2020陕西省高考数学试题的特点分析及2020年高考试题的命制趋势

2020年12月7日西安陕西高考数学复课会议2020陕西省高考数学试题的特点分析及2020年高考试题的命制趋势（联系方式：E: Q: 363215694 ）咸阳师范学院安振平2020年高考数学试题的特点分析今年的陕西高考数学试题，从整体上看，充分贯彻了全国高考数学《考试大纲》的基本精神，紧扣了现行高中数学教材的内容，既注重了基础知识的考查,又突出了能力立意的命题理念.虽然相比陕西自主命题的2020年、2020年试题，创意上略有提升，难度上略有所提高，但试题的难度仍然比较适中. 符合陕西省内陕南、陕北、关中不同地区的高中数学教学的实际，利于于高校选拔人才的基本要求.笔者以为，试题应当说是一份比较成功的、质量比较高的试题.试题求“稳”，稳在哪里？从试题的布局看，依然是22道试题，分别为12道选择题，4道填空题，6道解答题，和全国的模板相同，但分值用的是全国的旧形式，那就是，选择题60分，填空题16分，解答题74分.从试题内容的布局上来看，重点没有变化，思想没有变化，原则没有变化，导向没有变化，特色没有变化.具体表现在：主观题目考查的知识点相对稳定，例如：复数（理科），抽样（文科）线性规划，集合，等差数列，充要条件，反函数，涉及球的组合几何体，二项式定理，排列组合，解三角形，极限（理科），向量，直线与圆的位置关系，等等.客观题目考查的题型也没有多大的变化，依然是，三角函数，概率与统计，立体几何里元素的位置关系判定与计算，解析几何里的直线与圆锥曲线的关系，函数、导数与不等关系，递推数列与不等式证明.这些“稳定”点的重现与“不动点”的设计，充分体现了高考命题的基本要求：一是真正为中学生减负，二是把中学生的能力考出来.文理科试题里均没有偏题、怪题与过难的题目，相同的题目有11道，类似的姊妹题有5道，不同的题目有6道.这样的处理，有效的显示了文理科学生数学能力的区别，设计的比较科学，符合高中生的实际，为今后的命题和高考文理科复习的不同要求，提供了比较好的方向.试题求“变”，变在何处？仔细比照陕西自主命题以来的2020、2020年的试题，不难发现，2020年试题是有一定变化的，变在知识载体的适度迁移，解题能力要求的恰当提升.例如：第7题的反函数，2020年是抽象函数图像的选择题目，而2020年却变化为具体的指数函数与对数函数的运算问题.文理科均有的第12题，与2020年的第12题比照，均为信息安全情景，但新考题的加密办法要较原来考题新颖一点、抽象一点的.很好的处理了继承与发展变化的关系.又如：数列题目2020年，2020年都设计了n a 与n S 的关系的题目，而在2020年的题目里，有意做了回避.对解析几何解答题目，2020年设计了求参数的取值范围，2020年出现了求面积的最大值，都和不等式相联系，而2020年却有意避免了不等关系的出现，转变为等量关系了.立体几何解答题，其图形载体是比较新颖的.2020年是直二面角的图形，2020年是四棱锥的图形，而2020年却变化为“台体”了，当然，不变化的因素是，都有一线与一面垂直啊！再如：理科的函数题目，2020年是三次函数、导数与数列不等式证明，2020年是指数函数与二次函数复合的分式型的函数，求参数的取值范围，求函数的单调区间.而2020年却变化为一次函数与二次函数复合的分式函数，载体做了一定的调整与变化，问题似乎也新鲜了一点的.数列题目，陕西命题的前两年，没有出项递推模型：1n n x cx d +=+，而这点在2020年的理科第22题、文科第20题里得到了比较好的体现，此题目的背景，可以在课本上找到证实：过渡的人教版教材第一册（上）110页，或新课标人教A 版数学必修5的第38页均有如下问题：已知数列{}n a ，111,41(2)2n n a a a n -==+≥，写出数列的前5项． 这是根基在课本上的例子. 更多的往年高考真题的例子，可以列出如下的清单： 1. (2020，重庆)在数列｛a n ｝中，若a 1=1．a n +1=2a n +3 (n ≥1)．则该数列的通项a n =__ ．2.（2020，福建）已知数列{}n a 满足*111,21()n n a a a n N +==+∈．求数列{}n a 的通项公式．3. （2020，全国2）设数列{}n a 的首项1(01)a ∈，，132n n a a --=，234n =，，，…．求{}n a 的通项公式.4. (2020，全国1) 已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． 求{}n a 的通项公式.当然，还有许多的高考数列题目，通过变换以后，可以转化为模型：1n n x cx d +=+，请看：1.（2020，全国）已知数列{}n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥，证明：312n n a -=．提示：对113n n n a a --=+的两边同时除以3n，就得1111.3333n n n n a a --=⋅+ 2.（2020，天津）设0a 是常数，且1123()n n n a a n N -*-=-+∈，证明：对任意1n ≥，101[3(1)2](1)25n n n n n n a a -=+-⋅+-．提示：对1132n n n a a --=-的两边同时除以3n，就得11213333n n n n a a --=-⋅+. 3.（2020，江苏）已知10a >，211n n a a a+=（a 为正常数），用1,a a 表示n a ． 提示：对211n n a a a+=的两边取对数，就得 1lg 2lg lg .n n a a a +=-4. （2020，四川）设数列{}n a 的前项为n S ，已知2(1)nn n ba b S -=-．（Ⅰ）证明：当2b =时，1{2}n n a n --⋅是等比数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．提示：条件式可以转化为 112n n n a ba --=+(2,*)n n N ≥∈.再用同除技巧，就可以转化为如上的模板了.试题求“新”，新在哪里？一些新颖的题目的设计，显示了命题者的数学智慧，展示了数学试卷的种种“亮点”，为了实现命题的“能力立意”，创设了很好的问题情景.例如：理科第9题文科第10题将直二面角里的线段长、角度大小，巧妙的设计为新颖的不等式比较大小题目，具有一定的创新性. 第11题，一抽象函数为载体，考查相关的计算，试题设计简洁明快，作为陕西的题目，是有一定特色的. 第12题以信息传递为背景，涉及了集合、新定义的运算，属于一道新颖的智能型的试题，第16题以国家大事奥运火炬传递为题材，设计的背景是新颖的，也是紧跟时代要求. 又如：第19题是一道立体几何题目，此类问题要有新的创意，是不那么容易的. 但陕 西的命题高手却可以做到，高三的师生意想不到, 2020年一直二面角的图形展示，而2020年却以“三棱台”的图形闪亮登场. 要知道，立体几何题目的设计，不是椎体，就是柱体啊，那来的这等“怪物”，教材上没有涉及的. 再看理科第22题，第I 问设计平常，而第II 问却设计独特、新颖，半路杀出了程咬金，怎么多出了个未知数x ，有意思！第III 问更上一层楼，感觉中，一定有什么玄妙，可能有高等数学的背景？和面积、积分有联系，读者不妨思考之.● 理科压卷试题的研讨 2020年陕西高考理科数学压轴题为：问题：已知数列{}n a 的首项135a =，13,1,2,.21n n n a a n a +==⋅⋅⋅+ （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）证明：对任意的()21120,,1,2,;131n nx a x n x x ⎛⎫>≥--=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭+ （III ）证明：212.1n n a a a n ++⋅⋅⋅+>+ 笔者以为，该考题的设计是比较新颖、独特的，从参考答案提供的解答方法来看，第（I ）题是用“倒数变换”，构造等比数列求解的；第（II ）题是用“配凑”数学通项，利用（I ）的结论做答的；而第（III ）题是借助（II ）的结论，对x 取特殊值，这个值的选择，没有一定的数学悟性，是比较难想到的.● 关于第（I ）小题的求解 一个提及的问题是，如果没有想到“取倒数”法，没有转化到如上的模型上去，还能够求数列{}n a 的通项吗？其实，由首项出发，借助递推关系，求它的第2项，第3项，第4项，就得135a =；23395311215a ⋅==⋅+；39327119292111a ⋅==⋅+；4273812927832129a ⋅==⋅+. 据此，容易猜出 332nn n a =+. 接下来，可以用数学归纳法证明之.这种从特殊到一般，“归纳、猜想、证明”的思想方法，是求解数列问题的基本方法，理应成为考生思考此类问题的通性通法，也应当是首选的方法.探究第（II ）小题的证明我们知道，证明不等式最有效的通性通法，那就是作差比较法. 请看：为了书写的简单，换元是一个好主意，令11t x =+，则11x t=-，于是 ()2112131n nx a x x ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭+ ()2222221132313111210.nn n nn nn nn n nt t a t t t a t t t a a t t t a a t a a ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭⎛⎫=--- ⎪⎝⎭=-⋅+-=--≤请读者思考，为什么我们没有早早地把通项代入呢？这样做的话，运算会简单吗？通过观察，我们看出所要证明的不等式里有,,3nn x a ，而由（I ）的结论知道3nn a 与之间有关系332nn n a =+，我们就可以消去一种字母呀. 这种“消元”，我们是经常利用的，属于通性同法. 你看到了吗？上面的证明就是消去了3n呀！基于这样的认识，我们利用数列的通项式332n n n a =+，反解得 231n n n a a =-，再结合2元均值不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，就有如下的证明方法：()2112131nx x x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭+()()()()2221111111111111211111211nn n n n n a x x a x x x a x a xx a a x x ⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭⎡⎤=--+⎢⎥++⎣⎦=-⋅+++⎛⎫=⋅- ⎪++⎝⎭2112111.2nn n a x x a a ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥++⎝⎭≤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们知道，灵活的配凑，巧凑乘积的因子、妙分和式的项，这是应用2元均值不等式的前提. 关注如何消失字母x ，仅留下n a ，你可能就有了点感觉了.研究第（III ）小题的证法数列不等式的证明是历年高考的热门话题，这类问题往往有着数学竞赛题目的味道，其难度是比较大的，适度的放大或缩小，其技巧性是很高的，能够有效地检查考生的分析问题与解决问题的技能.不用参考答案里的证明方法，你能证明吗？这是数列不等式的证明问题，通性通法是数学归纳法，可以证明吗？完全可以，但运算量大，技巧性比较高，留给读者去完成.猜透了命题人的原始意图，看穿了题目的本质属性，你就会发现，利用n 元均值不等式去证明，就太简单了！证明1：所要证明的不等式等价于2223333232321n n n n ++⋅⋅⋅+>++++. 由n 元均值不等式，得22333323232n n ++⋅⋅⋅+≥+++22323232333n n +++++⋅⋅⋅+≥两式相乘，便得22222333323232323232333n n n n n ⎛⎫⎛⎫+++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭. （*） 注意到 22323232333n n +++++⋅⋅⋅+2222333211331131131,n n nn n n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-=+-<+ 于是，由（*），立即得出 2223333232321n n n n ++⋅⋅⋅+>++++.证明2：用柯西不等式，便得()2212n y y y ⎛++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+ ()22211112111,n y y y x x x x x x ⎛⎫≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭即有 ()22221211111112n ny y y y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+. （**） 据此，并注意到2222113333n n ++⋅⋅⋅+=-，便有 22333323232n n ++⋅⋅⋅++++ ()2222222111222111333111222111333222333113,1nn nnn n n n n n =++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+≥++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+=+->+即有 2223333232321n n n n ++⋅⋅⋅+>++++. 得证 . 在如上的证明里，我们用到的n 元平均值不等式和柯西不等式，对于原人教版高中教材而言，不属于课本内容，属于高中数学竞赛的要求. 对于新课标的高中教材，则属于选学的内容，一些省份属于高考的必考知识.需要说明的是，柯西不等式的变形（**），许多参考资料上称为“权方和不等式”，由此不等式，可以证明许许多多的数学竞赛里的不等式，这可以在有关的文献里找到. 我们也可以这样去思考： 原参考答案是利用第（2）题的结论来证明第（3）题里的不等式的. 笔者的想法是能不能给出直接的证明方法呢？这是可以做到的.证明：用数学归纳法进行证之.(1) 当1n =时，有135a =12>, 此时不等式成立. (2) 假设n k =时，2121k k k S a a a k =+++>+L 成立. 那么，当1n k =+时,21112113132k k k k k k S a a a a k ++++=++++>+++L .因为函数2()122x f x x x ==-++在(0,)+∞上为增函数, 所以 212112123(1)13223313232k k k k k k k k k k k k ++++++-+++++=-+++ 1212(12)31(12)232k k k k k k +++++=-++++ 0122112111110122112111112222312222232k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C k k C C C C C k k +++++++++++++++++++++=-++++++++L L 122211112221111222311222232kk k k kk k k C C C k k C C C k k +++++++++++>-++++++ 22222653126732k k k k k k k k ++++=-++++ 22211126732k k k k =--+++++2211073232k k k k =->++++,所以 21213(1)1322k k k k k k ++++>+++, 即 21(1)2k k S k ++>+，所以1n k =+时也成立，故21231n n a a a a n ++++>+L .其实，将第（1）题求得通项公式代入第（3）题里的不等式，变形，就得如下不等关系：问题2-2：已知函数1()32xf x =+，对于任意的正整数n ，求证： 11(1)(2)()1.21f f f n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<- ⎪+⎝⎭证明：所证明的不等式等价于(1)(2)()22nf f f n n ++⋅⋅⋅+<+. （1）先证，当3k k N ≥∈，时，有111()3221kk k f k k k -⎛⎫=<- ⎪++⎝⎭， （2） 这等价于 23222kk k +>+. （3） 用数学归纳法可以证明，事实上，当3k =时，323229242323+=>=⋅+⋅, 不等式（3）显然成立；假设(3)k m m =≥时，有23222m m m +>+. 那么，当1k m =+时，()()123233233243224m m m m m ++=⋅+=+->+-()2222(1)2(1)422(1)2(1),m m m m m =++++->+++即1k m =+时，不等式（3）也成立. 综上可知，不等式（3）, 也即不等式（2）成立. 在不等式（2）中，取3,4,,k n =⋅⋅⋅，得 132(3)243f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 143(4)254f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，......,11()21n n f n n n -⎛⎫<- ⎪+⎝⎭,叠加，得 (1)(2)(3)(4)()f f f f f n +++⋅⋅⋅+13214311(1)(2)24325421n n f f n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11125112131616225548.22n n n n n n ⎛⎫=+++- ⎪+⎝⎭⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭<+故有 11(1)(2)()121f f f n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<- ⎪+⎝⎭成立. 这个证明思维于裂项，但需要对项的起步多点调整的.感觉中，这也是一种比较有趣的证明方法.2020年高考数学试题的命制趋势应当说，2020年是陕西高考特殊的一年，它是过渡教材的最后一个年份，所以，我依然人为，“稳定”的格局是大前提，要继承我省前3年命题中的一些成功经验，坚持“基本知识、基本技能、基本活动经验和基本思想方法”不动摇。