对数与对数函数知识点及题型归纳总结

对数与对数函数知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、对数概念

(0)log (01)x a a N N n N a a =>⇔=>≠且，叫做以a 为底N 的对数.

注：①0N >，负数和零没有对数；

②log 10,log 1a a a ==； ③10lg log ,ln log e N N N N ==. 二、对数的运算性质

(1)log ()log log (,);(2)log log log (,);

(3)log log ();log (4)log (01,0,01)log a a a a a a n a a c a c MN M N M N R M M N M N R N M n M M R b

b a a b

c c a

+++=+∈⎛⎫

=-∈ ⎪⎝⎭

=∈=

>≠>>≠且且（换底公式）

特殊地1

log (,01,1)log a b b a b a b a

=

>≠≠且； log (5)log log (,0,0,1,)(6)(0,01)(6)log (,01).

m a n a a N

N a n

b b a b m a n R m

a N N a a a N N R a a =>≠≠∈=>>≠=∈>≠；且；且

化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.

三、对数函数

（1）一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数. （2）对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质，如表2-7所示.

log a y x =

1a > 1a <

图像

题型归纳及思路提示

题型1 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示

对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 一、对数运算

例2.56552log 10log 0.25+=（ ）

.0A

.1B

.2C

.4D

分析log log log log log ().n m n m

a a a a a n x m y x y x y +=+=

解析22

5555552log 10log 0.25log 10log 0.25log (1000.25)log 52+=+=⨯==

故选C .

评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提. 变式1 已知,x y 为正实数，则（ ）

lg lg lg lg .222x y x y A +=+lg()lg lg .222x y x y B +=⋅ lg lg lg lg .222x y x y C ⋅=+lg()lg lg .222xy x y D =⋅

变式2 2

2

(lg 2)lg 4lg5(lg5)+⋅+= ________.. 变式3 222

lg5lg8lg5lg 20(lg 2)3

+

+⋅+= ________.. 例2.5727

4log 81log 8+=________. .

解析32432734

2324433log 81log 3log 3,log 8log 2log 2.3322

====== 所以原式4317

.326

=

+= 变式1 = ________.. 例2.58 lg30lg0.515()3

⨯= ________.. 分析(,0)log log .c c a b a b a b =>⇒= 解析lg30lg0.515(),3

x ⨯=

则()lg0.5

lg30lg0.5lg30111

lg lg 5()lg 5lg lg30lg5lg 0.5lg 333

x ⎡⎤⎛⎫

=⨯=+=⋅+⋅ ⎪

⎢⎥⎣⎦⎝⎭

(lg30lg3)lg5(lg5lg10)(lg1lg3)lg5lg3lg5lg 3lg5lg3=+⋅+--=+⋅-⋅+

lg15=

所以15x = 二、对数方程

例2.59解下列方程：

22111

(1)(lg lg3)lg5lg(10);22(2)log (231) 1.

x x x x x --=---+= 分析利用对数的运算性质化简后求解. 解析（1）

11

(lg lg3)lg5lg(10)22

x x -=--，首先方程中的x 应满足10x >，原方程可变形为lg lg32lg5lg(10)x x -=--，即25lg lg

310x x =-，得25

310

x x =-，从而15x =或5x =-（舍），经检验，15x =是原方程的解.

（2）22

1log (231)1x x x --+=，

222

2

1011

2311

x x x x x ⎧->-≠⎪⇔⎨-+=-⎪⎩且，解得2x =. 经检验2x =是方程的解.

评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据.

变式1 函数2()log (41).x

f x ax =+-

（1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值； （2）若4a =，求函数()f x 的零点.

三、对数不等式

例2.60设01a <<，函数()

2()log 22x x a f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是（）

.(,0)A -∞.(0,)B +∞

.(,log 3)a C -∞.(log 3,)a D +∞

分析先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解.

解析()

2()log 220log 1x x a a f x a a =--<=，又01a <<，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，得