高中高考理科数学导数题型归纳.doc
(完整版)高中数学导数题型总结,推荐文档
2
令 f 'x 0 ，即 3x 4x 1 0 ，解得 x 1或 x 4 ， 则 f x和 f 'x在区间
3
2,2上随 x 的变化情况如下表：
x
2 2,1 1
f 'x
＋
0
A． f (x) (x 1)2 3(x 1)
B． f (x) 2(x 1)
C． f (x) 2(x 1)2 D． f (x) x 1
5. 函数 f (x) x3 ax 2 3x 9 ，已知 f (x) 在 x 3 时取得极值，则 a =（ D ）
（A）2
（B）3
（C）4
（D）5
例 6. 设函数 f (x) 2x3 3ax2 3bx 8c 在 x 1 及 x 2 时取得极值。 1 求 a、b 的值； 2 若对于任意的 x [0，3]，都有 f (x) c2 成立，求 c 的取值范围。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数 f x的极值步骤：①求导数 f 'x；
解析：
（1）∵ f (x) 为奇函数，∴ f (x) f (x) ，即
ax3 bx c ax3 bx c
∴ c 0 ，∵ f '(x) 3ax2 b 的最小值为12 ，∴ b 12 ，又直线 x 6 y 7 0 的斜率为1 ，因此， f '(1) 3a b 6 ，∴ a 2 ， b 12 ， c 0 ．
6. 函数 f (x) x3 3x2 1是减函数的区间为( D )
（Ａ） (2, ) （Ｂ） (, 2) （Ｃ） (, 0) （Ｄ） (0, 2)
7. 若函数 f x x2 bx c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f 'x的图象是（ A
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第三讲导数的应用研热点（聚焦突破）类型一利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x)就是曲线y＝f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率,即k＝f′(x)；(2)曲线y＝f(x)在点(x0,f(x))处的切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)．[例1] (2012年高考安徽卷改编)设函数f(x)＝a e x＋1aex＋b(a>0)．在点(2,f(2))处的切线方程为y＝32x,求a,b的值．[解析]∵f′(x)＝a e x－1 aex,∴f′(2)＝a e2－1ae2＝32, 解得a e2＝2或a e2＝－12(舍去),所以a＝2e2,代入原函数可得2＋12＋b＝3, 即b＝12, 故a＝2e2,b＝12.跟踪训练已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程；(2)若过x轴上的点(a,0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线,求a的取值范围．解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1.曲线y＝f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t),即y＝(3t2－1)·x－2t3,将点(1,0)代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0,解得t＝1或－,代入y＝(3t2－1)x－2t3得曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋.(2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线y＝f(x)的三条切线,则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实根,记g(t)＝2t3－3at2＋a.则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．当a>0时,函数g(t)的极大值是g(0)＝a,极小值是g(a)＝－a3＋a,要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根,需使a>0且－a3＋a<0,即a>0且a2－1>0,即a>1；当a＝0时,函数g(t)单调递增,方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；当a<0时,函数g(t)的极大值是g(a)＝－a3＋a,极小值是g(0)＝a,要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根,需使a<0且－a3＋a>0,即a<0且a2－1>0,即a<－1.综上所述,a的取值范围是(－∞,－1)∪(1,＋∞)．类型二利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递增；如果f′(x)<0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递减．[例2] (2012年高考山东卷改编)已知函数f(x)＝(k为常数,e＝2.718 28…是自然对数的底数),曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间． [解析] (1)由f (x )＝ln x ＋kex, 得f ′(x )＝1－kx －xln xxex ,x ∈(0,＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f ′(1)＝0,因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝(1－x －x ln x ),x ∈(0,＋∞)． 令h (x )＝1－x －x ln x ,x ∈(0,＋∞), 当x ∈(0,1)时,h (x )>0； 当x ∈(1,＋∞)时,h (x )<0.又e x >0,所以当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0； 当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,＋∞)．跟踪训练若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间,求实数a 的取值范围． 解析：由题知f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax2＋2x －1x ,因为函数f (x )存在单调递减区间,所以f ′(x )＝－ax2＋2x －1x≤0有解．又因为函数的定义域为(0,＋∞),则应有ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上有实数解．(1)当a >0时,y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线,所以ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上恒有解； (2)当a <0时,y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线,要使ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上有实数解,则Δ＝>0,此时－1<a <0；(3)当a ＝0时,显然符合题意．综上所述,实数a 的取值范围是(－1,＋∞)． 类型三 利用导数研究函数的极值与最值 1．求函数y ＝f (x )在某个区间上的极值的步骤 (1)求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根x 0； (3)检查f ′(x )在x ＝x 0左右的符号； ①左正右负⇔f (x )在x ＝x 0处取极大值； ②左负右正⇔f (x )在x ＝x 0处取极小值．2．求函数y ＝f (x )在区间[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值)；(2)将y＝f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．[例3] (2012年高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0),g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1,c)处具有大众切线,求a,b的值；(2)当a2＝4b时,求函数f(x)＋g(x)的单调区间,并求其在区间(－∞,－1]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝2ax,g′(x)＝3x2＋b,因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1,c)处具有大众切线,所以f(1)＝g(1),且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b,且2a＝3＋b.解得a＝3,b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝14a2时,h(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1,h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2.令h′(x)＝0,得x1＝－a2,x2＝－a6.a>0时,h(x)与h′(x)的变化情况如下：0 0所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞,－2)和(－6,＋∞)；单调递减区间为(－2,－6)．当－a2≥－1,即0<a≤2时,函数h(x)在区间(－∞,－1]上单调递增,h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－1)＝a－14a2.当－a2<－1,且－a6≥－1,即2<a≤6时,函数h(x)在区间(－∞,－a2)上单调递增,在区间(－a2,－1]上单调递减,h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－a2)＝1.当－a6<－1,即a>6时,函数h(x)在区间(－∞,－a2)上单调递增,在区间(－a2,－a6)上单调递减,在区间(－a6,－1]上单调递增,又因为h(－a2)－h(－1)＝1－a＋14a2＝14 (a－2)2>0,所以h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－a2)＝1.跟踪训练(2012年珠海摸底)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x3＋3x2＋1（x ≤0）eax （x>0）,在[－2,2]上的最大值为2,则a 的取值范围是( )A ．[12ln 2,＋∞)B ．[0,12ln 2]C ．(－∞,0]D ．(－∞,12ln 2]解析：当x ≤0时,f ′(x )＝6x 2＋6x ,易知函数f (x )在(－∞,0]上的极大值点是x ＝－1,且f (－1)＝2,故只要在(0,2]上,e ax ≤2即可,即ax ≤ln 2在(0,2]上恒成立,即a ≤ln 2x 在(0,2]上恒成立,故a ≤12ln 2. 答案：D析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考辽宁卷)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ,b ∈R,a ,b 为常数),曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ,b 的值；(2)证明：当0<x <2时,f (x )<9x x ＋6. 【解析】 (1)由y ＝f (x )过(0,0)点,得b ＝－1.由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32,又y ′⎪⎪x ＝0＝(1x ＋1＋12x ＋1＋a )⎪⎪x ＝0＝32＋a ,得a ＝0.(2)证明：证法一 由均值不等式,当x >0时, 2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2,故x ＋1<x2＋1. 记h (x )＝f (x )－9x x ＋6, 则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54（x ＋6）2＝2＋x ＋12（x ＋1）－54（x ＋6）2<x ＋64（x ＋1）－54（x ＋6）2 ＝（x ＋6）3－216（x ＋1）4（x ＋1）（x ＋6）2.令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1), 则当0<x <2时,g ′(x )＝3(x ＋6)2－216<0. 因此g (x )在(0,2)内是递减函数． 又由g (0)＝0,得g (x )<0,所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(0,2)内是递减函数． 又h (0)＝0,得h (x )<0.于是当0<x <2时,f (x )<9x x ＋6. 证法二 由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1－1.由均值不等式,当x >0时,2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2,故x ＋1<x 2＋1.① 令k (x )＝ln(x ＋1)－x ,则k(0)＝0,k′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1<0,故k(x)<0,即ln(x＋1)<x.②由①②得,当x>0时,f(x)<32 x.记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x,则当0<x<2时,h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9<32x＋(x＋6)·(1x＋1＋12x＋1)－9＝12（x＋1）[3x(x＋1)＋(x＋6)·(2＋x＋1)－18(x＋1)]<12（x＋1）[3x(x＋1)＋(x＋6)·(3＋x2)－18(x＋1)]＝x4（x＋1）(7x－18)<0.因此h(x)在(0,2)内单调递减．又h(0)＝0,所以h(x)<0,即f(x)<9xx＋6.【名师点睛】本题主要考查导数的应用和不等式的证明以及转化与化归能力,难度较大．本题不等式的证明关键在于构造函数利用最值来解决．考情展望高考对导数的应用的考查综合性较强,一般为解答题,着重考查以下几个方面：一是利用导数的几何意义来解题；二是讨论函数的单调性；三是利用导数研究函数的极值与最值．常涉及不等式的证明、方程根的讨论等问题名师押题【押题】已知f(x)＝ax－ln x,x∈(0,e],g(x)＝ln xx,其中e是自然常数,a∈R.(1)讨论a＝1时,f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下,f(x)>g(x)＋1 2；(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由题知当a＝1时,f′(x)＝1－1x＝x－1x,因为当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减,当1<x<e时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增,所以f(x)的极小值为f(1)＝1.(2)证明因为f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1.令h(x)＝g(x)＋12＝ln xx＋12,h′(x)＝1－ln xx2,当0<x<e时,h′(x)>0,h(x)在(0,e]上单调递增,所以h(x)max＝h(e)＝1e＋12<12＋12＝1＝f(x)min,所以在(1)的条件下,f(x)>g(x)＋1 2.(3)假设存在实数a,使f(x)＝ax－ln x(x∈(0,e])有最小值3,f′(x)＝a－1x＝ax－1x.①当a≤0时,因为x∈(0,e],所以f′(x)<0,而f(x)在(0,e]上单调递减,所以f(x)min＝f(e)＝a e－1＝3,a＝4e(舍去),此时f(x)无最小值；②当0<1a <e 时,f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,e]上单调递增,所以f (x )min ＝f (1a )＝1＋ln a ＝3,a ＝e 2,满足条件；③当1a≥e 时,因为x ∈(0,e],所以f ′(x )<0,所以f (x )在(0,e]上单调递减,f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3,a ＝4e (舍去)此时f (x )无最小值．综上,存在实数a ＝e 2,使得当x ∈(0,e]时,f (x )有最小值3.知识改变命运。
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
高中导数题型总结
高中导数题型总结高中导数题型总结题型一：求函数的导数(1)y5x4(2)y(5)y2x33x5(6)yexcosx(7)y2x3lnx4(8)yxexx23xlnxx2(9)yxlnx(10)y(11)ye(x1)(12)yx1x1(3)yxx(4)y2sinx题型二：求函数在某点处的导数(1)求f(x)exx2在x0处的导数；(2)求y2lnx(3)已知f(x)f(1)x2x3，则f(1)_________；(4)已知f(x)2f(3)lnxx，则f(3)_________.题型三：导数的物理意义的应用2已知物体的运动方程为s3t2（t是时间，s是位移），则物体在时刻t2时的速度为．t题型四：导数与切线方程（导数的几何意义的应用）1.曲线yx3x2在点A(2,8)处的切线的斜率为______,切线方程是．2.若B(1,m)是yx3x2上的点，则曲线在点B处的切线方程是_________．3.若yx3x2在P处的切线平行于直线y7x1，则点P的坐标是_____．x24.若y3lnx的一条切线垂直于直线2xym0，则切点坐标为______．41在x1处的导数；x5.已知曲线yx1在(3,2)处的切线与axym0垂直，则a．x16.已知直线yxm与曲线yx3x21相切，则切点P的坐标为___________,m的值为_________．7.若曲线yh(x)在点（a,h(a)）处切线方程为2xy10，那么（）A．h(a)0B.h(a)0C.h(a)0D.h(a)的符号不定8.曲线yx33x26x4的全部切线中,斜率最小的切线的方程是_____________．9.求曲线ylnx过点(0,1)的切线方程．10.求曲线yx2满意下列条件的切线方程.(1)在点(1,1)处；(2)过点(1,0)处题型四：导数与单调区间1.函数f(x)x33x21的减区间为．2.函数yxex(x0)的单调递增区间为．3.推断函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（）3A.(,)B.(,)C.(,2)D.(0,)22224.已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()题型五：导数与极值、最值1.函数yx312x5在x时取得极大值；在x时取得微小值．2.函数f(x)x32x23在[1,1]上的最大值是，最小值是．3.函数yxx(x0)的最大值为．4.函数yxex的最小值为．5.函数f(x)x3ax24xb在x2时取得极值1,则a，b6.已知f(x)2x36x2a(a为常数)在[2,2]上有最大值是3,那么[2,2]在上的最小值是．7.若f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有微小值，求a的取值范围为______________．题型六:导数与零点，恒成立问题1.推断函数f(x)log2(x2)x在[1,3]上是否存在零点？42.已知x[1,3]，且ax34x21恒成立，则a的最大值为．36.已知函数yx32x2mx在区间(0,1)上为减函数,则m的取值范围是___________．7.已知函数ylnx2ax2在区间[1,2]上为增函数,则a的取值范围是___________8.已知函数yx3ax2在区间[1,2]上为减函数,则a的取值范围是___________9.已知函数yexx2ax在区间[1,2]上为减函数,则a的取值范围是___________10.已知函数yax2lnx在区间[1,2]上为增函数,则a的取值范围是___________111.已知函数f(x)x3x22xc，若对于x[1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围．212.若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，求实数a的取值范围．5.是否存在实数m，使得函数f(x)x28x与g(x)6lnxm的图像有且只有三个不同的交点？若存在求出m的范围，若不存在说明理由．（备用）已知函数y3x32x21在区间(m,0)上为减函数,则m的取值范围是__________．题型七：综合应用题1.已知x1是函数f(x)mx33(m1)x2nx1(m0)的一个极值点,(1)求m与n 的关系式；(2)求f(x)的单调区间；(3)当x[1,1]时,函数yf(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围．扩展阅读：高中数学导数学问点归纳总结及例题导数考试内容：导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数讨论函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）把握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、微小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、微小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简洁实际问题的最大值和最小值．14.导数学问要点导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导数的运算法则函数的单调性函数的极值函数的最值导数导数的运算导数的应用1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，假如自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；假如极限xxf(x0x)f(x0)y存在，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做limx0xx0xlim记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limyf(x)在x0处的导数，f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注：①x是增量，我们也称为“转变量”，由于x可正，可负，但不为零.②以知函数yf(x)定义域为A，yf"(x)的定义域为B，则A与B关系为AB.2.函数yf(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：⑴函数yf(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，假如yf(x)在点x0处可导，那么yf(x)点x0处连续.事实上，令xx0x，则xx0相当于x0.1于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)] xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xxy|x|，当x＞0时，xx⑵假如yf(x)点x0处连续，那么yf(x)在点x0处可导，是不成立的.例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不行导，由于yyy不存在.1；当x＜0时，1，故limx0xxx 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线方程为yy0f"(x)(xx0).4.求导数的四则运算法则：(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c为常数）vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必需是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不行导，则它们的和、差、积、商不肯定不行导.例如：设f(x)2sinx22，g(x)cosx，则f(x),g(x)在x0处均不行导，但它们和xxf(x)g(x)sinxcosx在x0处均可导.5.复合函数的求导法则：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，假如f"(x)＞0，则yf(x)为增函数；假如f"(x)＜0，则yf(x)为减函数.⑵常数的判定方法；假如函数yf(x)在区间I内恒有f"(x)=0，则yf(x)为常数.注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必2要条件.②一般地，假如f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上照旧是单调增加（或单调削减）的.7.极值的判别方法：（极值是在x0四周全部的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，微小值同理）当函数f(x)在点x0处连续时，①假如在x0四周的左侧f"(x)＞0，右侧f"(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②假如在x0四周的左侧f"(x)＜0，右侧f"(x)＞0，那么f(x0)是微小值.也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f"(x)=0.此外，函数不①可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比微小值小（函数在某一点四周的点不同）.②注①：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f"(x)=0.但反过来不肯定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是极值点.②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不行导，但点x0是函数的微小值点.8.极值与最值的区分：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点肯定有意义.9.几种常见的函数导数："I.C"0（C为常数）(sinx)cosx(arcsinx)"11x2(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx(arccosx)"11x21"11"(arctanx)II.(lnx)(logax)logaexxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccotx)"III.求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)"1x21(xa1)(xa2)...(xan)1.②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y两(xb1)(xb2)...(xbn)x边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如yxx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，对两边y"1lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.求导可得yx3导数中的切线问题例题1：已知切点，求曲线的切线方程曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为（）例题2：已知斜率，求曲线的切线方程与直线2xy40的平行的抛物线yx2的切线方程是（）留意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2xb，代入yx2，得x22xb0，又由于0，得b1，故选Ｄ．例题3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程．例题4：已知过曲线外一点，求切线方程1求过点(2，0)且与曲线y相切的直线方程．x4练习题：已知函数yx33x，过点A(016)，作曲线yf(x)的切线，求此切线方程．看看几个高考题1.（201*全国卷Ⅱ）曲线yx在点1,1处的切线方程为2x122.（201*江西卷）设函数f(x)g(x)x，曲线yg(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为3.（201*宁夏海南卷）曲线yxe2x1在点（0,1）处的切线方程为。
高考导数压轴题型归类总结
高考导数压轴题型归类总结一、导数单调性、极值、最值的直接应用 已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈ ⑴当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；⑵当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.1. 已知函数221()2,()3ln .2f x x axg x a x b =+=+⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值； ⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。
2. （最值直接应用）已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.设函数221()(2)ln (0)ax f x a x a x+=-+<． (1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性；(2)当(3,2)a ∈--时，任意12,[1,3]x x ∈，12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．3. （最值应用，转换变量）4. （最值应用）已知二次函数()g x 对x R ∀∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-，设函数19()()ln 28f xg x m x =+++（m R ∈，0x >）．（Ⅰ）求()g x 的表达式；（Ⅱ）若x R +∃∈，使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设1m e <≤，()()(1)H x f x m x =-+，求证：对于12[1,]x x m ∀∈，，恒有12|()()|1H x H x -<．5. 设3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点. （1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（2）设()2250,4xa g x a e ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭，若存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-< 成立，求a 的取值范围.6. 7.8. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． ⑴求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；⑵若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是常数，e ＝2.71828⋅⋅⋅）使不等式2()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围； ⑶证明对一切(0,),x ∈+∞都有12ln xx e ex>-成立．9. （最值应用） 设函数()2ln q f x px x x =--，且()2pf e qe e=--，其中e 是自然对数的底数. ⑴求p 与q 的关系；⑵若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； ⑶设2()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，求实数p 的取值范围.10. （2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题）设函数1()ln ().f x x a x a R x =--∈⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.11. （构造函数，好，较难）已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a R a =-+-∈≠，.⑴求函数()f x 的单调增区间；⑵记函数()F x 的图象为曲线C ，设点1122(,)(,)A x y B x y 、是曲线C 上两个不同点，如果曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问：函数()f x 是否存在中值相依切线，请说明理由.12. (2011天津理19，综合应用)已知0a >，函数()2ln f x x ax =-，0x >．(()f x 的图象连续) ⑴求()f x 的单调区间；⑵若存在属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln 3ln 2ln 253a -≤≤．13. （单调性，用到二阶导数的技巧） 已知函数x x f ln )(= ⑴若)()()(R a xax f x F ∈+=，求)(x F 的极大值；⑵若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.已知函数()ln ,().x f x x g x e == ⑴若函数φ (x ) = f (x )－11x x ，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．二、交点与根的分布14. （2008四川22，交点个数与根的分布）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． ⑴求a ；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围． 15. 已知函数()32f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数()f x 在R 上有三个零点． （1）求b 的值；（2）若1是其中一个零点，求()2f 的取值范围；（3）若()()'213ln a g x f x x x ==++，，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x )相切？请说明理由.16. （交点个数与根的分布）已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ ⑴求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t⑵是否存在实数,m 使得()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
高考理科数学导数题型归纳定稿版
高考理科数学导数题型归纳HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】导数题型归纳请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' x f 得到两个根；’第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =--（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32()332x mx f x x '=-- （1）()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 -解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <解法二：分离变量法：∵ 当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立,当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立等价于233x m x x x->=-的最大值（03x <≤）恒成立，而3()h x x x=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立变更主元法再等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩ 例),10(322R b a b x a ∈<<+-（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.（二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）3aaa3a∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +- 当x=3a 时，)(x f 极大值=b.（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立①则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x ag x a≤⎧⎨≥-⎩ 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =01,a << 12a a a a +>+=（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
(完整版)高考导数专题(含详细解答)
导数及其应用导数的运算1. 几种常有的函数导数：①、 c（ c 为常数）； ②、( x n )（ n R ）； ③、 (sin x) = ；④、 (cos x) =；⑤、( a x )； ⑥、 ( ex)； ⑦、 (log a x ) ； ⑧、 (ln x ).2. 求导数的四则运算法规：(u v)u v ； (uv) u vu'u v ' uv 'u ( v0 ) 注：① u, v 必定是可导函数 .uv ； (u)vuvvvv 223. 复合函数的求导法规：f x ( ( x))f (u) ? ( x) 或 y xy u ? u x一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： f (x 0 ) 表示函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 的斜率；函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 方程为 y f (x 0 )f (x 0 )(x x 0 )1. 曲线在点 处的切线方程为（ ）。
A:B:C:D:答案详解 B 正确率 : 69%, 易错项 : C解析 :本题主要观察导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。
对 求导得，代入 得 即为切线的斜率， 切点为，因此切线方程为即。
故本题正确答案为B 。
2.3. 设函数f ( x) g( x) x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g(1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为( )A ．41C．21B ． D ．4 24. 已知函数 f ( x) 在R上满足 f ( x) 2 f (2 x) x28x 8，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是()A . y2x 1 B. y x C. y3x 2 D. y2x 3变式二：5. 在平面直角坐标系xoy 中，点P在曲线C : y x310 x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.6. 设曲线 yx n 1 (n N * ) 在点（ 1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n lg x n ，则 a 1 a 2 L a 99 的值为.7. 已知点 P 在曲线 y=4 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是e x1, 3]D 、 [ 3,A 、 [0, )B 、 [, ) C 、 ( )44 22 4 4变式三：8. 已知直线y =x＋ 1 与曲线y ln( x a) 相切，则α的值为( )A . 1 B. 2 C. － 1 D. － 29. 若存在过点 (1,0)的直线与曲线 yx 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切，则 a 等于4( )A ． 1或 -25B ． 1或21C ． 7 或 - 25D ．7或 76444 6441 110. 若曲线 yx 2 在点 a, a 2 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 aA 、64B 、 32C 、 16D 、811. （本小题满分 13 分） 设 f ( x)ae x 1b( a 0) . （ I ）求 f ( x) 在 [0, ) 上的最小值；ae x3x ；求 a,b 的值 .（ II ）设曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y212. 若曲线 f x ax2Inx 存在垂直于y轴的切线，则实数 a 的取值范围是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判断函数单调性的方法：设函数y f (x) 在某个区间 D 内可导，若是 f ( x) ＞0，则y f (x) 在区间D上为增函数；若是 f ( x) ＜0，则y f (x) 在区间 D 上为减函数；若是 f ( x) =0恒成立，则y f (x) 在区间 D 上为常数 .2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式 f ( x) ＞0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f ( x) 的增区间；不等式 f ( x) ＜0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f (x) 的减区间 .1、函数f (x) ( x 3)e x的单调递加区间是( )A . ( ,2) B. (0,3) C. (1,4) D . (2, )2. 函数f (x)x315x233x 6 的单调减区间为.3. 已知函数，，谈论的单调性。
高中数学函数与导数常考题型整理归纳
高中数学（一）函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0.因此，实数a 的取值范围是(0，1).【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解.【变式训练】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数).(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求实数a 的取值范围.解(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x <2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立，因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1，1)都成立，即a ≥x2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)都成立.令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1（x ＋1）2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增，所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32.因此实数a 的取值范围为a ≥32.题型二:利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.【例2】设函数f(x)＝ln x ＋m x ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ， 定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝x －e x2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x2－x 3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点.∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.【类题通法】利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.【变式训练】函数f (x )＝(ax 2＋x )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a >0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在t ，t ＋1]上有解.解 (1)因为e x >0，(ax 2＋x )e x ≤0.∴ax 2＋x ≤0.又因为a >0，所以不等式化为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a ≤0. 所以不等式f (x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，0. (2)当a ＝0时，方程即为x e x ＝x ＋2，由于e x >0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x －2x －1＝0.令h (x )＝e x －2x －1，因为h ′(x )＝e x ＋2x2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－2>0，h (－3)＝e －3－13<0，h (－2)＝e －2>0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根且分别在区间1，2]和－3，－2]上，所以整数t 的所有值为{－3，1}.题型三:利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度：(1)证明简单的不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题.【例3】设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－ax(x＞0).当a≤0时，f′(x)＞0，f′(x)没有零点.当a＞0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－a x，因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－ax在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f′(a)＞0，当b满足0＜b＜a4且b＜14时，f′(b)＜0(讨论a≥1或a＜1来检验)，故当a＞0时，f′(x)存在唯一零点.(2)证明由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x0－ax0＝0，所以f(x0)＝a2x0＋2ax0＋a ln2a≥2a＋a ln2a.故当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.【类题通法】1.讨论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2.证明不等式的答题模板第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.【变式训练】已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R).(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈0，1]使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围.解(1)由已知得f ′(x )＝2＋1x (x >0)，所以f ′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k ＝3.又切点为(1，2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)，①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞).②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞. (3)由已知得所求可转化为f (x )max <g (x )max ，g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈0，1]，所以g (x )max ＝2，由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意.当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )， 所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e3.。
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导数题型归纳请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法： 1、分离变量； 2 变更主元； 3 根分布； 4 判别式法5、二次函数区间最值求法： （ 1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：'第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值 ----- 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0 ） 第二种：变更主元 （即关于某字母的一次函数） ----- （已知谁的范围就把谁作为主元）；例 1：设函数 yf ( x) 在区间 D 上的导数为 f ( x) ，f (x) 在区间 D 上的导数为g (x) ，若在区间 D 上，g (x) 0 恒成立，则称函数 yf ( x) 在区间 D 上为“凸函数” ，已知实数x 4 mx 3 3x 2m 是常数， f (x)62（ 1）若 yf ( x) 在区间 0,312上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；（ 2）若对满足 m2 的任何一个实数 m ，函数 f ( x) 在区间 a, b 上都为“凸函数” ，求 b a 的最大值 .x 4mx 3 3x 2 得 f ( x)x 3mx 23x解 : 由函数 f ( x)62 32g( x) x 212mx 3（ 1） Q yf (x) 在区间 0,3 上为“凸函数” ，则g ( x) x 2 mx 3 0在区间 [0,3]上恒成立 -解法一：从 二次函数的区间最值 入手：等价于 g max (x)g(0) 03 0m2g(3)9 3m 3 0解法二： 分离变量法：∵ 当 x 0 时 ,g( x)x 2 mx 3 3 0 恒成立 , 当 0x 3 时, g( x)x 2 mx 3 0恒成立等价于 m x 2 33 的最大值（ 0 x 3 ）恒成立，xxx而 h(x)3 0 x 3 ）是增函数，则 h max ( x) h(3) 2x（ xm 2(2) ∵当m 2 时f ( x) 在区间a, b 上都为“凸函数”则等价于当m 2 时 g( x) x2 mx 3 0 恒成立变更主元法再等价于 F ( m) mx x2 3 0 在m 2恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）F ( 2) 0 2x x2 3 0 F (2) 0 2x x2 3 1 x 1b a 2-2 2例 2：设函数 f (x) 1 x3 2ax2 3a 2 x b(0 a 1,b R)3（Ⅰ）求函数 f （ x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的 x [ a 1, a 2], 不等式 f (x) a恒成立，求 a 的取值范围 .（二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ） f ( x)x24ax 3a2x 3a x aQ 0 a 1f (x)a 3a a 3a令 f ( x) 0,得 f ( x) 的单调递增区间为（a,3 a）令 f ( x) 0,得 f ( x) 的单调递减区间为（－， a）和（3 a，+ ）∴当 x=a 时， f (x)极小值= 3 a3 b; 当 x=3a 时，f (x)极大值=b.4（Ⅱ）由 | f (x) | ≤a，得：对任意的x [ a 1, a 2], a x2 4ax 3a 2 a 恒成立①则等价于 g( x) 这个二次函数g max ( x) ag( x) x2 4ax 3a2 的对称轴 x 2a Q 0 a 1, g min ( x) aa 1 a a 2a （放缩法）即定义域在对称轴的右边，g(x) 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
g(x) x2 4ax 3a2在[ a 1,a 2] 上是增函数. （∴g(x)max g (a 2) 2a 1.g(x)min g( a 1) 4a 4.a 1, a 2 于是，对任意 x [a 1, a 2] ，不等式①恒成立，等价于x 2ag(a 2) 4a 4a,解得 4 a 1.g(a1) 2a 1 a 5又 0 a 1, ∴4a 1.5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征： f ( x) g( x) 恒成立h( x) f ( x) g( x) 0 恒成立；从而转化为第一、二种题型例 3；已知函数 f (x) x 3 ax 2 图象上一点 P(1,b) 处的切线斜率为3 ，g(x) x 3 t 6 x 2 (t 1)x 3 (t 0)2（Ⅰ）求 a, b 的值；（Ⅱ）当 x [ 1,4] 时，求 f ( x) 的值域；（Ⅲ）当 x [1,4] 时，不等式 f (x)g( x) 恒成立，求实数 t 的取值范围。
解：（Ⅰ） f /( x) 3x 2f /(1)3 ， a 32ax ∴解得2b 1 ab（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f ( x) 在 [ 1,0] 上单调递增，在 [0, 2] 上单调递减，在 [2, 4] 上单调递减又 f ( 1) 4, f (0) 0, f (2) 4, f (4) 16∴ f ( x) 的值域是 [ 4,16]（Ⅲ）令 h( x)f ( x) g( x)t x 2 (t 1)x 3 x [1,4]2思路 1：要使 f ( x)g( x) 恒成立，只需 h( x) 0 ，即 t( x 22x) 2x 6 分离变量思路 2：二次函数区间最值二、题型一： 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1：转化为 f ' ( x) 0或 f ' ( x) 0 在给定区间上恒成立， 回归基础题型解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（ m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（ a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例 4：已知 aR ，函数 f ( x)1 x 3 a 1 x2 (4a 1) x ．12 2（Ⅰ）如果函数 g( x) f ( x) 是偶函数，求 f ( x) 的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数 f ( x) 是 (,) 上的单调函数，求 a 的取值范围．解：f ( x)1 x2 (a 1) x (4a 1) .411 x 2（Ⅰ）∵ f (x) 是偶函数，∴a1.此时 f ( x)x 3 3x ， f ( x)3 ，124令 f ( x)0 ，解得： x 2 3 .列表如下：x( －∞, － 23 )－ 23( －23(23 ,+ ∞)f ( x) f (x)23 ,2 3 )+ 0－+递增 极大值 递减 极小值 递增可知： f (x) 的极大值为 f ( 2 3) 4 3 ，f (x) 的极小值为 f (23)4 3 .（Ⅱ）∵ 函数 f ( x) 是 ( ,) 上的单调函数，∴f ( x)1 x2 (a 1)x (4 a 1) 0 ，在给定区间 R 上恒成立 判别式法441则(a1)2(4 a 1) a 22a 0，解得： 0a 2.4综上， a 的取值范围是 { a 0 a 2} .例 5、已知函数 f ( x)1 x 3 1 (2 a)x 2 (1 a) x(a 0).3 2（ I ）求 f ( x) 的单调区间；（ II ）若 f ( x) 在[0 ， 1] 上单调递增， 求 a 的取值范围。
子集思想（ I ） f (x) x 2(2 a) x 1 a(x 1)(x 1 a).1、 当 a 0时, f (x)(x 1)20恒成立 ,当且仅当 x 1 时取“ =”号， f (x)在 (, ) 单调递增。
2 、 当 a 0时,由 f ( x) 0, 得 x 11, x 2 a 1,且 x 1x 2 ,单调增区间： (, 1),(a 1, )f (x)单调增区间： ( 1,a1)-1a-1（ II ）当 Q f ( x)在[0,1] 上单调递增 ,则 0,1 是上述增区间的子集：1、 a 0 时， f ( x)在 ( , ) 单调递增 符合题意2、 0,1a 1,，a 1 0a 1综上， a 的取值范围是 [0 ，1] 。
三、题型二：根的个数问题题 1 函数 f(x) 与 g(x) （或与 x 轴）的交点 ======即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 6、已知函数 f ( x) 1 x 3(k 1) x 2 ， g(x) 1 kx ，且 f ( x) 在区间 ( 2,) 上为增函数．323（ 1） 求实数 k 的取值范围；k 的取值范围．（ 2） 若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点，求实数解：（ 1）由题意 f ( x)x 2 (k 1) x ∵ f ( x) 在区间 ( 2,) 上为增函数，∴ f (x) x 2 (k 1)x0 在区间 (2, ) 上恒成立 （分离变量法）即 k 1x 恒成立，又 x 2 ，∴ k 1 2 ，故 k 1 ∴ k 的取值范围为 k 1（ 2）设 h(x) f (x) g( x) x 3 ( k 1) x 2 kx 1 ，x 2 3 23 h ( x) (k 1)x k ( x k)( x 1) 令 h ( x) 0 得 x k 或 x 1 由（ 1）知 k 1 ，①当 k1 时， h (x) ( x 1)2， h( x) 在 R 上递增，显然不合题意 ②当 k 1 时， h( x) ， h ( x) 随 x 的变化情况如下表：x (, k)k(k,1)1 (1,)h ( x)— 0h( x)↗极大值 ↘极小值↗k 3 k 2 1 k 1 由于k162320 ，欲使 f ( x) 与 g(x) 的图象有三个不同的交点，即方程h(x) 0 有三个不同的实根，故需2 k 132kk1 0，即 (k 1)(k 22k2) 0 ∴，解得 k1 3k 2 2k 62 32 0综上，所求 k 的取值范围为 k1 3根的个数知道，部分根可求或已知。
例 7、已知函数（ 1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；（ 2）若，在（ 1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。