平面向量知识点与考点精.doc

平面向量知识点与2013 考点精讲

知识网络

向量的概念

向量的加、减法

向量的运算实数与向量的积两向量平行的充要条件

向量的数量积

向量的坐

两向量垂直的充要条件

标运算

平面向量的基本定理及坐标表示

向量的模

几何中的运用

向量的运用向量的夹角

物理学中的运用

两点间的距离

第1 讲向量的概念与线性运算

★知识梳理★

1．平面向量的有关概念：

（1）向量的定义：既有 ____大小又有方向 _________的量叫做向量 .

（2）表示方法：用有向线段来表示向量. 有向线段的 ____ 长度 _____表示向量的大小，用 _____箭头所指的方向 ____表示向量的方向. 用字母a，b，⋯或用AB ， BC ，⋯表示 .

特别提醒：

1) 模：向量的长度叫向量的模，记作| a| 或 | AB |.

2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定 .

3) 单位向量：长度为 1 个长度单位的向量叫做单位向量.

4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.

5) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

2．向量的线性运算

1.向量的加法：

（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

a，b，在平面内任取一点uuur uuur

b，则向量AC叫做 a 与 b 的和，记

如图，已知向量 A ，作AB a，BC

作 a+b，即 a+b

uuur uuur uuur

AB BC AC

C

C

a b

a+b

B a+b

B

D

b a

b

a

三角形法则平行四边形法则

A (1) A

特殊情况：

a a

b b

a b a b

A B

( 2

C C A B ) ( 3 )

对于零向量与任一向量a，有 a 0 0 a a

（2）法则： ____三角形法则 _______， _____平行四边形法则 ______

（3）运算律： ____ a +b=b+a； _______， ____（a+b） +c=a+（b+c） ._______ 2.向量的减法：

（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，

作 OA = a, OB = b, 则 BA = a b

注意：

1)

AB 表示 a b 强调：差向量“箭头”指向被减数

2) 用“相反向量”定义法作差向量，

a b = a +(-b)

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一

a ∥

b ∥ c

a b = a + ( b)

a b

3. 实数与向量的积：

（ 1）定义：实数 λ与向量 a 的积是一个向量，记作 λa ，规定： | λa |=| λ|| a |. 当λ ＞ 0 时， λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ＜ 0 时， λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ =0 时， λ a =0.

（ 2）运算律： λ （ μa ） =（ λμ ） a ， （λ+μ） a =λa +μa ， λ（ a +b ） =λa +λb .

特别提醒：

1) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。

2)

重要定理：

向量共线定理： 向量 b 与非零向量

a 共线的充要条件是有且仅有一个实数

λ ，使得 =

，即 ∥

a b =

b λa b

λ a （ a ≠ 0） .

向量★ 重 难 点 突 破 ★

1. 重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角

形法则、平行四边形法则．

2. 难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．

3. 重难点： .

问题 1:

相等向量与平行向量的区别

答案：向量平行是向量相等的必要条件。

问题 2: 向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别

答案：直线平行不包括共线（即重合）

，而向量平行则包括共线（重合）的情况。

问题 3：对于两个向量平行的充要条件：

a ∥

b a =λb ，只有 b ≠ 0 才是正确的 . 而当 b =0 时， a ∥ b 是 a =λ b 的必要不充分条件

.

问题 4；向量与有向线段的区别：

（ 1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（ 2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段

【新题导练】 题型 1. 概念判析

[ 例 1] 判断下列各命题是否正确

(1) 零向量没有方向 (2) 若 a b ,则 a b

(3) 单位向量都相等

(4)

向量就是有向线段

(5) 两相等向量若共起点 , 则终点也相同 (6)

若 a

b ， b

c ，则 a c ；

(7) 若

r

// r

b //

c a // c

A B CD, BC DA

a b ，则 (8)

若四边形 ABCD 是平行四边形 , 则

，

(9) a

b 的充要条件是 | a | |b | 且 a // b ；

[ 解题思路 ] ： 正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。

解析： 解： (1)

不正确，零向量方向任意 , (2) 不正确，说明模相等 , 还有方向 (3)

不正确，单位向

量的模为 1, 方向很多 (4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式

(5)

正确，

（ 6）正确，

向量相等有传递性

（ 7）不正确， 因若 b 0 ，则不共线的向量 a, c 也有 a // 0 ，0 // c 。(8) 不正确 , 如

图

A B CD, BC DA

（ 9）不正确，当 a // b ，且方向相反时，即使 | a | | b | ，也不

能得到 a

b ；

【名师指引】 对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定

相关命题。

考点一： 向量及与向量相关的基本概念

1.【2012 高考浙江文 7】设 a ， b 是两个非零向量。 A. 若 |a+b|=|a|-|b| ，则 a ⊥ b

B. 若 a ⊥ b ，则 |a+b|=|a|-|b|

C. 若 |a+b|=|a|-|b| ，则存在实数λ，使得

b=λ a

D. 若存在实数λ，使得 b=λ a ，则 |a+b|=|a|-|b|

【答案】 C

【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。

【解析】利用排除法可得选项

C 是正确的，∵ | a ＋ b| ＝ | a| －| b| ，则 a ， b 共线，即存在实

数 λ，使得 a ＝λb ．如选项 A ： | a ＋ b| ＝| a| － | b| 时， a ，b 可为异向的共线向量；选项

B ：若 a ⊥ b ，由正

方形得 | a ＋ b| ＝| a| － | b| 不成立；选项 D ：若存在实数 λ，使得 a ＝ λb ， a ， b 可为同向的共线向量，此时 显然 | a ＋b| ＝ | a| － | b| 不成立．

r r

r r

2.【 2012 高考四川文

a b

）

7】设 a 、 b 都是非零向量， 下列四个条件中， 使 r

r 成立的充分条件是 （

| a |

| b |

r rr r

r r r r r r A 、 | a | | b | 且 a // b

B 、 a b

C 、 a // b

D 、 a 2b

【答案】Ｄ