!!!经典数学-递推数列经典题型全面解析

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析

类型1

)(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列

{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++

=+2

11

，求n a 。 解：由条件知：1

1

1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n

分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n

n --+??????+-+-+-=

所以n

a a n 1

11-

=- 211=

a ，n

n a n 1231121-=-+=∴ 类型2

n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为

)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列

{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 1

1+=

+，求n a 。 解：由条件知1

1+=

+n n

a a n

n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即

1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1433221-??????????=n

a a n 1

1=?又321=a ，

n

a n 32=

∴ 例:已知31

=a ，n n a n n a 2

31

31+-=

+ )1(≥n ，求n a 。

1

23132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---=3437526331348531n n n n n --=????=--- 。

类型3

q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）

。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=

1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列

{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

解：设递推公式321

+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=?-=+t t a a n n .

故递推公式为

)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且

23

3

11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=?=n n n b ,所以321-=+n n a .

变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．

类型4

n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（1

n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q ，得：

q

q a q p q a n n n n 1

11+?=++引入辅助数列

{}n b （其中n

n

n q

a b =），得：q

b q p b n n 1

1

+=

+再待定系数法解决。 例:已知数列

{}n a 中，6

51=a ,11)2

1(3

1+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3

2

211+?=?++n n n n a a 令

n n n a b ?=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )3

2

(23-=所以

n

n n

n n b a )31(2)21(32-==

类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12

（其中p ，q 均为常数）

。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足

?

?

?-==+q st p t s 解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12

，

βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02

=--q px x

，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当

21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1

2

11--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

2

11--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当

21x x =时，

数列{}n a 的通项为1

1)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程

组）。

解法一（待定系数——迭加法）:数列

{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，

b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。由025312=+-++n n n a a a ，得

)(3

2

112n n n n a a a a -=

-+++，且a b a a -=-12。 则数列

{}n n a a -+1是以

a b -为首项，

3

2

为公比的等比数列，于是11)3

2

)((-+-=-n n n a b a a 。

把n n ,,3,2,1???=代入，得

a b a a -=-12，)3

2

()(23?-=-a b a a ，

234)3

2

()(?-=-a b a a ，???

21)3

2

)((---=-n n n a b a a 。把以上各式相加，得

])3

2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3

21)32(11

a b n ---=-。

a b b a a a b a n n n 23)3

2

)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二（特征根法）：数列

{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b

a a a ==21,的

特

征

方

程

是

：

2532=+-x x 。

32,121=

=x x ,∴1

211--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=???

?

??+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1)32)((323--+-=n n

b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

1

3212+=++，求n a 。

解：由n n n a a a 3

1

3212+=++可转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++

即n n n sta a t s a -+=++12

)(???

????

-==+?313

2st t s ?????-==?311t s 或????

?=-=131t s 这里不妨选用?????-==311t s （当然也可选用????

?

=-

=131t s ，大家可以试一试），则)(3

1112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -?+1是以首项为112=-a a ，公比为31

-的等

比数列,所以1

1)3

1(-+-=-n n n a a ,应用类型1的方法，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，

代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

2

101)3

1

()31()31(--+??????+-+-=-n n a a 3

11)31

(11

+--=

-n 又11=a ，所以1

)3

1(4347---=

n n a 。 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利

用

??

?≥???????-=????????????????=-)

2()1(11n S S n S a n n n 与

)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去

n a 进行求解。

例：已知数列{}n a 前n 项和2

2

14--

-=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公

式n a .

解：（1）由

2

2

14---=n n n a S 得：

1

112

14-++-

-=n n n a S 于是

)2

12

1(

)(1

2

11--++-

+-=-n n n n n n a a S S

所以11121-+++

-=n n n n a a a n

n n a a 2

1

211+=?+. （2）应用类型4（n n n q pa a +=+1

（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）

）的方法，上式两边同乘以

12+n 得：22211+=++n n n n a a 由

12

1412

1111=?-

-==-a a S a .于是数列{}

n n

a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n

2)1(222=-+=1

2

-=

?n n n a

类型7

b an pa a n n ++=+1)001

(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为

{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

解：设B An b a B ，An a b n n n n

--=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得

[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n

??????+-=-=∴1

3323A B B A A ?

??==11

B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故

n n n b 32361?=?=-代入（１）得132--?=n a n n

说明：（1）若

)(n f 为n 的二次式，则可设

C

Bn An a b n n +++=2;(2)

本

题

也

可

由

1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式

相

减

得

2

)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为

n n n qb pb b +=++12求之.

【知识点】： 1.等差数列前N 项和

公式S=(A1+An)N/2 即： [(首项+末项)*项数] / 2

等差数列公式求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或Sn=na1+n(n-1)d/2 即： 项数*首项+项数*（项数-1）*公差/2 2.等比数列前n 项和

设 a1,a2,a3...an 构成等比数列 前n 项和Sn=a1+a2+a3...an

Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n 项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); q:公比

【例】、已知数列}{n a 满足11=a ，)2(3

11

≥+=--n a a n n n ，则通项公式=

n a 31

2

n - an=3^(n-1)+a(n-1) --->an-a(n-1)=3^(n-1) 同样a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2) ……a(n-2(-a(n-3)=3^(n-3) …………………… ……a3-a2=3^2 ……a2-a1=3^1

以上的n 个等式的两边相加得到

An-a1=3+3^2+……+3^(n -1)=3(1-3^n-1)/(1-3)=(3^n-1)/2