400S S ←+Y（第5题）0 0S t ←←，S t 输出，S ←0For i From 1 To 10 Step 1 S ←S ＋1i (i ＋1)End For Print S（第5题） 10 15 20 25 30 40 35 （第3题） 0.01250.0500 0.06250.0250 0.0375 频率组距长度/毫米6． 在平面直角坐标系xOy 中，“双曲线C 的标准方程为221169y x -=”是“双曲线C 的渐近线方程 为34y x =±”成立的 ▲ 条件．(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一种) 【答案】充分非必要8． 设a ，b ，c 为三条不同的直线，给出如下两个命题： ①若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；②若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ．试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设α，β，γ为三个不同的平面， ▲ ． 【答案】若//αβ，βγ⊥，则αγ⊥9． 若函数()()ππ()sin 3sin 44f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】3-；10． 设奇函数()f x 在(0，+∞)上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是 ▲ ．【答案】(10)(01)-，，【解析】由奇函数及()()0f x f x x --< 得2()0f x x<，即(2,0),(3,1)A B 或()00f x x <⎧⎨>⎩，由函数的草图得解集为(10)(01)-，，11．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1c m A B B C C D ===，则四面体ABCD的外接球的表面积为 ▲ 2cm . 【答案】3π【解析】如图，则四面体ABCD 的外接球即它所在正方体（棱长为1）的外接球，而正方体的 外接球的直径即正方体的体对角线长3，所以外接球的表面积为()2324π3π=（cm 2）． 12．正五边形ABCDE 的边长为23，则AC AE ⋅uu u r uu u r的值为 ▲ ．【答案】6【解析】利用AC uuu r 在AE uu u r 上的投影得，AC AE ⋅=u u u r u u u r 2162AE =uu u r ．13．设集合{}()0A x x x a =-<，{}27180B x x x =--<，若A B ⊆，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】[]29-，【解析】依题意，()2 9B =-，，当0a >时，(0 )A a =，，由A B ⊆得，09a <≤；当0a <时，( 0)A a =，，由A B ⊆得，2a -≥；当0a =时，A =∅，满足A B ⊆， 综上得，[]29a ∈-，． 14． 已知两个等比数列}{n a ，{}n b 满足1(0)a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=，若数列}{n a唯一，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】13【解析】设数列}{n a 的公比为q ()0q ≠，由11b a =+，22b aq =+，233b aq =+成等比得， ()()()22213aq a aq +=++，即24310a q a q a -+-=，因为0a >，所以2440a a ∆=+>，故方程24310aq aq a -+-=有两个不同的实数解，其中一解必为0q =，从而13a =，此时，另一解为2q =．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长．若a cos B ＝1，b sin A ＝2，且A －B ＝π4．（1）求a 的值； （2）求tan A 的值．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，①（2分） 又a cos B ＝1， ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3，（4分） 因为sin 2B ＋cos 2B ＝1，所以a ＝3（负值已舍）；（6分）（2），由（1）中①，②两式相除，得sin B cos B ＝2，即tan B ＝2，（8分）因为A －B ＝π4，所以tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ4(12分)BA（第16题）CEF GD＝1＋21－2＝－3－22．（14分）16．（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AD ＝BD ，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点， 点G 为棱AD 的中点，且平面EFG //平面BCD ．求证： （1）EF ＝12BC ；（2）平面EFD ⊥平面ABC ．证明：（1）因为平面EFG ∥平面BCD ，平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EG //BD ，(4分) 又G 为AD 的中点， 故E 为AB 的中点， 同理可得，F 为AC 的中点， 所以EF ＝12BC ．(7分)（2）因为AD ＝BD ，由（1）知，E 为AB 的中点， 所以AB ⊥DE ，又∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ， 由（1）知，EF //BC ，所以AB ⊥EF ， 又DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面EFD ， 所以AB ⊥平面EFD ，(12分) 又AB ⊂平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC ．(14分)17．（本题满分14分）已知函数3()f x x ax b =++的图象关于坐标原点对称，且与x 轴相切． （1）求实数a ，b 的值；ABDC（第18题）·E（2）是否存在正实数m n , ，使函数()3()g x f x =-在区间[]m n , 上的值域仍为[]m n , ？若存 在，求出m n , 的值；若不存在，说明理由．解：（1）因为函数3()f x x ax b =++的图像关于坐标原点对称，所以()()f x f x -=-，即()33x ax b x ax b --+=-++，于是0b =， 设函数3()f x x ax =+的图象与x 轴切于点( 0)T t ，， 则()0f t =，且()0f t '=，即30t at +=，且230t a +=， 解得0t a ==， 所以3()f x x =；（6分）（2）333 0 ()3()3 0 x x g x f x x x ⎧+<⎪=-=⎨-⎪⎩，，，≥，，假设存在 m n ，满足题意， 因为0n m >>，且3()3g x x =-在区间[]m n , 上单调递减，所以333 3 m n n m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，， 两式相减得221m mn n ++=，可得0 1m n ≤≤，，这与[]332 3n m =-∈，矛盾，所以不存在正实数m n , 满足题意．（14分）18．（本题满分16分）下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，AB =20 m ，BC =10 m ，120ABC ∠=°．拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），将该园地 分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉．设EB x EF y ==，（单位：m ）． （1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）请确定点E ，F 的位置，使直路EF 长度最短． 【解】（1）当点F 与点C 重合时，由题设知，S △BEC 14=S □ABCD ，于是1124EB h AB h ⋅=⋅，其中h 为平行四边形AB 边上的高，得12EB AB =，即点E 是AB 的中点．（4分） （2）因为点E 在线段AB 上，所以020x ≤≤．（6分） 当1020x ≤≤时，由（1）知，点F 在线段BC 上，因为AB =20 m ，BC =10 m ，120ABC ∠=°，所以S □ABCD 3sin 201010032AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯⨯=．由S△EBF12x BF =⋅⋅sin120°253=得100BF x=， 所以由余弦定理得()22o1001002cos120y EF x x x x==+-⋅⋅2210000100x x =++． 当010x <≤时，点F 在线段CD 上， 由S四边形EBCF()1102x CF =+⨯⨯sin 60°253=得10CF x =-， 当BE CF ≥时，()()22o 10210210210cos120EF x x =+--⨯⨯-⋅， 当BE CF <时，()()22o 10102210102cos60EF x x =+--⨯⨯-⋅，化简均为22525y EF x x ==-+．综上，222252510100001001020x x x y x x x ⎧-+<⎪=⎨++⎪⎩，0≤，，≤≤． （12分） （3）当010x <≤时，22525y x x =-+()2575224x =-+， 于是当52x =时，min 53y =，此时15102CF x =-=；当1020x ≤≤时，2210000100y x x =++22100002100x x ⋅+≥353>=10， 故当E 距B 点2.5m ，F 距C 点7.5m 时，EF 最短，其长度为53．（16分）19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：3280x y +-=，圆M ：22(3)(2)1x y -+-=． （1）设A ，B 分别为直线l 与圆M 上的点，求线段AB 长度的取值范围；（2）试直接写出一个圆N （异于圆M ）的方程（不必写出过程），使得过直线l 上任 一点P 均可作圆M 与圆N 的切线，切点分别为M T ，N T ，且M N PT PT =； （3）求证：存在无穷多个圆N （异于圆M ），满足对每一个圆N ，过直线l 上任一点P 均可作圆M 与圆N 的切线，切点分别为M T ，N T ，且M N PT PT =． 解：（1）易得圆心(32)M ，到直线l ：3280x y +-=的距离2233228511332d r ⨯+⨯-==>=+， 故直线l 与圆M 相离，从而513113AB -≥，所以线段AB 长的取值范围是)513113⎡-+∞⎢⎣，．(5分)（2）易得圆M 关于直线l 对称的圆必满足题意， 故满足题意的一个圆N 的方程为：()()229611313x y -+-=．(8分)（3）设圆N ：222()() (03)x a y b r r a -+-=>≠，， 由M N PT PT =，得2221PM PN r -=-，即22222(3)(2)1()()x y x a y b r -+--=-+--，(10分) 整理得，()()2222322120a x b y r a b -+-⋅++--=， 因为3280x y +-=，所以283y x =-，从而()()()22223283120a x b x r a b -+-⋅-++--=， 整理得，()22223840a b x r a b b -+--+-=，(13分)因为上式对任意的x ∈R 恒成立，所以222230840a b r a b b -=⎧⎨--+-=⎩，， 解得2223131640 (3)93b a r a a a ⎧=⎪⎨⎪=-+>≠⎩，，所以圆N 的方程为：()22221316()4393x a y a a a -+-=-+，即证．（16分）20．（本题满分16分）定义：从一个数列{a n }中抽取若干项(不少于三项)按其在{a n }中的次序排列的一列数叫做{a n }的 子数列，成等差(比)的子数列叫做{a n }的等差(比)子列． （1）求数列1，12，13，14，15的等比子列；（2）设数列{a n }是各项均为实数的等比数列，且公比q ≠1．（i ）试给出一个{a n }，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）； （ii ）若{a n }存在无穷项的等差子列，求q 的所有可能值．解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k （1≤k ≤3，k ∈N *），当k ＝2时，①设1n ，1n ＋1，1m 成等比数列，则1(n ＋1)2＝1n ×1m ，即m ＝n ＋1n ＋2，当且仅当n ＝1时，m ∈N *，此时m ＝4，所求等比子数列为1，12，14；②设1m ，1n ，1n ＋1成等比数列，则1n 2＝1n ＋1×1m ，即m ＝n ＋1＋1n ＋1－2 N *；(3分)当k ＝3时，数列1，12，13；12，13，14；13，14，15均不成等比，当k ＝1时，显然数列1，13，15不成等比；综上，所求等比子数列为1，12，14．（5分）（2）（i ）形如：a 1，－a 1，a 1，－a 1，a 1，－a 1，…（a 1≠0，q ＝－1）均存在无穷项等差子数列： a 1，a 1，a 1，… 或－a 1，－a 1，－a 1，(7分)（ii ）设{a n k}(k ∈N *，n k ∈N *)为{a n }的等差子数列，公差为d ， 当|q |＞1时，|q |n＞1，取n k ＞1＋log |q ||d ||a 1|(|q |－1)，从而|q |n k－1＞|d ||a 1|(|q |－1)，故|a n k ＋1－a n k|＝|a 1qn k ＋1－1－a 1qn k －1|＝|a 1||q |n k －1·|qn k ＋1－n k－1|≥|a 1||q |n k －1(|q |－1)＞|d |， 这与|a n k ＋1－a n k|＝|d |矛盾，故舍去；(12分)当|q |＜1时，|q |n＜1，取n k ＞1＋log |q ||d |2|a 1|，从而|q |n k－1＜|d |2|a 1|， 故|a n k ＋1－a n k|＝|a 1||q |n k －1|qn k ＋1－n k－1|≤|a 1||q |n k －1||q |n k ＋1－n k＋1|＜2|a 1||q |n k －1＜|d |， 这与|a n k ＋1－a n k|＝|d |矛盾，故舍去；又q ≠1，故只可能q ＝－1，结合(i)知，q 的所有可能值为－1．(16分)试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于点N ，过点N的切线交CA 的延长线于点P ．求证：2PM PA PC =⋅．证明：因为PN 切⊙O 于N ，所以90ONP ∠=︒，从而90ONB BNP ∠+∠=︒，因为OB =ON ，所以OBN ONB ∠=∠，因为OB AC ⊥于O ， 所以 90OBN BMO ∠+∠=︒， 故BNP BMO PMN ∠=∠=∠， PM PN =，（6分） 又2PN PA PC =⋅，所以2PM PA PC =⋅．（10分）B ．（矩阵与变换）已知a ，b ∈R ，矩阵A 13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换T A 将直线230x y --=变换为自身，求实数a ， b 的值．解：（1）设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则133x a x x ay b y y bx y '--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（4分） 因为点x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦在已知直线上，所以230x y ''--=，故()()2330x ay bx y -+-+-=，整理得()1(23)30b x a y --+--=，（7分） 所以22 231 b a --=⎧⎨-=-⎩，，解得1 4a b =⎧⎨=-⎩，．（10分）C ．（极坐标与参数方程）设直线l ：cos60 1sin 60x l y l =︒⎧⎨=-+︒⎩，（l 为参数）与曲线C ：22 2x at y at ⎧=⎨=⎩，（t 为参数，常数0a ≠）交于不同两点，求实数a 的取值范围．PBCNOM A（第21—A 题）解：易得直线l 的普通方程为：31y x =-，代入曲线C 的普通方程22y ax =(0)a ≠得，（6分） 232(3)10x a x -++=，依题意，其判别式24(3)120a ∆=+->， 解得23a <-或0a >．（10分）D ．（不等式选讲）求不等式3231x -->．解：3231x -->或3231x --<-，（4分） 即324x ->或322x -<， 故3216x ->或0324x -<≤，（8分） 即6x >或223x <≤，所以该不等式的解集为{}26 23x x x ><≤，或．（10分） 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在唯一的一点P 满足1A P ⊥PB ，求实数λ的值．解：如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD , , 分别为x y z , , 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()000D ,, ，()110B , , ，()110A λ, , ， 设()01P x ,, ，其中[]0x λ∈, ， 因为1A P ⊥PB ，所以10A P BP ⋅=，即()()11100x x λ--⋅-=,, , , ， 化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈, ，（7分）PABC D 1A 1B 1C 1D （第22题）xyz由点()01P x , , 的唯一性知方程210x x λ-+=只有唯一解， 所以，判别式240λ∆=-=，且0λ>， 解得λ=2．（10分）23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．解：（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=， 所以22222n n n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个相乘；（3分）（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-，（5分） 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,, ， 不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）； 同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=， 这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， 又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，所以，11222C 22C 22C n n n n n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+11222(2+C 2C 2C )22n n n n nn n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22n n =+-⨯ 2(32)n n =-．（10分）。