高考解析几何试题的特点
从射影几何视角分析北京高考解析几何试题
从射影几何视角分析北京高考解析几何试题北京高考解析几何试题分析射影几何是解析几何的重要分支，它通过引入射影无穷远点，将平面或空间中的直线或平面上无穷远处的点都看作一个整体，这就使得处理无穷远处的情况更为方便。
下面我们就可以从射影几何的角度出发，来看一看如何分析北京高考解析几何试题。
1. 题目一已知直线 l 与平面α 垂直，平面α 平行于直线 m。
过点A（不在平面α上）引直线n垂直于平面α，与直线m交于点B。
证明线段AB垂直于l。
这道题中，我们需要应用射影几何中直线与平面的相关知识。
我们假设平面α的法向量为n，它与直线l垂直，那么α在射影几何中的无穷远点就是与l垂直方向上的点P∞。
又因为平面α与直线m平行，所以m在α上的射影为m∞。
那么点A的射影点就是射影线AP∞与α的交点A'。
同理，点B的射影点就是射影线BP∞与α的交点B'。
我们知道，在射影几何中，垂直的两条直线(或是线段)在平面上的射影点互为对称，根据此性质即可证得线段AB垂直于l。
2. 题目二已知一个椭圆和两个相切的直线与该椭圆的交点，求切点到点对称的轴的距离。
这道题中，我们需要应用到椭圆的性质以及射影几何中点对称的知识。
通过观察题目中所给的条件，我们不难发现，椭圆是图形的主角。
我们可以通过椭圆的对称性，将切点移动到椭圆的另一侧，从而更方便地进行计算。
同时，我们知道根据射影几何的点-对称性质，可以通过将所求点的射影点找出，再通过求解射影点的坐标来获取该点在平面上的准确位置。
最终根据定义式计算距离即可。
3. 题目三已知四元组 D(a,b,c,d) 为 2x2 的矩阵 D 的特征根与特征向量问题，其中矩阵D=[ 3-a bc 2-d ]且其特征根为 1，2，特征向量分别为 (1,2)T，(-1,1)T。
试求矩阵D的行列式|D|。
这道题需要我们应用到矩阵的特征值与特征向量的性质。
同时，我们可以从射影几何的角度出发，将矩阵D视为二维实数平面上的线性变换。
2009年高考解析几何试题的新特点
２ ・ ６
中学 数学月 刊
２１ ０ ０年第 ２期
在 导 数 的示 例 题 的 解 析 中 指 出 ， 题 主 要 考 本
了三 次 函数 ，０ ０年可 能会 更加 关 注指 、 函数 ， ２１ 对
查 导数 的几何 意义 、 数 的 运算 以及直 线 方 程 等 导 基 础 知识 ， 考查 运 算 求解 的能 力 、 理论 证 能力 ， 推 本题 属 中等题． 考试 说明看 ， 从 文理科 考 的导数 内
Ｑ Ｑ 分 别交 Ｙ轴 于 Ｍ ， Ｂ， Ｄ Ｎ
！
７ ｏ
图 １
』 １唯 ３ ｙ ＇ 一 ７ ｘ２ 有解 。 ２— Ｔ ，
即 磊ｚ与 有唯 直 椭圆 一交点Ｐ ．
两 点． 证 ： ＭＮ 为直 径 的 求 以
圆过两定 点．
ｌ ＋ — ｌ
Ｉ ’
三角 函数 的导数 ， 科 还 应该 关 注 复合 函数求 导 理
以及 定积分 ．
在 数列示 例题 的解 析 中指 出 ， 题 以等 差 数 本
容 大体相 同 ， 理科 多 了复合 函数 求导 以及定 积分．
导数 作为新 增 内容 应是 考 试 的 重点 内容 ， 如利 用
列 、 比数列 为平 台 ， 等 主要 考查 学生 的探 索与 推理
芸 一是 ．
又 直线 Ａ Ｆ的斜 率 与ＡＥ的斜率 互 为相反 数 ，
在 上 式 中 以 一 是代 是 可 得 ，
２ 。则 不 妨 设 Ｂ（ ２ ， ） Ｄ（ ｂ， 一√ ６ ０ ，
＋、 ｂ ／ ２
二 （ ＋ｖ ） 直 线 Ｑ 二ｚ ／ ． － Ｄ的
解 析 （ Ｉ） 易得 Ｐ点 的轨迹 Ｅ 的方程 为
2010年高考解析几何试题评析及2011年备考建议
，
参 数 方 程 ， 参 数 方 程 为 普 化
通 方 程
抛 物 线 性 质 ， 线 与 抛 物 线 直 辽 宁 ７ 的位 置 关 系 ； 曲 线 离 心 率 ； 双 ９ ２ ， ３ 椭 圆 离 心 率 与 标 准 方 程 ，Ｏ ２ 卷 ＊ ２（ ） ３选 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 ； 坐 极 标与参数方程；
，
解析几何是高中数学 的主干知识之一 ， 其特点
安 徽 卷 ＊
是用代数 的方法研究 、 解决几何 问题 ， 重点是用 “ 数 形结合”的思想把几何 问题 转化为代数 问题． 其命
题一 般 紧 扣 课 本 ， 面 考 查 、 出 重 点 主 干 知 识 、 全 突 注 重“ 识 交 汇 处 ” 强 化 思 想 方 法 、 出 创 新 意 识 ． 知 、 突
２１ ０ ０年 第 ６期
中学数 学教 学
４ １
ｉ 习 １ 年高考解析几何试题评析及 ２１ 年备考建议 复 ｉ００ ２ ０ １
｛ 试 ÷ 考
１ 考 情 分 析
安 省 璧 一 学 良 （编：４ ０ 徽 灵 第 中 郑 邮 ２ ２ ） ３ ０
双 曲线 的 性 质 ； 的 参 数 方 圆 程 、 线 与 圆 的位 置 关 系 ； 直 线 ２ 性 规 划 ８ ； 圆 的 方 程 、 何 性 椭 几 质 直 线 的 方 程 ， 关 于 直 线 点 的 对 称
四 川 卷
７ ９ ，， １ ．Ｏ ４ ２
线性规划 ； 圆的离心率 ； 椭 直 ２ 线 与 圆 的 位 置 关 系 ； 曲 线 ６ 双 的方 程 ， 线 与 双 曲 线 的 位 直 置 关 系 ， 的性 质 圆
线 性 规 划 ； 的参 数 方 程 ， 圆 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ； 物 线 抛 ２ 的 定 义 、 质 ； 曲线 的 标 准 ７ 性 双 方程与 性 质 直 线 与 双 曲 线 的 位 置关 系
高考数学大纲卷解析几何试题特点分析及备考复习建议
法， 考 查运 动变化 的思想 。题 中参数 ０使得 点 Ｐ动
了起 来 ， Ｐ、 Ｑ两 点既静 又动 ， 动静结 合 ， 突 出了解析
几何 学科所 包含 的辩证 法思想 。 （ 二） 题 型稳定 ， 试题 平和 解析 几何 试题 一 般 以 ３小 题 （ 或 ４小 ） １大 题
出现 。小题一 般是 中档 偏易题 ， 重 点考 查本 学科 的 重要 基础 知识 和基本方 法 ； 大题 一 般具 有较 强 的综 合性 ， 主要考查 对本学 科知识 的应用 能力 。
高考 中 的 “ 三 大题 型 ” 都 可 以有 这 一 内容 ， 考 查 要
求包 含 了从 “ 了解 ” 到“ 灵 活运用 ” 的各 个层 次 。纵 观近几 年 高考数 学大纲 卷 中的解析 几 何试题 ， 基 本 上继 承 和 发扬 了“ 题型、 内容 、 难 度 相对 稳定 ， 突 出 考查 主干 知识 ， 注 重通 性 通 法 的 同时适 度 创 新 ” 的
厶
（ 一） 强调 基础 ， 着意创 新
例 １ 对 于抛物 线 Ｙ ＝４ ｘ上任 意 一 点 ９， 点Ｐ
交点 Ｅ， 过椭 圆右 焦点 Ｆ的直 线与椭 圆相 交 于 ４、
（ ０ ， ０ ） 都 满足 ｌ Ｐ ＱＩ ≥１ ０ ｌ ， 则 Ⅱ取值 范 围是 （ Ａ． （ 一 ∞， ０ ） Ｂ ． （ 一 ∞， ２ ］
识在解 析几何 中的渗透和 整合 ， 注重培 养 学生 的数 学应 用 意识 ， 让 学 生进 一 步体验 数 学发 现 和探 索历程 ，
发 展创 新意识 。
［ 关键词 ］ 试题 特 点 ； 分析 ； 备 考 复 习； 建议 ［ 中图分 类号 ］ Ｇ ６ ２ ４ ［ 文 献标识码 ］ Ａ ［ 文章编 号 ］ ２ ０ ９ ５ — ３ ７ １ ２ （ ２ ０ １ ３ ） １ ４ — ０ ０ ５ ８ — ０ ３
高考解析几何的题型及思路
高考解析几何的题型及思路解析几何是必考的，常作为压轴题，特点是计算量大。
不过解几题其实很有规律性，解题思路并不难掌握，就是要用代数方法（方程、函数、不等式的思想和方法）研究几何问题，而数形结合思想（主要是利用定义或平面几何知识分析问题）是减少解几综合题计算量的主要手段。
常见的类型题有：（1）、求曲线（动点）的方程：若曲线类型已知，用待定系数法列方程组求解即可。
若给出了单个动点满足的条件，可先判断其是否符合某种曲线的定义，符合即可用待定系数求解，否则用直接法求解。
若条件有两个动点，一般用代入法求解；若条件有三个以上的动点，一般用参数法求解。
（2）求参数或曲线的特征量（如a、b、c、p、离心率、斜率、倾角、面积等）的值。
这类题要用到方程思想求解，即想办法把题目的条件（等量关系）转化为所求变量的方程（组）解之。
（3）求参数或几何量（如角、面积、斜率）的取值范围的问题。
主要是利不等式法或函数法求解。
其中判别式是列不等式的一个重要途径。
通常用韦达定理或题目给出的其它条件来列出变量间的等量关系，再把等量关系代入判别式消元化简解出相关参数的范围。
或利用韦达定理或其它等量关系建立变量间的关系式，把所求变量表示为其它变量的函数，利用求函数值域的方法确定变量的取值范围。
这个函数的定义域通常由判别式或其它条件确定。
（4）直（曲）线过定点问题：关键是求出直（曲）线的方程，当然这个方程必定含有一个参数。
求出方程后观察什么定点的坐标满足。
若观察不出，只要令参数取两个特殊值，然后把得到的两条具体的直（曲）线求交点即得所求定点。
（5）证明定值：证某个式子为定值，即是要求出这个式子的值是什么。
把条件转化为相关的方程（组），消去其中的参数即得。
（6）探索性（存在性）问题：通常转化为对方程根的存在性的讨论。
▲注意向量与解析几何的密切联系.由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的解析几何问题都是以向量作为背景编拟的；▲判别式和韦达定理是解决以直线和圆锥曲线的位置关系为背景的综合问题的必用工具。
高考专题：解析几何常规题型及方法
高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考察的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考察。
选择题和填空题考察直线, 圆, 圆锥曲线中的根底知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考察圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。
二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要表达在以下几个方面：〔1〕解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的容之一〔2〕解析几何的计算量相对偏大〔3〕在大家的"拿可拿之分〞 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比拟为难的第21题或22题〔有 时20题〕就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比拟普遍。
鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几容弹性很 大。
有容易题，有中难题。
因此在复习中基调为狠抓根底。
不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在稳固根底、对付"跳一跳便可够得到〞的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。
三、高考核心考点1、准确理解根本概念〔如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等〕2、熟练掌握根本公式〔如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等〕3、熟练掌握求直线方程的方法〔如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等〕4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中根本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法〔如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等〕8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
专题精品课件4--解析几何解答题的解法
解析几何解答题的解法
应试策略
2.熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识
(1)直线和圆 ①直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向.需要注意的是：(ⅰ)倾斜角α的范围是： 0≤α<π；(ⅱ)所有的直线必有倾斜角，但未必有斜率. ②直线方程的四种特殊形式，每一种形式都有各自成立的条件，应在不同的题设条 件下灵活使用.如截距式不能表示平行于x轴,y轴以及过原点的直线，在求直线方程时尤其 是要注意斜率不存在的情况. ③讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个 数)或几何特征(点或直线到圆心的距离与两圆的圆心距与半径的关系)去考虑，其中几何 特征较为简捷、实用.
解析几何解答题的解法
试题特点
2007年高考各地的19套试卷中，每套都有1道解答题，椭圆的有10道，双曲线的有
2道，抛物线的5道，直线与圆的有2道,涉及到圆锥曲线中的最值问题、轨迹问题、中
点弦问题、存在性问题的探讨，以及定点定值问题的探讨等.
在2008年高考的解析几何试题中，像有关面积的问题是高考的热点问题，但在2007年 及以前主要是讨论三角形的面积，而近两年有多处出现了讨论四边形面积的问题，如2007年 全国卷一理科第21题；2008年北京卷理科第19题等等．以后还会讨论多边形的问题.
解析几何解答题的解法
应试策略
②椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴.焦点
是F（±c,0）时，标准方程为 x2
y
2
=1(a＞b＞0)；焦点是F（0，±c）
时，标准方程为y 2
x2
a2 b2
解析几何解答题特点
解析几何解答题特点
解析几何解答题的特点主要包括以下几点：
1. 题型稳定：在高考中，解析几何的题型和难度通常保持稳定。
常见的题型包括选择题、填空题和解答题，且占总分值的比例也相对稳定。
2. 整体平衡，重点突出：在解析几何的考查中，对直线、圆、圆锥曲线等知识点的考查较为全面，没有明显的遗漏。
同时，试题的设计也注重突出重点，如圆锥曲线的特征量计算、曲线方程的求法、直线与圆锥曲线的交点问题等。
这些重点内容既支撑了数学科知识体系的主干知识，也对数形结合、“设而不求”等重要的解题思想进行了深入的考查。
3. 综合性不断增强：随着时间的推移，解析几何解答题的综合性在不断增强。
这主要体现在试题中开始出现多知识点、多思想的综合运用，如直线与圆锥曲线的综合问题、代数与几何的综合问题等。
这要求考生具备更加全面的知识和更加灵活的思维。
总之，解析几何解答题以其题型稳定、整体平衡、重点突出和综合性不断增强等特点，成为高考数学中不可或缺的一部分。
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2008解析几何试题(求定值) 2009解析几何试题(求最值) 2010解析几何试题(求范围) ◆2011解析几何试题(求方程) 2012解析几何(求?) ——不可能是一匹黑马
高考解析几何试题的特点：
圆锥曲线的离心率问题独占鳌头、傲视群雄； 中点弦、焦点弦、切点弦等老字号依然闪烁、星光依旧； 定点、定值、定线等核心问题频频亮相、独领风骚； 求范围、三点共线、最值等经典问题风采依旧、势不可挡； 圆锥曲线的第二定义等旧面孔淡出江湖、风光犹在.
解题
● 解法
解题反思
对于（1）的破解主要 是利用方程求公差，从而 实现求和的目的 。
解题反思 ● 解法
对于（2）的破解一方面要利用裂项法，另一方面 要利用等比数列求和公式，运用作差法比较二者的 大小，注意对于参数进行分类讨论。
解题反思 ● 解法
数列问题的考查主要是等差数列和等比数列的通 项公式、求和公式的运用等方面内容，重点的求和 方法如裂项法等需要熟练运用，对于渗及到含参问 题比较大小，则需要结合分类讨论思想进行处理， 避免忽视讨论而丢分。
AB的方程为x my 2 p
2
代入y 2 px得：
2
y 2 pmy 4 p 0
2
y1 y2 2 pm, y1 y2 4 p2
x1 x2 y1 y2 0 OA OB
结论2 :以AB为直径的圆经过原点
结论3 : 当AB x轴时, SAOB 最小值为4 p2
(5)过抛物线的焦点作两条 垂直的弦AB, CD, 则
（二）与数列有关问题
(1)若AB为抛物线y 2 2 px( p 0)的 焦点弦, T为其准线上任意一点 ,则 TA、TF、TB的斜率成等差数列 .
( 2)若AB为抛物线y 2 px( p 0)的 B 1 焦点弦, 过点A, B的切线交于点M , l 则 | MA | 、 | MF | 、 | MB成等比数列.
（六）有关平分问题
y
A E
O
F B
EF平 分AEB k AE k BE 0
l
x
案例 : 抛物线y 2 px( p 0), 过(2 p,0)作直线
2
交抛物线于A, B两点, 请写出你能得出的结论
结论1 : OA OB
证明: 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
(1) A 、 O、B1 三点共线; （2）B，O，A1 三点共线
(五) 有关面积的问题 y
(1) S OAB
p2 ; 2 sin
A1
A
O
S 2 OAB p3 (2) (为定值); AB 8 2 S A1 FB1 ( 3) 4 S FBB1 S FAA1
F
x
B
B1
l
站在系统的高度探究问题的本原
（一）有关定值问题
y
p2 (1) x1 x2 , y1 y2 p 2 ; 4 (2)kOA kOB 4
3 2 ( 3)OA OB p ; 4 1 1 2 ( 4) FA FB p
A1
A
O
B1
F
B
x
l
1 1 1 . | AB | | CD | 2 p
理科数学数列题重现解答题，取代近几年 的概率解答题，这是今年浙江高考数学试 卷的大变化，教师与学生的反映良好。
(1)关注《考试说明》
参考试卷的第19题预示数列作为解答题考 查，但要求略有提高，更体现灵活与综合 (2)考题难度适中 以基本量计算为出发点，结合常规的数列 求和方法。渗透分类讨论思想。
数列解答题出现的原因分析： 1.从整卷结构角度： 概率化大为小，为数列题回归解答题提供可能 2.从中学教学角度： 概率考查多年，概率教学中学难把握， 而数列属于传统内容，中学教学易把握 3.从命题者角度： 概率题难构建，概率应用题背景往往不公平 数列题易编制，数列应用题的背景比较熟
结论4 : 当AB x时,以AB为直径的圆的面积最小
结 论5 : 过O点 作OM AB, 垂 足 为 M , 则M点 必 在 某一个圆周上
( x p) y p
2 2
2
(除(0,0)外)
p 如果再把y 2 px( p 0)的焦点F ( ,0)改为点M ( p,0), 2 又可以得到许多趣味横 生的问题.
2
(1)OA OB p2
1 ( 2) 2 2 2 p MA MB
( 3) S
2 A1 FB1
y
1
1
A1
A
O
M x B
S FBB1 S FAA1
4
B1
l
题型五：数列和不等式
1、数列多与函数、不等式、方程、三角函数、 解析几何等知识相交汇，可能出现的题型是： (１)数列内部的综合：等差与等比；数列与极限； 数列与数学归纳法； (２)数列与相关知识的综合：数列与函数、数列 与不等式、方程；数列与点列； 数列题能力要求较高：运算能力、归纳猜想能 力、转化能力、逻辑推理能力；
2、解法要领： （1）研究数列，关键是要抓住数列的通项，探求一个数 列的通项常用：观察法、公式法、归纳猜想法； （2）关于数列的求和，常用方法有 公式法、 错位相减法、 倒序相加法、 裂项法。 （3）关于等差（比）数列，要抓住首项和公差（比）这两个 基本元素。 （4）数列是特殊的函数，所以数列问题与函数、方程、不等 式有着密切的联系，函数思想、方程观点、化归转化、归纳猜 想、分类讨论在解题中多有体现。
2011年浙江省高考数学(理科)试题讲解
题目
●
函数的概念、分段函数.
知识点
等差数列、等比数列的通项、性质、求和，裂项法求和和公式法求和等知识。
2011年浙江省高考数学(理科)试题讲解
题目
●
函数的概念、分段函数.
切入点
对于（1）的破解主要是利用方程求公差，从而实现求和的目的；对于（2 ）的破解一方面要利用裂项法，另一方面要利用等比数列求和公式，运用作差 法比较二者的大小，注意对于参数进行分类讨论。
2
y
A1
A
O
F
B
x
（三）有关圆的问题
1.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 . 2. 以A1B1为直径的圆与抛物线的弦AB相切. 3 .以AF为直径的圆与y轴相切. 4. 以BF为直径的圆与y轴相切.
性质1抛物线的准线x轴的 交点在以AB为直径的圆外.
B1 A1
y
A F
O
B
x
l
（四）有关共线问题