苏教版高中数学选修2-1第1章常用逻辑用语1.1.2含答案

1.1.2充分条件和必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．框图表示2．条件与结论之间的关系知识点二充要条件思考在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？答案因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件．梳理(1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称为p是q的充要条件，记作p⇔q.(2)充要条件的实质是原命题“若p则q”和其逆命题“若q则p”均为真命题，如果p是q 的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．1．当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)2．当p是q的充分必要条件时，那么q也一定是p的充分必要条件．(√)类型一 充分条件、必要条件的判断例1 对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，下列结论正确的是________．(填序号) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac ＞0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac ＜0是函数f (x )没有零点的充要条件． 答案 ①②④解析 ①正确，因为Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有零点；②正确，因为Δ＝b 2－4ac ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，但是f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，有可能Δ＞0；③错误，因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，但未必有Δ＝b 2－4ac ＞0，也有可能Δ＝0；④正确，因为Δ＝b 2－4ac ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点．反思与感悟 充分、必要条件判断的常用方法 (1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断． 跟踪训练1 指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：ax 2＋ax ＋1>0的解集是R ，q ：0<a <4； (2)p ：|x －2|<3，q ：6x －5<－1；(3)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B ；(4)p ：⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.解 (1)当a ＝0时，1>0满足题意；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a <0，a >0，可得0<a <4.故p 是q 的必要不充分条件． (2)易知p ：－1<x <5，q ：－1<x <5， 所以p 是q 的充要条件．(3)因为A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，根据同向不等式相加、相乘的性质，有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，即p ⇒q .但⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β>4，αβ>4⇏⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，比如，当α＝1，β＝5时，⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝6>4，αβ＝5>4，而α<2，所以q ⇏p ，所以p 是q 的充分不必要条件． 类型二 充要条件的探求与证明 命题角度1 充要条件的探求例2 求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？ 解 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.①方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1x 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0，∴a <0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0，∴0<a ≤1.综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋t (t 为常数)，试问t ＝－1是否为数列{a n }是等差数列的充要条件？请说明理由． 解 是充要条件．(充分性)当t ＝－1时，S n ＝(n ＋1)2－1＝n 2＋2n . a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1. 又a 1＝3符合上式， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，又∵a n ＋1－a n ＝2(常数)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． 故t ＝－1是{a n }为等差数列的充分条件． (必要性)∵{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，∵a 1＝S 1＝4＋t ，a 2＝S 2－S 1＝5，a 3＝S 3－S 2＝7，∴10＝11＋t ，解得t ＝－1， 故t ＝－1是{a n }为等差数列的必要条件． 综上，t ＝－1是数列{a n }为等差数列的充要条件． 命题角度2 充要条件的证明例3 已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是直线l 外一点，求证：点P 在直线l 上的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.证明 ①充分性：若点P 满足OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1，消去y ，得 OP →＝xOA →＋(1－x )OB →＝x (OA →－OB →)＋OB →， ∴OP →－OB →＝x (OA →－OB →)，即BP →＝xBA →. ∴点P 在直线AB 上，即点P 在直线l 上．②必要性：设点P 在直线l 上，则由共线向量基本定理知，存在实数t ，使得AP →＝tAB →＝t (OB →－OA →)，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.令1－t ＝x ，t ＝y ，则OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.综上，点P 在直线l 上的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1. 反思与感悟 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．跟踪训练3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． 证明 ①充分性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0， 即a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.②必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0. ∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2≠0.∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． 类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例4 已知p ：2x 2－3x －2≥0，q ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，且命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 令M ＝{x |2x 2－3x －2≥0}＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥2，N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}＝{x |x ≤a －2或x ≥a }． 由已知p ⇒q 且q ⇏p ，得M ?N ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2， 解得32≤a <2或32<a ≤2，即32≤a ≤2.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.反思与感悟 1.在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p 和q 转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围． 2．根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤 (1)记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}．(2)若p 是q 的充分不必要条件，则M ?N ，若p 是q 的必要不充分条件，则N ?M ，若p 是q 的充要条件，则M ＝N .(3)根据集合的关系列不等式(组)． (4)求出参数的范围．跟踪训练4 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪ y ＝2x 2x ＋1，x ∈R ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝13x ＋m ，x ∈[－1，1]，记命题p ：“y ∈A ”，命题q ：“y ∈B ”，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围为______________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，23解析 由题意知A ＝(0,1)，B ＝⎣⎡⎦⎤m －13，m ＋13，依题意，得B ?A ， 故⎩⎨⎧m －13>0，m ＋13<1，∴13<m <23.1．从“⇒”，“⇒/”与“⇔”中选出适当的符号填空： (1)x ＞1________x ＞0； (2)a ＞b ________a 2＞b 2； (3)a 2＋b 2＝2ab ________a ＝b ； (4)A ⊆∅________A ＝∅.答案 (1)⇒ (2)⇏ (3)⇔ (4)⇔2．“a >1”是“1a <1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 由a >1可得到1a<1，反之不成立．3．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.4．设p ：1≤x ＜4，q ：x ＜m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________． 考点 充分条件的概念及判断 题点 由充分条件求取值范围 答案 [4，＋∞)解析 因为p 为q 的充分条件，所以[1,4)⊆(－∞，m )， 得m ≥4.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解．当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论． (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及集合B ＝{x |q (x )}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、填空题1．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件． 答案 充分不必要解析 由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．2．若集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －1<0，B ＝{x |x －2<2}，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －1<0＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x －2<2}＝{x |x <4}． ∴A ?B ，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．3．“k >4，b <5”是“一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴”的________条件． 答案 充要解析 ①当k >4，b <5时，一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象如图．②当一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴，即当x ＝0时，y ＝b －5<0，∴b <5.当y ＝0时，x ＝5－bk －4>0.∵b <5，∴k >4.4．已知不等式m －1<x <m ＋1成立的一个充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 由题意得⎝⎛⎭⎫13，12?(m －1，m ＋1)，则有⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1>12或⎩⎨⎧m －1<13，m ＋1≥12.∴－12≤m ≤43.5．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中，是真命题的是________．(填序号) ①“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件； ②“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件； ③“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件； ④“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件． 答案 ②③解析 由②得当a ＝b 时，得到ac ＝bc ；由③得ac 2>bc 2⇒a >b .6．关于x 的方程m 2x 2－(m ＋1)x ＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是________． 答案 m ＝0解析 当m ＝0时，原方程即x ＝2，满足条件，当m ≠0时，m ＋1m 2＝2，则m ＝1或m ＝－12，但Δ＝[－(m ＋1)]2－8m 2，m ＝1及m ＝－12均使Δ<0，故m ＝0.7．在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b “的________条件． 答案 充要解析 在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立． 8．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2. 9．若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 p ：0＜x ＜3，q ：x ＜3＋m2，若p 是q 的充分不必要条件，则3＋m2≥3，即m ≥3.10．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件； ②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件． 其中正确命题的序号为________． 答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确． 11．有下列命题：①“x ＞2且y ＞3”是“x ＋y ＞5”的充分条件； ②“x ＞0”是“x 2＞0”的必要不充分条件；③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为________． 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 ①④解析 ①当x ＞2且y ＞3时，x ＋y ＞5成立，反之不一定，所以“x ＞2且y ＞3”是“x ＋y ＞5”的充分不必要条件，故①为真命题； ②x ＞0⇒x 2＞0，x 2＞0⇏x ＞0，故②为假命题；③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，所以a ＝2，所以“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0，所以xy ＝1且x ＞0，y ＞0，所以xy ＝1必成立，反之不然，所以“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件，故④为真命题． 综上可知，真命题是①④. 二、解答题12．判断下列各题中，p 是q 的什么条件． (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2. 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断解 (1)∵|x |＝|y |⇏x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形⇏△ABC 是等腰三角形， △ABC 是等腰三角形⇏△ABC 是直角三角形， ∴p 是q 的既不充分又不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形， 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， ∴p 是q 的必要不充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线ax ＋by ＋c ＝0相切， 则圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ， 即r ＝|c |a 2＋b 2， ∴c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2， 则|c |a 2＋b2＝r 成立， 说明圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ， 即圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线ax ＋by ＋c ＝0相切， 故p 是q 的充要条件．13．求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)有两个正根的充要条件． 解 方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)有两个正根等价于⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac ≥0，－b a ＞0，c a ＞0，a ＜0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧b 2≥4ac ，b ＞0，c ＜0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)有两个正根的充要条件是b 2≥4ac ，且b ＞0，c ＜0. 三、探究与拓展14．“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3成立”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．苏教版高中数学选修2-1同步学案讲义11 考点 充分条件、必要条件的判断题点 必要不充分条件的判断答案 必要不充分解析 命题“若a ≠1或b ≠2，则a ＋b ≠3”与命题“若a ＋b ＝3，则a ＝1且b ＝2”互为逆否命题，当a ＝3，b ＝0时，有a ＋b ＝3，所以命题“若a ＋b ＝3，则a ＝1且b ＝2”是假命题，所以命题“若a ≠1或b ≠2，则a ＋b ≠3”是假命题，所以a ≠1或b ≠2推不出a ＋b ≠3.“若a ＝1且b ＝2，则a ＋b ＝3”是真命题，所以命题“若a ＋b ≠3，则a ≠1或b ≠2”是真命题，所以a ＋b ≠3⇒a ≠1或b ≠2，所以“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3成立”的必要不充分条件．15．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )； 必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B， 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B .综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .。