微分几何-陈维桓--习题答案4

习题答案4

p. 202 习题5.1

1. 设可允许的参数变换12(,)u u v v αα=是保持定向的，即()det 0a α

β>，其中

u a v

α

αβ

β∂=∂. 用,g b αβαβ表示曲面S 在参数系12(,)u u 下的第一、第二类基本量，用g αβ%，

b αβ

%表示曲面S 在参数系12(,)v v 下的第一、第二类基本量. 证明： g g a a γδαβγδαβ=%， b b a a γδαβγδαβ=%.

证明. (1) 因为du a dv αα

ββ=，所以在可允许参数变换下，

I ()()()g dv dv g du du g a dv a dv g a a dv dv αβγδγαδβγδαβ

αβγδγδαβγδαβ====%.

上式两边作为12,dv dv 的二次型相等，所以g g a a γδ

αβγδαβ=%.

(2) 设S 的方程为12(,)r r u u =v v

. 令

()12112212(,)(,),(,)r v v r u v v u v v =v v %.

则有r a r βααβ=v v %. 于是

1221121212121212()()()det()r r a r a r a a a a r r a r r αβααββ⨯=⨯=-⨯=⨯v v v v v v v v %%.

因为()det 0a α

β>，这说明在两个参数系下，有

()12112212(,)(,),(,)n v v n u v v u v v =v v %.

于是

()()()().

b dv dv dr dn dr dn b du du b a dv a dv b a a dv dv αβγδαβ

γδγ

α

δβ

γδα

β

γδα

β

γδα

β

=-⋅=-⋅===v v v v %%%

和(1)中一样，可得b b a a γδαβγδαβ

=%. □ 4. 验证：曲面S 的平均曲率H 可以表示成1

2

H b g αβαβ=，并且证明H 在第1题

的参数变换下是不变的.

证明. (1) 证法一：直接验证. 由定义，

()2

11121222221211112212det ,,,g g g

g g g g g g g g g g g g

αβ==-=

=-==. 因此 ()

()1122121222111122121222112

11221221

222b g b g b g H b g b g b g g g g g -+=

=-+- ()111222*********b g b g b g =

++()11122122111221221122

b g b g b g b g b g αβ

αφ==+++.

证法二：运用Weingarten 变换W . 由定义，

()W r n b r βαααβ=-=v v v .

所以()b β

α

是Weingarten 变换W 在切空间的基12{,}r r v v 下的矩阵. 它的两个特征值12,κκ，也就是主曲率，满足

121212trace()b b b b b g b g βα

βααβαααβαβκκ+==+===.

所以

12

1

2

2

H b g αβαβκκ+=

=. (2) 在第1题的参数变换下，令1

2

(,)v v u u α

α

=为逆变换，v a u

αα

β

β∂=∂%. 则()a α

β与

()a αβ%互为逆矩阵. 故有

a a αγαγββδ=%，a a αγαγββδ=%. (1)

在第1题中已经证明了

g g a a γδαβγδαβ=%. (2)

所以有

g g

g a a g εβεγδβεααβγδαβδ==%%%. 用a α

ξ%乘上式两端，并对指标α求和，利用(1)式可得

a a g a a a g

g a g g a g εαεαγδβεγδβεδβε

ξξαγδξαβγδξβδξβδδ====%%%%%%. 再用g ξη乘上式两端，并对指标ξ求和，可得

g a g g a g a g a g ξηεξηδβεηδβεηβε

ξδξβδββδ===%%%%.

最后用a α

η%乘上式两端，并对指标η求和，利用(1)式可得

a g a a a g

g g αξηεαηβεαβεαε

ηξηββδ===%%%%%%， 即有

g a a g αβαβξη

ηξ=%%%. (3)

于是由b b a a γδαβγδαβ

=%得到 ()()b g b a a a a g b a a a a g

b g b g αβγδαβξηγαδβξηγδξηξηαβγδαβηξγδαηβξγδηξξηδδ====%%%%%%. 所以H 在第1题的参数变换下是不变的. □

注. 如果采用矩阵记号，令

()g αβ=G ，()g αβ=%%G ，()a βα=T .

则(2)就是T =%G

TGT ，(3)就是()1111T ----=%G T G T . 5. 证明下列恒等式：

(1) g g g u αβαδ

β

βδ

αδγ

δγ

γ∂Γ+Γ=-∂； (2) g g g g u u

βγαγλλ

βλαγαλβγαβ

∂∂-=Γ-Γ∂∂；