2020年高中数学(人教版必修5)配套练习：2.4 等比数列 第2课时

第二章 2.4 第2课时

一、选择题

1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，那么a 4＋a 5＝( ) A ．27 B ．27或－27 C ．81 D ．81或－81

[答案] B

[解析] ∵q 2＝a 3＋a 4

a 2＋a 1

＝9，∴q ＝±3，

因此a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27或－27.故选B ． 2．如果数列{a n }是等比数列，那么( )

A ．数列{a 2n

}是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列 C ．数列{lg a n }是等比数列 D ．数列{na n }是等比数列 [答案] A [解析] 设

b n ＝a 2

n ，则b n ＋1b n ＝a 2n ＋1a 2n ＝(a n ＋1a n

)2＝q 2，

∴{b n }成等比数列；2a n ＋1

2a n ＝2a n ＋1－a n ≠常数；

当a n <0时lg a n 无意义；设c n ＝na n ， 则

c n ＋1c n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＝(n ＋1)q

n

≠常数． 3．在等比数列{a n }中，a 5a 7＝6，a 2＋a 10＝5.则a 18

a 10等于( )

A ．－23或－32

B ．2

3

C ．32

D ．23或32

[答案] D

[解析] a 2a 10＝a 5a 7＝6.

由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 10＝6a 2＋a 10＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2a 10＝3或⎩

⎪⎨⎪⎧

a 2＝3a 10＝2. ∴

a 18a 10＝a 10a 2＝32或2

3

.故选D ． 4．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则

a ＝( )

A ．4

B ．2

C ．－2

D ．－4

[答案] D

[解析] ⎩

⎪⎨⎪⎧

2b ＝a ＋c

a 2＝bc 消去a 得：4

b 2－5b

c ＋c 2＝0，

∵b ≠c ，∴c ＝4b ，∴a ＝－2b ，代入a ＋3b ＋c ＝10中得b ＝2，∴a ＝－4.

5．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30

等于( )

A ．210

B ．220

C ．216

D ．215

[答案] B

[解析] 设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29， C ＝a 3a 6a 9…a 30，则A 、B 、C 成等比数列， 公比为q 10＝210，由条件得A ·B ·C ＝230，∴B ＝210， ∴C ＝B ·210＝220.

6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )

A ．13项

B ．12项

C ．11项

D ．10项

[答案] B

[解析] 设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －

3，a 1q n －

2，a 1q n －

1.

所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －

6＝4. 两式相乘得，a 61q

3(n

－1)

＝8，即a 21q

n －

1

＝2. 又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －

1＝a n 1q

n (n －1)

2

＝64， 即(a 21

q n －

1)n ＝642，即2n ＝642.所以n ＝12. 二、填空题

7．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________．

[答案] 5

2

[解析] 解法一：∵a 1＋a 2＝1＋4＝5， b 22＝1×4＝4，且b 2与1,4同号， ∴b 2＝2.

∴

a 1＋

a 2

b 2＝5

2

. 解法二：设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， ∵1＋3d ＝4，∴d ＝1，∴a 1＝2，a 2＝3. ∵q 4＝4.∴q 2＝2.∴b 2＝q 2＝2. ∴

a 1＋a 2

b 2＝2＋32＝5

2

. 8．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.

[答案] 16

[解析] ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27 ＝4a 7－a 27

＝0， ∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 三、解答题

9．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．

[解析] 由题意设此四个数为b

q ，b ，bq ，a ，

则有⎩⎪⎨⎪

⎧

b 3＝－82bq ＝a ＋b

ab 2q ＝－80

，解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝10

b ＝－2

q ＝－2

或⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝－8

b ＝－2q ＝52

.

所以这四个数为1，－2,4,10或－4

5，－2，－5，－8.

10．已知数列{a n }为等比数列， (1)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q ；

(2)若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求项数n .

[解析] (1)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，故q ＝±2. (2)由a 3＋a 6＝(a 2＋a 5)·q ，得9＝18q ，故q ＝12

.

又∵a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，解得a 1＝32.再由a n ＝a 1q n －

1，得1＝32×(12

)n －1，解得n ＝6.

一、选择题

1．设等比数列的前三项依次为3，33，6

3，则它的第四项是( )