第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
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[理学]第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
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曲线L复杂时，
注意：是封闭曲线
曲线的方向与曲面的侧成右手系
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. z
解
1
n
y
X z, Y x, Z y
S
z
平面方程为：
S
平面 S 的法向量
n (0,1, 1)
zy
因此
I
( z cos y cos ) d S
S
S
1 ( y z) d S 0 2
三、物理意义---环流量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 A( x, y, z ) X ( x, y, z )i Y ( x, y, z ) j Z ( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 A ds Xdx Ydy Zdz C C 称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量.
第七节 Stokes 公式： 环流量与旋度
• • • • Stokes公式（斯托克斯公式） 简单的应用 物理意义：环流量与旋度 小结
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数 X ( x, y, z ) , Y ( x, y, z ) ,
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I
4 ( x y z )dS 3
3 ( 在上x y z ) 2
87斯托克斯公式与旋度汇总
Pdx Qdy Rdz
R Q P R Q P rotF ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
旋度
设 r x2 y2 z 2 , 则 2 div (grad r ) r ; rot(grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r x 2 2 x r x ( y) r y ( ) r r 2 x2 , 3 3 2 y x r r r r r ( z ) r2 z2 三式相加即得 div (grad r ) z r r3 i j k
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 沿闭曲 五、求向量场
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
三、空间定向曲线积分与路径无关的充要条件
定理 设 G 是空间的一个一维单连通区域, F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k C ( 则 F ( x , y , z ) 沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的 rot F 0 充分且必要条件是
第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
= ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
I = ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
z
平面方程为： 平面方程为：
Γ
S
平面 S 的法向量
n = (0,1, −1)
z=y
法方向的方向余弦为
o x
2
y
因此
I = ∫∫ (− z ⋅ cos β − y cos γ ) d S
S
= ∫∫
S
1 ( y − z) d S = 0 2
n
∑
右手法则
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
正向边界曲线
证明
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
思路
曲面积分 1 二重积分 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A ⋅ nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 − x 2 − y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x − z )i + ( x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 − x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
S
I = ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
z
平面方程为： 平面方程为：
Γ
S
平面 S 的法向量
n = (0,1, −1)
z=y
法方向的方向余弦为
o x
2
y
因此
I = ∫∫ (− z ⋅ cos β − y cos γ ) d S
S
= ∫∫
S
1 ( y − z) d S = 0 2
n
∑
右手法则
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
正向边界曲线
证明
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
思路
曲面积分 1 二重积分 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A ⋅ nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 − x 2 − y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x − z )i + ( x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 − x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
环流量与旋度
i
解:
j
y
k
z 2
rot A x
(0 , 0 , 1)
2y
3x
z
I cos d S
8
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结束
*四、向量微分算子
定义向量微分算子:
x i y j z k 它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s
①
定义:
P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
A
P Q R x y z
div A
k
i x A P
j
y
z
rot A
Q
R
高斯公式与斯托克斯公式可写成:
A d v An d S ( A ) n d S A d s
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曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
(cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
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令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
第七节斯托克斯公式散度与旋度
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线
(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点：斯托克斯公式的应用 难点：三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
10-7 斯托克斯公式环流量与旋度要点
一、斯托克斯( Stokes )公式定理1. 右手法则(斯托克斯公式)证:情形1(利用格林公式) ∂P∂P=-⎰⎰[+fy]cosγdS∑∂y∂z情形2 证毕注意:⎰⎰∑dydzdzdxdxdy∂∂∂∂x∂y∂zPQRcosαcosβcosλ∂∂∂dS⎰⎰∂x∂y∂z∑PQR例1.解:利用对称性=3⎰⎰dxdyDxy 例2.解:*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. ⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=0Γ⎰Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdz证:(4)⇒(1)(1)⇒(2)(2)⇒(3)(x,y,z)Pdx+Qdy+Rdz(x0,y0,z0)u(x,y,z)=⎰∂u∂x=P(x,y,z)du=Pdx+Qdy+Rdz(3)⇒(4)证毕例3.解:P=y+z,Q=z+x,R=x+y三、环流量与旋度n=(cosα,cosβ,cosγ)τ=(cosλ,cosμ,cosν)记作rotA⎰⎰∑(rotA)ndS=⎰ΓAτds定义: 环流量旋度旋度的力学意义:=2ω(此即“旋度”一词的来源)斯托克斯公式①的物理意义:注意∑与Γ的方向形成右手系!例4.解:例5.解:*四、向量微分算子=gradu=divA=rotA内容小结1. 斯托克斯公式2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件∂Q∂R∂R∂P∂P∂Q==,=,∂y∂x∂z∂y∂x∂zrot(P,Q,R)==03. 场论中的三个重要概念梯度:散度:旋度:2r0提示:思考与练习作业。
9-7斯托克斯公式旋度
2
x
3 x y z
2 2
dS
2
x y
3 2
z x
x y
2
D xy
x y 1 2
4
( x 3
y z ) dS
( 在 上 x y z 9
3 2
)
4 3
3
dS 2 3 3dxdy . 2
D xy
2
8
三、物理意义---环流量与旋度 1. 环流量
第七节 斯托克斯(stokes)公式
一、斯托克斯(stokes)公式 二、简单的应用 三、物理意义---环流量与旋度
1
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,
是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则,
函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的 一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
At A n P cos Q cos R cos
环流量 rotA d S
At ds
14
Stokes公式的物理解释:
向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的 正向与 的侧符合右手法则)
A t ds 或 ( rotA)n dS At ds
其中 ( rot A ) n rot A n ( R y Q z ) cos ( P z R x ) cos ( Q x P y ) cos
x
3 x y z
2 2
dS
2
x y
3 2
z x
x y
2
D xy
x y 1 2
4
( x 3
y z ) dS
( 在 上 x y z 9
3 2
)
4 3
3
dS 2 3 3dxdy . 2
D xy
2
8
三、物理意义---环流量与旋度 1. 环流量
第七节 斯托克斯(stokes)公式
一、斯托克斯(stokes)公式 二、简单的应用 三、物理意义---环流量与旋度
1
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,
是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则,
函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的 一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
At A n P cos Q cos R cos
环流量 rotA d S
At ds
14
Stokes公式的物理解释:
向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的 正向与 的侧符合右手法则)
A t ds 或 ( rotA)n dS At ds
其中 ( rot A ) n rot A n ( R y Q z ) cos ( P z R x ) cos ( Q x P y ) cos
第七节%20%20斯托克斯(stokes)公式%20%20环流量与旋度ppt
解 1 2 3 4 其中1：z 0, 2：x 0, 3：y 0, 4：z 1 x y
ds 1 则 dxdy 2 2 1(1+x+y) Dxy (1+x+y) 1 1 x 1 1 dx dy ln 2 2 0 0 (1+x+y) 2
j y Q
k z R
x P
因此，stokes公式可以写成向量形式 rot A nds A ds(3) 或 (rot A ） n ds A ds 公式（3）可叙述为：向量场 A沿有向闭曲线的环流量等于 向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量。
设向量常 A( x, y, z ) P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k , 则
i R Q P R Q P 1)rot A { , , } y z z x x y 称为向量场 A的旋度。 2) ( P cos Q cos R cos )ds 称为向量场 A沿闭曲线的环流量。
第七节 斯托克斯（stokes）公式 环流量与旋度
一 斯托克斯公式
stokes公式是Green公式的推广，它将曲面上的曲面 积分与沿的边界曲线积分联系起来。 定理1
设为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以为边界的分片光滑的有向曲 面，正向与的侧符合右手规则。 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在 曲面(连同边界)上具有一阶连续 偏导数，则
例4 求面密度为0的均匀半球壳x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0) 对于z轴的转动惯量。