如何对几何习题拓展变式
例说立体几何中的变式教学
２ １ 年第 １ ０１ ２期
例说 立体几 何 中 的变 式 教学
宋 咏梅
（ 江苏省溧 阳市第三中学 ，１ ３０ ２３０）
“ 变式 教 学 ” 是课 堂 教 学 中学 生 获 取 知识 的 重 要 途径 之一 ， 有 着 变 式 潜 能 的 问 题 中， 以多 角 在 可 度 、 方位地 折射 出该 问题 的内涵． 全 通过 变式 教学 有 意 识地 引导 学 生从 “ ” 变 的现 象 中 发现 “ 变 ” 不 的本
．
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．
多次变革， 但却没有删去， 以说明这一例题蕴含 着 足 丰 富的 立体 几何 中点 、 面、 线、 角及距 离等知 识 ， 尤其 是在 立体 几何 中重要 的点 、 、 线 面的载体—— 三棱 锥
中体 现 的更 突 出．因此 ， 怎样 才能 最大 限度 地发挥 该 题 的功 能呢？ 下 面通 过 这 道例 题 的 变式教 学设 计 ， 使 其例 题功 能发 挥到 最 大．
．
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Ｒｔ ＰＡＥ Ｒｔ Ｐ ａ ａ Ａ ． ＡＥ ＝Ａ ‘ ． ＡＯ ＝ＡＯ．’ Ｒｔ ＡＯＥ￣ Ｒｔ ＡＯＦ． ． ． Ａ Ａ
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Ｒｔ ＡＯ Ｒｔ Ａ ． ａ Ｅ ａ Ｄ ‘ 曰（ ＝ Ｃ Ｄ． ． Ａ
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反 思 ： 于这 一例题 ， 中立体 几何 的教 材 经过 对 高
时也 引 出 另 一 个 变 式 ：
１ 改 变 条 件 ， 掘 内在 联 系 挖
变 式 １ 经 过 一个角 的顶点 引这 个 角所 在 平 面 的斜射 线 ， 它 和 已知角两 边 的夹角为 锐角且 相等． 设 求 证 这 条 斜 射 线 在 平 面 内 的 射 影 是 这 个 角 的平 分 线． 证 法 同题 目一样 ， 用全 等 力
四点共面,链接教材,变式拓展——以一道高考题为例
试题研究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀四点共面,链接教材,变式拓展以一道高考题为例◉江苏省张家港市沙洲中学㊀陶㊀贤㊀㊀空间中的四点共面的判断与证明是空间向量与立体几何部分的一个基本知识点,也是一大难点,历年高考数学试题中较少涉及,没有引起大家的高度重视．而在２０２０年高考数学全国卷Ⅲ的文科和理科试题中,都出现了空间四点共面的证明问题,也充分说明了该部分知识的基础性与重要性．借助空间中四点共面的判断与证明,很好地考查考生的数形结合思想㊁空间想象能力与推理论证能力,以及直观想象㊁逻辑推理等数学核心素养．１真题呈现图１高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ理科第１９题)如图１,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F 分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,B F ＝２F B １．(１)证明:点C １在平面A E F 内．(２)若A B ＝２,A D ＝１,A A １＝３,求二面角A ＧE F ＧA １的正弦值．此题以长方体为问题背景,通过相应线段的长度关系,证明点在平面内(其实就是证明四点共面)以及求解二面角的平面角的正弦值,改变以往传统的证明直线与平面之间的平行或垂直关系,令人耳目一新．图２２问题破解(Ⅰ)第(１)问的证法如下:证法１:几何法．如图２,在棱C C １上取点G ,使得C １G ＝１２C G ,连接D G ,F G ,C １E ,C １F ．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,A D ʊBC 且AD ＝B C ,B B １ʊC C １且B B １＝C C １．由C １G ＝１２C G ,B F ＝２F B １,可得C G ＝２３C C １＝２３B B １＝B F ,所以四边形B C G F 为平行四边形,则G F ʊB C 且G F ＝B C ．又B C ʊA D 且B C ＝A D ,所以A D ʊG F 且A D ＝G F ,即四边形A F D G 是平行四边形,则A F ʊD G 且A F ＝D G ．同理可证,四边形D E C １G 为平行四边形,则C １E ʊD G 且C １E ＝D G ．所以C １E ʊA F 且C １E ＝A F ,则四边形A E C １F为平行四边形．因此,点C １在平面A E F 内．证法２:基底法１共面向量定理．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,B B １ʊC C １ʊD D １且B B １＝C C １＝D D １,结合２DE ＝E D １,BF ＝２F B １,可得E D １＝B F ．由A C １ң＝A C ң＋C C １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋E D １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋B F ң＝(A B ң＋B F ң)＋(A D ң＋D E ң)＝A F ң＋A E ң,知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．证法３:基底法２共面向量定理的推论．设D １A １ң＝a ,D １C １ң＝b ,D １D ң＝c ,则D １A ң＝a ＋c ,D １E ң＝２３c ,可得c ＝３２D １E ң,于是a ＝D １A ң－３２D １E ң．由D １F ң＝D １A １ң＋A １B １ң＋B １F ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３B １B ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３D １D ң＝a ＋b ＋１３c ＝(D １A ң－３２D １E ң)＋D １C １ң＋１３ˑ３２D １E ң＝D １A ң＋D １C １ң－D １E ң(其中１＋１－１＝１),知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．图３证法４:坐标法．设A B ＝a ,A D ＝b ,A A １＝c ,如图３所示,以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ．连接C １F ,则C １(０,０,０),A (a ,b ,c ),E (a ,０,２３c ),F (０,b ,１３c ),于８６２０２４年１月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀是E A ң＝(０,b ,１３c ),C １F ң＝(０,b ,１３c ),可得E A ң＝C １F ң,因此E A ʊC １F ,即A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．点评:证明空间中的四点共面问题,常见的证明方法就是以上三大类 (１)利用空间几何图形的特征,借助几何法的推理与论证,通过空间问题平面化来证明;(２)利用共面向量定理或推论,借助空间向量的基底法,通过向量的线性运算与转化来证明;(３)利用空间直角坐标系的建立,借助坐标法的运算,通过向量的平行判断与转化来证明等．特别地,对于共面向量定理及其推论,是立体几何中的一个重要的定理,可以用来处理一些与之相关的问题,往往可以使问题处理得更加简捷㊁巧妙．(Ⅱ)第(２)问的解法如下:解:以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ,则由已知可得A (２,１,３),E (２,０,２),F (０,１,１),A １(２,１,０),则A E ң＝(０,－１,－１),A F ң＝(－２,０,－２),A １E ң＝(０,－１,２),A １F ң＝(－２,０,１)．设平面A E F 的法向量为m ＝(x １,y １,z １)．由m A E ң＝０,m A F ң＝０,{得－y １－z １＝０,－２x １－２z １＝０,{取z １＝－１,得x １＝y １＝１,则m ＝(１,１,－１)．设平面A １E F 的法向量为n ＝(x ２,y ２,z ２)．由n A １E ң＝０,n A １F ң＝０,{得－y ２＋２z ２＝０,－２x ２＋z ２＝０,{取z ２＝２,得x ２＝１,y ２＝４,则n ＝(１,４,２)．所以c o s ‹m ,n ›＝m n |m ||n |＝１＋４－２３ˑ２１＝７７．设二面角A ＧE F ＧA １的平面角为θ,则|c o s θ|＝７７,可得s i n θ＝１－c o s ２θ＝４２７．因此,二面角A ＧE F ＧA １的正弦值为４２７．点评:坐标法是求解二面角的平面角的三角函数值问题中一个比较常见的方法,借助空间直角坐标系的建立,以及对应的点㊁向量的坐标的表示,结合相应两半平面的法向量的设置与确定,结合向量的数量积公式的转化与应用来确定相应的二面角的平面角问题．坐标法实现了用代数方法处理立体几何问题中的四点共面㊁线面位置关系㊁空间角㊁距离等几何推理与求解问题．３链接教材以上基于向量的四点共面的判断,其对应的共面向量定理及其推论是数学教材中的一个基本知识点,来源于教材,又服务于证明,可以很好地证明或求解与四点共面有关的数学问题．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８７页:结论１:共面向量定理．空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对(x ,y ),使A P ң＝xA B ң＋y A C ң．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８８页思考 :结论２:共面向量定理的推论．空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C 满足向量关系式O P ң＝xO A ң＋y O B ң＋zO C ң(x ＋y ＋z ＝１)的点P 与点A ,B ,C 共面．共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广与拓展,共线向量定理用来证明三点共线,共面向量定理用来证明四点共面．４变式拓展图４高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ文科第１９题)如图４,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,BF ＝２F B １．证明:(１)当A B ＝B C 时,E F ʅA C ;(２)点C １在平面A E F 内．证明:(１)连接B D ,B １D １．因为A B ＝B C ,所以四边形A B C D 为正方形,故A C ʅB D ．又因为B B １ʅ平面A B C D ,于是B B １ʅA C ,而B D ,B B １Ì平面B B １D １D ,所以A C ʅ平面B B １D １D ．因为E F ÌB B １D １D ,所以E F ʅA C ．(２)可以参照上述理科真题第(１)问的证明方法．５解后反思新一轮课程改革的核心就是培育学生的核心素养,发展学生的综合能力．承载着 立德树人㊁服务选才和引导教学 功能的数学高考,应借助试题 情境 的变革,夯实基础,以教材为本并超越教材,着眼于基础知识㊁基本技能㊁基本方法的考查,特别重视对数学思想方法㊁关键能力和学科素养的考查．因而在平时的数学教学与复习中,教师应在拓展延伸中紧扣课本,链接教材,注重归类迁移能力培养,聚焦思维品质,培养关键能力,从而有效实现学生数学素养的渐进式提升．Z９６。
巧用“复制、粘贴法”解决几何变式题
巧用“复制、粘贴法”解决几何变式题摘要：几何变式题一直是学生比较害怕的题型，文章通过三个例题的分析，让学生感受“复制、粘贴法”在几何变式题中的应用，从而得到推理能力的提升．培养和发展学生的数学推理能力不仅是数学学科价值的体现，同时也是“核心素养”的基础性条件．关键词：几何变式题、解法研究、核心素养初中阶段尤其是基础不好的学生对于几何压轴题往往都有畏难情绪，一看到冗长的题目，连题目都还没看清，就开始打退堂鼓，更不用说好好思考并解决了．现在我来介绍一类几何压轴题，并没有那么难“对付”，相信你能从中得到一点启发．接下来我从几个题目入手讲解如何用“复制、粘贴法”解决几何变式题．1.点的移动带来的变式例1．（2019•抚顺）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE＝CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为_________．（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）正方形ABCD的边长为6，AB＝3DE，QC＝1，请直接写出线段BP的长．此题是2019年抚顺的中考题，是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；此题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．第1、2小题的区别在于点E是否为CD的中点，学生可以通过测量图1与图2中的BP、QC、EC的长度，初步猜想这三条线段都存在BP+QC=EC。
由于正方形的四边相等，只要满足PQ=DE即可证明猜想，线段EG又是由线段EP绕点E顺时针旋转90°得到的，可得EP=EG，只要证明△PEQ≌△EGD即可完成，证明过程如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，由旋转的性质得：∠PEG＝90°，EG＝EP，∴∠PEQ+∠GEH＝90°，∵QH⊥GD，∴∠H＝90°，∠G+∠GEH＝90°，∴∠PEQ＝∠G，又∵∠EPQ+∠PEC＝90°，∠PEC+∠GED＝90°，∴∠EPQ＝∠GED，在△PEQ和△EGD中，，∴△PEQ≌△EGD（ASA），∴PQ＝ED，∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC，即BP+QC＝EC；第1、2小题的解题过程是一模一样的，完全可以用“复制、粘贴”的方式来完成证明。
变式教学在解析几何中的应用
问题 的最简捷的方法 ， 而提高解题能力． 从
知圆的方程是 ＋ ｒ， ｙ ： 求经过 圆上一点 Ｍ（。 ，
Ｙ） ｏ 的切 线 的方 程． 教学 中 ， 引 导学生解 答 ， 出切 线 方 程 为 ：Ｏ 先 得 ＸＸ
＋Ｙ Ｙ ＝Ｆ ｏ ２
，
３ 注意 问题衔接 。 改造条件或 结论
例 ３ 高中《 数学 》 第二册 （ ） ｌ９页第 ７ 上 第 １ 题 ： 抛物 线 ｙ ＝ 过 ２ 的焦 点 的一 条 直 线 和 此 抛 物
当合理的变式能营造一种生动活泼、 宽松 自由的氛 围． 开拓 学生 的 视 野 ， 发 学 生 的 思 维 ， 助 于 培 能 激 有 养学生 的探索精神与创新意识． 同时 ， 学生可以多层 次 、 视角 、 方 位 地认 识 数 学 问题 ． 文 笔 者 将通 广 全 本 过“ 解析几何 ” 教学中的几个具体例题 ， 谈谈变式教 学 中问 题 的选 择 与变 式认 识．
ＭＮ的 内分点 或端 点．
１ 利用 问题 系列 。 识辩 问题本 质
例 １ （ 曲线 第一 定义 的教 学） 双 曲线 概 念 双 在 教 学 中 ， 于第 一 定义 ： 平 面 内 与 两定 点 Ｆ ， 的 对 “
令 Ｑ分 的 比为 Ａ 则 Ａ≥Ｏ或 Ａ不存在 （ ， Ｑ
（） ｜ 时 ， １当 ｉ Ｉ ＝ Ａ不存在 ；
（ ） 绝对值” ３ 将“ 去掉 ， 其余条件不变 ， 点的轨迹 是什么？ （） ４ 若令“ 常数” 等于零 ， 其余条件不变， 点的轨 迹是什么？（ 让学生认识定义中的常数应大于零 ）
通 过以上变式问题 的讨论和探索 ， 学生对双 曲
“变式”数学中习题变式应注意的问题
“变式”数学中习题变式应注意的问题【摘要】数学关注学生的思维与表达，关注学生在足够的思维空间里培养思维能力，关注学生对于逻辑关系的推理和解决问题的思路训练。
故而数学往往都会利用“变式”的手段培养学生，使学生的思维面拓宽，善于从问题中发现，敢于从问题中创新。
“变式”数学，重点挖掘学生潜力，让学生从知识点的泥沼之中脱离出来，通过数学知识与实际问题结合认知，使学生对逻辑性的数学知识有更深的体会。
笔者就“变式”数学提出习题变式应该注意的问题，让学生有效利用习题训练思维、培养能力，供各位教师参考借鉴。
【关键词】“变式”数学；初中数学“变式”数学，在数学基本的知识点上进行创新的教学手段，由点及面，通过习题变式，联系知识点和数学思维，结合数学逻辑和解题思路，融合数学方法进行培养。
通过变式训练，反思总结，从浅显易懂到繁琐复杂的例子，由浅入深，逻辑层次和难度层次逐渐加大，让学生将学习落到实处，举一反三，不仅有效拓展训练，更有效缩短同一知识点讲解的时间，更有利于学生理解和接受，从而达到预期效果来提高教学效果。
提高学生的数学修养水平，培养学生的数学能力，让学生学会解决问题。
一、以知识内容为基础，变式巩固练习基础知识的内容是学习的根基，学习的提升从基本知识点的理解后，进行知识点的框架搭造。
学生在学习的过程中，对较为简单的知识内容，比如基本概念、数学定理的条件、数学结论的推导等，往往由于简单而粗心应对，失去挑战和进一步深入的思考。
利用变式练习可以加深学生对于知识点的理解，从变式中拓展思维，巩固练习。
如：[例题]请求出9的平方根是( )[变式1] : 请分别求出9的正的平方根和负的平方根是（）[变式2] :已知x的平方根是9，则x=( )从这个练习当中，该题的考点主要是平方根的概念知识，在考试题中属于最简单的内容，然而学生对于概念知识模糊，通常容易由于理解不够透彻而在考试中失分，在经过变式练习够，学生可以围绕平方根的基本内容进行深入辨析，一个非负数的平方跟有两个，正的平方根和负的平方根。
浅谈初中数学课文例题的变式拓展训练
浅谈初中数学课文例题的变式拓展训练初中数学课文是我们学习数学知识的重要教材，在实际的学习过程中，我们除了要掌握课文中所讲的内容，还要多运用套路和技巧，多做题，不断拓展自己的思维和能力，才能真正地掌握数学知识。
本文将从初中数学课文中例题的变式拓展训练方面入手，为大家介绍一些实用的方法和技巧。
1. 基本运算法则的练习课本中的基本运算法则，如加减乘除、多项式展开、整式乘法等，是我们数学学习的基础。
所以，在练习这些题目时，我们需要注重掌握基本的意义和规律。
例如，在乘法分配律的练习中，可以通过以下题目进行拓展：（1） $2(x+y)=2x+2y$，则 $5(x+y)=$通过类似的题目，我们可以巩固乘法分配律的知识，同时提高计算速度和准确度。
2. 图形的拓展和应用在初中数学中，图形的认识和分析是非常重要的一部分。
在课文中，我们可以学习到关于点、直线、角度、圆等方面的知识，通过不断地实践和应用，可以帮助我们更加深入地理解这些概念，进而掌握相关的技巧。
（1）如图，在正方形 $ABCD$ 中，$BF$ 平分 $\angle ABD$，证明 $BF=BD$。
通过对这些题目的分析和思考，我们不仅可以掌握正方形的性质，还可以拓展到其他多边形的性质，进一步提高自己的图形分析能力。
3. 立体图形及其应用在初中数学中，我们不仅需要掌握平面图形的知识，还需要了解立体图形，尤其是对于几何体的计算及其应用。
（1）已知正方体 $ABCDA_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $a$，求它的体积和表面积。
通过以上题目的练习，我们可以掌握立体图形的基本计算公式，同时培养立体图形的观察和分析能力。
总之，初中数学课文例题的变式拓展训练可以帮助我们更好地掌握数学知识和技巧，提高自己的思维和能力。
在实际的学习过程中，我们要注重思维的多元化，多角度地去分析问题，不断拓展自己的思考范围和解题技巧。
平面几何题的变式和变式的统一解法
平面几何题 的变式和变式 的统一解法
周 术 斌 祝 世 清
（ 安 徽 省 宿松 县 二 中数 学课 题 组 安 徽 宿 松 ２ ４ ６ ５ ０ ０ ）
【 中图分类号】 Ｇ６ ３ ３ ． ６ ３ 【 文献标识码 】 Ａ
在 初 中 学 完 平 行 线 分 线 段 成 比 例该 节 内 容 后 ， 我 们 常 遇 如 下 类 似 的题 ： 如图（ １ ） 在 ＡＡＢ Ｃ中， 点 Ｍ是 Ｂ Ｃ的中点 。 点 Ｎ在边 Ａ Ｃ 上 ，且 Ａ Ｎ ＝ ２ Ｎ Ｃ ， Ａ Ｍ与 Ｂ Ｎ相 交 于点 Ｐ ，则 Ａ Ｐ ： Ｐ Ｍ 的 值 为
． ． ． —
解： 易知 Ｑ是 Ｂ Ｎ的中点
・ ．
＋— ：１ ２ 置 ２ ｊ Ｉ ＝
：２ Ｋ 一１
’
／ ＡＣ ‘／
ｊ ＝ ＝ Ｐ Ｎ Ａ Ｐ ４
＝４ ‘ Ｑ Ｐ
．
： ２
＋ ２
ｘ
： ２
＋ ２
ｊ
： ２ Ｋ
＋ ２ Ｋ
因为 课 题 组 的 研究 课 题 是 ” 高 中数 学 与 初 中数 学 知 识 衔 接 的研 究 ” 。 下 面 用 高 Ｍ 中 的 向量 知 识 （ 初 中数 学 教 师们 应 该 了解 蕾， 此知识 ， 它 会 帮 助 老 师 们 更 好 地 看 清 几 何 问题 的 本 质 ） 解决 。 证 明： 设Ａ Ｍ＝ Ｋ Ａ Ｐ （ Ｋ为 某 常 数 ） ， Ａ Ｃ ＝ ｘ Ａ Ｎ ， Ａ Ｂ ＝ ｙ Ａ Ｄ
解： 过Ｍ
【 文章编号】 ２ ０ ９ ５ — ３ Ｏ ８ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ８ — ０ １ ７ ７ 一 Ｏ ２
命 题 ：如 图 （ ３ ） Ａ Ｍ 是 是 中线 ， Ｐ是 Ａ Ｍ上任一点 。 Ｂ Ｐ交 Ａ Ｃ于 Ｎ点 。 Ｃ Ｐ交
2011年高考广东理科数学解析几何题的变式探究
为 上的动点， ｌ 一Ｉ ｌ 求ｌ 删 用 的最大值及此时点 Ｐ的坐
标．
【 思路分析】 （）本小题主要考查两圆位置关系 １
及双 曲线定义 的应用 ． 相当部分同学都懂得两圆外切 、 内切 时需 满足的条件 ，即会列 出两种情况 的关 系式 ：
｛ Ｉ 日ｌｆｒ２，～后 入 ｌ ： 或 ＝ １ 硪竹能 八 ： Ｖｐ ＋ 但 续分１艄 Ｊ ｒ Ｆ 口 部 可陷 ｃ ＿ ｌ， Ｊｔ … ～ ２ ㈠ 一 ｍ 日 ’【 Ｉ Ｃ ｃ 几 Ｉ
、 ＿ ／ １
＝／ 、
合 思想解题 ． 思想很 简单 ， 解题 就是 初 中学过 的定理 ：
＼／ 、
知 一、 ≤Ｉ Ｉ ｚ≤ ／ Ｐ ＩＰ Ｉ Ａ－ Ｆ
、 ． ／
“ 三角形两边之 和大于第三边 ． 两边之 差小于第三边” ． 上面通过对一道高考题 目的解析 ，我们知道 ，在复
到 点 Ｑ（ ， １ 的距 离与点 Ｐ到抛 物线焦 点 ，距离 之 ２一）
【 感悟 】本题 解 法避 免 了代 数 法运 算 的繁 琐 甚
至很难 求解 的情 况 出现 ．仍 然是 利 用转化 思想和 数
和 ｌＱ ＩＩ ｌ Ｐ 取得最小值时， ＋ 点Ｐ的坐标为（
）
形结合 思想． 目的情景 由变式 １中的抛物 线转到 椭 题
为以两 已知 圆心 、２ Ｆ 为焦点的双曲线 ， 再由 ２－ 、 ５， ｃ２／
２４ — 求得ａ 、 这样 ，ｃ ｂ ， 所求轨 程竿— ｌ 来了， 迹方 就出
．
斗
【 目】 圆 Ｃ与两圆 （ 、 ５ ） ｙ ４ ｘ Ｖ－ ） 题 设 ／ 。２ ，－ ５ ＋ ＋＝
２ ＝ ＋ ４中的一个内切 ． 另一个外切．
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求证：AN=BM
（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）
探索一：设CM、CN分别交AN、BM于P、Q，AN、BM交于点R。问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。
探索二：△ACM和△BCN如在AB两旁，其它条件不变，AN=BM成立吗？
（2）轴对称：已知直线l及同侧两点A、B，试在直线l上选一点C，使点C到点A、B的距离和最小。
变式1：如图，请你设计出两种案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由）
案1：小华由家先去河边，再去姥姥家；
案2：小华由家先去姥姥家，再去河边；
变式2：已知: AB、AC表示两条交叉的小河, P点是河水化验室,现想从P点出发,先到AB河取点水样,然后再到AC河取点水样,最后回到P处化验河水,怎么走路程最短呢？实验员小说:“我从P点笔直向A走,同时取好两河水样再原路返回,这样走,路最近。”化验员小否定了小的路线,提出了自己的想法,请同学们想一想,小走怎样的路线？
变式1：如图，A城气象台测得台风中心在A城正西300千米处，以10 千米/时的速度向北偏东60°的BF向移动，距台风中心200千米的围是受台风影响的区域。
（1）问A城是否受到台风影响？为什么？
（2）若A城受到台风影响，那么A城受到台风影响的时间多长？
变式2：据气象观测，距沿海某城市A的正南向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在以15千米/时的速度沿北偏东30°向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风影响？请说明理由。（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力有几级？
5、设计猜想，培养思维的创造性
衡量学生思维水平的最终要素是思维的创造性，即善于探索、突破、创新，能够发现和解决自己或别人所未发现或未解决的问题，要培养这种可贵的品质，学生必须占有可供发现的有价值的材料，但教材在这面往往存在着缺欠，因为在阐述数学原理和规律时，一般都把数学家们当初的真实发现过程给抽掉了，这就需要教师弥补这个不足。为此，我们可以利用研究对象的变式，设计出现隐藏着规律的材料，去引导学生发现。
“变式训练”的实质是根据学生的心理特点在设计问题的过程中，创设认知和技能的最近发展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动，发展能力。
对习题的变式可以从以下几种不同的角度进行：
一、一题多解、一题多变、一题多思、多题一法……
1、一题多解，培养思维的发散性
一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同位、用各种途径、多种法思考问题，探求不同的解答案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的在联系，使思维向多向发展，培养思维的发散性。这面的例子很多，尤其是几证明题。
探索三：△ACM和△BCN分别为以AC、BC为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM成立吗？
探索四：A、B、C三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM成立吗？
探索五：A、B、C三点不在一条直线上时，△ACM和△BCN分别变为正形ACME和正形BCNF，其它条件不变，AN=BM成立吗？
例如：昨天在10中听老师教学矩形的判定定理1和判定定理2一节，深有感触，现时很“流行”的做法是把性质定理和判定定理的互逆关系作为重点和切入点，往往都是先复习性质定理，然后考虑其逆定理，让学生猜想其正确性，从而归纳出判定定理。但老师从另一个角度入手，先给出:
引例1：如图，在四边形ABCD中，∠A =∠B =∠C = 90°
（2）勾股定理：
1、如图①，一架梯子长2.5米,顶端A靠在墙AC上,梯子下端B与墙角C相距1.5米.
(1)这架梯子的顶端距地面多高?
(2)如果这架梯子滑动后停留在DE位置(如图②所示),测得BD长为0.5米,这时梯子顶端下落多少米?
图①图②
变式：梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C，使梯子底端C到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至D，那么BD（）
3、一题多思，培养思维的独创性
牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。
例如：如图,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM∥BN,请照图思考下列问题,并证明你的猜想。
(1)MAB,ABC的平分线AE、BE交于点E,则AEB是什么角,并证之。
例如：（1）一个多边形除一个角外，其余所有角和等于2200°，则这个多边形的边数为_____。
（2）一个多边形所有角与一个外角的和是2380°，则这个多边形的边数为___。
以上两题表面上看不同，实际是同一道题，应注意引导学生进行对比、消化，促使学生对相通的知识归纳成体系。避免“只见树木不见森林”的现象。
A、3；B、4；C、5；D、6。
变式1：一个圆柱的高为36，底面圆的半径为5，一只蚂蚁从上底面的点A处爬到与点A相对应的下底面点B处的最端路程是多少？Π值取3。
变式2：如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________.
(3)过点P作PQ⊥a,垂足为点Q,那么PQ就是桥的位置.
（3）如图，公路MN和PQ在P点处交汇，且∠QPN=30°点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，围100米会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN向行驶时，学校是否会受到噪音的影响，请说明理由，若影响，求出影响时间。（拖拉机的速度是12米/秒）
练习：（1）如图,正形网格中的每个小正形边长都是1,任意连接这些小正形的顶点,可得到一些线段.
(1)请在左图中分别画出长度为 、2 、3 的线段.
(2)已知△ABC的三边长分别为AB= cm、BC=2 cm、AC=3 cm,求△ABC的面积.(可以利用右图,也可以用其它法)
变式：比较大小： 与 + +
5、在题目的解决过程中，有哪些地容易发生错误？应注意什么问题？
通过一题多思，不但能开阔学生的解题思路，而且启发学生建立了课本例题，习题之间的联系，使学生在做题时做到“遇新题，忆旧题，多思考，善联想、多变换、找规律”。从而培养了学生的应变能力和创造性思维能力。
4、多题一法，培养思维的深刻性
初中数学有很多问题，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同的，因而它们可用同一种法去解答，让学生演作这样的题组并作比较，可使学生透表求里，自觉地从本质上看问题，从而培养思维的深刻性。
例如： 已知：点O是等边△ABC一点,
OA=4，OB=5，OC=3
求∠AOC的度数。
练习：把此题适当变式:
变式1： 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°
OA=4，OB=6，OC=2
求∠AOC的度数。
变式2：如图,点O是等边△ABC一点,∠AOB=110°,∠BOC=°
试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各角的度数;若不能,请说明理由.
(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时,以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?
2、一题多变，培养思维的灵活性
一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同面揭示题目的本质，用这种式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。
A、等于1米；B、大于1米；C、小于1米；D、以上结果都不对。
注：把问句略做一下变化，就综合了二次根式的比较大小的知识点。
2、小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm、40cm、50cm
的木箱中，他能放进去吗？答：_______________（填“能”、或“不能”）
3、有一个长、宽各2米，高3米且封闭的长形纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到与A点相对的顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（）米。
如对几习题拓展变式
“变式”原为心理学上的名词，其含义是变换材料的出现形式。在教学中的所谓变式，即是指对数学概念、定义、定理、公式，以及问题背景不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，使其面目不一，而本质特征不变。
在数学教学中，可以充分利用变式，有意识地把教学过程施行为数学思维活动的过程，充分调动和展示学生的思维过程，让学生积极、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。
求证：四边形ABCD是矩形。
引例2：如图，在平行四边形ABCD中，AC=BD
求证：平行四边形ABCD是矩形。
通过让学生实际推证，从而得出结论，在总结归纳为判定定理，以这样的式让学生经理了知识的发生发展过程。这种法，是让学生对教师提供的材料，利用自己已有的知识去探索、猜想，从而有所发现。这是培养学生思维创造性的一种有效途径。
(2)过E点任作一条直线交AM于D,交BN于C,请问线段DE, CE什么关系,并证明。
(3)请证明:无论DC的两个端点在AM、BN上如移动,只要DC过点E，AD + BC是个定值。
1、题型有特征，解法有规律？
2、题目有哪些证法，其中哪些法最简便？