高中数学必修2教案直线与直线之间的位置关系-两点间距离
最新人教版高中数学必修2第二章《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计
教学设计2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点．异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同．公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念．三维目标1．正确理解空间中直线与直线的位置关系，特别是两直线的异面关系．2．以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用．3．进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质．重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过(假设它们的轨迹为直线)，请同学们讨论这两直线的位置关系．学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样．教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内．今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系．思路2.(事例导入)观察长方体(图1)，你能发现长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1推进新课 新知探究 提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法.④在同一平面内。
如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．在宇间这个结论成立吗?⑤什么呈亨间等角定理? ⑥什么叫做两异面直线所成的角? ⑦什么叫做两条直线互相垂直?活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明．②空间两条直线的位置关系有且只有三种．结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD-A′B′C′D′中，如图1，BB′∥AA′，DD′∥AA′，BB′与DD′平行吗？通过观察得出结论：BB′与DD′平行．再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示为：a∥b，b∥c⇒a∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用．公理4是判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用．⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示．如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角．图3针对这个定义，我们来思考两个问题．问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？图4答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的．若在空间中，再取一点O′(图4)，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角(或直角)和a′与b′所成的锐角(或直角)相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上(如图3)．图5问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾．当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广．⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面(图5)．应用示例思路11如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．图6求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD .所以EH ∥FG ，且EH ＝FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.1在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点．求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG綊A1D1，B1C1綊A1D1，∴EG綊B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形，∴EB1綊GC1.同理可证DF綊GC1，∴EB1綊DF.∴四边形EB1FD是平行四边形．∴ED∥B1F.EF ＝22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角．图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG ＝12BC ，FG ∥AD ，且FG ＝12AD .由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF (或其补角)为所求．由BC ＝AD 知EG ＝GF ＝12AD ，又EF ＝22AD ，由勾股定理可得∠EGF ＝90°.点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角．通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.如图13表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有__________对．图13答案：三拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面．其中正确命题的序号是()A．①③B．①④C．②③D．③④答案：D课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点．为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理．作业课本习题2.1A组3、4.设计感想空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力．两直线的异面关系是本节的重点和难点，本节选用大量典型题目训练学生求两异面直线所成的角，使学生熟练掌握直线与直线的位置关系．另外，本节加强了三种语言的相互转换，因此这是一节值得期待的精彩课例．备课资料备用习题1．在空间，有下列命题：①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③平行于同一条直线的两条直线平行；④有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．其中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．三个角是直角的四边形()A．一定是矩形B．一定是空间四边形C．是四个角为直角的空间四边形D．不能确定3．以下四个命题：①圆上三点可确定一个平面；②圆心和圆上两点可确定一个平面；③四条平行线确定六个平面；④不共线的五点可以确定一个平面，则必有三点共线．其中正确的是()A．①B．①③C．①④D．①②④答案：1.B 2.D 3.A附：2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系第1课时作者：陈爱红，新罗区龙岩四中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖设计理念高中立体几何课程以培养学生的逻辑思维和空间想象力为主要目标．在处理方式上，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动获得教学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式．注重对典型实例的观察、分析，给学生提供动手操作的机会，引导学生进行归纳、概括活动，在经历观察、实验、猜想等合情推理活动后，再进行演绎推理、逻辑论证．另外，通过“观察、思考、探究”等向学生提出问题，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程，注重探索空间图形性质的过程．教学内容分析本教学设计的内容是人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书，数学必修②第二章§2.1.2“空间中直线与直线之间的位置关系”第一课时的内容．本节课主要学习两个内容：①平行关系的传递性；②异面直线的概念．本节教科书在内容的处理上，按照“直观感知——操作确认——思辨论证”的认识过程展开．先通过直观感知和操作确认的方法，概括出异面直线的概念、公理4.通过对图形的观察、实验和画图，使学生进一步了解空间的直线与直线的位置关系，平行关系的传递性，学会准确地使用公理4解决一些简单的推理论证及应用问题．本节课主要是在学生已有同一平面内两条直线有两种位置关系的基础上，从教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线以及天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线这两例出发，引出了异面直线的概念．平行的传递性是一种非常重要的关系，它不仅应用多，而且是学习直线与平面位置关系的基础．进一步说明可以利用公理4来判定直线与平面平行，由此来引发探索这一节内容的需要．学生学习情况分析1．知识掌握上：高一的学生对立体几何的那种抽象和对概念的理解不一定很深刻，许多学生容易造成知识的遗忘，所以应全面系统地加以引导．2．学生学习本节课的知识障碍：学生对异面直线的概念和公理4不易理解，容易造成画图中立体感体现的不够，空间想象力较差等现象，所以在教学过程中教师应加以利用身边的事物，深入浅出地分析．3．由于高一学生的理解力、思维特征和生理特征，有自己的见解，又不喜欢太张扬自己，所以在教学中应抓住学生这一心理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性．4．心理上：学生对数学课的兴趣，老师应抓住这一有利因素，引导学生认识到数学课的科学性，学好数学有利于其他学科的学习以及学科知识的渗透性．教学目标1．知识与技能掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的概念，理解公理4并能应用它证明简单的几何题．2．过程与方法通过观察事物，引出两直线的三种位置关系，又由观察导出公理4，遵循了由特殊到一般，由简单到复杂的认知规律．3．情感态度与价值观通过欣赏、运用空间直线各具特点的丰富多彩的不同位置关系，培养学生的空间想象能力．感悟数学的奇异美、简洁美、和谐美，培养学生的美学意识．4．教学重点和难点教学重点：(1)异面直线的概念；(2)公理4及其应用．难点：异面直线的概念及公理4的应用．教学过程G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．证明：连接BD ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD .因为EH ∥FG ，H ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形.3.变式题：在例2中，(1)如果再加上条件AC ＝BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 猜测：(2)如果再加上条件AC ⊥BD 呢？(3)如果再加上条件AC ＝BD ，AC ⊥BD 呢？ 师：引导学生讨论，并个别指导． 生：积极思考，写出证明步骤. 培养学生的探究能力，利用公理4证明空间直线的平行问题.教学环节问题情景师生互动设计意图合作学习，问题探究(二)异面直线问题：在同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交，那么在空间中是否存在既不相交也不平行的直线？(图片展示)1．异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 问题：空间中两条直线有几种位置关系？并说明它们的特点.师：展示课件，引导学生观察两直线的位置关系 生：积极讨论.使学生对空间两直线的位置关系有一定的感性认识2.空间两条直线的位置关系有且只有三种：师：引导学生根据两直线的位置关系特点归纳．生：思考、讨论，并表达自己的观点. 使学生掌握三种位置关系的区别与联系3.异面直线的画法为了表示异面直线a ，b 不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图．展示课件 使学生掌握画异面直线的方法§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)1．平行关系公理4例2例2变式题2．空间中两直线的位置关系设计说明1．对例2的处理及它的变式题．例2是公理4的一个转化，空间问题转化为平面问题．先让学生审题，弄清楚题设和结论，思考证明方法，师生共同分析，寻找证题的方法．用几何画板拖动图形，观察四边形EFGH的变化，引入变式题．通过例题及变式，达到应用公理4，巩固公理4的目的．2．异面直线的画法用几何画板，通过两条直线的运动操作演示，探究异面直线的画法，合情推理，得出结论，人人动手，互相帮助，合作交流，以达到画异面直线的目的．3．识别异面直线课本本节探究用几何画板将同学们熟悉的正方体展开图制作成可动的图形，通过正方体——正方体展开图之间的重复操作演示过程，尝试探究，合情推理，增强印象．点评：本节课有两个主要内容：异面直线的概念，公理4及其应用．课标对必修2立体几何的教学要求是：“直观感知——操作确认——思辨论证”．本设计中，教师能遵循从具体到抽象的原则，引导学生通过对长方体图形的观察，思考，抽象出异面直线的概念，归纳出空间两条直线的位置关系．教学中，还可以罗列一些似是而非、容易混淆的对象让学生进行辨析，比如，不妨再问学生：空间两直线不平行，那么它们的位置关系是什么等，以加深对两条直线的位置关系的认识．对于初学者来说，立体几何入门的第一关是：学会在文字语言、符号语言、图形语言之间的相互翻译转化，其中画图是难点，也是重点．在本案例中，教师已注意到这一点：设计了一道作图练习题，让学生练习，它有利于培养学生的空间想象能力，训练学生正确地认识和描述空间图形，为后面的顺利学习奠定基础．。
人教B版高中数学必修二两条直线的位置关系教案(2)
两条直线的位置关系4、点到直线的距离（说课教案）一．教材分析：1．本节教材在本章中的地位和作用：本章内容作为高中数学中仅有的两章解析几何知识的第一章，是属于解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及其他曲线方程的基础，也是学习导数，微分、积分等的基础，在解决许多实际问题中有着广泛的应用，而本节教材是本章教材三大部分的第一部分中的重要内容，是本章环环紧扣的知识链中必不可少的一环。
这节课“点到直线的距离”是本节教材“两直线的位置关系”的最后一个内容，在解决实际生活问题中以及代数、解析几何、立体几何中都有着重要而广泛的应用。
例如：求最小值问题，对一些新知识新概念的定义，建立方程的问题等等，立竿见影，运用点到直线的距离公式都可以简便迅速地解决问题，还可使学生形成完整的直线这部分知识的结构体系。
2、本节内容的具体安排及编写思路：出于简洁性的考虑，教材编写单刀直入地直接提出核心问题，并给予解决的方法。
我编写本节教案时，通过创设问题情境引入课题，降低难度，教给学生从特殊到一般的研究问题的方法和策略，激发学生去解决问题，探究问题，得出结论。
在这个过程中，老师作适当的点拨、引导，让学生逐步逼近目标，充分展示数学知识产生的思维过程，让学生均能自觉主动地参与进来。
教师的主导作用，学生的主体地位都得以充分体现，然后让学生自己归纳、总结得出结论，享受成功的喜悦和快乐。
对教材上的例10、例11，由于是直接应用点到直线的距离公式，较易，故我让学生直接去阅读、去理解，熟悉点到直线的距离公式。
但对例11的稍许变化，却抓住不放，通过例11的解法的启示，激发学生进一步去应用点到直线的距离公式去探究二平行直线间的距离公式，利用有限的时间和学生刚成功的那一股学习的惯性，对教材进行拓广，让学生对归纳总结出的公式有更加深刻、透彻的理解和掌握，达到灵活应用的目的。
3．教学目标：1）、使学生掌握点到直线的距离公式及结构特点，并能熟练准确的应用这一公式，达到理解掌握知识的目的。
人教课标版(B版)高中数学必修2教学教案-点到直线的距离1
2.2.4 点到直线的距离一、教材分析 1、教学内容本节课是人教B 版数学必修2第二章《平面解析几何初步》第§2.2.4节，主要内容是点到直线的距离公式的推导和应用.2、课程标准探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 3、地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，是在学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识基础上的学习，对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系等几何问题的进一步学习奠定了基础.二、教学目标理解点到直线距离公式的推导和掌握点到直线距离公式及其应用，能用公式2221BA C C d +-=求两平行线间距离.4、教学重点、难点及确立的依据 教学重点：点到直线的距离公式 确定依据：由本节在教材中的地位确定 教学难点：点到直线的距离公式的推导确定依据：学生根据点到直线的距离定义进行推导，思路自然，但运算繁琐，在解决问题的过程中遇到困难，此时需要教师引导学生采用整体代换的思想简化推导过程.三、教学方法发现法：本节课为了培养学生探究性思维能力，在教学过程中，使老师的主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己动手实践，引导、启发学生分析、发现、归纳、论证等，从而形成完整的数学模型.确定依据： (1) 美国教育学家波利亚的教与学三原则：主动学习原则，最佳动机原则，阶段渐进性原则. (2) 事物之间相互联系，相互转化的辩证法思想.四、学法指导发现法：丰富学生的数学活动，学生经过观察、练习、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和方法去解决问题.1、让学生通过讨论的方式自主学习，培养他们独立思考的能力和交流互助学习的能力；2、渗透转化思想和从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，培养学生抽象概括能力和运用知识解决问题的能力；五、教学过程创设情景，引入课题——探索实践，合作交流——运用知识，解决问题——变式训练，深化理解——反思小结，巩固提高六、几点说明1、板书设计：2、时间安排。
高中数学必修2教案直线与直线之间的位置关系-两点间距离
直线与直线之间的位置关系-两点间距离三维目标知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。
难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
教学方式：启发引导式。
教学用具：用多媒体辅助教学。
教学过程：一，情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点2P1P2 x2 x2 y2 y1 7 ，分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为N1 0，y1 ，M2 x2，0直线P N1与P2N 相交于点Q。
1 2在直角ABC 中，2 2 2PP PQ QP ，为了计算其长度，过点1 2 1 2P 向x 轴作垂线，垂足1为M1 x1 0，过点向y 轴作垂线，垂足为N2 0，y2 ，于是有2 2 2 2 2 2PQ M M x x ，QP N N y y1 2 1 2 1 2 1 2 2 1所以，2 2 2PP PQ QP =1 2 1 22 2x x y y 。
2 1 2 1由此得到两点间的距离公式2 2PP x x y y1 2 2 2 2 1在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二，例题解答，细心演算，规范表达。
例 1 ：以知点A（-1 ，2），B（2，7 ），在x 轴上求一点，使PA PB , 并求PA 的值。
解：设所求点P（x，0），于是有2 2 2x 1 0 2 x 2 0 72由PA PB 得2 2 5 2 4 11x x x x 解得x=1 。
所以，所求点P（1，0）且2 2PA 1 1 0 2 2 2 通过例题，使学生对两点间距离公式理解。
应用。
解 法 二 ： 由 已 知 得， 线 段 AB 的 中点 为 1 ２＋ ７ Ｍ ，2２，直 线 AB 的 斜 率 为 k=７－２２＋ ７ ３1２２＝ ｘ－ ＰＡ＝ １＋２ ＋０－２ ＝２２ ３ ２ ２－ ７ 2７－２ ３线段 AB 的垂直平分线的方程是 y- ２＋ ７ ３ ＝ ｘ－２ ２－ ７1 2 在上述式子中，令 y=0，解得 x=1。
高中数学人教新课标必修二B版教案高中数学两条直线的位置关系人教版必修2B教案
两条直线的位置关系一、复习目标：1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式． 2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 二、知识要点：1．已知两条直线1l 与2l ：（1）12//l l ⇔ ． （2）12l l ⊥⇔ ； （3）1l 与2l 重合⇔ ．2．直线1l 到2l 的角公式： ；直线1l 与2l 的夹角公式： ． 3．点到直线的距离公式： ；两平行直线间的距离公式： ． 三、课前预习：1．ABC ∆中，,,a b c 是内角,,A B C 的对边，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，则直线21:(sin )(sin )0l A x A y a +-=与22:(sin )(sin )0l B x C y c +-=的位置关系（ A ）()A 重合 ()B 相交不垂直 ()C 垂直 ()D 平行2．点(1,1)到直线cos sin 1x y θθ+=的距离为()f θ的最大值是（ D ）()A 2 ()B 3()C 1()D 13．设直线1l ：(1)(2)30m x m y ++--=与直线2l ：(2)(51)20m x m y -+-+=.①若互相垂直，则m 的值为 0或2 ；②若没有公共点，则m 的值为12或52-.4．已知三角形的三个顶点为(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -．（1）A ∠=12arctan5；（2）A ∠的平分线AD 所在的直线方程为0x y -=.5．点(7,1)P -关于直线:250l x y --=的对称点Q 的坐标为(9,7)-．四、例题分析：例1．光线从点(2,4)A -射出，经直线l ：270x y --=反射，反射光线过点(5,8)B ． （1）求入射光线所在直线方程； （2）求光线从A 到B 经过的路程S .解：设点B 关于直线270x y --=的对称点是'00(,)B x y ．∴000058270228152x y y x ++⎧⋅--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解之得009,6x y ==，∴'(9,6)B ．（1）∴入射光线所在直线方程即'AB 直线方程：211480x y -+=．（2）设入射光线与直线l 交于点N ，则',,A N B 共线．∴''||||||||||S AN BN AN B N AB =+=+== 小结：例2．已知ABC ∆的顶点(31)A -，过点B 的内角平分线的方程是4100x y -+=，过点C 的中线方程为610590x y +-=，求顶点B 的坐标和直线BC 的方程．解：设点(,)B m n ，由过点B 的内角平分线方程得4100m n -+=①，又∵AB 的中点31(,)22m n +-在过C 的中线上，∴316()10()5922m n +-⋅+⋅=②，联立①、②解得10,5m n ==，∴点(10,5)B ．6AB k =1k =∴1l 、2l 之间的距离|BD|=35|87|=--.由已知|BC|=32，∴∠BCD=45°，即所求直线与1l （或2l ）的夹角为45°，设所求直线的斜率为k ，则有：tan45°=)43(1)43(-⋅+--k k ，解之得，k1=-7或k2=-71.∴所求直线的方程为y=-7(x-2)或y-3=71(x-2)，即，7x+y -17=0或x-7y+19=0.小结：1．过点(1,2)P 引直线，使它与两点(2,3)A 、(4,5)B -距离相等，则此直线方程为（ C ） ()A 2370x y +-=或460x y +-= ()B 460x y +-=()C 3270x y +-=或460x y +-= ()D 46x y +=2．把直线3y x =绕原点逆时针方向转动，使它与圆22230x y y ++-+=相切，则直线转动的最小正角是 （ B ）()A 3π ()B 2π ()C 23π ()D 56π3．等腰三角形底边所在的直线1l 的方程为10x y +-=,一腰所在的直线2l 的方程为220x y --=,点(2,0)-在另一腰上,则此腰所在的直线3l 的方程为240x y -+=.4．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,2)，P 为线段OA 垂直平分线上的一点，若OPA ∠为锐角，则点P 的横坐标x 的取值范围是3x >或1x <．5．△ABC 中，顶点(9,1)A 、(3,4)B 、内心(4,1)I ，则顶点C 的坐标为(1,4)--． 6．已知直线1l ：10x y +-=，2l ：230x y -+=，求直线2l 关于直线1l 对称的直线l 的方程.x+y-1=0， x=32-解法1 由 得2x-y+3=0， y=35∴l 过点P （32-，35）.又，显然Q （-1，1）是直线2l 上一点，设Q 关于直线1l 的对称点为'Q （0x ，0y ），则有1)1(1100-=-⋅+-x y 0x =0 解之，得1212100=+++-y x 0y =2即'Q （0，2）.直线l 经过点P 、'Q ，由两点式得它的方程为x-2y +4=0.解法2 由解法1知，1l 与2l 的交点为P （32-，35）.设直线l 的斜率为k ，且1l 与2l 的斜率分别为-1和2. ∵ 2l 到1l 的角等于1l 到l 的角，∴ 2)1(121⨯-+--=)1(1)1(-⋅+--k k ， ∴21=k . ∴直线l 的方程为y-35=21（x+32），即x-2y+4=0.解法3 设M （x ，y ）是直线l 上的任意一点，点M 关于直线1l 的对称点为'M ，坐标为（0x ，0y ），则1)1(00-=-⋅--x x y y 0x =1-y 解得12200=-+++y y x x 0y =1-x即点'M （1-y ，1-x ），因为点'M 在直线2l 上，将它的坐标代入直线2l 的方程得，x-2y+4=0，即为直线l 的方程.7．已知三条直线1l ：0mx y m -+=，2l ：(1)0x my m m +-+=，3l ：(1)(1)0m x y m +-++=，它们围成ABC ∆.（1）求证：不论m 取何值时，ABC ∆中总有一个顶点为定点；（2）当m 取何值时，ABC ∆的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值. 证明⑴ 将直线1l ：mx-y+m=0化为m （x +1）-y=0， x+1=0，由 得x=-1，y=0，即直线1l 经过定点（-1，0）. -y=0，同理，将3l ：（m+1）x-y+（m+1）=0化为m （x+1）+（x-y+1）=0， x+1=0由 得x=-1，y=0，即直线3l 经过定点（-1，0）. x-y+1＝0从而，直线1l 、3l 都过同一个定点（-1，0），由于1l 、3l 的交点是△ABC 的一个顶点，故△ABC 中总有一个顶点为定点.⑵ 设1l 、3l 的交点为A （-1，0），1l 、2l 的交点为B ，2l 、3l 的交点为C （如图），mx-y+m=0， x=由 解得x+my-m （m+1）=0， y=122+m m +m 即B （12+m m ，112+-m +m+1）.x+my-m （m+1）=0， x=0 由 解得（m+1）x-y+（m+1）=0 y=m+1 即C （0，m+1）.所以，11)11()1(2222+=+-++=m m m m BC .于是，△ABC 的面积S =h BC ⋅21=112122+++⋅m m m =)11(212++m m ∵ 12+m ≥2|m|， ∴ 12+m m≤21， ∴ ]21,21[12-∈+m m ，从而S ∈[41，43]. 令S=41，则m=-1；令S=43，则m=1.所以，当m=1时，△ABC 有最大面积43；当m=-1时，△ABC 有最小面积41.8．已知正方形的中心为直线220x y --=和10x y ++=的交点，正方形一边所在直线的方程为350x y +-=，求其它三边所在的直线方程．解：∵直线220x y --=和10x y ++=的交点为14(,)33O -，且设与350x y +-=平行的边所在的直线方程为30(5)x y c c ++=≠-，则11|45||4|c ---+=，∴373c =，故此直线方程为37303x y ++=．又设与350x y +-=垂直的边所在的直线方程为''30()x y c c R -+=∈，则'114|45||3()|c --⋅--+=，∴'11c =-或'193c =． 所以其它三边所在的直线方程为37303x y ++=，19303x y -+=，3110x y --=．。
高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案 新人教A版必修2(2)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB 异面的有哪些？ 2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b共面直线=>a ∥c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 ABCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
【优质文档】人教A版数学必修二教案：§3.3.3-§3.3.4两条平行直线间的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
一、教材分析
点到直线的距离是 “直线与方程 ”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究 直线与圆的位置关系的主要工具 .
点到直线的距离公式的推导方法很多， 可探究的题材非常丰富 .除了本节课可能探究到的方法外， 还有 应用三角函数、应用向量等方法 .因此 “课程标准 ”对本节教学内容的要求是： “探索并掌握点到直线的距离
展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的 乐趣 .
二、教学目标
1．知识与技能
理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式
.
2．过程和方法 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 .
3．情感和价值
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题
②当 A=0 或 B=0 时，上述公式也成立 .
③两条平行线
Ax+By+C 1=0 与 Ax+By+C 2=0 的距离公式为
| C1
d=
C2 |
.
A2 B 2
（三）应用示例
例 1 求点 P0(-1 ，2) 到下列直线的距离： (1)2x+y-10=0;(2)3x=2.
思路 1
解 :(1) 根据点到直线的距离公式得
1
,0).
A
| A ( C1 ) C |
∴ P′N=
A
| C C1 |
.
(*)
A2 B2
A2 B2
∵ P 在直线 l1:Ax+By+C 1=0 上 , ∴ Ax 0+By 0+C 1=0. ∴ C1=-Ax 0-By 0.
数学人教版必修2(B) 两条直线的位置关系2
两条直线的位置关系●教学目标(一)教学知识点1.点到直线距离公式2.两平行线间距离.(二)能力训练要求1.理解点到直线距离公式的推导2.熟练掌握点到直线的距离公式3.会用点到直线距离公式求解两平行线距离.(三)德育渗透目标1.认识事物之间在一定条件下的转化2.用联系的观点看问题.●教学重点点到直线的距离公式.●教学难点点到直线距离公式的理解与应用.●教学方法学导式在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力.在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解.●教具准备投影片三张第一张：点到直线距离公式推导方案一（记作§7.3.4 A）第二张：点到直线距离公式推导方案二（记作§7.3.４ A、B)第三张：本节例题(记作§7.3.４ C)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离.Ⅱ.讲授新课1.提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为(x0，y0），直线l 的方程是Ax ＋By ＋C ＝0，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢? ［师］下面，我们一起分析这一问题的解决方案.(给出投影片§7.3.４ A)2.解决方案方案一：根据定义，点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l的垂线段的长.设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为A B（A ≠0），根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d.［师］此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法.(给出投影片§7.3.４ B)方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点R （x1，y0）；作y 轴的平行线，交l 于点S （x0，y2），由⎩⎨⎧=++=++0020011C By Ax C By x A 得x1＝B C Ax y A C By --=--020,.所以，｜P Ｒ｜＝｜x0－x1｜＝A CBy Ax ++00｜PS ｜＝｜y0－y2｜＝B CBy Ax ++00｜ＲS ｜＝AB B A PS PR 2222+=+×｜Ax0＋By0＋C ｜由三角形面积公式可知： d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜所以d ＝2200B A CBy Ax +++可证明，当A ＝0或B ＝0时，以上公式仍适用，于是得到点到直线的距离公式：d ＝2200B A CBy Ax +++.［师］下面我们通过例题讲解进一步熟悉点到直线的距离公式.3.例题讲解［例8］求点P0（－1，2）到下列直线的距离.(1)2x ＋y －10＝0；(2)3x ＝2.解：(1)根据点到直线的距离公式得d ＝5212102)1(222=+-+-⨯(2)因为直线3x ＝2平行于y 轴，所以d ＝｜32－（－1）｜＝35评述：此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式.［例9］求两平行线l1：2x ＋3y －８＝0，l2：2x ＋3y －10＝0的距离.解法一：令x ＝0代入l1的方程，得y ＝38，所以直线l1在y 轴上的截距为38，同理可求得直线l2在y 轴上的截距为310.又l1∥l2，所以原点在直线l1与l2之处，又由已知，可求出原点到直线l1与l2的距离为d1＝138，d2＝1310.所以平行线l1与l2的距离d ＝｜d2－d1｜＝1313232=.解法二：在直线上取一点P(４，0），因为l1∥l2，所以点P 到l2的距离等于l1与l2的距离.于是d ＝131321323210034222==++⨯-⨯解法三：l1∥l2又C1＝-８，C2＝－10.由两平行线间的距离公式若l1：ax ＋by ＋c1＝0，l2：ax ＋by ＋c2＝0（a 、b 不全为0)，则l1与l2之间的距离d ＝2221b a c c +-于是得d ＝133232)10(822=+---.评述：要求学生注意体会解题方法的灵活性.Ⅲ.课堂练习课本P53练习1.求原点到下列直线的距离：(1)3x ＋2y －26＝0；(2)x ＝y解：(1)d ＝132232622=+-.(2)∵原点在直线y ＝x 上，∴d ＝0.2.求下列点到直线的距离：(1)A （－2，3），3x ＋４y ＋3＝0；(2)B （1，0），3x ＋y －3＝0；(3)C （1，－2），４x ＋3y ＝0.解：(1)d ＝;5943334)2(322=++⨯+-⨯(2)d ＝;01)3(332=+-(3)d ＝5234)2(31422=+-⨯+⨯.3.求下列两条平行线的距离：(1)2x ＋3y －８＝0，2x ＋3y ＋1８＝0，(2)3x ＋４y ＝10，3x ＋４y ＝0.解：(1)在直线2x ＋3y －８＝0上取一点P （４，0），则点P 到直线2x ＋3y ＋1８的距离就是两平行线的距离.∴d ＝13232184222=++⨯.(2)在直线3x ＋４y ＝0上取一点O （0，0），则点O 到直线3x ＋４y ＝10的距离就是两平行线的距离.∴d ＝224310+＝2.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家理解点到直线距离公式的推导过程，并熟练掌握点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.Ⅴ.课后作业（一）课本P53习题7.313.求点P(－5，7）到直线12x ＋5y －3＝0的距离.解：d ＝1328512375)5(1222=+-⨯+-⨯.14.已知点A （a ，6）到直线3x －４y ＝2的距离d 取下列各值，求a 的值：(1)d ＝４，（2）d ＞４.解：(1)d ＝22)4(32643-+-⨯-a ＝４解得a ＝2或a ＝346.(2)d ＝22)4(32643-+-⨯+a ＞４解得a ＜2或a ＞346.15.求证：两条平行线Ax ＋By ＋C1＝0与Ax ＋By ＋C2＝0的距离d ＝2221B A C C +-.证明：设P0（x0，y0）是直线Ax ＋By ＋C2＝0上任一点，则点P0到直线Ax ＋By＋C1＝0的距离为d ＝22100B A C By Ax +++又 Ax0＋By0＋C2＝0 即Ax0＋By0＝－C2，∴d ＝2221B A C C +-.16.求两条平行线3x －2y －1＝0和3x －2y ＋1＝0的距离.解：在直线3x －2y －1＝0上任取一点P(0，－21），则点P 到直线3x －2y ＋1＝0的距离就是两平行线间距离.∵d ＝13132231)21(222=++-⨯-.（二）1.预习内容：P57～592.预习提纲（1）二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0（＜0)表示怎样的平面区域?（2）如何作出二元一次不等式所表示的平面区域?。
人教课标版高中数学必修2《空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)》教学设计
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系（一）一、教学目标（一）核心素养增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想.（二）学习目标1.正确理解异面直线的定义；2.会判断空间两条直线的位置关系；3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4.会求异面直线所成角的大小.（三）学习重点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．（四）学习难点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（预习教材第44至47页，找出疑惑之处）2．预习自测问题1：下列说法正确的个数是()(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.A．1个B．2个C．3个D．4个解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;(2)中两直线可能平行,故(2)不正确;(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确;由异面直线所成角定义知(4)正确.【答案】A问题2：如图所示,已知正方体1111D C B A ABCD 中，F E ,分别是1,AA AD 的中点.(1)直线1AB 和1CC 所成的角为 ;(2)直线1AB 和EF 所成的角为 .解析:(1)因为BB 1∥CC 1,所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角, ∠AB 1B=45°.(2)连接B 1C,易得EF ∥B 1C,所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角. 连接AC,则△AB 1C 为正三角形,所以∠AB 1C=60°．【答案】(1) 45(2) 60(二)课堂设计1．知识回顾复习1：平面的特点是______、_______、_______.【答案】平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________；公理2___________________________________；公理3___________________________________.【答案】公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2．问题探究探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B'与CC'的位置关系如何？结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.新知1：像直线A B'与CC'这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D ''∥A B ''，AB ∥A B ''，那么直线AB 与C D ''平行吗?图2-1新知3:公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4:定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 探究3：异面直线所成的角已知异面直线b a ,，经过空间中任一点O 作直线a ' ∥a ,b ' ∥b ，把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）. 范围：]2,0(πθ∈.思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O 位置的不同而改变？ 点O 可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点.●活动② 互动交流，初步实践若c b a 、、是空间3条直线，a ∥b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合与分类讨论的思想.【解题过程】若b 与c 平行，因为a ∥b ，所以a 与c 平行与已知条件矛盾，容易画出异面或相交的情形．【思路点拨】通过直观的模型解决问题．【答案】D●活动③ 巩固基础，检查反馈【设计意图】巩固检查对异面直线的理解与认识．例1 如下图所示正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是1111,C B B A 的中点．问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由．(2)B D 1和1CC 是否是异面直线？说明理由．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)不是异面直线．理由：N M 、 分别是1111C B B A 、的中点． ∴11C A MN ∥又∵11ACC A 为平行四边形．∴AC ∥11C A ，得到MN ∥AC ，∴AM 和CN 不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设B D 1和1CC 在同一个平面1DCC 内，则1DCC B ∈，1DCC C ∈D CC BC 1⊂∴，D D CC B 11∈∴，这与1111D C B A ABCD -是正方体相矛盾．∴假设不成立，故B D 1和1CC 是异面直线．【思路点拨】利用定义与反证法．【答案】已证．同类训练 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么GH EF CD AB ,,,这四条线段所在的直线是异面直线的有 对．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图：AB 与CD ，AB 与GH ，EF 与GH【思路点拨】平面与空间的相互转化．【答案】3对●活动④ 强化提升，灵活应用例 2 如图,在三棱锥BCD A -中，G F E 、、分别是AD BC AB 、、的中点， 120=∠GEF ，则BD 和AC 所成角的度数为 .【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】依题意知,EG ∥BD,EF ∥AC,所以∠GEF 所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°．【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果.（4）结论.简记为“作（或找）——证——算——答”.同类训练 在正方体1111ABCD A B C D 中，H G F E ,,,分别为1111,,,C B BB AB AA 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接1A B 、1BC 、11A C ，由于EF ∥A 1B ，GH ∥BC 1，所以A 1B 与BC 1所成的角即为EF 与GH 所成的角，由于△A 1BC 1为正三角形，所以A 1B 与BC 1所成的角为 60，即异面直线EF 与GH 所成的角为 60.【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60例3.空间四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别是DA CD BC AB 、、、的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形.【知识点】平行公理的应用．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接BD ，因为EH 是三角形ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且BD EH 21=；同理FG ∥BD ，且BD FG 21=；所以EH ∥FG ，且EH FG =，所以四边形EFGH 为平行四边形.【思路点拨】通过平行公理产生边与边的关系．【答案】已证．探究：如果再加上条件BD AC =，那么四边形EFGH 是什么图形？（菱形） 拓展：若BD AC ⊥，则四边形EFGH 又是什么图形？（矩形）3.课堂总结知识梳理（1）异面直线的定义、夹角的定义及求法．（2）空间直线的位置关系．（3）平行公理及空间等角定理．重难点归纳（1）空间直线的位置关系判定．（2）平行公理及空间等角定理．（3）求异面直线所成角的大小．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列四个命题中错误的是（ ）A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 可以确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线或是平行直线．显然答案C 中的命题错误．故选C ．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】C2．在正方体1111D C B A ABCD -中，B A 1与C B 1所在直线所成角的大小是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连接1D C ，则11A B D C ，连接11B D ，易证11B CD ∠就是B A 1与C B 1所在直线所成角，由于11B CD 是等边三角形，因此1160B CD ∠=︒，故选C.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】C3. c,是空间中的三条直线,下面给出四个命题:a,b①若a∥b,b∥c,则a∥c；②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a、b一定是异面直线；④若a、b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是(只填序号).【知识点】点线面的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】①中,由公理4知,正确；②中,a与c可相交、可平行、可异面,错误；③中,a、b可能平行、相交、异面,故错；④中,a、b可能平行、相交、异面,故错. 【思路点拨】找模型，数形结合．【答案】①4．如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;60角;③CN与BM成④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【知识点】异面直线的判定与所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由题意画出正方体的图形如图:显然①②不正确;③CN 与BM 成60°角,即∠ANC=60°,正确;④正确, 故选C.【思路点拨】平面图形还原为空间图形.【答案】C5．如图,已知正方体D C B A ABCD ''''-.(1)哪些棱所在直线与直线A B '是异面直线?(2)直线A B '和C C '的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线A A '垂直?【知识点】异面直线的基本知识．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)由异面直线的定义可知,棱AD 、DC 、CC'、DD'、D'C 、'B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、分别与直线AA'垂直.【思路点拨】根据异面直线所成的基本知识与方法．【答案】(1)C B C D D D C C DC AD ''''''、、、、、；(2) 45；(3)A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、．能力型 师生共研6．已知三棱锥BCD A -中，CD AB =，且直线AB 与CD 成60角，点N M ,分别是AD BC ,的中点，求直线AB 和MN 所成的角．【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN.①若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】60或 30． 探究型 多维突破7．如下图所示，点S R Q P 、、、分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论与数形结合的思想.【解题过程】显然①②平行，④相交，③异面．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】③自助餐1．如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】平面图形还原为空间图形，容易观察得出选D．【思路点拨】平面图形还原为空间图形．【答案】D2．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】等角定理，公理4的理解与应用．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由等角定理知道①错误，②③正确；由公理4知道④正确，选C .【思路点拨】找点线面的关系．【答案】C3．已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与11B A 所成的角的余弦值为________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】显然1AED ∠为异面直线AE 与11B A 所成的角（或补角），容易求得余弦值为31． 【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】31 4．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是11,BC AB 的中点，则以下结论：①EF 与1CC 垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与11C A 异面；④EF 与1AD 异面，其中不成立的序号是________.【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连结A 1B ，在△A 1BC 1中，EF ∥A 1C 1，所以①，②，④正确，③错．【思路点拨】找点线面的关系．【答案】③5．在三棱锥A BCD -中，2==BC AD ，F E 、分别是CD AB 、的中点，2=EF ，则异面直线AD 与BC 所成的角为________．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】取AC 中点P ，连接PF PE 、．则ABC ∆中，PE ∥BC 且121==BC PE ，ACD ∆中，PF ∥AD 且121==AD PF ，所以EPF ∠为所求．EPF ∆中，2,1===EF PF PE ，所以︒=∠90EPF ．【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】︒906．正方体1111D C B A ABCD -中．(1)求AC 与D A 1所成角的大小；(2)若F E 、分别为AD AB 、的中点，求11C A 与EF 所成角的大小．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)如图所示，连接B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD -中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】(1)︒60；(2) 907．长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，求异面直线11C A 与1BD 所成角的余弦值.【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】设11C A 与11D B 交于O ，取1BB 中点E ，连接OE ，因为OE //B D 1，所以OE C 1∠或其补角就是异面直线11C A 与1BD 所成的角或其补角.在OE C 1∆中，1111522OC A C ==，221113221222OE BD ==++=， 22221111112C E B C B E =+=+=， 所以222222111153()()(2)522cos 2553222OC OE C E C OE OC OE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以异面直线11C A 与1BD 所成的角的余弦值为55.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】55。
人教A版高中数学必修二3.3.3 点到直线的距离公式 教案课件(共16张PPT)
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教学目标
• 1、知识目标： （1）掌握点到直线距离公式的推导，并能用公式计算。 （2）领会渗透于公式推导中的数学思想（如化归思想、数
形结合、分类讨论等数学思想），掌握用化归思想来研究数 学问题的方法。 • 2、能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结， 发现问题、解决问题，从而达到培养学生的观察能力、归纳 能力、思维能力、应用能力和创新能力的目的。 • 3、情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其 非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。
小结
思考：通过本节课的学习，你学到了什么？ 体验到什么？掌握了什么？
提示：从知识、思想方法和研究方法 三个方面进行总结.
布置作业 课本P.59 13,14,16
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人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你的舞台就有多大； 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学会储蓄。你若耕耘 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识，就无法支取能力 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要关头我们只有一 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯腰侧身才进得去。 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有，一路走下来，路过 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人优秀了。因为大部 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的一技之长，有一份 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获，所有的成功都来 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人生最坏的结果，也 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无论遇到什么困难， 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。人与人之所以拉 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极， 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！前进的理由只要一 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你，善良 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己。只有改变自己， 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你。活成什么样子， 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能
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直线与直线之间的位置关系
-两点间距离
三维目标
知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题
教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。
难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
教学方式：启发引导式。
教学用具：用多媒体辅助教学。
教学过程：
一，情境设置，导入新课
课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平面直角坐标系中两点2
1222217PP x x y y ，分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足
分别为
112200
N y M x ，，，直线
12PN N 12与P
相交于点Q 。
在直角ABC 中，2
2
2
12
1
2PP PQ QP ，为了计算其长度，过点
1P 向x 轴作垂线，垂足
为
110
M x ，过点向y 轴作垂线，垂足为
22
0N y ，，于是有
2
2
22
2
2
121
2
121221
PQ M M x x QP N N y y ，所以，2
2
2
1212PP PQ QP =2
2
2
1
2
1x x y y 。
由此得到两点间的距离公式
2
2
1222
21
PP x x y y 在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
二，例题解答，细心演算，规范表达。
例 1 ：以知点A （-1，2），B （2，
7）
，在x 轴上求一点，使PA PB ,并求PA 的值。
解：设所求点
P （x ，0），于是有
2
2
2
2
1
02
2
07
x x 由
PA
PB 得
2
2
25
411x
x x
x 解得 x=1。
所以，所求点P （1，0）且
2
2
11
02
22
PA 通过例题，使学生对两
点间距离公式理解。
应用。
解法二：由已知得，线段AB的中点为
1
2
２＋７
Ｍ，
２
，直线AB的斜率为k=
1 2２２
７－２２＋７３
＝ｘ－ＰＡ＝１＋２＋０－２＝２２３２２－７７－２３
线段AB的垂直平分线的方程是 y-
1
2２＋７３
＝ｘ－２２－７
在上述式子中，令y=0，解得x=1。
所以所求点P的坐标为（1，0）。
因此
２２
ＰＡ＝１＋２＋０－２＝２２
同步练习：书本112页第1，2 题
三．巩固反思，灵活应用。
（用两点间距离公式来证明几何问题。
）
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
2222
2222
AB a CD a AD b c BC
，，
2
AC a b ２
２，
＋ｃ２２２
ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ
所以，
２２２２２２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ
２２２２２
ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以，
２２２２２２
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
课堂小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。
课后练习 1.：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。
3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是——
板书设计：略。