广义逆矩阵

第六章 广义逆

广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵{}1-逆及矩阵Moore-Penrose 逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin 逆的基本性质。

§ 广义逆矩阵的概述

广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设n C 为复n 维向量空间，

m n C ⨯为复m n ⨯矩阵全体。设矩阵m n A C ⨯∈，考虑线性方程组

Ax b = （6-1） 其中，m b C ∈为给定的m 维向量，n x C ∈为待定的n 维向量。

定义1 若存在向量n x C ∈满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。

众所周知，当A 为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解1x A b -=，其中

1A -是A 的逆矩阵。当A 为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求n x C ∈，使得

()

min y R A Ax b y b ∈-=- （6-2）

成立，其中

代表任意一种向量范数，{}

(),m n R A y C y Ax x C =∈=∀∈。上述两

种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式x Gb =，其中，G 是某个n m ⨯矩阵？ 这个矩阵G 是通常逆矩阵的推广。

1920年，. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore 的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。

定义2 设矩阵m n A C ⨯∈，若存在矩阵n m X C ⨯∈满足下列Penrose 方程

（1）AXA A =； （2）XAX X =； （3）()H AX AX =； （4）()H XA XA =

则称X 为A 的Moore-Penrose 逆，记为A +。

例1 由Moore-Penrose 逆的定义不难验证

（1） 若1100A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则102102A +

⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦； （2） 若n

a C ∈，则2

H a a a

+

=

，其中2

H a a a =；

（3） 若n

m C O O O B A ⨯∈⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡=，其中r r C B ⨯∈是可逆矩阵，则 1B O A O O -+

⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

m

n C ⨯∈；

（4） 若A 是可逆矩阵，则1A A +-=。

定理1 对于任意矩阵m n A C ⨯∈，其Moore-Penrose 逆存在并且唯一。 证明 存在性。设矩阵m n A C ⨯∈有奇异值分解

H

O A P Q O O ∑⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

， 其中m m P C ⨯∈，

n n Q C ⨯∈为酉矩阵，1diag(,,)r σσ∑=L ，A 的正奇异值为1,,r σσL ，rank()A r =。容易验证

1H O X Q P O O -⎡⎤∑=⎢⎥⎣⎦

满足定义2中的四个Penrose 方程，所以，A +总是存在的。

唯一性。设,X Y 均满足定义2中的四个Penrose 方程，则

()()()H H H H H H H H H X X AX XX A XX A Y A X AX AY ====

()()=()H H H H H H H

H

H

XAXAY XAY XAYAY XA YA Y A X A Y Y A Y Y YA Y YAY Y

========

所以A +是唯一的。

更一般的，为了不同的目的，人们定义了满足Penrose 方程中任意若干个方 程的广义逆。

定义3 设矩阵m n A C ⨯∈，若矩阵n m X C ⨯∈满足Penrose 方程中的（i ），（j ）， L ，

（l ）等方程，则称X 为A 的{},,,i j l L -逆，记为(,,,)i j l A L 。 由定义3与定义1可知，(1,2,3,4)A A +=。因为对于任意{}{},,,1,2,3,4i j l ⊂L 都 有A +为A 的{},,,i j l L -逆，所以利用定理1可知(,,,)i j l A L 总是存在的。但是除了A +是唯一确定的之外，其余各种{},,,i j l L -逆矩阵都不是唯一确定的，因此将A 的

{},,,i j l L -逆全体记为{},,,A i j l L 。如果按照满足Penrose 方程个数进行分类，

{},,,i j l L -逆矩阵共有1234444415C C C C +++=种。但应用较多的是以下5种：

{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3,4}A A A A A ，

其中，(1){1}A A A -=∈最为基本，{1,2,3,4}A A +=最为重要。(1,2){1,2}r A A A -=∈称

为自反广义逆，(1,3){1,3}l A A A -=∈称为最小二乘广义逆，(1,4){1,4}m

A A A -

=∈为极小范数广义逆。

例 2 设矩阵11

1221

22A

A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

，其中11A 为可逆矩阵，且1

22211112A A A A -=，则容易验证{}1111A O A O O -⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

。

例3 设矩阵m n A C ⨯∈。

（1）若rank()A m =，此时H m m AA C ⨯∈为可逆矩阵，容易验证

1(){1,2,3}H H X A AA A -=∈;

（2）若rank()A n =，此时H n n A A C ⨯∈为可逆矩阵，容易验证

1(){1,2,4}H H X A A A A -=∈。