平面向量知识点归纳
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
平面向量知识点
平面向量知识点
1. 坐标表示：平面向量可以由一个有序数对来表示，分别表示向量在x和y方向上的分量。
2. 向量加法：向量加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A+B)+C = A+(B+C)。
3. 向量减法：向量减法A - B 可以看作是A + (-B)。
4. 向量数乘：将向量乘以一个标量k，相当于将向量的大小缩放k 倍且不改变方向。
5. 向量的模长：向量的模长表示向量的大小，用勾股定理求得，A =√
(x^2+y^2)。
6. 向量的单位向量：向量A 的单位向量是A/ A ，即大小为1，方向与A 相同的向量。
7. 向量的夹角：向量A 和向量B 的夹角可以利用内积求得，θ= cos⁻¹(A·B/ A
B )。
8. 内积：向量A 和B 的内积A·B = x₁x₂+ y₁y₂，可以用来判断两个向量是
否垂直、平行，以及求解向量的投影等。
9. 外积：向量A 和B 的外积A×B 表示一个新的向量，其大小为 A B sin θ，方向垂直于A 和B 所在的平面，且符合右手定则。
高一数学必修4知识点梳理：平面向量
2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ． 设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212． 若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念:既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么?提示：向量可以平移。
举例 1 已知,,则把向量按向量平移后得到的向量是_____。
结果：2.零向量：长度为0的向量叫零向量,记作：，规定：零向量的方向是任意的;3。
单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是)；4。
相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;5。
平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作:∥，规定：零向量和任何向量平行。
注：①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性!(因为有）；④三点共线共线.6。
相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量记作。
举例2 如下列命题：（1）若，则。
(2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
(3)若,则是平行四边形。
(4)若是平行四边形，则。
（5）若，，则.（6）若,则.其中正确的是。
结果:（4）(5）二、向量的表示方法1.几何表示:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前，终点在后；2。
符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3。
坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底,则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标,叫做向量的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三、平面向量的基本定理定理设同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使。
（1）定理核心：;（2)从左向右看,是对向量的分解，且表达式唯一；反之,是对向量的合成。
(3）向量的正交分解：当时，就说为对向量的正交分解．举例3 （1）若，，，则。
平面向量知识点归纳
平面向量一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ±)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如 下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳在代数学和几何学中，平面向量是一种常用的数学工具，用来描述平面上的长度和方向。
平面向量具有许多重要的性质和运算规律，对于解决各种几何问题和物理问题非常有帮助。
本文将对平面向量的相关知识点进行归纳和总结。
一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数或复数构成的有序对(a, b)，通常用字母小写的粗体字母表示，如：→a。
其中，a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
二、平面向量的表示平面向量可以使用坐标表示法或分量表示法。
坐标表示法将向量表示为一个有向线段，起点为原点，终点为向量的坐标。
分量表示法将向量表示为两个实数或复数，分别表示向量在x轴方向和y轴方向上的分量。
三、平面向量的运算1. 加法：向量之间的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
例如，向量→a=(a1, a2)，向量→b=(b1, b2)，它们的和向量→c=(a1+b1, a2+b2)。
2. 数乘：向量与一个实数或复数相乘，可以理解为将向量的每个分量都乘以这个数。
例如，向量→a=(a1, a2)，实数k，则k×→a=(ka1, ka2)。
3. 减法：向量减法可以通过向量加法和数乘运算来定义。
向量→a减去向量→b等于向量→a加上向量→b的负向量。
即→a-→b=→a+(-→b)。
4. 数量积/点积：向量→a和→b的数量积/点积（也称为内积）表示为→a·→b，等于它们对应分量的乘积之和，即→a·→b=a1b1+a2b2。
5. 向量积/叉积：向量→a和→b的向量积/叉积（也称为外积）表示为→a×→b，等于一个新的向量，该向量垂直于→a和→b所确定的平面，并且其大小等于以→a和→b为两条边所构成的平行四边形的面积。
四、平面向量的性质和定理1. 零向量：零向量是长度为零的向量，表示为→0=(0, 0)。
它与任何向量的数量积都为零。
2. 平行向量：两个向量的方向相同或相异，它们就是平行的。
平面向量知识点归纳总结
平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。
例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。
二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。
三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。
设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。
新的线段即为向量A + B。
2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。
设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。
即A - B = A + (-B)。
4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。
任何向量与零向量相加等于该向量本身。
四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。
2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。
3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。
4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。
5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。
6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。
五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。
平面向量知识点归纳总结图
平面向量知识点归纳总结图一、平面向量的定义1.1 平面向量的概念在平面上任意选定一个起点和一个终点之间的有序对称就称为平面向量，记作。
平面向量可以用有向线段来表示，有向线段的起点就是平面向量的起点，终点就是平面向量的终点。
1.2 平面向量的表示平面向量可以用坐标表示，设平面向量的起点为原点O，终点为点A(x, y)，则平面向量记作。
1.3 平面向量的相等两个平面向量相等指的是它们的模相等，并且方向相同，即两个平面向量相等当且仅当。
二、平面向量的运算2.1 平面向量的加法设和，平面向量+的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。
2.2 平面向量的减法设，平面向量-的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。
2.3 数乘设，数的积是一个新的平面向量，其长度是向量的倍数，方向与向量相同。
三、平面向量的运算性质3.1 交换律3.2 结合律3.3 分配律四、平面向量的应用4.1 平面向量的线段设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量的终点减去起点的坐标差即为该线段的平面向量表示。
4.2 平面向量的位置关系(1) 共线若向量平行，则它们共线。
(2) 垂直若，则它们垂直。
4.3 平面向量的运动学应用若一个物体在平面内的任意两点A、B之间作平移运动，其位矢向量表示。
五、平面向量的数量积5.1 定义设，，则积。
5.2 计算（1）坐标法（2）数量积的几何意义5.3 性质（1）交换律（2）结合律（3）分配律5.4 应用（1）判断共线若，则共线。
（2）判断垂直若，则垂直。
（3）夹角公式若，则夹角α的余弦值是的数量积。
六、平面向量的叉乘6.1 定义设，把数视为数乘6.2 计算6.3 性质6.4 应用七、平面向量的混合积7.1 定义设、，则混合积7.2 计算7.3 性质7.4 应用八、几何向量8.1 平面向量的模8.2 单位向量8.3 平行四边形法则8.4 平面向量的夹角公式8.5 平面向量的坐标表示8.6 平面向量的位置关系总结平面向量是高中数学中的一个重要概念，它不仅有着丰富的几何意义，还具有广泛的物理意义。
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a
b
a b C C
⑵坐标运算：设 a x1, y1 ， b x2,为 x1, y1 ， x2, y2 ，则 x1 x2, y1 y2 ．
19、向量数乘运算：
⑴实数 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ．
①建立适当的坐标系．
②设平面 的法向量为 n (x, y, z) ．
③求出平面内两个不共线向量的坐标 a (a1, a2, a3), b (b1,b2,b3) ．
④根据法向量定义建立方程组
n
a
0
.
n b 0
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量.
（如图）
4
1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行
⑷坐标运算：设两个非零向量 a x1, y1 ， b x2, y2 ，则 a b x1x2 y1y2 ．
3
若 a x, y ，则 a 2 x2 y2 ，或 a x2 y2 ． 设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，
则 a b x1x2 y1y2 0 ．
x1,
y1
， x2,
y2
，当
1
2
时，点
的坐标是
x1 x2 1
,
y1 y2 1
．（当
1时，就为中点公式。）
2.3 平面向量的数量积
23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的 和。）：
⑴ a b a b cos a 0,b 0,0 180 ．零向量与任一向量的数量积为 0 ．
即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平 面外
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行
若平面 的法向量为 u ，平面 的法向量为 v ，要证 ∥ ，只需证 u ∥ v ，即证 u v .
即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 l1, l2 的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l1 l2 ，只需证明 a b ，即 ab 0 .
设直线 l1, l2 的方向向量分别是 a 、b ，则要证明 l1 ∥ l2 ，只需证明 a ∥ b ，即 a kb(k R) .
即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。 ⑵线面平行
①（法一）设直线 l 的方向向量是 a ，平面 的法向量是 u ，则要证明 l ∥ ，只需证明 a u ，即 a u 0 .
21、平面向量基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 1 、 2 ，使
a 1e1 2e2 ．（不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点 是线段 12 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是
① a a ；
②当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相
反；当 0 时， a 0 ．
⑵运算律：① a a ；② a a a ；③ a b a b ．
⑶坐标运算：设 a x, y ，则 a x, y x, y ．
2
20、向量共线定理：向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使
b a ．
设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，其中 b 0 ，则当且仅当 x1 y2 x2 y1 0 时，向量
a 、 b b 0 共线．
2.2 平面向量的基本定理及坐标表示
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量：
若 A、B 是直线 l 上的任意两点，则 AB 为直线 l 的一个方向向量；与 AB 平 行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向量 n 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作
n ，如果 n ，那么向量 n 叫做平面 的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
⑵性质：设 a 和 b 都是非零向量，则① a b a b 0 ．②当 a 与 b 同向时， a b a b ；当 a 与 b 反向时， a b a b ； a a a2 a 2 或 a a a ．③
ab a b ．
⑶运算律：① a b b a ；② ab a b a b ；③ a b c a c b c ．
平面向量知识点归纳
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第一章 平面向量
2.1 向量的基本概念和基本运算 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为 0 的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平 行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：
a b ab a b ．
⑷运算性质：①交换律：
ab b a； C
②结合律： a b c a b c ；③ a 0 0 a a ．
⑸坐标运算：设 a x1, y1 ， b x2, y2 ，则 a b x1 x2, y1 y2 ．
18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
设 a 、 b 都是非零向量， a x1, y1 ， b x2, y2 ， 是 a 与 b 的夹角，则
cos a b x1x2 y1y2 ．
ab
x12 y12 x22 y22
知识链接：空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几
何中证明，求值的应用进行总结归纳.