《三角函数的概念(第二课时)》示范教学方案
《三角函数的概念》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《三角函数的概念》教学设计本课是《任意角的三角函数》这一章的概念课，具有核心地位、统领全局的作用． 在此之前，学生已经学习了锐角三角函数，弧度制，对三角函数（正弦，余弦，正切）有一定的了解，了解了锐角三角函数在解三角形中的作用．为本节课的学习提供了知识准备． 本节将学习任意角三角函数的概念、表示及关系．借用单位圆直观的表示三角函数的对应值．1．了解任意角三角函数概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；2．掌握任意角三角函数的代数表示，理解任意角三角函数的正弦，余弦，正切概念，体会用单位圆进行数学研究的一般过程．教学重点：本节的重点是利用单位圆模型理解任意角三角函数概念的形成过程．1．教学问题： （1）学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数是可能会出现障碍，由于学生在此之前学习了直角三角形中的锐角三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比来表示锐角三角函数，要克服这一点，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系；（2）学生在理解将终边上任意一点去在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会形成障碍．（3）学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，可能会受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题．2．教学支持条件：计算机，几何画板，科大讯飞问答系统．【问题1】在初中，我们学过锐角三角函数，如图1，在直角三角形OMP 中，M ∠是直角，那么根据锐角三角函数的定义，O ∠的正弦，余弦，正切分别是什么？ ◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程【设计意图】帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义．【预设师生活动】教师提出问题，学生回答．【问题2】在上节课的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在说说的角可以是任意大小的正角，负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎么定义呢？【设计意图】引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．【预设师生活动】老师引导学生：（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？（2）将锐角推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？（3）如图2：在平面直角坐标系中如何定义任意角α的三角函数？（4）终边是OP 的角一定是锐角吗？如果不是，能用直角三角形的边长来定义吗？当α的终边不在第一象限该怎么办？（5）我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的一条边长呢？（渗透数形结合的思想） （6）利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？【问题3】大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？【设计意图】为引入单位圆做铺垫．【预设师生活动】教师提出问题后，课组织学生展开讨论，在学生不能回到正确时，可启发他们思考：（1）我们在定义1弧度的角时，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂？（2）对于一个三角函数，比如sin y α=．它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定后，能不能取终边任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单易懂些？怎样取？（加强与几何的联系））【问题4】大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？【设计意图】引导学生在用单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．【预设师生活动】由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理【问题5】根据任意三角函数的定义，要求角α的三个三角函数值其实就是求什么？【设计意图】让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更能突出三角函数概念的本质．【预设师生活动】在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值例1 已知角α的终边过点P （12，α的正弦、余弦和正切值． 【设计意图】从最简单的问题入手，然后通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．【预设师生活动】在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识．变式1： 求 35π 的正弦、余弦和正切值． 变式2： 已知角α的终边过点P （－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值．【问题6】你们能否给出正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域？【设计意图】研究一个函数，就是要研究其三要素，而三要素中最本质的是对应法则和定义域，三角函数的对应法则已经有定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域，通过利用定义求定义域，即完善了三角函数概念的内涵，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．【预设师生活动】学生求出定义域，教师进行整理【问题7】上述三种函数的值在各象限的符号会怎么样？【设计意图】通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想．【预设师生活动】学生回答，教师进行整理．例2. 求证：（1）当不等式组⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ成立时，角θ为第三象限角； （2） 当角θ为第三象限角时，不等式组⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ成立．【设计意图】通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念．【预设师生活动】在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练；【问题8】三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？【设计意图】引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想．【预设师生活动】在教师的引导下，由学生讨论完成．例3 先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值；)672cos()4();611tan()3(;3cos )2(;49sin )1(0--πππ． 【设计意图】将确定函数值的符号与求函数值这两个问题结合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念．【预设师生活动】先完成题（1），再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题． 练习（1）填表．（2）设α是三角形的一个内角，在αsin ，αcos ，αtan ，2tan中，有可能取负值的是 ．（3）选择“>”，“<”，“=”填空：;0_____)34sin(π-;0_____556tan 0 ;0_____)450cos(0-;0_____)817tan(π- （4）选择0tan )5(;0tan )4(;0cos )3(;0sin )2(;0sin )1(<>><>ααααα中适当的关系式的序号填空：（1）当角α为第一象限角时， ，反之也成立；（2）当角α为第二象限角时， ，反之也成立；（3）当角α为第三象限角时， ，反之也成立；（4）当角α为第四象限角时， ，反之也成立；（5）求67π的正弦，余弦和正切值． （6）已知角θ的终边经过点P （-12，5），求角θ的正弦，余弦和正切值．（7）求下列三角函数值： );431tan();1050sin(;319tan ;1109cos 00ππ-- 例4（备选） 如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度为多少？过了t0 秒呢？【设计意图】通过应用三角函数定义，熟悉和记忆特殊角的三角函数值，三角函数值的符号，公式一，以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解．【预设师生活动】根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容做具体调整．5. 小结【问题9】从锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数的定义，你能回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角的三角函数的定义的吗？锐角三角函数与解直角三角形相关，在初中我们是利用直角三角形边的比值来表示锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了，我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数．借助平面直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数．【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容．【预设师生活动】在学生给出定义后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点．【问题10】今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用，能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了那些问题？【设计意图】回顾和总结三角函数在本节课中的应用．图1【预设师生活动】在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生定义应用过程中所蕴含的数形结合的思想．。
教学设计2：5.2.1 三角函数的概念
5.2.1三角函数的概念【教学目标】1．能用三角函数的定义进行计算．2．熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单的应用．3．会利用诱导公式一进行有关计算．【要点梳理】1．任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)温馨提示：(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确α是一个任意角．(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．(3)要明确sin x是一个整体，不是sin与x的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．【思考诊断】1．若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ之间有什么关系？[答案]sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝tanβ2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.()(4)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×【课堂探究】题型一任意角的三角函数的定义及其应用【典例1】(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[思路导引]利用三角函数的定义求解．[解析] (1)∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋(－12)2＝13，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125. (2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3. [答案] (1)－1213 513 －125(2)见解析 [名师提醒]求任意角的三角函数值的2种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )，(P 与原点不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．[针对训练]1．已知角α的终边经过点P (1，－1)，则sin α的值为( )A.12B.32C.22 D ．－22[解析] ∵α的终边经过点P (1，－1)，∴sin α＝－112＋(－1)2＝－22. [答案] D2．已知角α的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，y (y <0)，则sin αtan α＝________. [解析] ∵α的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，y ， ∴⎝⎛⎭⎫－122＋y 2＝1，即y 2＝34，又∵y <0，∴y ＝－32. ∴sin α＝－32，tan α＝3，sin αtan α＝－32×3＝－32. [答案] －32题型二 三角函数在各象限的符号问题【典例2】 判断下列各式的符号：(1)sin105°·cos230°；(2)cos3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3. [思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．[解] (1)因为105°，230°分别为第二、三象限角，所以sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0.(2)因为π2<3<π，所以3是第二象限角，所以cos3<0， 又因为－2π3是第三象限角，所以tan ⎝⎛⎭⎫－2π3>0，所以cos3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3<0. [名师提醒]判断三角函数值正负的2个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y 轴的非负半轴上．[针对训练]3．设θ是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，则角θ2为第________象限角． [解析] 因为θ是第三象限角，所以π＋2k π<θ<32π＋2k π，k ∈Z ， 所以π2＋k π<θ2<34π＋k π，k ∈Z ，所以角θ2为第二、四象限角． 又因为⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，所以sin θ2<0，所以θ2为第四象限角． [答案] 四题型三 诱导公式一的应用【典例3】 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.[思路导引] 利用诱导公式将角化到0°～360°范围内，再求解．[解] (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52. [名师提醒](1)公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．(2)熟记一些特殊角的三角函数值．[针对训练]4．计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 【课堂小结】1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．公式一的理解(1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．(2)公式一的作用利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.【随堂巩固】1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析] ∵x ＝－4，y ＝3，∴r ＝(－4)2＋32＝5，∴cos α＝x r ＝－45＝－45，故选D. [答案] D2．sin ⎝⎛⎭⎫－35π6的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫－35π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π＋π6＝sin π6＝12，∴选A. [答案] A3．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或第四象限或y 轴非正半轴上，又tan α>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．[答案] C4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝________. [解析] ∵cos α＝－45<0，∴α角应为第二或第三象限角， 又∵y ＝－6<0，∴α为第三象限角，∴m <0 又∵－45＝m m 2＋(－6)2，∴m ＝－8. [答案] －85．求值：tan405°－sin450°＋cos750°.[解] tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32。
【教案】三角函数的概念课时设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
普通高中教科书人教A 版数学第一册（必修）5.2三角函数的概念（3课时，单元教学设计）一.单元内容和内容解析1.内容三角函数的概念，三角函数的基本性质：三角函数的符号、公式一、同角三角函数的基本关系.本单元的知识结构：本单元建议用3课时.第1课时.三角函数的概念；第2课时，三角函数的基本性质；第3课时，概念和性质的简单应用.2.内容解析（1）内容的本质三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学、物理和天文等其他学科的重要基础.（2）蕴含的数学思想和方法研究思路如下：背景——研究对象——对应关系的本质——定义的过程.本单元的学习中，学生在经历这个过程而形成三角函数的同时，“顺便”就可得到值域、函数值的符号、公式一即同角三角函数的基本关系等性质.（3）知识的上下位关系传统上，人们习惯把三角函数看成是锐角三角函数的推广，利用象限角终边上点的坐标比定义三角函数.任意三角函数的现实背景是周期变化现象，是“周而复始”变化规律的数学课话.因此，整体上，任意角三角函数知识体系的建立，应与其他基本初等函数类似.（4）育人价值 单位圆上点的运动规律三角函数的概念三角函数的基本性质三角函数的符号公式一同名三角函数的基本关系本节课从生活中存在“周而复始”的现象引入周期函数中最典型——三角函数的数学刻画，通过在平面直角坐标系中单位圆的建立，逐步实现本节课的教学目标.在此过程中培养了学生的数学想象、数学抽象、数学建模、数学运算等数学学科核心素养（5）教学重难点根据上述分析，可以确定本单元的教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，公式一，同角三角函数的基本关系.其中，正弦函数、余弦函数的定义是重中之重.二．单元目标和目标解析1.目标（1）了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系.（2）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养.（3）掌握三角函数数值的符号.（4）掌握公式一，初步体会三角函数的周期性.，sin2x+cos2x=1，体会三角（5）理解同角三角函数的基本关系式：tan x=sin xcos x函数的内在联系，通过运用基本关系进行三角恒等变换，发展数学运算素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能如了解线性函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的现实背景那样，知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具，能体会到匀速圆周运动在周而复始变化现象中的代表性.（2）学生在经历“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题（单位圆上的点P以A为起点做旋转运动，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况），使研究对象简单化、本质化；学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系并抽象出三件函数概念；能根据定义求给定角的三角函数值.（3）学生根据定义得出三角函数在各象限取值的符号规律.（4）学生能根据定义，结合终边相同的角的表示，得出公式一，并能根据此描述三角函数周而复始的取值规律，求某些角（特殊角）的三角函数值.（5）学生能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并得出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换.三．单元教学问题诊断分析三角函数概念的学习，其认知基础是函数的一般观念以及对幂函数、指数函数和对数函数的研究经验，另外还有圆的有关知识.这些认知准备对于分析“周而复始”变化现象中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用.然而，前面学习的基本初等函数，涉及的量（常量与变量）较少，解析式都有明确的运算含义，在三角函数中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，是“α与x，y直接对应”，无须计算，虽然α，x，y都是实数，但实际上是“集合元素间的对应”.所以，三角函数中的对应关系，与学生的已有经验距离较大，由此产生第一个学习难点；理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解.为了破除学生在对应关系认识上的定势，帮助他们搞清楚三角函数的“三要素”，应该根据一般函数概念引导下的下位学习的特点，先让学生明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程，然后再下定义.这样不仅使三角函数定义的引入更自然，而且由三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质.具体地，可以先让学生完成“时，让学生找给定一个特殊角，求它的终边与单位圆交点的坐标”的任务，例如，当α=π6出相应点P的坐标，并体会到点P的坐标的唯一确定想；在借助信息技术，让学生观察任意给定一个角α∈R，它的终边与单位圆的交点坐标是否唯一，从而为理解三角函数的对应关系奠定基础.利用信息技术，可以很容易地建立单位圆上点地横坐标、纵坐标、角、弧之间地联系，并且可以在角地变化过程中进行观察，发现其中地规律性.所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.对于三角函数的定义，可以通过以下几点帮助学生理解.第一，α是一个任意角，同时也是一个实数（弧度数），所以“设α是一个任意角”的意义实际上是“对于R中的任意一个数α”.第二，“它的终边OP与单位圆相交于点P（x,y）”实际上给出了两个对应关系，即（1）实数α（弧度）对应点P的纵坐标y；（2）实数α（弧度）对应点P的纵坐标x，其中y,x∈[−1,1].因为y对于R中的任意一个数α，它的终边唯一确定，所以交点P（x,y）也唯一确定，也就是纵坐标y和横坐标x都有α唯一确定，所以对应关系（1）（2）分别确定了一个函数，这是理解三角函数定义的关键.第三，引进sinα，cosα分别表示“α的终边与单位圆交点的纵坐标”“α的终边与单位圆交点的横坐标”，故对于任意一个实数α，按对应关系（1），在集合B={z|-1≤z≤1}中都拥有唯一确定的数sinα与之对应；按对应关系（2），在集合B中都有唯一确定的数cosα与之对应.所以，sinα，cosα都是一个由α所唯一确定的实数.这里，对符号sinα，cosα和tanα的认识是第二难点.可以通过类比引进符号log a b表示a x=b中的x，说明引进这些符号的意义.本单元的第三个学习难点是对于三件函数内在联系行的认识.出现这个难点的主要原因在于三角函数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数学习中没有这个经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何返现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强.为此，教学中应在思想方法上加强引导.例如，可以通过问题“对于给定的角α，点P（sinα，cosα）是α的终边与单位圆的交点，而tanα则是点P的纵坐标与横坐标之比，因此这三个函数之间一定有内在联系.你能从定义出发，研究一下他们有怎样的联系吗”引导学生探究同角三角函数的基本关系.四．单元教学支持条件分析为了加强学生对单位圆上点的坐标随角（圆心角）的变化而变化的直观感受，需要利用信息技术建立任意角、角的终边与单位圆的交点、角的旋转量、交点坐标等之间的关联.教学中，可以动态改变角α的终边OP（P为终边与单位圆的交点）的位置，引导学生观察OP位置的变化所引起的点P坐标的变化规律，感受三角函数的本质，同时感受终边相同的角具有相同的三角函数值，以及各三角函数在合象限中符号的变化情况.五．单元教学设计安排本单元共两个课时，具体分配如下：第1课时：三角函数的概念；第2课时：三角函数的基本性质；第3课时：概念和性质的简单应用.PA第一课时（一）课时教学内容在一般函数概念的指导下，按“概念形成”的方式展开形成三角函数的概念（二） 课时教学目标（1）了解三角函数的背景，并借助单位圆理解任意角三角函数的定义（2）掌握三角函数值的符号（3）掌握公式一，初步体会三角函数的周期性（三）教学重点与难点重点：任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义难点：任意角的三角函数概念的构建过程（四）教学过程设计1.创设问题情境，提出研究问题引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”的变化现象，圆周运动是这类现象的代表.如图1所示，圆O 上的点P 以A 为起点做逆时针方向的旋转.在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角α的大小刻画点P 的位置变化.又根据弧度制的定义，角α的大小与圆O 的半径无关.因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动，现在的任务是：如图1所示，单位圆O 上的点P 以点A 为起点做逆时针方向旋转，建议一个函数模型，刻画点P 的位置变化情况.图一问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为可以按怎样的路径研究上述问题？ 师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论得出研究路径是：明确研究背景——对应关系的特点分析——下定义——研究性质设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向2.分析具体事例，归纳共同特征 O引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题.如图2所示，以单位圆的圆心O 为原点，以射线OA 为x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，以点A 的坐标（1，0），点P 的坐标（x ，y ）.射线OA 从x 轴的非负半轴开始，绕点O 按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.问题2：当α=π6时，点P 的坐标时什么？当α=π6或2π3时，点P 的坐标又是什么？他们是唯一确定的吗？一般的，任意给定一个角α，它的终边OP 于单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？师生互动：在学生求出当α=π6时点P 的坐标后追问以下问题.追问：（1）求点P 的坐标要用到什么知识？（直角三角形的性质）（2）求点P 的坐标步骤是什么？点P 的坐标唯一吗？（画出π6的终边OP ，过点P 做x 轴的垂线交x 轴于M ，在R t ΔOMP 中，利用直角三角形的性质可地得到点P 的坐标是（√32，12）.） （3）如何利用上述经验求当α=2π3时点P 的坐标？（可以发现，∠MOP=π3，而点P 在第二象限，可得点P 的坐标是（-12，√32）.）（4）利用信息技术，刻画一个角α，观察它的终边OP 语单位圆交点P 的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？（对于R 中的任意一个角α，它的终边OP 与单位圆交点为P （x,y ），无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的，这里有两个对应关系：f ：实数α（弧度）对应于点P 的纵坐标yg ：实数α（弧度）对应于点P 的横坐标x根据上述分析，f ：R →[-1,1]和g ：R →[-1,1]都是从集合R 到集合[-1,1]的函数.） 设计意图：以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备.3.任意角三角函数的定义与辨析问题3：请同学们先阅读教科书第177-178页，再回答如下问题：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？（2）符号sin α，cos α和tan α分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？ 图2（3）为什么说当α≠π2+kπ时，tanα的值是唯一确定的？（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是{x |x≠π2+kπ，k∈Z}?师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题.设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号log a b表示a x=b中的x），理解三角函数符号的意义.4.任意角三角函数与锐角三角函数的联系问题4：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，设x∈(0,π2)，把锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为z1，并把本节三角函数定义求得的x的正弦记作y1.z1和y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？师生活动：教师引导学生作出R tΔABC，其中∠A=x，∠C=90o，再把它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在x轴的正半轴上，得出y1=z1的结论.设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性.5.任意角三角函数概念的初步应用例1：利用三角函数的定义求5π3的正弦、余弦和正切值师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并求出答案.设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵.课堂练习：（1）利用三角函数的定义，求π，3π2的三个三角函数值（2）说出几个使cosα=1的α的值.师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”.设计意图：检验学生对定义的理解情况.例2：如图3所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标（x,y），点P与原点的距离为r，求证：sinα=yr ，cosα=xr，tanα=yx师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：（1）你能根据三角函数的定义作图表示sinα，cosα吗？（2）在你所作图形中yr ，xr，yx各表示什么，你能找到它们与任意角α的三角函数的关系吗设计意图：通过问题引导，使学生找到△OMP，△O M O P O，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.追问：例2实际上给出了证明三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的.你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在交流的基础上得出准确的定义.设计意图：加深学生对三角函数定义的理解.课堂练习：已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s，求2s时点P所在的位置，师生活动：由学生独立完成后，学生代表展示作业.设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义.（五）目标检测设计1.利用三角函数的定义，求7π6的三个三角函数值.2．已知角θ的终边多点P（-12，5），求角θ的三角函数值.设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情况。
高中数学教案《三角函数的概念》
教学计划：《三角函数的概念》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够准确理解三角函数（正弦、余弦、正切）的基本定义，并能识别其在直角三角形中的表示。
o学生能够掌握三角函数值与角度之间的对应关系，理解三角函数是周期函数的特点。
o学生能够运用三角函数的基本性质进行简单的计算与推导。
2.过程与方法：o通过观察、比较和归纳，引导学生从实际情境中抽象出三角函数的概念。
o借助图像直观展示三角函数的周期性，培养学生的数形结合能力。
o通过小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流与合作，共同探索三角函数的性质。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。
o培养学生的探究精神和创新思维，鼓励他们勇于提出问题并尝试解决。
o引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。
二、教学重点和难点●重点：三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、图像及基本性质。
●难点：理解三角函数值与角度之间的对应关系，以及三角函数周期性的概念。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过展示如钟摆运动、海浪波动等自然界中的周期性现象，引导学生思考这些现象背后的数学规律，从而引出三角函数的概念。
●复习旧知：回顾直角三角形的相关知识，如勾股定理、锐角与钝角的定义，为学习三角函数做好铺垫。
●明确目标：简要介绍本节课的学习目标，即掌握三角函数的基本概念、图像及基本性质。
2. 讲授新知（15分钟）●定义讲解：详细讲解正弦、余弦、正切三种三角函数在直角三角形中的定义，强调它们与边长的比例关系。
●图像展示：利用多媒体设备展示三种三角函数的图像，引导学生观察图像特征，如正弦、余弦函数的周期性，正切函数的间断性等。
●性质归纳：结合图像，引导学生归纳出三角函数的基本性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。
3. 互动探究（10分钟）●小组讨论：将学生分成若干小组，每组分配一个探究任务，如“探究正弦函数在哪些区间内是增函数？”、“尝试用三角函数表示一个圆上某点的坐标”。
高中数学1.2.1《三角函数的定义》(二)教案新人教A必修4
1．2． 1（第二课时）三角函数的定义（二）
学习目标：
1. 理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号 .
2. 理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等
.
教学重点： 三角函数在各象限内的符号 , 终边相同的角的同一三角函数值相等
1. 设 是一个任意角， 在 的终 教师提出问题：我们发现 边上任取（异于原点的） 一点 P（ x,y ）
xy y ,,
rr x
则 P 与 原 点 的 距 离 这三个比值中 r 0 而 x,y 的正负
r
2
2
xy
x2 y2 0
是随象限的变
化而不同，故三角函数的符号应由
，
x yy , , 比值
rrx
P(x, y) 象限确定请同学们探讨一下三角函
tg
课堂练 1. 确定下列各式的符号
习
(1)sin10o ·cos240o
分析 : 由角所在象限分别判断两个 三角函数值的符号 , 再确定各式的
复习这两节课有 关的知识内容
(2)sin5+tan5
符号
分析：因为正弦、余弦函数的定义
域为 R，故只要考虑正切函数的定
2. x 取什么值时 , sin x cos x 有 义域和分式的分母不能为零 .
教学难点： 正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数 授课类型 ：新授课 课时安排： 1 课时 教 具 ：多媒体、实物投影仪 教学过程 ：
教学环 教学内容 节
师生互动
设计意图
复习引 任意角的三角函数定义 入
教师提出问题：任意角的三角函数 是如何定义的？
《三角函数的应用(第二课时)》示范课教学设计【高中数学】
《三角函数的应用（第2课时）》教学设计 1．通过分析和解决现实生活中的实际问题，使学生经历利用三角函数近似刻画实际问题的过程，了解利用数学知识解决实际问题的一般思路，提高数形结合能力． 2．通过例题分析和练习巩固，促进学生养成运用几何直观思考问题的习惯，发展学生的直观想象核心素养．教学重点：通过实例，使学生经历完整的数学建模过程．教学难点：将实际问题转化为数学问题．视频、Geogebra 软件、PPT 课件．通过视频播放弹簧振子的运动与交流电的变化；利用Geogebra 作实例中的散点图．（一）整体感知 引导语：匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确的描述它们的运动变化．在现实生活中也有大量运动变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化特点，这些现象也可以借助三角函数近似的描述．（二）新知探究例1 如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．问题1：如何根据温度变化曲线得到这一天6～14时的最大温差？预设的师生活动：学生回答．预设答案：曲线在自变量为6～14时，图形中的最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标就是这一天6～14时的最大温差，观察图形得出这段时间的最大温差为20℃．◆ 教学过程◆ 课前准备 ◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标 图1设计意图：通过问答形式得到（1）的解答．问题2：如何求温度随时间的变化满足的函数关系“b x A y ++=)sin(ϕω”中A ，ω，ϕ，b 的值？预设的师生活动：学生回答，教师补充，之后学生板演解答过程，教师强调要注意自变量的变化范围．预设答案：A 为最大值减去最小值的差的一半，ω可以利用半周期为14-6=8建立方程得解，ϕ可以利用特殊值求得．所求解析式为 π3π10sin()20[416]84y x x =++∈，，． 设计意图：启发学生利用待定系数法解决（2）．例2 海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情况下，船在涨潮时驶进巷道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表1是某港口某天的时刻与水深关系的预报．（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m ）．（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m ，安全条例规定至少要有1.5 m 的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若船的吃水深度为4 m ，安全间隙为1.5 m ，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h 的速度减少，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？问题3：观察表1中的数据，你发现了什么规律？根据数据做出散点图，观察图形，你可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？请试着完成（1）的解答．预设的师生活动：教师提出问题，学生观察数据，发现规律．教师引导学生作散点图，根据散点图特点，选择函数模型，学生根据散点图及有关数据，求出这个函数模型的解析式．得出解析式之后，教师让学生根据解析式填写整点时的水深，完成（1）的解答．预设答案：观察表格中数据可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中数据画出散点表1图如图2．从散点图的形状可以判断，这个港口的水深y 与时间x 的关系可以用形如sin()y A x h ωϕ=++的函数来刻画，从数据和图形可以得出：A =2.5，h =5，T =12.4，φ=0；由2π124T ω==.，得ω=5π31． 所以各港口的水深与时间的关系可用函数y =2.5sin5π31x +5近似描述． 将整点对应的自变量代入解析式求出相应的水深，得到表2完成（1）的解答．设计意图：从所给数据中发现周期性变化规律，引导学生根据散点图特点选择函数模型，并求出函数解析式，并得到（1）的解答．问题4：（2）中，货船需要的安全深度是多少？从函数的解析式来看，满足怎样的条件时，该船能够进入港口？从图象上看呢？预设的师生活动：学生回答，教师补充．预设答案：货船需要的安全水深为4+1.5=5.5 m ．从函数的解析式来看，满足y ≥5.5，即2.5sin 5π31x +5≥5.5，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数y =2.5sin 5π31x +5的图象在直线y =5.5上方时，该船能够进入港口．利用信息技术绘出两个函数的图象如图3．图2表2求得交点的横坐标分别为：x A ≈0.3975，x B ≈5.8025，x C ≈12.7975，x D ≈18.2025． 问题5：可以将A ，B ，C ，D 点的横坐标作为进出港时间吗？为什么？预设的师生活动：教师请学生们自由回答，答案不唯一．预设答案：事实上为了安全，进港时间要比算出的时间推后一些，出港时间要比算出的时间提前一些，这样才能保证货船始终在安全水域．因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．设计意图：启发学生数形结合得到（2）的解答．问题6：（3）中，设在x h 时货船的安全水深为y m ，y 与时间x 满足怎样的函数关系？从解析式来看，满足怎样的条件时，该船必须停止卸货？从图象上看呢？预设的师生活动：学生回答，教师补充．预设答案：设在x h 时货船的安全水深为y m ，那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2)．从函数的解析式来看，满足y ≥5.5-0.3(x -2)，即2.5sin 5π31x +5≥5.5-0.3(x -2)时，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数y =2.5sin5π31x +5的图象在直线y =5.5-0.3(x -2)上方时，该船能够进入港口．利用信息技术绘出两个函数的图象如图4．可以看到在6～8时之间两个函数只有一个交点P ，求得P 点的横坐标为7.016.≈P x 问题7：在船的安全水深正好等于港口水深时停止卸货可以吗？图3图4预设的师生活动：教师请学生们自由回答，答案不唯一．预设答案：为了安全，船停止卸货驶向安全水域的时间要比算出的时间提前一些．因此为了安全，货船最好在6.6时停止卸货，将船驶向较深的水域．设计意图：让学生感受利用数学模型得到的答案要根据实际情况进行检验和调整。
高三数学三角函数的概念与性质的优秀教案范本
高三数学三角函数的概念与性质的优秀教案范本一、引言在高三数学课程中，三角函数是一个重要的内容，掌握三角函数的概念和性质对于学生的数学学习有着重要的影响。
本教案旨在通过系统而全面的教学设计，帮助学生深入理解三角函数的概念与性质，提高解决相关数学问题的能力。
二、教学目标1. 理解三角函数的概念；2. 掌握三角函数的性质，包括周期性、奇偶性和单调性；3. 能够运用三角函数的性质解决实际问题。
三、教学重难点1. 三角函数的周期性、奇偶性和单调性；2. 运用三角函数的性质解决实际问题。
四、教学准备1. 教师准备：- PPT演示文稿；- 课堂练习与答案；- 教学板书；- 教学实例。
2. 学生准备：- 数学课本；- 笔、纸。
五、教学过程步骤一：导入（5分钟）教师通过引入数学问题或生活实例，激发学生对三角函数概念与性质的兴趣，引起学生的思考。
步骤二：概念讲解（15分钟）教师使用PPT演示文稿，简明扼要地讲解三角函数的概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，并给出示意图进行说明。
步骤三：性质讲解（25分钟）1. 周期性的讲解：- 教师引导学生观察函数图像，并指出三角函数都具有周期性；- 引导学生发现周期与函数中参数的关系，总结出正弦函数和余弦函数的周期性；- 引导学生探究正切函数的周期性，并与正弦函数进行比较。
2. 奇偶性的讲解：- 教师给出三角函数的图像，引导学生发现正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数；- 引导学生通过函数的奇偶性，快速判断函数性质。
3. 单调性的讲解：- 教师通过函数图像，引导学生理解三角函数的单调性特点；- 引导学生思考函数的周期性与单调性之间的关系。
步骤四：练习与讨论（30分钟）教师设计一系列练习题让学生巩固所学内容，并引导学生在小组讨论中解答问题。
步骤五：拓展应用（20分钟）教师提供一些实际问题，引导学生运用三角函数的概念与性质进行解决，如测量高楼的高度、船只与灯塔的距离等。
步骤六：总结与课堂反馈（10分钟）教师进行知识点的总结，梳理三角函数的概念与性质，并与学生进行互动交流和答疑解惑。
教学设计1：5.2.1 三角函数的概念
5.2.1三角函数的概念【课标要求】课程标准：1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等．教学重点：三角函数的定义；三角函数在各象限内的符号．教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程.【知识导学】知识点一三角函数的概念(1)单位圆中三角函数的定义(2)三角函数的定义域知识点二三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知识点三诱导公式(一)【新知拓展】(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．(2)终边相同的角的同名三角函数值相等．【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)若sinα<0，且tanα<0，则α在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(3)tan405°－sin450°＋cos750°＝________.(4)sin2·cos3·tan4的值的符号为________．答案 (1)D (2)－1213 513 －125 (3)32(4)负 【题型探究】题型一 三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．[解] r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |，若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34； 若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34. [条件探究] 在本例中，若将题设条件改为：已知角α的终边在直线y ＝3x 上，问题不变，怎样求解？解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点．则r ＝ a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3a a＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝a －2a＝－12，tan α＝3a a ＝ 3. 金版点睛利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．(3)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．[跟踪训练1] (1)设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25 B ．－25 C.15 D ．－15(2)已知角α终边上的点P (4,3m )，且sin α＝22m ，求m 的值． 答案 (1)A (2)见解析解析 (1)∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1.即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15. ∵a <0，∴a ＝－15，∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45， ∴sin α＝－45，cos α＝35， ∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. (2)∵P (4,3m )，∴r ＝16＋9m 2，∴sin α＝y r ＝3m 16＋9m 2＝22m ， 两边平方，得9m 216＋9m 2＝12m 2. ∴m 2(9m 2－2)＝0，∴m ＝0或m ＝±23. 题型二 三角函数值的符号例2 (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①tan120°·sin269°；②cos4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. [解析] (1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角． 综上可知，α为第三象限角．(2)①∵120°是第二象限角，∴tan120°<0.∵269°是第三象限角，∴sin269°<0，∴tan120°·sin269°>0.②∵π<4<3π2，∴4弧度是第三象限角，∴cos4<0. ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0，∴cos4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0. [答案] (1)C (2)见解析金版点睛判断给定角的三角函数值正负的步骤(1)确定α的终边所在的象限；(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断．[跟踪训练2] (1)若三角形的两内角A ，B 满足sin A ·cos B <0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都有可能(2)点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．答案 (1)B (2)二解析 (1)三角形内角的取值范围是(0，π)，故sin A >0.因为sin A cos B <0，所以cos B <0，所以B 是钝角，故三角形是钝角三角形．(2)因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以tan α<0，cos α<0，则角α的终边在第二象限. 题型三 与三角函数有关的定义域问题例3 求下列函数的定义域：(1)y ＝sin x ＋cos x tan x； (2)y ＝－cos x ＋sin x .[解] (1)要使函数有意义，需tan x ≠0，∴x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z ，∴x ≠k π2，k ∈Z . 于是函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ，x ≠k π2，k ∈Z . (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ≥0，sin x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，解得2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z . 金版点睛求解函数定义域的解题策略(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于与三角函数有关的函数定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．[跟踪训练3] 求下列函数的定义域：(1)y ＝sin x ＋tan x ；(2)y ＝sin x ＋tan x .解 (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ∈R ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)当sin x ≥0且tan x 有意义时，函数才有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤(2k ＋1)π，x ≠k π＋π2(k ∈Z )． ∴函数的定义域为{ x | 2k π≤x <2k π＋π2或2k π＋π2<x ≤2k π＋π，k ∈Z }. 题型四 诱导公式(一)的应用例4 计算：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5tan4π； (2)sin1140°cos(－690°)＋tan1845°.[解] (1)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos 12π5tan0＝sin π6＋0＝12. (2)原式＝sin(3×360°＋60°)cos(－2×360°＋30°)＋tan(5×360°＋45°)＝sin60°cos30°＋tan45°＝32×32＋1＝74. 金版点睛利用诱导公式化简的步骤(1)将已知角化为k ·360°＋α(k 为整数，0°≤α<360°)或2k π＋β(k 为整数，0≤β<2π)的形式．(2)将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．(3)借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的．[跟踪训练4] 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan(－15π4))； (2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52. 【随堂达标】1．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A.12B ．－12C ．－32D ．－33 答案 C解析 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32. 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( ) A ．1B ．0C ．2D ．－2 答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C．钝角三角形D．锐角或钝角三角形答案C解析因为sin A>0，所以cos B，tan C中一定有一个小于0，即B，C中有一个钝角．4．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a＝________.答案43 3解析tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝33＝a4，解得a＝433.5．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°＝1＋1＋1＋1＝4.。
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《5.2.1 三角函数的概念（第二课时）》
教学设计
1．掌握三角函数值的符号；
2．掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性．
教学重点：函数值的符号、诱导公式一．
教学难点：对诱导公式的发现与认识．
PPT课件．
资源引用：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号、【知识点解析】对三角函数值符号的理解
（一）创设情境
引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？
预设的师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性：
预设答案：因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导．
（二）新知探究
1．三角函数值的符号
问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正
弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？
预设的师生活动：由学生独立完成．
★资源名称：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号
★使用说明：本资源展现“三角函数值在各象限的符号”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合于教师课堂进行展示．
注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
预设答案：用集合语言表示的结果是：
当α∈{β|2k π＜β＜2k π+π，k ∈Z }时，sin α＞0；当α∈{β|2k π+π＜β＜2k π+2π，k ∈Z }时，sin α＜0；当α∈{β|β=k π，k ∈Z }时，sin α=0．其他两个函数也有类似结果．
设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等．
例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是
⎩
⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，①tan θ＞0．② 预设的师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明． 预设答案：先证充分性．
因为①式sin θ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为②式tan θ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．
因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角． 再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立．
设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力．
★资源名称：【知识点解析】对三角函数值符号的理解
★使用说明：本资源展现“对三角函数值符号的理解”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂展示．
注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
2．诱导公式一
问题2：联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你有发现什么？ 师生活动：学生在问题引导下自主探究，发现诱导公式一．
追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？
（2）你认为诱导公式一有什么作用？
预设答案：（1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．
设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式一及其体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．在此过程中，可以培养学生用联系的观点看待问题，发展直观想象等素养．
例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：
（1）cos 250°；
（2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π； （3）tan (－672°)； （4）tan 3π．
解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos 250°＜0；
（2）因为4π-是第四象限角，所以sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-4π＜0； （3）因为tan (－672°)＝tan (48°－2×360°)＝tan 48°，而48°是第一象限角， 所以tan (－672°)＞0；
（4）因为tan 3π＝tan (π+2π)=tan π，而π的终边在x 轴上，所以tan π=0．
例3 求下列三角函数值：
（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）；（2）cos
4
π9； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π11． 解：（1）sin 1480°10′=sin (40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645；
（2）9πππcos cos(2π)cos 4442
=+==；
（3）11πππtan()tan(2π)tan 6663-
=-==． 师生活动：以上都是教科书中的例题，难度不大，可以由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．在用计算器验证时，提醒学生注意角度制的设置．
（三）课堂练习
教科书练习第1，2，3，4，5题．
（四）布置作业
教科书习题5.2第1，3，4，5，7，8，9，10题．
（五）目标检测设计
1．求下列三角函数的值：
（1）cos （－23π6）； （2）tan 25π6
． 设计意图：考查诱导公式一，特殊角的三角函数值．
2．角α的终边与单位圆的交点是Q ，点Q 的纵坐标是12
，说出几个满足条件的角α． 设计意图：考查正弦函数的定义，诱导公式一．
3．对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：
（1）角θ为第二象限角的充要条件是________；（2）角θ为第三象限角的充要条件是________．设计意图：考查三角函数值的符号规律．。