【典型题】高考数学试卷(含答案)

【典型题】高考数学试卷(含答案)

一、选择题

1．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．

110

B ．

310

C ．

35

D ．

25

2．给出下列说法：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

3．如果

4

2

π

π

α<<

，那么下列不等式成立的是（ ）

A ．sin cos tan ααα<<

B ．tan sin cos ααα<<

C ．cos sin tan ααα<<

D ．cos tan sin ααα<<

4．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；

③p ∧(?q )；④(?p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

5．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成

绩依次记为1214,,

A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流

程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

6．在下列区间中，函数()43x

f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）

A ．1,04??

-

???

B ．10,4?? ???

C ．11,42??

???

D ．13,24??

???

7．设i 为虚数单位，复数z 满足21i

i z

=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i

B ．-1-i

C ．1+i

D ．-1+i

8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ．

2

2

B ．

3 C ．

5 D ．

72

9．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ．

14

B ．

12

C ．

22

D ．2

10．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A ．108cm 3

B ．100cm 3

C ．92cm 3

D ．84cm 3

11．在ABC ?中，A 为锐角，1lg lg()lgsin 2b A c

+==-，则ABC ?为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

12．已知a R ∈，则“0a =”是“2

()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

二、填空题

13．若三点1

(2,3),(3,2),(

,)2

A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．函数()22,0

26,0x x f x x lnx x ?-≤=?-+>?

的零点个数是________．

15．若过点()2,0M 3()2

:0C y ax a =>的准线l 相交于点

B ，与

C 的一个交点为A ，若BM MA =，则a =____．

16．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21

,,36

BE BC DF DC =

=则AE AF ?的值为 ． 17．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -?=________. 18．设函数2

1()ln 2

f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________. 19．3

4

3

31654

+log log 8145

-??

+= ???

________. 20．已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的

点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：

22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．

三、解答题

21．已知平面直角坐标系xoy .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为23,

6π?

?

??

?

，曲线C 的极坐标方程为2

23sin 1ρρθ+= （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；

（2）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线32:2x t

l y t

=+??=-+?（t 为参数）距离的最小值.

22．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照

分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图的的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.

23．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214

y x =25

. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若

1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.

24．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系xOy ，已知曲线3cos :sin x a

C y a

?=??=??（a 为参数），在以O 原点为极点，

x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2cos()124

π

ρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．

25．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．

(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ?∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数

b 的取值范围．

26．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为

CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；

（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C

解析：C 【解析】 【分析】

设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】

设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525?=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：

()255

P x y ≤=

=，故本题选C .

【点睛】

本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.

2．A

解析：A 【解析】 【分析】

①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的. 【详解】

解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;

②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;

③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;

④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等． 故答案为:A

【点睛】

(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;

(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．

3．C

解析：C 【解析】 【分析】

分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】

如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.

【点睛】

本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

4．C

解析：C 【解析】

试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时2

2

x y

>不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.

考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案． 【详解】

根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9. 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ???< ???

??

?

???> ????

?

,利用零点存在定理可得结果. 【详解】

因为函数()43x

f x e x =+-在R 上连续单调递增，

且11

44

11

22114320

4411431022f e e f e e ???=+?-=-

????=+?-=-> ????

?, 所以函数的零点在区间11,42??

???

内，故选C. 【点睛】

本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.

7．B

解析：B 【解析】 【分析】

利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果.

∵复数z 满足

21i

i z

=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +=

==---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ?中进行计算即可. 【详解】

在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，

则55

tan BE a EAB AB ∠=

==

.故选C.

【点睛】

求异面直线所成角主要有以下两种方法：

（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.

9．C

解析：C 【解析】 由题得22(1)111112

()()12222222

i i i i z i z i -+=

===+∴=+=

+. 故选C. 10．B

【解析】

试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．

解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）． ∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．

故选B ．

考点：由三视图求面积、体积．

11．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：由1lg lg()lgsin 2b A c

+==-22lg

lg 22

b b

c c =?=且2

sin A =

A 为锐角，所以45A =，由2b =，根据正弦定理，得22sin )cos sin

B

C B B B =

=-=+，解得cos 090B B =?=，所以三角形为等腰直角三角形，故选D. 考点：三角形形状的判定.

12．C

解析：C 【解析】

因为()2

f x x ax =+是偶函数，所以22

()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=

所以0a =.所以“0a =”是“()2

f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.

二、填空题

13．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：

12

【解析】

试题分析：依题意有AB AC k k =，即

53

152

2

m --=

+，解得12m =. 考点：三点共线．

14．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：

解析：2 【解析】 【详解】

当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得

x=1个零点； 当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，

则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点， 所以共有2个零点． 故答案为：2． 【点睛】

判断函数零点个数的方法

直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，

图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0?h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，

性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数

15．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因 解析：8

【解析】 【分析】

由直线方程为2)y x =-与准线:a

l x 4

=-

得出点B 坐标，再由BM MA =可得，点

M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值. 【详解】

解：抛物线()2

:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4

=-

过点()2,0M

2)y x =-，

联立方程组2)4y x a x ?=-?

?=-

??

，

解得，交点B

坐标为)

(,)a a 844

+-

， 设A 点坐标为00(,)x y ， 因为BM MA =，

所以点M 为线段AB 的中点，

所以00()442402a x y ?

+-?=?

???+?=??

，解得)

()a a 8A 444++，

将(a A 44+代入抛物线方程，

即))()2a 8a

a 444

+=+， 因为0a >， 解得8a =. 【点睛】

本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.

16．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积

解析：

2918

【解析】 在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得

12AD BC ?=

,1AB AD ?=,1

2

DC AB =,所以()()

AE AF AB BE AD DF ?=+?+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ????

=+?+=?+?++?=++-=

? ?????

.考点：平面向量的数量积.

17．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和 解析：10

【解析】

分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -?，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.

详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，

()()()()()111121z z i i i i ∴-?=++?-+=+?-+

39110i =-+=+=，故答案为10.

点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++

18．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：

【解析】

试题分析：()f x 的定义域为()()1

0,,'f x ax b x

+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x

+-=

.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，

()'0f x >，此时()f x

单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1

x a

=-

.因为1x =是()f x 的极大值点，所以1

1a

-

>，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 19．【解析】试题分析：原式=考点：1指对数运算性质

解析：278

【解析】

试题分析：原式=34

4

332542727log log 134588

-?

?

??+?=+=

??

???????

考点：1.指对数运算性质.

20．【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即

解析：2+

【解析】 【分析】 由题意可得00b

y x a

=

，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：2

2(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率c

e a

=，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】

由题意，双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00b

y x a

=

，① 又12MF MF ⊥，可得

00001y y

x c x c

?=-+-， 即为222

00y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，

由F 为焦点的抛物线2C ：2

2(0)y px p =>经过点M ， 可得2

2b pa =，且2

p

c =，即有2224b ac c a ==-，即224ac 0c a --=

由c

e a =

，可得2410e e --=，解得2e =+【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c 的值，代入公式c

e a

=

；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范

围)．

三、解答题

21．（1）P ，22(4x y ++=；（21-. 【解析】

【分析】

（1）把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入即可得出；

（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出. 【详解】

（1）x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入计算，3

23cos 2336

2

P x π

==?

=，23sin

6P y π=＝1

2332

?

=， ∴点P 的直角坐标()

3,3，由223sin 1ρρθ+=，得22231x y y ++=， 即()

2

23

4x y ++=，所以曲线C 的直角坐标方程为()

2

23

4x y ++=

（2）曲线C 的参数方程为232x cos y sin θ

θ

=???=-+??（θ为参数），由32:2x t l y t =+??=-+?（t 为参

数），得直线l 的普通方程为270x y --=. 设()

2cos ,32sin Q θθ-+，则PQ 中点3cos ,sin 2M θθ??

+ ???

，那么点M 到直线l 的距离，

()2

2

3

1111cos 2sin 7cos 2sin 5sin 2

2

2

5

5

12

d θθθθθ?+-----+

=

=

=

+11

5115215

-+≥

=-，

所以点M 到直线l 的最小距离为115

110

-. 【点睛】

本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题． 22．(1) ； (2)36000；（3）

.

【解析】 【分析】

本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数. 【详解】

（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×

0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.

由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ， 解得a=0.30.

（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000. （Ⅲ）设中位数为x 吨.

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5.

由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】

本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．

23．（Ⅰ）2

215

x y +=（Ⅱ）-10

【解析】 【分析】

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22

221x y a b

+=，根据它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，

得到1b =，又c a ==C 的标准方程. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程

2215

x y +=，得()2222

15202050k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理结合已知条件能求出12λλ+的值. 【详解】

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，

抛物线方程化为2

4x y =，其焦点为()0,1

则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，

由5

c e a ===

，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2

215

x y +=

（Ⅱ）证明：∵椭圆C 的方程为2

215

x y +=，

∴椭圆C 的右焦点()2,0F

设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，

设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2

215

x y +=，

并整理，得(

)2

2

2215202050k

x

k x k +-+-=，

∴21222015k x x k +=+，2122

205

15k x x k

-=+， 又()110,MA x y y =-，()220,MB x y y =-，()112,AF x y =--，()222,BF x y =--， 而1MA AF λ=，2MB BF λ=，

即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=

-，2

22

2x x λ=-，

∴()()12121212121212

22102242x x x x x x

x x x x x x λλ+-+=+==----++. 【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

24．（1）曲线C ：2

213

x y +=，直线l 的直角坐标方程20x y -+=；（2）1.

【解析】

试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据

cos ,sin x y ρθρθ== 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线

1l 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M 到A ，B 的距离之积

试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：2

213

x y +=，

cos 14πρθ?

?+=- ??

?，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．

（2）直线1l

的参数方程为12

2x t y t ?=-+????=??（t 为参数），

代入2

213

x y +=

化简得：2220t -=，

设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，

121MA MB t t ∴?==．

25．(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,

a ?? ???，单调递增区间是1,a ??

+∞ ?

??

(2) 211b e -≤ 【解析】 【分析】 【详解】

分析：（1）求导()f x '，解不等式()0f x '>，得到增区间，解不等式()0f x '<，得到减区间；

（2）函数f （x ）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f （x ）≥bx ﹣2?1+

1

x

﹣lnx x ≥b ，构造函数g （x ）=1+1x

﹣lnx

x ，g （x ）min 即为所求的b 的值 详解：

（1）在区间()0,∞+上， ()11

ax f x a x x

-'=-

=， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()0,∞+上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x a

=， 在区间10,a ??

???

上，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 在区间1,a ??

+∞

???

上，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时， ()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无单调递增区间； 当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,

a ?

? ???，单调递增区间是1,a ??+∞ ???

（2）因为函数()f x 在1x =处取得极值， 所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意

由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1+

x b x x

-≥对()0,x ?∈+∞恒成立， 令()1ln 1x g x x x

=+-， 则()222

11ln ln 2x x g x x x x -='--

-=， 易得()g x 在(2

0,e ??上单调递减，在)

2,e ?+∞?上单调递增，

所以()()2

2

min 11g x g e

e ==-，即2

1

1b e -≤.

点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为

min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;

（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >

26．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14??

????

；（2）6

π． 【解析】

分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.

详解：

解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，

则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为

12

×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π

6

）． 当θ∈[θ0，

π

2

）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，

所以sin θ的取值范围是[

1

4

，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[

1

4

，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×

800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π

2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，

π

2

）， 则()()

()()2

2

2

'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+．

令()'=0f θ，得θ=π6

， 当θ∈（θ0，π

6

）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（

π6，π

2

）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π

6

时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=

π

6

时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.