高考解析几何压轴题精选(含答案)
江苏高考解析几何压轴题30题
1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.解：（1）由题意得，22c a =，且23a c c +=，解得2,1,a c == 则1b =， 所以椭圆的标准方程为2212x y +=（2）当AB x ⊥轴时，2AB =，又3CP =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210kxk x k +-+-=，则()221,2221k k x±+=C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且()()()())222222121212221112k AB x x y y k xx k+=-+-=+-=+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线PC 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而(()222231112k k PC k k ++=+． 因为2PC AB =，所以(())2222223114211212k k k k k k+++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．2.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为12，一个交点到相应的准线的距离为3，圆N 的方程为2222()(x c y a c c -+=+为半焦距）直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆M 和圆N 均只有一个公共点，分别设为A 、B .（1）求椭圆方程和直线方程； （2）试在圆N 上求一点P ，使22PBPA= BAOxylP C3.如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ． （1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；（2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值；②求PB PM ⋅的取值范围．解：（1）由题意(0,1),(0,1)B C -，焦点(3,0)F ，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM 的方程为113y+=-， 即313y x =-， 联立，221,431,x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得83,1,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,1x y =⎧⎨=-⎩（舍），即831(,)77M ． ………………2分连BF ，则直线BF ：113y +=，即330x y +-=，而2BF a ==，2283123|33|377721(3)d +⋅-===+． …4分 故1133222MBFS BF d =⋅⋅=⋅⋅=． ………………………5分 （2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m =--，联立2211,1,4y x mx y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++，…8分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--， 所以1231344k k m m ⋅=-⋅=-为定值． ………10分 ② 由①知，(,3)PB m =-，2322222841212(,2)(,)4444m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++，所以324222212121536(,3)(,)444m m m m m PB PM m m m m ++++⋅=-⋅-=+++， …………………13分 令244m t +=>，故22(4)15(4)367887t t t t PB PM t t t t-+-++-⋅===-+，因87y t t =-+在(4,)t ∈+∞上单调递增，故8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞．…16分解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-，令2y =-，得00(,2)1xP y --+. ……7分所以0101y k x -=，()020*******y k x x y +--==-+，所以()()()()2200001222000031313113441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--（定值）.…10分 ②由①知，00(,3)1x PB y =+，0000(,2)1xPM x y y =+++， 所以()()()()20000000200023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ =()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+++=++．…13分 （第4题图）令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在(0,2)t ∈上单调递减，所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞． ……16分4.如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点. （1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标；（2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围.解：（1）22184x y +=12(2,0),(2,0)F F ∴-21OP F M F M k k k ∴=== ∴直线2F M 的方程为：2)y x =-，直线1F M的方程为：2)y x =+…………4分由2)2)y x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩解得：65x =∴点M 的横坐标为65…………6分 （2）设00(,),(,)M M P x y M x y 12F M MP =1002(,)(,)3M M F M x c y x c y ∴=+=+00200212242(,),(,)333333M x c y F M x c y ∴-=-2PO F M ⊥，00(,)OP x y =2000242()0333x c x y ∴-+=即220002x y cx +=…9分联立方程得：2200022002221x y cx x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去0y 得：222222002()0c x a cx a a c -+-=，解得：0()a a c x c +=或 0()a a c x c -=…12分0a x a -<<0()(0,)a a c x a c -∴=∈20a ac ac ∴<-< 解得：12e >，综上，椭圆离心率e 的取值范围为1(,1)2．…15分5.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程;（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求OMAEAD +的最小值.解：（1）因为左顶点为(40)A -，，所以4a =，又12e =，所以2c =.…………………2分 又因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. …………………………4分 （2）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=.化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+. ………………………6分当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++，所以222161224,4343()D k k k k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k k k k -++，则3(0)4OPk k k-=≠.…8分 直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ，假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k =-，即3414n kk m --⋅=-恒成立，所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，， 因此定点Q 的坐标为(3,0)-.…………………………………10分（3）因为OMl ，所以OM 的方程可设为y kx =，由2211612x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x =，………12分 由OMl ，得2D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+==22216128k -+=+=…………14分=≥即k =时取等号，所以当k =时，AD AE OM+的最小值为16分 6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(0)，F 2且经过点12)．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设 直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4．①求k 1k 2的值；②求OB 2+解：（1）方法一：依题意，c a 2=b 2+3， (2)分由2213413b b +=+，解得b 2=1(b 2=3-，不合，舍去)，从而a 2=4．故所求椭圆方程为：2214x y +=．离心率e ．…5分 方法二由椭圆的定义知，2a 4， 即a =2．又因c b 2=1．下略．（2）①设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则D (-x 1，-y 1)，于是k 1k 2=21212121y y y y x x x x -+⋅-+=12222221y y x x --=22212221(1)(1)44x x x x ----=14-．8分 ②方法一由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-，故x 1x 2=124y y -．所以，(x 1x 2)2=(-4y 1y 2)2，即(x 1x 2)2=221216(1)(1)44x x --=22221212164()x x x x -++， 所以，2212x x +=4．……… 11分 又2=22221212()()44x x y y +++=222212124x x y y +++，故22121y y +=．所以，OB 2+OC 2=22221122x y x y +++=5．………14分 方法二由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-．将直线y =k 3x 方程代入椭圆2214x y +=中，得2123414x k =+．…………………… 9分同理，2224414x k =+．所以，22122234441414x x k k +=+++=22334411414()4k k +++-=4．……… 11分 下同方法一．7.如图，已知椭圆),0(1:2222>>=+b a by a x M 其率心率为,23两条准线之间的距离为C B ,,338分别为椭圆M 的上、下顶点，过点)0)(2,(≠t t T 的直线TC TB ,分别与椭圆M 交于F E ,两点.（第17题）（1）椭圆M 的标准方程；（2）若△TBC 的面积是△TEF 的面积的k 倍，求k 的最大值.解：（1）由题意22c a =，解得2,a c ==1b =，椭圆方程为221x y +=．…………………4分（22244t t ⎫-⎪+⎭到:TC 30x ty t --=的距离d =2131y x t =-，得22436F t x t =+…8分分21619243m m +-≤，…………14分 当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为．…………16分 解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 6分直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x 8分1sin 21sin 2TBC TEF TB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T Fx x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅--……10分 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++12分 令21212t m +=>，则22192413k m m m ==+-≤，…………………14分当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为438.如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>于A 、B 两点.当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB（1）求椭圆C 的方程；（2）若点E的坐标为(2，点AA 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积；（3）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请指出点E 的坐标， 并求出该定值；若不存在，请说明理由.解：（1）由c a =，设3(0)a k k =>，则c =，223b k =， 所以椭圆C 的方程为2222193x y k k +=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C的右焦点，即A B x x ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是23k =3k =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=………………5分 （2）将x =22162x y +=，解得1y =±，因点A在第一象限，从而A ， 由点E的坐标为，所以AB k =，直线PA的方程为y x =， 联立直线PA 与椭圆C的方程，解得7()5B -， 又PA 过原点O，于是(1)P -，4PA =，所以直线PA的方程为0x -=，所以点B 到直线PA的距离5h ==，142PAB S ∆=⋅=分（3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-， 当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EBx +==--，由20222001226(6)6x x x +=--，解得0x =，20626x =-，所以若存在点E，此时(E ，2211EA EB +为定值2. ………………12分 根据对称性，只需考虑直线AB过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又设直线AB的方程为x my =+圆C联立方程组，化简得22(3)30m y ++-=，所以12y y +=，12233y y m -=+，又222222111111(1)EA m y y m y ===++，所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=.综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB+为定值2……………16分9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l ：12y x =与椭圆E 相交于A ，B两点，AB =C ，D 是椭圆E 上异于A ，B且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N . （1）求,a b 的值；（2）求证：直线MN 的斜率为定值.解：（1）因为e ＝c a ＝22，所以c 2＝12a 2，即a 2－b 2＝12a 2，所以a 2＝2b 2．…… 2分故椭圆方程为x 22b 2＋y 2b2＝1．由题意，不妨设点A 在第一象限，点B 在第三象限．由⎩⎨⎧ y ＝12x ， x 22b 2＋y 2b2＝1，解得A (233b ，33b )．又AB ＝25，所以OA ＝5，即43b 2＋13b 2＝5，解得b 2＝3．故a ＝6，b ＝3…5分（2）方法一：由（1）知，椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1，从而A (2，1)，B (－2，－1)．①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2． 从而k 1·k CB ＝y 0－1x 0－2·y 0＋1x 0＋2＝y 02－1x 02－4＝3(1－x 026)－1x 02－4＝2－x 022x 02－4＝－12． 所以k CB ＝－12k 1． …… 8分 同理k DB ＝－12k 2．于是直线AD 的方程为y －1＝k 2(x －2)，直线BC 的方程为y ＋1＝－12k 1(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝－12k 1(x ＋2)，y －1＝k 2(x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，y ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1．从而点N 的坐标为(4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1)． 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为(4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋1)．………… 11分所以k MN ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1－－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋14k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1－4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1＝4(k 1－k 2)4(k 2－k 1)＝－1．即直线MN 的斜率为定值－1．……… 14分②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (2，－1)．仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB ＝－12k 2．此时CA ：x ＝2，DB ：y ＋1＝－12k 2(x ＋2)，它们交点M (2，－1－2k 2)．BC ：y ＝－1，AD ：y －1＝k 2(x －2)，它们交点N (2－2k 2，－1)，从而k MN ＝－1也成立．由①②可知，直线MN 的斜率为定值－1． ………… 16分方法二：由（1）知，椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1，从而A (2，1)，B (－2，－1)．①当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2．显然k 1≠k 2． (第18题图)直线AC 的方程y －1＝k 1(x －2)，即y ＝k 1x ＋(1－2k 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋(1－2k 1)，x 26＋y 23＝1得(1＋2k 12)x 2＋4k 1(1－2k 1)x ＋2(4k 12－4k 1－2)＝0． 设点C 的坐标为(x 1，y 1)，则2·x 1＝2(4k 12－4k 1－2)1＋2k 12，从而x 1＝4k 12－4k 1－22k 12＋1．所以C (4k 12－4k 1－22k 12＋1，－2k 12－4k 1＋12k 12＋1)．又B (－2，－1)，所以k BC＝－2k 12－4k 1＋12k 12＋1＋14k 12－4k 1－22k 12＋1＋2＝－12k 1．………… 8分 所以直线BC 的方程为y ＋1＝－12k 1(x ＋2)．又直线AD 的方程为y －1＝k 2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝－12k 1(x ＋2)，y －1＝k 2(x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，y ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1．从而点N 的坐标为(4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1)． 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为(4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋1)．……… 11分所以k MN ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1－－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋14k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1－4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1＝4(k 1－k 2)4(k 2－k 1)＝－1．即直线MN 的斜率为定值－1．……………… 14分②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (2，－1)． 仍然设DA 的斜率为k 2，则由①知k DB ＝－12k 2．此时CA ：x ＝2，DB ：y ＋1＝－12k 2(x ＋2)，它们交点M (2，－1－2k 2)．BC ：y ＝－1，AD ：y －1＝k 2(x －2)，它们交点N (2－2k 2，－1)，从而k MN ＝－1也成立．由①②可知，直线MN 的斜率为定值－1． ……………… 16分10.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且经过点，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点（点M 与点A 在不重合），点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于点P ． （1）求椭圆C 的方程；（2）求证：AP ⊥OM ；（3） 试问OP OM ⋅是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点，过B 、C 两点且分别与直线AB 、AC 垂直的直线相交于点D ．已知椭圆E 的离心率为545（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求BCD ∆面积的最大值．解：（1）由题意得5c a =245a c c -=，解得3,5a c ==，所以224b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22194x y +=．……4分 （2）设0000(,),(,)B x y C x y -，显然直线,,,AB AC BD CD 的斜率都存在，设为1234,,,k k k k ，则001200,33y y k k x x ==+-+，00340033,x x k k y y +-=-=， 所以直线,BD CD 的方程为：0000000033(),()x x y x x y y x x y y y +-=--+=++， xyDCOBA消去y 得0000000033()()x x x x y x x y y y +---+=++，化简得3x =，故点D 在定直线3x=上运动．……10分 （3）由（2）得点D 的纵坐标为2000000039(3)D x x y x y y y y --=++=+，又2200194x y +=，所以2200994y x -=-， 则2000000009354(3)4D y x y x y y y y y --=++=+=-，所以点D 到直线BC 的距离h 为00005944D y y y y y -=--=， 将0y y =代入22194x y +=得2314y x =±-，所以BCD ∆面积200119612244ABC y S BC h y ∆=⋅=⨯-⋅220020012712727441242224y y y y -+=-⋅≤⋅=，当且仅当2200144y y -=，即02y =±时等号成立，故02y =±时，BCD ∆面积的最大值为274． ……………16分12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,b ，且∆12BF F 是边长为2的等边三角形.()1求椭圆的方程；()2过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于,A C 两点，记∆2ABF ，∆2BCF 的面积分别为12,S S .若122S S =，求直线l 的斜率.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (3,4),(9,0)A B - ，C ， D 分别为线段OA ， OB 上的动点，且满足AC =BD .（1）若AC =4，求直线CD 的方程;（2）证明：∆OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O ).解析：(1) 因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=，…………………………………1分又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -，由4BD =，得(5,0)D ，…………… 4分所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=．…………6分（2)设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =．…………………………………………7分则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，所以D 点的坐标为(5+4,0)m …8分又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,916340,54540.F m m mD mE F m m D F ⎧=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩…10分解得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=，…12分整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,+2=0x y x y x y ⎧+--⎨⎩，所以0,0.x y =⎧⎨=⎩（舍）或2,1.x y =⎧⎨=-⎩（第18题）所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．…………………………………………14分14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ 斜率为2时，PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．解：（1）设00()P x ，∵直线PQ时，PQ =2200)3x x +=，∴202x =…………３分∴22211a b +=，∵2c e a a ===，∴224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． …６分 （２）以MN 为直径的圆过定点(F ．设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++ ，∴002(0,)2y M x + ， 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+- ，∴002(0,)2y N x -， ………………９分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-，即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， …12分 ∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=，令0y =，2220x y+-=，解得x = ∴以MN 为直径的圆过定点(F ．…16分15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的右焦点为(1 0)F ，．分别过O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E （异于A ，C 两点），且OE EF =． （1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值．解（1）由题意，得1c =，c e a ==，故a = 从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=．①………5分 （2）证明：设直线AB 的方程为y kx =， ②直线CD 的方程为(1)y k x =--， ③………7分由①②得，点A ，B 的横坐标为2221k ±+， 由①③得，点C ，D 的横坐标为2222(1)k k ±+， ………9分记11( )A x kx ，，22( )B x kx ，，33( (1))C x k x -，，44( (1))D x k x -，，则直线AC ，BD 的斜率之和为13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+--132413241324(1)()()(1)()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅--1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅--…13分 2222213242(1)2420212121()()k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅--0=．………16分16.椭圆C 的右焦点为F ，右准线为l ，离心率为3，点A 在椭圆上，以F 为圆心，FA 为半径的圆与l 的两个公共点是,B D ．（1）若FBD ∆是边长为2的等边三角形，求圆的方程；（2）若,,A F B 三点在同一条直线m 上，且原点到直线m 的距离为2，求椭圆方程． 解：设椭圆的半长轴是a ，半短轴是b ，半焦距离是c ，由椭圆C 的离心率为3，可得椭圆C 方程是222214x y b b+=，………2分（只要是一个字母，其它形式同样得分，）焦点(3,0)F b ，准线3x =，设点00(,)A x y ，（1）FBD ∆是边长为2的等边三角形，则圆半径为2，且F 到直线l 的距离是3，又F 到直线l 的距离是223a b FM c c c =-==， 所以，33=，3b =，所以33c = 所以，圆的方程是22(33)4x y -+=。
高考解析几何压轴题精选
1、 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A 、若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
(3分)2 、已知m ＞1,直线2:02m l x my --=,椭圆222:1x C y m +=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点、 (Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F V ,12BF F V 的重心分别为,G H 、若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范围、(6分) 3已知以原点O 为中心,)5,0F为右焦点的双曲线C 的离心率5e =（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程;（II ）如题(20)图,已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y (其中2x x ≠)的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上,直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点,求OGH ∆的面积。
(8分)4、如图,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞2,以该椭圆上的点与椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)、一等轴双曲线的顶点就是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 与2PF 与椭圆的交点分别为B A 、与C D 、、(Ⅰ)求椭圆与双曲线的标准方程;(Ⅱ)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ,证明12·1k k =;(Ⅲ)就是否存在常数λ,使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由、(7分)5、在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B,右焦点为F 。
设过点T(m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。
高中数学解析几何小题压轴题题库题(适用培优)
解析几何压轴小题题库一、单选题1．中,,,,中,,则的取值范围是( ) A．B．C．D．2．是双曲线的左、右焦点,直线l为双曲线C的一条渐近线,关于直线l的对称点为,且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上,则双曲线C的离心率为A．B．C．2D．3．已知椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点,,分别为的内心、重心,当轴时,椭圆的离心率为( )A．B．C．D．4．设,分别是椭圆的左、右焦点,直线l过交椭圆C于A,B两点,交y轴于C点,若满足且,则椭圆的离心率为A．B．C．D．5．若点A,F分别是椭圆的左顶点和左焦点,过点F的直线交椭圆于M,N两点,记直线的斜率为,其满足,则直线的斜率为A．B．C．D．6．已知点,是椭圆上的动点,且,则的取值范围是( ) A．B．C．D．7．过抛物线焦点的直线与抛物线交于,两点,与圆交于,两点,若有三条直线满足,则的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．8．设点M (x 0,1),若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ,使得∠OMN ＝45°,则x 0的取值范围是( )A ．[]0,1B ．[]1,1- C ．⎡⎢⎣⎦ D ．⎡⎢⎣⎦9．过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于,两点,使得,若这样的直线有且仅有两条,则离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．10．已知直线 ,直线,其中,．则直线与的交点位于第一象限的概率为( ) A ．B ．C ．D ．11．已知正方体,空间一动点P 满足,且,则点P 的轨迹为A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线12．已知直线l ：x-y+3=0和点A (0,1),抛物线y=x 2上一动点P 到直线l 和点A 的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．C ．D ．13．已知实数满足,,则的最大值为( ) A ．B ．2C ．D ．414．已知双曲线的左、右焦点分别为,圆与双曲线在第一象限内的交点为M,若．则该双曲线的离心率为A．2B．3C．D．15．设不等式组所表示的平面区域为,其面积为.①若,则的值唯一；②若,则的值有2个；③若为三角形,则；④若为五边形,则．以上命题中,真命题的个数是( ) A．B．C．D．16．过双曲线的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,D为虚轴上的一个端点,且为钝角三角形,则此双曲线离心率的取值范围为A．B．C．D．17．过原点的一条直线与椭圆=1(a＞b＞0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2,若∠ABF2∈[],则该椭圆离心率的取值范围为( )A．B．C．D．18．已知抛物线的焦点为F,过F点的直线交抛物线于不同的两点A、B,且,点A关于轴的对称点为,线段的中垂线交轴于点D,则D点的坐标为A．(2,0)B．(3,0)C．(4,0)D．(5,0)19．在平面直角坐标系中,过双曲线上的一点作两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为,,若平行四边形的面积为3,则该双曲线的离心率为()A．B．C．D．20．在坐标平面内,与点距离为2,且与点距离为1的直线共有( )条A．4B．3C．2D．121．已知圆,直线,若直线上存在点,过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是( )A．B．[,]C．D．)22．已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心,且双曲线C的渐近线方程为．点P在双曲线C的右支上,,分别为双曲线C的左、右焦点,则当取得最小值时,＝( )A．2B．4C．6D．823．已知是双曲线的右焦点,过点作垂直于轴的直线交于双曲线于两点,分别为双曲线的左、右顶点,连接交轴于点,连接并延长交于点,且为线段的中点,则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．24．设F为双曲线E：的右焦点,过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A,B 两点,O为坐标原点,四边形OAFB为菱形,圆与E在第一象限的交点是P,且,则双曲线E的方程是A．B．C．D．25．已知抛物线：与圆：交于,,,四点.若轴,且线段恰为圆的一条直径,则点的横坐标为( )A．B．3C．D．626．在圆锥中,已知高,底面圆的半径为4,为母线的中点；根据圆锥曲线的定义,下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,下面四个命题,正确的个数为( )①圆的面积为；②椭圆的长轴为；③双曲线两渐近线的夹角为；④抛物线中焦点到准线的距离为.A．1个B．2个C．3个D．4个27．已知F为抛物线的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,其中O为坐标原点,则与面积之和的最小值是A．B．3C．D．28．已知,是椭圆的左右焦点,点M的坐标为,则的角平分线所在直线的斜率为A．B．C．D．29．双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与圆相切,与的左、右两支分别交于点,若,则的离心率为( )A．B．C．D．30．已知是抛物线的焦点,过点的直线与抛物线交于不同的两点,与圆交于不同的两点(如图),则的值是( )A．B．2C．1D．31．已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点,则的面积的最小值为( )A．B．C．D．32．已知双曲线C：,过左焦点的直线l的倾斜角满足,若直线l分别与双曲线的两条渐近线相交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线恰好经过双曲线的右焦点,则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．33．在平面直角坐标系中,圆经过点,,且与轴正半轴相切,若圆上存在点,使得直线与直线关于轴对称,则的最小值为( )A．B．C．D．34．已知A,B分别是双曲线C：的左、右顶点,P为C上一点,且P在第一象限．记直线PA,PB 的斜率分别为k1,k2,当2k1+k2取得最小值时,△PAB的重心坐标为( )A．B．C．D．35．如图所示,,是椭圆C：的短轴端点,点M在椭圆上运动,且点M不与,重合,点N满足,,则A．B．C．D．36．若三次函数()的图象上存在相互平行且距离为的两条切线,则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知,则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有( )组？A．0B．1C．2D．337．已知是双曲线：上的一点,半焦距为,若(其中为坐标原点),则的取值范围是( )A．B．C．D．38．我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知、是一对相关曲线的焦点,是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )A．B．C．D．239．已知双曲线,过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为A．B．C．2D．40．已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,以为边作一个等边三角形,若点在抛物线的准线上,则( )A．B．C．D．41．已知,,为圆上的动点,,过点作与垂直的直线交直线于点,则的横坐标范围是( )A．B．C．D．42．已知是双曲线上一点,是左焦点,是右支上一点, 与的内切圆切于点,则的最小值为 ( )A．B．C．D．43．已知直线过抛物线：的焦点,交于两点,交的准线于点。
高考解析几何压轴题精选(含答案)
1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
（3分）2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分）3已知以原点O 为中心，)F 为右焦点的双曲线C 的离心率2e =。
（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（II ）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。
（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·A B C D A B C Dλ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
高中数学解析几何最难压轴题
高中数学解析几何最难压轴题
高中数学解析几何最难压轴题，也就是最难的题目，是一种考察学生数学知识和技能的综合考查。
这类题目通常包括运用数学知识，解决复杂几何概念、计算、求解几何图形及其相关几何关系等多项内容，以及考查学生对几何图形的解析和抽象思维能力。
高中数学解析几何最难压轴题的一个典型题目如下：已知正方形ABCD中，AB=
3，M为CD边上的点，点P在正方形ABCD的对角线
AC上，且AP=
2，求点M到点P的距离。
解：由正方形ABCD的对角线AC等于根号2AB，可以
得到AC=根号2*3=3√2；因为AP=
2，则PM=AC-AP=3√2-2；由勾股定理得到PM的距离，
答案是1√
2。
从这个典型题目可以看出，高中数学解析几何最难压轴题的解题方法是：首先要搞清楚几何概念，了解几何图形的特性，
并正确运用数学知识，如勾股定理、直角三角形的性质等，结合题目中给出的数据进行计算，最后得出最终答案。
总之，高中数学解析几何最难压轴题，就是一种考查学生综合运用数学知识和抽象思维能力的复杂题目，解题过程中，学生要正确运用数学知识，灵活运用抽象思维能力，以达到最终的正确答案。
压轴题06 解析几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C 32D 3【答案】D【详解】令点P 是圆224x y +=上的动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则OA PA ⊥，而1||||12OA OP ==，于是260APB OPA ∠=∠= ，又||||3PB PA ==，因此PAB 为正三角形，||||3AB PA ==，所以连接两切点线段的长为3.故选：D2．过抛物线：()的焦点的直线交抛物线于，两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线A ．[12,12]-+B ．(1C ．[2,12)+D ．(1【答案】B4．已知抛物线22y px =的焦点为4x =A ．4B ．42C ．8D ．【答案】D5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过FC 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN的面积为，则p =（）A．B ．4C．D．因为30DN DF DFN ⊥∠=︒，，故223DF DE p ==，FN6．已知圆22:4C x y +=，直线l经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系OM =（O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±故选：D.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A ．22BC ．12D8．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）AB ．3C1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,3故选：BC10．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为3B ．当3n m =时，曲线2E 离心率为103C ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l11．已知抛物线:4C x y =，过焦点F 的直线l 与交于1122两点，1与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<【答案】BD【详解】作AD y ⊥轴于D ，作BC y ⊥轴于C ，则,DAF DAEαβ=∠=∠由()()1122,,,A x y B x y ，则()()120,,0,D y C y ，故选：BD.12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF 2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．32．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=A ．6B ．3或C ．D ．或4．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x =±D ．4y x =±故选：A5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO .其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．C D7．已知椭圆1和双曲线2的焦点相同，记左、右焦点分别为1，2，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B 22C D则113cos 5AB ABF BF ∠==，sin ABF ∠可设3AB k =，14AF k =，1BF =由1122AB AF BF AF BF AF ++=++二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为y =B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为eC ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,0D ．当0m ≠，0n =时，E是两条直线x =10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个【答案】BC11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e 的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C ．当6e =时，1NF NM +的最大值为62+D ．1211NF NF +的最小值为1如上图示，当且仅当2,,M N F12．已知P ，Q 是双曲线221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为ba2222PN QNb k b k k ka a +=+≥，当且仅当但PN QN k k ≠，所以等号无法取得，选项○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．【详解】（1）由椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，可得2a b =．所以()2222bb c =+．又()1,0F ，所以()2221bb =+，解得1b =．所以2a =．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222218820k x k x k +++-=．则2122821k x x k -+=+，21228221k x x k -=+．因为线段AB 中点的横坐标为23-，所以2122422213x x k k +-==-+．2．已知抛物线：2＝2的焦点为(1，0)，过的直线交抛物线于，两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离(1)求双曲线C 的标准方程；(2)(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系中，直线l 与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B .(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：221a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。
高三数学解析几何压轴题训练——离心率
高三数学解析几何压轴题训练——离心率离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．[典例] 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23 D.34[思路点拨]本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式．[方法演示] 法一：数形结合法如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE 的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y2m ＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m (a －c )a. 又△OBN ∽△FBM ， 所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，即2m (a －c )a m ＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法二：交点法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m＝1，直线BN 的方程为x a ＋ym ＝1.又因为直线AE与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－c －a ＋n 2m ＝1，－c a ＋n m ＝1，消去n ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法三：三点共线法 同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m＝1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎫－c ，2m ⎝⎛⎭⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则2m ⎝⎛⎭⎫1－ca －m －c ＝m －a，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法四：方程法设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝ma －c (x ＋a )，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m －c －a (x －a )，与y 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝maa －c，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法五：几何法在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －ca .在△BFM 中，ON ∥MF ，所以OE 2MF ＝a a ＋c ，即OE MF ＝2aa ＋c.所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. [答案] A [解题师说]1．本题的五种方法，体现出三个重要的数学解题策略.2．在求解圆锥曲线(椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．[应用体验]1．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233 C ．3D ．2解析：选A 依题意，不妨设点P 在双曲线的右支上，F 1，F 2分别为其左、右焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则有e 1＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|，e 2＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|，则1e 1＋1e 2＝2|PF 1||F 1F 2|.在△PF 1F 2中，易知∠F 1F 2P ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 由正弦定理得|PF 1||F 1F 2|＝sin ∠F 1F 2P sin ∠F 1PF 2＝23sin ∠F 1F 2P ，所以1e 1＋1e 2＝43sin ∠F 1F 2P ≤43＝433，当且仅当sin ∠F 1F 2P ＝1，即∠F 1F 2P ＝π2时取等号，因此1e 1＋1e 2的最大值是433.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，则双曲线离心率的取值范围为__________．解析：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.由已知，点(1,0)到直线l 的距离d 1与点(－1,0)到直线l 的距离d 2之和s ＝d 1＋d 2＝b (a －1)a 2＋b 2＋b (a ＋1)a 2＋b 2＝2ab c ≥45c ，整理得5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2，所以25e 2－25≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5，52≤e ≤ 5.故双曲线离心率的取值范围为52， 5. 答案：52， 5一、选择题1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.2．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2解析：选A 法一：作出示意图如图所示，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a.又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca ＝ 2.3．已知双曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，则C 的离心率等于( )A.53B.54C.53或2516D.53或54解析：选D 当m <0，n >0时，圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆心为M (3,1)，半径R ＝1，由mx 2＋ny 2＝1，得y 21n －x 2－1m＝1，则双曲线的焦点在y 轴上，对应的一条渐近线方程为y ＝±a b x ，设双曲线的一条渐近线为y ＝ab x ，即ax －by＝0.∵一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝|3a －b |a 2＋b 2＝1，即|3a －b |＝c ，平方得9a 2－6ab ＋b 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以8a 2－6ab ＝0，即4a －3b ＝0，b ＝43a ，平方得b 2＝169a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝259a 2，c ＝53a ，故离心率e ＝c a ＝53；当m >0，n <0时，双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|3b －a |a 2＋b2＝1，即9b 2－6ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴8b 2－6ab ＝0，即4b ＝3a ，平方得16b 2＝9a 2，即16(c 2－a 2)＝9a 2， 可得e ＝54.综上，e ＝53或54.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )A.43B.53 C ．2D ．3解析：选B 取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1.∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a .∵|PA |＝12|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c －5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为53.5．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为( )A.12 B.22 C.32D.33解析：选B 记∠PF 1F 2＝2α，∠PF 2F 1＝2β，则有∠F 1MP ＝2β＋π－(2α＋2β)2＝π2＋(β－α)，sin ∠F 1MP ＝cos(α－β)＝sin ∠F 2MP ，则椭圆的离心率e ＝2c2a ＝sin (2α＋2β)sin 2α＋sin 2β＝2sin (α＋β)cos (α＋β)2sin (α＋β)cos (α－β)＝cos (α＋β)cos (α－β).由已知得2|PM ||PF 1|＝|PF 2||PM |，即2sin 2αcos (α－β)＝cos (α－β)sin 2β，2sin2αsin 2β＝cos 2(α－β)，cos(2α－2β)－cos(2α＋2β)＝cos 2(α－β)，即[2cos 2(α－β)－1]－[2cos 2(α＋β)－1]＝cos 2(α－β)，cos 2(α－β)＝2cos 2(α＋β)，cos (α＋β)cos (α－β)＝22＝e ，所以该椭圆的离心率e ＝22. 6．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54解析：选A 依题意得F (－5,0)，|OP |＝|OF |＝5，tan ∠PFO ＝43，cos ∠PFO ＝35，|PF |＝2|OF |cos ∠PFO ＝6.记双曲线的右焦点为F 2，则有|FF 2|＝10.在△PFF 2中，|PF 2|＝|PF |2＋|FF 2|2－2|PF |·|FF 2|·cos ∠PFF 2＝8.由双曲线的定义得a ＝12(|PF 2|－|PF |)＝1，则C的离心率为e ＝ca ＝5.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点B ，C使得△ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选C如图，由△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BAx ＝45°.设其中一条渐近线与x 轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tan θ＜1. 又其渐近线的方程为y ＝b a x ，则ba ＜1，又e ＝ 1＋b 2a2， 所以1＜e ＜2，故双曲线的离心率e 的取值范围为(1，2)．8．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1―→·NF 1―→>0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：选B 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y ＝±b 2a ，不妨设M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则MF 1―→·NF 1―→＝－2c ，－b 2a ·⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2>0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2>0，即a 4＋c 4－6a 2c 2<0，故e 4－6e 2＋1<0，解得3－22<e 2<3＋22，又e >1，故1<e 2<3＋22，得1<e <1＋ 2.9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，54 D.⎝⎛⎭⎫54，＋∞解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎨⎧y <b ax ，y >－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<2ba ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 10.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，34B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a (a ＋c ).又13<k <12，所以13<a 2－c 2a (a ＋c )<12，化简可得13<1－e 21＋e <12，从而可得12<e <23. 11．已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝ab x 平行的直线为y ＝ab x ＋c .联立⎩⎨⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c 2. 因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内， 故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c22＜c 2，化简得b 2＜3a 2， 即c 2－a 2＜3a 2，解得ca ＜2，所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )A.53，＋∞ B.54，＋∞ C ．1，53D ．1，54解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bca ，不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bc a .因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54.二、填空题13.设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点为A .B ，C是椭圆E 上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为________．解析：法一：设AC 的中点为M (x 0，y 0)，依题意得点A (a,0)，C (2x 0－a,2y 0)，B (a －2x 0，－2y 0)，F (c,0)，其中y 0≠0.由B ，F ，M 三点共线得k BF ＝k BM ，2y 0c －a ＋2x 0＝3y 03x 0－a ≠0，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.法二：连接AB ，记AC 的中点为M ，B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则在△ABC 中，AO ，BM 为中线，其交点F 是△ABC 的重心．又F (c,0)，由重心坐标公式得c ＝x 0－x 0＋a3，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.答案：1314．已知双曲线C 2与椭圆C 1：x 24＋y 23＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为__________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知a 2＋b 2＝4－3＝1，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，x 2a 2－y2b 2＝1，解得交点的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a 2，y 2＝3(1－a 2)，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S ＝4|xy |＝44a 2·3(1－a 2)＝83·a 2·1－a 2≤83·a 2＋1－a 22＝43，当且仅当a 2＝1－a 2，即a 2＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x 212－y 212＝1，离心率e ＝ 2.答案： 215．已知点A (3,4)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则当椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离最小时，椭圆的离心率为__________．解析：因为点A (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，所以9a 2＋16b 2＝1，所以b 2＝16a 2a 2－9.因为a >b >0，所以1＝9a 2＋16b 2>9a 2＋16a 2＝25a2，从而a 2>25. 设椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离为d ，则d ＝a 2a 2－b 2＝a 4a 2－16a 2a 2－9＝a 21－16a 2－9＝a 2(a 2－9)a 2－25 ＝a 2－25＋400a 2－25＋41≥ 2400＋41＝9，当且仅当a 2－25＝400a 2－25，即a 2＝45时，等号成立，此时b 2＝20，c 2＝25，于是离心率e ＝c a ＝2545＝535＝53. 答案：5316．已知抛物线y ＝14x 2的准线过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点，且双曲线C 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A ，B .则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．解析：抛物线y ＝14x 2化为x 2＝4y ，所以准线为y ＝－1，所以双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点为(0，－1)，即b ＝1，所以双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1， 消去y ，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.∵与双曲线交于两点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0⇒0<a 2<2且a 2≠1. 而b ＝1，则c ＝a 2＋b 2＝a 2＋1， ∴离心率e ＝c a ＝a 2＋1a ＝1＋1a 2> 1＋12＝62，且e ＝1＋1a 2≠2， ∴e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)。
第13讲 解析几何解答压轴题(原卷版)
第13讲 解析几何解答压轴题1．（内蒙古赤峰市·高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其左，右集点为12,F F ，过点1F 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点､2MNF 的周长为．（1）求椭圆E 的标准方程：（2）过E 右焦点的直线12,l l 互相垂直，且分别交椭圆E 于,A B 和,C D 四点，求AB CD +的最小值2．（河南新乡市·高三二模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，E 为C 上不同于A ，B 的动点，直线AE ，BE 的斜率AE k ，BE k 满足12AE BE k k ⋅=-，AE BE ⋅的最小值为-4．（1）求C 的方程；（2）O 为坐标原点，过O 的两条直线1l ，2l 满足1//l AE ，2//l BE ，且1l ，2l 分别交C 于M ，N 和P ，Q ．试判断四边形MPNQ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．3．（天津滨海新区·高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，且121PF PF ⋅=-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于A 、B 两点，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）． （i ）当PAB △面积最大时，求2l 的方程； （ii ）求证：||||||||PA MB PB MA ⋅=⋅．4．（山东泰安市·高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）． （i ）当PAB △面积最大时，求2l 的方程；（ii ）求证：PA MB PB MA =，并判断12,l l ，,PA PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列．5．（浙江绍兴市·高三一模）已知抛物线21:4C x y =和椭圆222:143x y C +=如图，经过抛物线1C 焦点F的直线l 分别交抛物线1C 和椭圆2C 于A ，B ，C ，D 四点，抛物线1C 在点A ，B 处的切线交于点P ．（1）求点P 的纵坐标；（2）设M 为线段AB 的中点，PM 交1C 于点Q ，BQ 交AP 于点T ．记TCD QBP ，的面积分别为12S S ，．（i ）求证：Q 为线段PM 的中点；（ii ）若1287S S =，求直线l 的方程．6．（江苏盐城市·高三二模）已知直线:l y x m +＝交抛物线2:4C y x =于,A B 两点．（1）设直线l 与x 轴的交点为T ．若=2AT TB ，求实数m 的值；（2）若点,M N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：,,,A B M N 四点共圆．7．（内蒙古赤峰市·高三月考（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，且过点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过椭圆E 右焦点的直线12l l 、相互垂直，且分别交椭圆E 于A B 、和C D 、四点，求AB CD +的最小值．8．（全国大联考（理））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于,A B 两点，AOB (点O 为坐标原点)的面积为2． （1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()()0,0E a a >的两直线1l ，2l 的倾斜角互补，直线1l 与抛物线C 交于,M N 两点，直线2l 与抛物线C 交于,P Q 两点，FMN 与FPQ △的面积相等，求实数a 的取值范围．9．（江西八校4月联考（理））已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>．左焦点()1,0F -，点()0,2M 在椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且NMF 的周长最大值为4． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点．如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．10．（天津南开区·高三一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为点A ，点E 的坐标为0,4b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，延长线段1F E 交椭圆于点M ，2MF x ⊥轴．（1）求椭圆的离心率；（2）设抛物线2245y bx =的焦点为F ，B 为抛物线上一点，365BF b =，直线BF 交椭圆于P ，Q 两点，若22425AP AQ +=，求椭圆的标准方程．11．（四川成都市·高三二模（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点A ⎛ ⎝⎭，其长半轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设经过点()1,0B -的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F ，直线DF 与x 轴相交于点G ，求BEG 与BDG 的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值．12．（浙江温州市·高三二模）如图，过点(1,0)F 和点(4,0)E 的两条平行线1l 和2l 分别交抛物线24y x =于,A B 和,C D （其中,A C 在x 轴的上方），AD 交x 轴于点G ．（1）求证：点C 、点D 的纵坐标乘积为定值；（2）分别记ABG 和CDG 的面积为1S 和2S ，当1214S S =时，求直线AD 的方程．13．（四川成都市·高三二模（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2A ⎛ ⎝⎭，其长半轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设经过点()1,0B -的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F ，直线DF 与x 轴相交于点G ，求△DEG 的面积S 的取值范围．14．（四省名校联考（文））已知F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点，焦距为4，且C 过点)P．（1）求C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，若1l 与C 交于,A B 两点，2l 与C 交于,D E 两点，记AB 的中点为,M DE 的中点为N ，试判断直线MN 是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．15．（辽宁铁岭市·高三一模）已知椭圆方程22143x y +=，直线:4l x =与x 轴相交于点P ，过右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点．（1）若过点F 的直线MF 与AB 垂直，且与直线l 交于点M ，线段AB 中点为D ，求证：OD OM k k =． （2）设Q 点的坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，直线BQ 与直线l 交于点E ，试问EA 是否垂直EP ，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．16．（广东汕头市·高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，P 为坐标原点，)M，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P 的轨迹方程；（2过)M作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与动点P 的轨迹交于A 、B ，2l 与动点P 的轨迹交于点C 、D ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ； ①证明：直线EF 恒过定点，并求出定点坐标． ②求四边形ACBD 面积的最小值．17．（聊城市·山东聊城一中高三一模）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>过点(2,1)-，离心率为216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ． （1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．18．（浙江宁波市·高三月考）如图，过椭圆2212x y +=的左右焦点12,F F 分别做直线,AB CD ，交椭圆于,,,A B C D 四点，设直线AB 的斜率为(0)k k ≠（1）求||AB （用k 表示）； （2）若直线,AB CD 的斜率之积为12-，求四边形ACBD 面积的取值范围．19．（湖北八市三月联考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，离心率为12，过椭圆C 的左焦点1F 作不与x 轴重合的直线MN 与椭圆C 相交于,M N 两点，过点M 作直线:2m x a =-的垂线ME ，E 为垂足．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）①已知直线EN 过定点P ，求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．20．（河南新乡市·高三一模（理））已知动点P 到点(的距离与到直线x =的距离之比为（1）求动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）过点(4,0)A -的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点(2,1)B --，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F ．试问在x 轴上是否存在一点G ，使得0BE GF GE BF ⋅+⋅=？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（山西晋中市·高三二模（理））设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，O 为原点，点(4,0)A 是x 轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于||OA （1）求椭圆的方程；（2）直线:l y kx t =+与椭圆C 交于两个不同点M ，N ，已知M 关于y 轴的对称点为M '，N 关于原点O 的对称点为N '，若,M N ''满足(1)OA OM ON λμλμ''=++=，求证：直线l 经过定点．22．（辽宁高三一模（理））过点()0,2P 作直线l 交抛物线2:4G x y =于,A B 两点，O 为坐标原点，分别过,A B 点作抛物线G 的切线，设两切线交于Q 点． （1）求证：点Q 在一定直线m 上；（2）设直线,AO BO 分别交直线m 于点,C D ． （i ）求证：AOB COD S S =△△；（ii ）设AOD △的面积为1S ，BOC 的面积为2S ，记12P S S =+，求P 的最小值．23．（内蒙古包头市·高三期末（文））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2213x y +=的左顶点为A ，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点．（1）当P 、O 、Q 三点共线时，直线PA 、QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求AM AN ⋅的值； （2）设直线AP 、AQ 的斜率分别为1k ，2k ，当121k k =-时，证明：直线PQ 恒过一个定点R ．24．（江西上饶模拟（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且直线OP 的斜率与直线OA 的斜率之和等于直线的PA 斜率． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过A 作斜率为2的直线与轨迹C 相交于点B ，点()()0,0T t t >，直线AT 与BT 分别交轨迹C 于点E 、F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由．25．（贵州新高考联盟质检（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,,F F 焦距为椭圆C 的右顶点到点2F 的距离与它到直线:l x =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，,A B 为椭圆C 上不同的两点，点A 关于x 轴的对称点为点.D 若直线BD 的斜率为1，求证：OAB 的面积为定值．26．（浙江丽水市·高三月考）已知抛物线2:E x y =，过抛物线上第一象限的点A 作抛物线的切线，与x轴交于点M ．过M 作OA 的垂线，交抛物线于B ，C 两点，交OA 于点D ．（1）求证：直线BC 过定点；（2）若1OB OM ⋅≤-，求||||AD AO 的最小值．27．（江苏南通市·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 是椭圆C 上的两点，且直线OA ，OB 的斜率之积为34-，点M 为线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求证：OMB AMNS S △△为定值．28．（山西运城市·高三期末（理））已知A ，B 是椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，C 为E 的上顶点，3AC BC ⋅=-．（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N ，P 是椭圆E 上不同的三点，且坐标原点O 为MNP △的重心，试探究MNP △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．29．（河南驻马店市·高三期末（文））已知A 为抛物线21:2(0)C y px p =>上异于原点O 的任意一点，当直线OA 的斜率为1时，||OA =．直线:20-+=l my x 交抛物线1C 于P ，Q 两点，射线OP ，OQ 分别交椭圆222:12y C x +=于E ，F 两点． （1）求抛物线1C 的方程；（2）记OEF 和OPQ △的面积分别为1S 和2S ，当218S S =时，求直线l 的斜率．30．（安徽名校期末联考（理））已知D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 延长至点P ，使得||2PA =，点P 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C的方程；M N两点，Q为曲线C上一动点(点,O Q分别位于直线MN两侧)，求四（2）作圆O的切线交曲线C于,边形OMQN的面积的最大值．。
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1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
（3分）2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ，12BF F 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分）3已知以原点O 为中心，)5,0F为右焦点的双曲线C 的离心率5e =（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（II ）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。
（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
（6分）6．如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.（6分）7．设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）（6分）8．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．（6分）9．设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于______________．（3分）10．在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M （－1，2）和N （1，4），点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为___________________。
（3分） 11．若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 .（3分）12．已知0C ：122=+y x 和1C ：)0(12222>>=+b a by a x 。
试问：当且仅当a ,b 满足什么条件时，对1C 任意一点P ，均存在以P 为顶点、与0C 外切、与1C 内接的平行四边形？并证明你的结论。
（4分）13． 设曲线C 1:1222=+y ax (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x+m)在x 轴上方公有一个公共点P 。
（1）实数m 的取值范围（用a 表示）；（2）O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a<21时，试求⊿OAP 的面积的最大值（用a 表示）。
（5分）14．已知点)2,0(A 和抛物线42+=x y 上两点C B ,使得BC AB ⊥，求点C 的纵坐标的取值范围．（4分）15．一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点A / 刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．（6分） 16．（04，14）在平面直角坐标系xoy 中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3A B C -，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC 距离的等比中项。
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L 经过ABC ∆的内心（设为D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围。
（5分） 17．过抛物线2x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1λ=EC AE ;点F 在线段BC 上，满足2λ=FCBF，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P.当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.（6分）18．参数方程练习题（13分）1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）。
A.⎩⎨⎧+==1222t y t x B. ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x C. ⎩⎨⎧-=-=121t y t x D. ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x 2.方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x 表示的曲线是（ ）。
A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分3.参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）。
A.042=+-y xB. 042=-+y xC. 042=+-y x ]3,2[∈xD. 042=-+y x ]3,2[∈x 4.直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）。
A.43-≤k B. 43-≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k5.圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x ，直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x ，则直线与圆的位置关系是（ ）。
A.过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离6.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）。
A B C D 7.+-==θθsin 1cos x ；如果曲线C 与直线+x 有公共点，那么实数的取值范围为 。
8．（2011广东）已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 245(t R ∈)，它们的交点坐标为 。
9．已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ，求y x S -=3的最大值和最小值。
答案：1. 解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为2，B 点坐标为（142，）所以点B 本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题x y x y 0 xy 0 x y2.（Ⅰ）解：因为直线:l 202m x my --=经过22(1,0)F m -，所以2212m m -=,得22m =，又因为1m >，所以2m =，故直线l 的方程为2202x -=。
（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y 。
由222221m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x得222104m y my ++-= 则由2228(1)804m m m ∆=--=-+>，知28m <，且有212121,282m m y y y y +=-=-。
由于12(,0),(,0),F c F c -，故O 为12F F 的中点，由2,2AG GO BH HO ==，可知1121(,),(,),3333x y x y G h 2221212()()99x x y y GH --=+设M 是GH 的中点，则1212(,)66x x y y M ++，由题意可知2,MO GH <即222212121212()()4[()()]6699x x y y x x y y ++--+<+而2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++ 221(1()82m m =+-）所以21082m -<即24m <又因为1m >且0∆>所以12m <<。
所以m 的取值范围是(1,2)。
3．【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为ca=2，得2a c =，又22a c +=4(21)，所以可解得22a =2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=。
4．5.（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。
由422=-PB PF ，得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92x =。
故所求点P 的轨迹为直线92x =。
（2）将31,221==x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209-） 直线MTA 方程为：0352303y x -+=+-，即113y x =+，直线NTB 方程为：032010393y x --=---，即5562y x =-。
联立方程组，解得：7103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点T 的坐标为10(7,)3。
（3）点T 的坐标为(9,)m 直线MTA 方程为：03093y x m -+=-+，即(3)12m y x =+，直线NTB 方程为：03093y x m --=--，即(3)6my x =-。
分别与椭圆15922=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠， 解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、2223(20)20(,)2020m mN m m --++。