数学人教版七年级上册4.2.3线段的性质——线段的分类讨论问题
人教版七年级数学上册 4.2.3 线段的性质
练一练 3. 如图，AB+BC ＞ AC，AC+BC ＞ AB，AB+AC ＞ BC (填 “>”“<”或“=”). 其中蕴含的数学道理是两点之间,线段最短 .
A
B
C
练一练 4. 在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄， 如图，现在要 在公路 l 上建一个汽车站 C，使汽车站到 A，B 两村庄的距离之和 最小，请在图中画出汽车站的位置.
4.2.3 线段的性质
情境引入 如图：从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地 到 B 地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上 画出最短路线.
• A
• B
合作探究 两点之间，线段最短
合作探究 两点之间，线段最短 线段的性质：两点的所有连线l上顺次截取AB=6cm,BC=4cm,M是AB的中点,N是BC的中 点,求MN的长.
9.已知线段AB，点C在直线AB上，(1)求线段AC的长．(2)点D为线 段AB的中点，点E为线段BC的中点．①若线段AB=4cm，BC=6cm， 求线段DE的长．
②若线段AB=acm，BC=bcm，用含a、b的式子表示线段DE的长．
A
C
l
B
练一练 5.如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面要爬行到顶点B, 怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C处？说出你的理由.
练一练 6.如图，B、C是线段AD上两点，且AB:BC:CD=3:2:5，E、F分别 是AB、CD的中点，且EF=24cm，求线段AB、BC、CD的长．
7.如图,AB=20cm,C是AB的中点,点D是CB上的一点,E为DB的中 点．(1)若EB=3cm，求CD的长；(2)若AB=4CD，求DE的长；
最新人教版初中七年级数学【第四章 4.2.3线段的等分点】教学课件
ACD
B
第3题
分析： 4
AB=4
课堂小结
1.定义 线段中点的定义可以用图形语言、文字语言、符号语言进行表述.
2.性质 线段的中点把一条线段分成相等的两条线段.
3.应用 结合图形审题，合理使用线段等分点的定义和性质;挖掘图形隐含 的条件，合理使用线段的加减进行求解.
一、问 题
1.如图1，怎样由一条线段得到一条直线？ A
AMB
点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB， 点M叫做线段AB的中点.
符 号
因为AM=MB= ，
因为AM=MB，
或 且点M在线段AB上，
语
所以点M是线段AB的中点. 所以点M是线段AB的中点
形成概念
AMB
线段中点的定义
线段中点的性质
符 号
因为AM=MB= AB，
因为点M是线段AB的中点，
语 所以点M是线段AB的中点. 所以AM=MB= AB. 言
七年级—人教版—数学—第四章
4.2.3 线段的等分点
学习目标：
1.理解线段的中点（等分点）的意义； 2.会运用线段的中点（等分点）进行简单的线段
运算，初步感受简单推理，培养识图能力， 发展用文字、符号、图形三种语言互相转化的 能力.
学习重难点：
重点：结合图形理解线段的中点（等分点）的意义. 难点：用符号语言表述线段的中点.
CB=
2.结合图形审题，当线段的长不能直接 求出时，可考虑通过线段的加减求得；
3.尝试从不同的角度思考解题的方法.
巩固概念
练习二： 1.如图，若MP=NP,则点P是线段MN的 中点 ；若点P是线段
MN的中点，则MP = NP，MP= MN, MN= 2 NP.
人教版数学七年级上册4.2.3线段的性质课件
随堂练习（比一比，谁做的又快有准确）
2.如图，共有线段 条，分别是
；
射线
条，直线
条.
3.如果线段AB=5cm,BC=3cm,那么A,C两点间的距离
是（ ）
A、8cm
B、2cm
C、无法确定
随堂练习（比一比，谁做的又快有准确）
4.《愚公移山》的故事中，依据的数学原理是
5.如图，AB＋BC________AC，AC＋BC________AB，
解决实际问题
问题3：上述情景中，若A,B两社区在小巷L的同一边， 又如何选择？
随堂练习（比一比，谁做的又快有准确）
1、下列说法正确的是（ D ） A、连结两点的线段叫做两点间的距离 B、两点间的连线的长度，叫做两点间的距离 C、连结两点的直线的长度，学.科.网叫做两点的距离 D、连结两点的线段的长度，叫做两点间的距离
人教版七年级上册
§4.2.3 线段的性质
大美青海我的 家，在祖国的怀 抱里茁壮成长.
优美秀丽的景色给祖 国的容颜增添了色彩.
勤劳善良的青海人为 祖国的建设添砖加瓦.
讲授新课
问题 七（6）班有32名学生参加“创城”志愿者活动， 为了节省时间，从学校到达目的地有三条路线，同学 们应选择哪条路？
学校
AB＋AC________BC(填“>”“<”“＝”)．因此，
在铁路建设中，通常根据
的道
理把弯曲的道路Hale Waihona Puke 直．ABC
课堂小结：
请同学们谈谈这节课的收获！
布置作业： 1、必做题：课本P130的8、11题；
目的地
归纳总结：
两点的所有连线中，线段最短. 简单地说，两点之间,线段最短
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
线段分类讨论典型题
线段分类讨论典型题
线段分类是几何学中一个重要的概念，我们可以从不同的角度
来讨论线段的分类。
首先，我们可以根据线段的长度来进行分类。
根据长度的不同，线段可以分为短线段、中线段和长线段。
短线段
指长度较短的线段，中线段指长度适中的线段，长线段指长度较长
的线段。
这种分类方法可以帮助我们在实际问题中对线段进行更直
观的理解和应用。
其次，我们还可以根据线段的位置来进行分类。
在平面几何中，线段可以分为水平线段、垂直线段和斜线段。
水平线段指与水平方
向平行的线段，垂直线段指与垂直方向平行的线段，而斜线段则指
与水平和垂直方向都不平行的线段。
这种分类方法有助于我们在坐
标系中描述和定位线段的位置关系。
另外，我们还可以根据线段的夹角来进行分类。
根据夹角的大小，线段可以分为锐角线段、直角线段和钝角线段。
锐角线段指线
段之间的夹角小于90度，直角线段指线段之间的夹角等于90度，
钝角线段指线段之间的夹角大于90度。
这种分类方法可以帮助我们
在几何问题中判断线段之间的夹角关系。
最后，我们还可以根据线段的位置关系来进行分类。
在几何学中，线段可以分为相交线段、平行线段和重合线段。
相交线段指两条线段在某一点相交，平行线段指两条线段永远不会相交，重合线段指两条线段完全重合。
这种分类方法可以帮助我们在研究线段的交点和重合情况时进行分析和讨论。
综上所述，线段的分类可以从长度、位置、夹角和位置关系等多个角度进行讨论，不同的分类方法可以帮助我们更好地理解和运用线段的性质和特点。
最新人教版七年级数学上册《第3课时 线段的性质及其应用》优质教案
4.2 直线、射线、线段第3课时线段的性质及其应用一、导学1.导入课题上节课我们学习了线段的大小比较和线段的和、差、倍、分，本课我们继续探讨线段的有关性质.我们来看下面生活中的情景：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用有关数学知识来说明这个问题.今天，我们一起来学习有关线段的基本事实——两点之间，线段最短.2.三维目标：（1）知识与技能知道两点之间的距离和线段中点的含义.（2）过程与方法利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能初步应用.（3）情感态度初步应用空间与图形的知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义.4.自学指导：（1）自学范围：教材第128页“思考”至第129页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：认真阅读课本，联系生活实际理解领会相应结论.（4）自学参考提纲：①两点的所有连线中，线段最短，简写成：两点之间，线段最短.②用“＞”“＜”或“=”填空：如图，在△ABC中，AB+AC＞BC，AB+BC＞AC,BC+AC＞AB.你能说明其中的道理吗？两点之间，线段最短.③你能举例说明“两点之间，线段最短”的实际应用吗？与同学们交流一下.道路尽可能需要修直一点.④什么叫两点间的距离?“连接两点间的线段，叫做这两点间的距离”这一说法是否正确？为什么？连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.不正确，漏掉了线段的“长度”，线段不是距离.二、自学同学们可结合自学指导进行学习.三、助学1.师助生：（1）明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.（2）差异指导：根据学情进行针对性指导.2.生助生：小组同学间相互交流研讨、互助解疑难.四、强化1.两点之间，线段最短.2.两点间的距离的意义，注意“数”与“形”的区别.3.练习：教材第130页第8题.五、评价1.学生的自我评价：让学生交流学习目标的达成情况及学习的感受等.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：两点之间线段最短这一性质是度量的基础，在生产实际中经常要用到，这节课主要是让学生体验两点之间线段最短这一性质以及两点间距离的概念.经历从具体事例抽象出性质，再根据性质应用到具体事例的活动过程，体会从具体到抽象，再由抽象到具体的辩证关系.教科书分层次的安排了这些内容，本节课学生只要能根据具体事例判断能否利用两点之间线段最短这一性质，以及利用这一性质进行规划设计即可.此外，两点间距离的概念，学生一般也容易理解.本节课的目的是通过学习，进一步发展学生的空间观念，学生逐渐形成对空间图形与平面图形的认识与区别，体会现实生活中处处有图形，处处有数学.在这一课教与学的过程中，教师应积极渗透自主学习探索、合作交流、实践创新的学习理念，通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学——在教室里学习数学——到生活中运用数学”这一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，发展应用数学知识的意识与能力，进一步增强学好数学的愿望和信心.一、基础巩固1.（10分）把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（C）A.两点之间，射线最短B.两点确定一条直线C.两点之间，线段最短D.两点之间，直线最短2.（10分）下列说法正确的是（D）A.连接两点的线段叫做两点的距离B.两点间的连线的长度叫做两点的距离C.连接两点的直线的长度叫做两点的距离D.连接两点的线段的长度叫做两点的距离3.（10分）如图，从A出发到B时，最近的路是（C）A.A→C→D→BB.A→C→F→E→BC.A→C→E→BD.A→C→G→B4.（10分）如图，河流l两旁有两个村庄A、B,现要在河边修一个水泵站，同时向A、B 两村供水，问水泵站修在什么地方才能使所铺设的管道最短？试在图中标出水泵站的位置.解：如图所示，将水泵站修在C点（C点有两个，即河流l与线段AB相交的两个点，标在图上任何一点均可），才能使所铺设的管道最短.二、综合应用5.（15分）已知A、B、C三点在同一直线上，如果线段AB=6 cm，BC=3 cm，A、C两点的距离为d，那么（C）A.d=9 cmB.d=3 cmC.d=9 cm或d=3 cmD.d大小不确定6.（15分）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小.解：如图所示.7.（15分）平面上有A，B两点,且AB=7 cm.(1)若在该平面上找一点C，使CA+CB=7 cm,则点C在何处？（2）若使CA+CB＞7 cm,则点C在何处？（3）若使CA+CB＜7 cm,则点C在何处？解：（1）点C在线段AB上；（2）点C在线段AB外；（3）不存在这样的点C.三、拓展延伸8.（15分）如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由.由A爬到B，沿AB连线直接爬行.如果要爬行到顶点C，有三种情况：若蚂蚁爬行时经过面AD，可将这个正方体展开，在展开图上连接AC，与棱a(或b)交于D1（或D2）,蚂蚁沿AD1→D1C(或AD2→D2C)爬行，路线最短.类似地，蚂蚁经过面AB和AE爬行到顶点C，也分别有两条最短路线，因此，蚂蚁爬行的最短路线有6条.教师寄语同学们，生活让人快乐，学习让人更快乐。
人教版数学七年级上册4.2.3：线段的性质 课件
轻松尝试
1、如图，点C是线段AB的中点,已知AB=6cm，
那么线段AC是多长呢？
A
C
B
解： ∵C点是AB的中点, AB=6cm
∴ __A_C___ = A__B_=__3___ cm
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变式三：
如图AB＝6cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的
中点，那么线段AD是多长呢？
OB
C
解： ∵ AC= AB + BC =7 (cm)
又∵ O为线段 AC 的中点
1 ∴OC= 2 AC= 3.5(㎝)
∴ OB = OC - BC =0.5 (cm)．
感谢各位老师的观看
AA
B BCC
DD
目测法：直接观察，目测判断
线段的比较 度量法
用刻度尺量出线段AB长 3.1cm，线段CD长4.1cm， 所以线段AB比线段CD短。
A
B 3.1cm 记作AB＜CD
或 CD ＞AB
C
D 4.1cm
00
11
22
33
44
55
66
77
88
叠合法 将一线段“移动”，使其一端点与另一线段的一端点重合， 两线段的另一端点均在同一射线上。
比较两条线段大小的方法：
1
目测法
2
叠合法
从“形”的角度比较.
3
度量法
从“数”的角度比较.
练一练
估计下列图中线段AB与线段AC的大小关系，再用刻度尺或圆规来检验你的估计.
解：利用圆规，使一点与A重合，另一点与C重合，固定A点，转动圆规，转动过程
中观察C点与B点的关系.从上面图中我们发现
人教部编版七年级数学上册《4.2.3线段的性质及其应用》精品PPT优质课件
思考2 如果能，在图上画出最短路线.
① ②
③ ④
⑤
发现：两点的所有连线中，线段最短.即两 点之间，线段最短.
问题 用“＞”“＜”或“=”填空：
如图，在△ABC中，AB+AC ＞BC，AB+ BC ＞ AC，BC+AC ＞ AB.
问题 你能举例说明“两点之间，线段最短” 的实际应用吗？与同学们交流一下.
Thank you！
Good Bye！
1 道路会尽可能修直一点.
2 小狗看见骨头会径直跑过去.
3 人们为了走捷径，有时会横穿马路.
问题 A、B两点之间的距离是多少？
×
A
B
线段A×B的长度
小结
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
强化练习
1.把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这 样做的道理是（C ） A.两点之间，射线最短 B.两点确定一条直线 C.两点之间，线段最短 D.两点之间，直线最短
课堂小结
两点的所有连线中，线段最短.即两点之 间，线段最短. 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的 距离.
课堂作业
1.从书本练习中选择题目， 完成与本课时相关练习；
2.完成练习册本课时内容。
学习体会 1、本节课你学到了哪些基本知识？ 2、本节课你学到了哪些解题方法？ 3、还有哪些知识和方法上的问题？
4.2 直线、射线、线段 第3课时 线段的性质及其不走人 行道而横穿草坪，这是为什么呢？
两点之间，线段最短.
为什么两点之间线段最短呢？本课我们 继续探讨线段的有关性质.
知道“两点之间，线段最短”的性质及“两 点间的距离”的意义.
线段、角中的分类讨论思想(人教版七年级上册数学)
第 1 页 共 1 页 “线段、角”中的分类讨论思想当题目中没有给出具体的图形，而根据题意又可能出现多种情况，解题时需根据题意画出示意图，再利用图形的直观性不重、不漏地分情况讨论.例1 已知C 为线段AB 的中点，点D 在直线AB 上，并且满足AD=2BD ，若CD=6 cm ，求线段AB 的长. 解析：题目中没有给出图形，需先根据条件画出图形，再根据图形计算，画图时会发现有两种情况：点D 在线段AB 上，如图1，设BD=x cm ，则AD=2x cm ，根据AB=AD+BD=2x+x ，再由点C 为线段AB 的中点，可得BC=21AB ，由CD ＝BC−BD ＝23x−x ＝6，可得x=12，所以AB=3x=36（cm ）；点D 在线段AB 的延长线上，如图2，设BD=x cm ，AD=2BD ，可得BD=AB=x cm ，根据点C 为线段AB 的中点，可得BC=21AB=21x cm ，由CD=BC+BD=21x+x=6 cm ，可得x=4，所以AB=4 cm ． 综上所述，线段AB 的长为4 cm 或36 cm ．例2 已知∠AOB=80°，射线OC 在∠AOB 内部，且∠AOC=20°，∠COD=50°，射线OE ，OF 分别平分∠BOC ，∠COD ，则∠EOF 的度数是___________．解析：根据题意，可知分OD 在∠AOB 内和OD 在∠AOB 外两种情况，画出图形，根据角的和差关系和角平分线的定义求解．如图3，OD 在∠AOB 内.因为∠AOB=80°，∠AOC=20°，所以∠BOC=60°.因为OE 平分∠BOC ，所以∠EOC=30°.因为OF 平分∠COD ，∠COD=50°，所以∠FOC=25°.所以∠EOF=∠EOC-∠COF=5°.如图4，OD 在∠AOB 外.因为∠AOB=80°，∠AOC=20°，所以∠BOC=60°.因为OE 平分∠BOC ，所以∠EOC=30°.因为OF 平分∠COD ，∠COD=50°，所以∠FOC=25°.所以∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+25°=55°．综上，∠EOF 的度数是5°或55°．故填5°或55°．。
人教版七年级数学上册4.线段的性质课件
请问AB+BC与AC的大小关系如何？并说明理由．
请问BC+AC与AB的大小关系如何？并说明理由．
AB+BC﹥AC
A
BC+AC﹥AB
因为两点之间线段最短．
B
C
应用新知 解决问题
AB+AC﹥BC,
AB+BC﹥AC,
BC+AC﹥AB.
A
B
C
用一句话概括上述三个式子所表示的三角
形三边的大小关系？
P，并且要使车站P到两个居民区A、B的距离和
（PA+PB）最小．请确定车站P的位置（不考虑马路
的宽度），并简述理由．
A
m
B
应用新知 解决问题
例3. 如图，马路m的北侧有两个居民区A、B，公交
车公司要在马路边修一个车站P，并且要使车站P到两
个居民区A、B的距离和（PA+PB）最小．请确定车站
P的位置（不考虑马路的宽度），并简述理由．
两点的距离。
应用新知 解决问题
例1. 已知△ABC，AB、AC、BC分别表示三边的长．
（1）请问AB+AC与BC的大小关系如何？并说明理由．
A
解:(1)答：AB+AC﹥BC．
因为 两点之间线段最短，
所以 AB+AC﹥BC．
B
C
（2）仿照第（1）问，你能提出哪些问题？并解答
提出的问题．
应用新知 解决问题
因为点和点′关于直线
对称，所以
= ′ , = ′．
所以 QA + QB > PA + PB
B
Q m
P
/
B
新人教版七年级上册数学4.2.3线段的性质优质课件
知1－讲
第八页，共二十三页。
总结
知1－讲
本题设计路线的实质是把立体图形运用转化 思想转化为平面图形来解决的，四种走法的实质
是利用“两点之间，线段最短”．
第九页，共二十三页。
1 下列说法正确的是( D)
A．连接两点的线段叫做两点间的距离
B．两点间的连线的长度叫做两点间的距离
A地尽快赶往B地，你会选择哪条路线? 思考 2 你上述选择的依据是什么？
说明了数学中一个怎样的基本事实？
第三页，共二十三页。
知1－讲
B
知1－讲
简单说成：
两点之间的所有连线中，线段最短. 两点之间，线段最短.
两点的距离的定义：连接两点间的线段的长度， 叫做这两点的距离．
第四页，共二十三页。
例1 两点间的距离是指（ ）A A．连接两点的线段的长度
总结
知2－讲
线段的基本事实：两点之间，线段最短这
一知识点在现实生活中有广泛的应用.
第十五页，共二十三页。
例4 如图，数轴上的原点为O，点A表示3，点B 表示－ .3 (1)数轴是2什么图形？ (2)数轴在原点O右边的部分(包括原点)是 什么图形？怎样表示？ (3)射线OB上的点(除点O外)表示什么数？ 端点表示什么数？
(4)数轴上表示不小于－ 且不大3 于3的部 分是什么图形？怎样表示？2
知2－讲
第十六页，共二十三页。
导引：根据直线、射线、线段的特征解答．
解：(1)直线． (2)射线，射线OA. (3)负数，0.
(4)线段，线段BA.
知2－讲
第十七页，共二十三页。
知2－讲
例5 已知点P，Q是线段AB上的两点，且AP∶ PB＝3∶5，AQ∶QB＝3∶4，若PQ＝6 cm，
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《图形认识初步》单元复习
——线段的分类讨论问题
知识链接
Hi，在开始挑战之前，先来热下身吧！
1.线段有______个端点，它__________（填“有”或“没有”）长度.
2. 两点之间，________________最短.
学习任务
（一）读教材，首战告捷
让我们一起来阅读教材，并做好色笔区分吧。
（二）看微课，各个击破
微课——《线段的分类讨论问题》（资源ID:535348）
学习完微课后，请在网上书写学习体会；
然后结合微课里的攻略，完成下列典型问题吧！
例1. 已知A，B，C为直线l上的三点，线段AB＝9cm，BC＝1cm，那A，C两点间的距离是( )．
(A)8cm (B)9cm
(C)10cm (D)8cm或10cm
练习1、已知A、B、C三点在同一直线上，线段AB=10，BC=4，则线段AC= ．
练习2、已知线段AB=6，在直线AB上画线段BC，使BC=2，则线段AC
的长（）
A．2 B．4 C．8 D．8或4
练习3、如果线段AB=4cm，BC=3cm，那么A、C两点的距离为（）A．1cm B．7cm C．1cm或7cm D．无法确定
例2. 已知线段AB=20cm，直线AB上有一点C，且BC=6cm，M是线段AC 的中点，求线段AM的长。
练习1、已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.
学习笔记注意书写格式！
，求线段
、N
线段MN
的延长线上，线段哇哦，课前任务已完成！
1. 如果线段AB=6cm，BC=4cm，且线段A、B、C在同一直线上，那么A、C
间的距离是（）
A．10cm B．2cm C．10cm或者2cm D．无法确定
2. 如果线段AB=6，点C在直线AB上，BC=4，D是AC的中点，那么A、D
两点间的距离是（）
A．5 B．2.5 C．5或2.5 D．5或1
3. 已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN的长．
恭喜你，本知识点任务已全部完成！。