九年级数学相似三角形的应用2
4.5 相似三角形的性质及其应用第2课时 相似三角形的性质(2)浙教版数学九年级上册课件
三角形相似的 性质（2）
周长比 =相似比 面积比 =相似比的平方
1.填空： （1）如果三角形的边长扩大到原来的100倍，那么三角 形的周长扩大到原来的____1_0_0倍；面积扩大到原来的 ___1_0_0_0倍0 . （2）如果三角形的周长扩大到原来的100倍，那么三角 形的边长扩大到原来的____1_0_0倍. （3）如果三角形的面积扩大到原来的100倍，那么三角 形的边长扩大到原来的_____1_0倍.
3
5
4
10 6
8
相似比
3
5
4
10 6
8
相似三角形的周长和面积有以下性质：
相似三角形的周长之比等于相似比； 相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
A
B
C
A′
B′
C′
A
如图，分别作△ABC，△A′B′C′的BC，
B
B′C′边上的高线AD，A′D′.
∵△ABC∽△A，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上， DE∥BC. 如果BC=8 cm，AD:DB=1:3，则△ADE的周长等 于___6___cm，△ADE的面积等于______cm2.
感谢观看！
∵AD，A′D′分别是BC， B′C′边上的高线，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
B′
DC A′
C′ D′
A B DC
A′
B′
C′
D′
解：（1）在△ABC和△ADE中， ∵∠CAB=∠EAD（公共角）， ∠B=∠ADE（已知）， ∴△ABC∽△ADE.
如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE=∠B， AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F. 若AD=3，AB=5，求： （2）△ADE与△ABC的周长之比. （3）△ADE与△ABC的面积之比.
九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件
3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项：在解题过程中，要确保已知的三边长度是准 确的，避免因为数据不准确而导致错误。同时，要注意 选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四：综合应用举例
• 解题思路：综合运用相似三角形的性质和判定方法，解决 复杂的实际问题。
典型例题四：综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题，确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平 方性质，求解面积问题 通过已知三角形的面积和相似比，计算另 一个三角形的面积 结合图形变换和面积公式，利用相似三角 形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形 的性质，解决涉及线 段、角度和面积的复 杂问题
结合多种数学方法， 如代数运算、方程求 解等，提高解决问题 的效率
通过分析问题的条件 ，选择合适的相似三 角形性质和定理进行 求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一：已知两边求第三边长度
解题思路：利用相似三角形的性质， 即对应边成比例，可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式 ；
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角；
注意事项：在解题过程中，要确保已 知的两边和夹角是对应的，避免因为 数据不对应而导致错误。
典型例题二：已知两角求第三角大小
01
解题思路：根据三角形内角和为180°的性质，可以通过 已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式；
02
解题步骤
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。
2019秋人教版九年级数学下册课件：第27章 第10课时 相似三角形的应用(二)
解：如答图27-10-1，过点C作CE⊥AB于点E，
则四边形BDCE为矩形.
∴BD=CE=9.6 m，BE=CD=2 m.
，即_9A_.E_6=_11_._2.
解得AE=8（m）.所以AB=AE+BE=8+2=10（m）.
答：旗杆的高度为10 m.
知识点2：运用“相似三角形对应高的比等于相似比” 解决实际问题 【例2】如图27-10-3，小强自制了一个小孔成像装置， 其中纸筒的长度为15 cm，他准备了一支长为20 cm的 蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，则蜡烛应放在距离 纸筒多远的地方？
举一反三
1. 如图27-10-2，要测量旗杆高CD，在B处立标杆AB= 2.5 m，人在F处. 眼睛E、标杆顶A、旗杆顶C在一条直 线上. 已知BD=3.6 m，FB=2.2 m，EF=1.5 m， 求旗杆 的高度.
解：如答图27-10-3，过点E作EH∥FD分别交AB,CD于点G,H.
∵EF∥AB∥CD，
解：设正方形DEFG的边长为x cm.
依题意，得在△ABC中,—BDCE=A—AHM， ∵BC=12 cm，AH=8 cm，
DE=DG=MH，AM=（8-x） cm,
代入上式,
得1—x2=
_8_－__x_ 8
.
解得x=4.8.
答：正方形DEFG的边长是4.8 cm.
【B组】 3. 如图27-10-7，两棵树AB,CD的高分别是6 m,9 m， 它们根部的距离AC=6 m，小强从点G处出发，沿着正对 这两棵树的方向前进，小强的眼睛与地面的距离为1.6 m，当小强与树AB的距离小于多少时，他就看不见树顶 D？
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下册
第二十七章 相 似
湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》教学设计2
湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》教学设计2一. 教材分析《相似三角形的应用》是湘教版数学九年级上册3.5节的内容。
本节主要让学生掌握相似三角形的性质及应用，进一步培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
教材通过实例引入相似三角形的概念，接着介绍了相似三角形的性质，最后列举了一些应用实例。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的计算等基础知识，对几何图形有了一定的认识。
但学生对相似三角形的理解及应用可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方法，逐步掌握相似三角形的性质及应用。
三. 教学目标1.理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的性质。
2.能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
3.培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的概念及性质。
2.相似三角形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，主动探索相似三角形的性质。
2.运用实例讲解法，让学生在实际问题中体验相似三角形的应用。
3.采用分组合作法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关教学课件、图片、例题等教学资源。
2.准备教案、学案、作业等教学资料。
3.准备几何画板等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的相似图形，如古建筑的窗花、玩具模型等，引导学生观察并提出问题：“这些图形有什么共同特点？”让学生思考相似图形的性质，从而引出相似三角形的概念。
2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的定义及性质，通过举例让学生理解相似三角形的判定方法。
同时，引导学生发现相似三角形在实际问题中的应用，如测量身高、计算物体面积等。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用几何画板绘制相似三角形，并观察它们的性质。
每组选取一个实例，运用相似三角形的性质解决问题，如计算未知边长、面积等。
24.3相似三角形的应用2(课件)(华师大版九年级上册)
相似三角形的应用2
等分线段
同学们看课本第82页,告诉我们应用一组等距离 的平行线可以把一线段五等分,你能把一线段三 等分或六等分吗?试试看
如果手头上没有这样等距离的平行线怎么 办呢?
C
A
D
E
F
B
把线段AB五等分 画法:
A1 A2
A3
A4
1.过线段AB的一端点A任意画一射线;
A5 P
2.在AP上依次截取五段相等的线段AA1、A1A2、 A2A3、A3A4、A4A5。 3.连结A5B； 4.分别过A4、A3、A2、A1点画BA5的平行线，这些 平行线与线段AB交于点F、E、D、C，这样就 把线段AB五等分。
为什么这样就五等分了呢？能否用相似三角 形性质说明理由。 因为A1C∥A5B， 因此∠AA1C=∠AA5B， 而∠A=∠A 所以△AA1C∽△AA5B， 则AA1/ AA5=AC/AB，而AA1/AA5=1/5 所以AC/AB=1/5，即AC=1/5AB。 同样道理：AD=2/5AB
练习
把线段AB七等分
把线段AB分成4：3的两部分
如图，在离某建筑物4米处有一棵树， 在某时刻，1.2m长的竹竿竖直地面， 影长为2m，此时，树的影子照射地 面，还有一部分影子在建筑物的墙上， 墙上的影长为2m，那么这棵树高约 多少米？
A A/ B/ C/ B
D C
课堂小结
应用相似三角形的知识，可以用于测量物
分别为35cm 和14cm。 1. 它们的周长差60cm，求这两个三角形的 周长。 2. 它们的面积差588cm2，求这两个三角形的 面积。 3.要做两个相似的三角形的框架，其中一个三角 形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形 框架有一边长为2，另两边的木料应多长可以使 它们相似？
部编数学九年级下册专项32相似三角形射影定理综合应用(2种类型)(解析版)含答案
专项32 相似三角形-射影定理综合应用（2种类型） 一、射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
（证明略）二、变式推广 １．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2）） 如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
【类型1：直角三角形中射影定理】【典例1】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．【变式1-1】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（ ）A．4B．4C．4D．【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝，即＝，解得：CD＝4，故选：A．【变式1-2】（2021秋•漳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，CD＝4，则BD的长为（ ）A．B．C．D．2【答案】A【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴△BDA∽△ADC，∴＝，∵AD＝3，CD＝4，∴＝，解得：BD＝，故选：A．【变式1-3】（2020秋•梁平区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA 【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴AC2＝AD•AB，CD2＝DA•DB，BC2＝BD•BA．故选：B．【变式1-4】（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（ ）A．3B．8C．D．2【答案】A【解答】解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．【类型2：非直角三角形中射影定理】【典例2】如图，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP•AB，则∠B的度数为（ ）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】A【解答】解：∵∠A＝70°，∠APC＝65°，∴∠ACP＝180°﹣70°﹣65°＝45°．∵AC2＝AP•AB，∴＝．∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△CPA．∴∠B＝∠ACP＝45°．故选：A．【变式2-1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，则AC的长为（ ）A．2B．C．5D．2【答案】B【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝AD+BD＝3+4＝7，∴，∴AC＝或﹣（舍去），故选：B．【变式2-2】如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴，∴AC2＝2×6＝12，∴AC＝2．【典例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为 ．【答案】8【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，∵∠C+∠CDE＝45°∴2∠C+∠CDE＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，如图所示：则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，∴＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，∴BC＝8x，DE＝x，∴CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝，∴BC＝8；故答案为：8．【变式3】如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝ ．【答案】2【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，设BE＝9x，EC＝2x，∵DE⊥BC，∴BD2＝BE•BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，∵CD2＝CE•CB＝2x•11x＝22×＝40，∴CD＝2．1.（2022秋•义乌市月考）如图，小明在A时测得某树的影长为3m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．A．B．C．6D．【答案】B【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝3m；∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠F，∴△EDC∽△CDF，∴＝，即DC2＝ED•FD＝2×3＝6，解得CD＝m．故选：B．2．（2012•麻城市校级自主招生）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（ ）A．3B．4C．4D．2【答案】D【解答】解：延长EC交圆于点F，连接DF．则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．则DE＝4．在直角△ADF中，根据射影定理，得EF＝＝4．根据勾股定理，得DF＝＝4，则圆的半径是2．故选：D．3．（2022春•周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为 ．【答案】6【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD2＝CD•BD＝36，∴AD＝6，故答案为：6．4．（2021春•汉阴县期中）如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD 交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝ cm．【答案】3【解答】解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x （3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．5．（2022•武汉模拟）在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于点E，G为垂足．若CG＝CD＝1，则AC的长是 ．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．6．（2021秋•滦州市期中）已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若CD是AB边上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的长．【解答】解：（1）∵两根相等，∴可得：4（a+b）2﹣4（c2+2ab）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）由（1）可得：AC2＝AD×AB，∵AC＝2，AD＝1，∴AB＝4，∴BD＝AB﹣AD＝3．7．如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长．【解答】解：∵∠ADC+∠BAC＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝∠BAC，又∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴＝，∴BA2＝BD•BC，∵AB＝4，BC＝8，∴BD＝2．即AC⋅CF＝CB⋅DF．8．（盐城校级模拟）【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E 在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；（2）若DE＝2CE，求OF的长．【解答】【问题情境】证明：如图1，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，而∠CAD＝∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AD•AB；【结论运用】（1）证明：如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即＝，而∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；（2）方法一：∵BC＝CD＝6，而DE＝2CE，∴DE＝4，CE＝2，在Rt△BCE中，BE＝＝2，在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，∵△BOF∽△BED，∴＝，即＝，∴OF＝．方法二：将△OFC绕O顺时针旋转90度得到△OGB，如图3，由△BOF∽△BED得到∠OFB＝45°，∴∠OGB＝∠OFC＝45°+90°＝135°，∵OG＝OF，∴△OGF为等腰直角三角形，∴∠OGF＝45°，∴G点在BE上，∵BG＝CF＝，∴GF＝，∴OF＝GF＝．。
27.2.2 相似三角形应用举例 课件2 (新人教版九年级下)
C
A
F
H
Ⅰ
Ⅱ
K G
分析：
E
B
(2)
D
l
假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位 置点F与两颗树的顶端点A、C恰在一条直线上,如 果观察者继续前进，由于这棵树的遮挡，右边树 的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到 它。
由题意可知，AB⊥L，CD⊥L，
∴AB∥CD，△AFH∽ △CFK
FH = AH ∴ FK CK 即
解： 因为 ∠ADB＝∠EDC,
AB BD 那么 EC DC
∠ABC＝∠ECD＝90°， 所以 △ABD∽△ECD，
B
D
C
E
BD EC 120 50 解得AB 100(米) DC 60 答： 两岸间的大致距离为100米．
(方法二) 我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选点 D和 E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视线 EA相交于点C。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸 间的大致距离AB了。 A 此时如果测得DE＝120米， BC＝60米，BD＝50米，求 两岸间的大致距离AB． B
A
P E N C
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以 AE = PN B AD BC Q D M 80–x x = 因此 ，得 x=48（毫米）。答：-------。 80 120
1、在同一时刻物体的高度与它的影长 成正比例，在某一时刻，有人测得一高 为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼 的影长为60米，那么高楼的高度是多少 米？解:设高楼的高度为X米，则
1.8 x 3 60 60 1.8 x 3 x 36
答:楼高36米.
例4 为了估算河的宽度,我们可以在河 对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和 S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂 直，接着在过点S且与PS垂直的直线a 上选择适当的点T,确定PT与过点Q且 P 垂直PS的直线 b的交点R.如果测 得QS=45m,ST= b Q R a 90m,QR=60m, S T 求河的宽度PQ.
(含答案)九年级数学人教版下册课时练第27章《27.2.3 相似三角形应用举例》(2)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第27章相似27.2.3相似三角形应用举例一、选择题1．如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（）A．5米B．6.4米C．8米D．10米2．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（）mA．3.5B．4C．4.5D．53．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米4．如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，AD=2m，斜梁AC=4m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC （点E 在BA 的延长线上），立柱EF ⊥BC ，如图2所示．若EF=3m ，则斜梁增加部分AE 的长为（）A ．0.5mB ．1mC ．1.5mD ．2m5．如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm ，底边上的高为18cm ，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张6．一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为1S ，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为2S ，若212S S =，则矩形的长宽之比为（）A ．2BC ．43D 7．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD ，点E ，G 分别为CD ，AD 的中点，EF ⊥CD ，GH ⊥AD ，点F ，D ，H 在一条直线上，EF ＝30步，GH ＝750步．正方形小城ABCD 的边长是（）A ．150步B ．200步C ．250步D ．300步8．如图，花丛中有一路灯杆AB ．在灯光下，小明在D 点处的影长DE ＝3米，沿BD 方向行走到达G 点，DG ＝5米，这时小明的影长GH ＝5米．如果小明的身高为1.7米，则路灯杆AB 的高度（精确到1米）为（）A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米9．如图，某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔AB 的高度，他们先在水平地面上一点E 放置了一个平面镜，镜子与铁塔底端B 的距离16m BE =，当镜子与与观测者小芳的距离2m ED =时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A ，已知小芳的眼睛距地面的高度 1.5m CD =，铁塔AB 的高度为（）（根据光的反射原理，12Ð=Ð）A ．9mB ．12mC ．15mD ．18m10．一种雨伞的截面图（如图所示），伞骨AB AC =，支掌杆30OE OF cm ==，当点O 沿AD 滑动时，雨伞开闭．若3AB AE =，3AD AO =，此时B 、D 两点间的距离等于（）A ．60cmB ．80cmC ．90cmD ．120cm 二、填空题11．如图，晚上小亮在路灯下散步，在由A 点处走到B 点处这一过程中，他在点A ，B ，C 三处对应的在地上的影子，其中影子最短的是在_____点处（填A ，B ，C ）．12．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m ，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m ．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m ，则旗杆的高度为________．（单位：m ）13．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高．下午课外活动时，她测得根长为1m 的竹杆的影长是0.8m ．但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上．她先测得留在墙壁上的影高为1.2m ，又测得地面的影长为2.6m ，请你帮她算一下，树高是________m ．14．如图，一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，纸片折叠，使A 、C 两点重合，折线MN =________．15．学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A 的正下方点B 处，沿着平直的道路走8m 到达点D 处，测得影子DE 长是2m ，则路灯灯泡A 离地面的高度AB 为_______________m ．三、解答题16．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB ，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C 射进房间地面的D 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E 射进房间地面的F 处，AB ⊥BD 于点B ，CE ⊥BD 于点O ，小丁测得OE ＝1m ，CE ＝1.5m ，OF ＝1.2m ，OD ＝12m ，求围墙AB 的高为多少米．17．小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C 处，人在点F 处正好在镜中看到树尖A ；第二次他把镜子放在点'C 处，人在点F 处正好在镜中看到树尖A ．已知小军的眼睛距地面1.7m ，量得'12CC =m ， 1.8CF =m ，'' 3.84C F =m.求这棵古松树的高度18．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120mm ，高AD ＝80mm ，要把它加工成矩形零件PQMN ，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上．若这个矩形的边PN ∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？19．如图所示，小杰家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌（BC），一辆小汽车在公路上以60千米/小时匀速行驶，小杰在家观察这辆汽车行驶时，有6秒钟被广告牌挡住．请在图中画出被广告牌挡住的那段公路DE，已知广告牌和公路的距离为35米，求小杰家到公路的距离．20．小明利用灯光下的影子来测量路灯高度，如图，当小明走到A点时，他直立时身高AM 与影子AE恰好相等；他沿着AC方向继续向前，走到B处时，他直立的身高BN的影子恰好是线段AB，此时测得AB＝1.2m．已知小明的直立身高是1.6m，求路灯的高度CD．21．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，求旗杆MN的高度．22．大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所绘制的便是这座著名古塔．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度AB ，在地面上立两根高为2m 的标杆CD 和GH ，两杆之间的距离62CG =米，点G 、C 、B 成一线．从C 处退行4米到点E 处，人的眼睛贴着地面观察A 点，A 、D 、E 三点成一线；从G 处退行6米到点F 处，从F 观察A 点，A 、F 、H 也成一线．请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB ．23．周末，小凯和同学带着皮尺去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF ，通过在直线EF 上选点观测，发现当他位于N ¢点时，他的视线从M 点通过露台D 点正好落在遮阳篷A 点处；当他位于N 点时，视线从M ¢点通过D 点正好落在遮阳篷B 点处，这样观测到的两个点A 、B 间的距离即为遮阳篷的宽，已知AB CD EF ，点C 在AG 上，AG 、DE 、MN 、M N ¢¢均垂直于EF ，MN M N =¢¢，露台的宽CD GE =．测得5GE =米，12.3EN =米， 6.2NN ¢=米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB 是多少米?（结果精确到0.1米）参考答案1．C2．D3．B4．D5．B6．A7．D8．B9．B10．C 11．C12．913．4.4514．45 415．8.516．3m17．这棵古松树的高度为10m18．矩形的长为4807mm，宽是2407mm．19．作图略，小杰家到公路的距离为50米．20．6.4m21．14米22．大雁塔的高度AB为64米23．2.5米。
4.5 相似三角形的性质及其应用九年级上册数学浙教版
知识点1 相似三角形对应线段的性质 重难点
1.根据相似三角形的定义可知，我们可得到相似三角形的两个基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应线段的性质:相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于相似比.
测量数据
观测者的眼睛与地面的距离 ,标杆的高度 ,观测者与标杆之间的距离 ,观测者与旗杆之间的距离 .
注意：观测者的眼睛（点 ）、标杆的顶端（点 ）和旗杆的顶端（点 ）必须要“三点共线”,标杆与地面要垂直,同时旗杆底部必须可到达
典例4 如图,小华在水平地面上放置了一小块平面镜 来测量铁塔 的高度,已知当镜子与铁塔底部的距离 、镜子与小华的距离 时,小华刚好从镜子中看到铁塔的顶端 .若小华的眼睛距离地面的高度 ,试估计铁塔 的高度.
图形
推理
结论
周长之比
.
周长之比等于相似比.
面积之比
.
面积之比等于相似比的平方.
典例3 （2023·丽水期末）已知 ，且 与 的周长比为 ，则 与 的面积比为__.
[解析] ，且周长比为 ， 与 的相似比为 ， 与 的面积比为 .
解题通法相似三角形性质的应用技巧相似三角形的相似比、各对应线段的比、周长比及面积比之间是可以互相转化的,即相似比 对应高线的比 对离等于____ .转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________ .
[解析] 如图，过点 作 ， 的平行线，交 于点 ，过点 作水平线 交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，连结 并延长至点 ，使得 .
由题意可知，点 是 的中点. ， , 点 是
的中点. ， ， .
相似三角形的性质及其应用课件浙教版九年级数学上册(完整版)
三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段.
课堂练习
【知识技能类作业】 必做题：
1.（1）两个相似三角形的相似比为1:2, 则对应高的比为__1_：__2____， 则对应中线的比为__1__：__2___. （2）两个相似三角形对应中线的比为1:4 ，则对应高的比为_1_：__4__ .
A'
D'
C'
新知讲解
解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'， AB BC . A'B' B'C'
∵ AD，A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线，
∴BD= 1 BC，B'D'= 1 B'C'，
2
2
BD
BC
AB .
A
B'D' B'C' A'B'
∴△ABD∽△A'B'D'，
AD A'D'
1 2
.
证明：如图，连结DE.
∵BD，CE是△ABC的两条中线，∴
DE
∥=
1 2
BC.
∴∠EDB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，
∴△DEP∽△BCP.
DB PP
EP CP
DE BC
1 2
.
新知讲解
例2中，如果再作BC边上的中线，这条中线与AC边上的中线BD的交 点也必定分BD成1：2的两条线段，也就是点P. 这就证明了三角形的三条中线相交于一点.
作业布置
选做题： 3.如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在 BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( B). A．15 B．20 C．25 D．30
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“入院不收入院费，本院半年之内实行试营业，入院后前一个月不收任何费用，从第二个月开始每人每月只收1000元的生活 费。从第三个月开始，一次**清一年生活费者减免百分之十；一家两口人入院者，每人每月只收800元生活费，一次**清一年 生活费者同样减免百分之十。本院特此声明：除此之外，不收任何费用。” “你的意思是说伺候老人不要任何报酬？也就是说无条件的给老人提供服务？”马神算子进一步地问。 我笑着说：“赡养老人是我们中华民族的美德，应该是不计较报酬的；但是由于经济上的原因„„我不得不„„” “好了好了，我就知道没有天上掉馅饼的好事！”一直没有说话的张老汉终于发问了：“一旦有个长病生灾怎么办？” “你们以前生病时是怎看已生的？”镇上的领导发话了。 “这还用问？去已院呗！”张老汉叹了口气。 “好！这个问题提得好！”镇上的领导当即表态，“我回镇上后立即跟有关部门反映情况，让已院卫生部门实行下乡服务活 动，一切为老人的身心健康开绿灯。” “各位乡亲们，家家有老人，人人都会老。只要有镇上的领导给我们撑腰做主，我们还有什么克服不了的困难？”大哥招呼 着大家，“今天我们还邀请了县里的老年娱乐中心文艺宣传队，下面有请他们给大家表演文艺节目。” 大门两边分别坐落着一棵硕大的杨柳树，杨树参天而立，柳树婆娑多姿。听老人说这两棵树已有有一百多年的历史，杨柳树村 故此而得名。挂在树上的高音喇叭开始回放起音乐，大院里的气氛逐渐活跃起来。 一曲崔京浩的《父亲》发人深省„„一曲阎维文的《母亲》催人泪下„„ 虽然折腾了一天，还是没有一个人前来报名。 “现在的人真怪，明明是一件好事怎么会是这样呢？”我自言自语地说。 “也许是我们的工作没做好，大家不相信我们？”大哥抽起一袋愁烟。肖燕做好了饭菜来招呼我们。 “你们吃吧，我不饿。” “六弟，怎么跟自己过不去？身子要紧，走，我们边吃边聊。”大哥硬是把我拽上了饭桌。 “怎么？碰钉子了吧？”我还没有坐稳，父亲就开了腔，“老六啊，农村工作不像你想的那么好做，这些小农意识的人，你 若是分钱他就争着去拿，你若是让他交钱，他就会装聋作傻什么也不知道，见了你就像碰到了瘟神躲着你走„„你想过没有从 小到大，你在村子里住过几天？你根本就没有群众基础，他们会相信你？依我看，这亏本的买卖咱就不干了，干脆收破烂儿得 了，小荷和宝根都需要交学费，咱那儿有闲气跟这些老汉老婆捉迷藏？”
的距离是多少？
A
D B
C
E
BD AB CD CE
A
解：∵AB⊥BC，CE⊥BC ∴∠ABD=∠DCE=90° 又 ∵ ∠ADB=∠CDE
10
BD AB CD CE
B 50 D
C
17
∴△ABD∽△ECD ∴BD:CD=AB:CE CE=17m ∴AB=85 m 答：河宽为85m。
E ∵BD=50m，CD=10m，
太平村二中
九年级数学组
影长
旗杆
练习：
在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米, 某一旗杆的影长为30米,那么旗杆的高度是多少米?
例.
古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：
如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度
的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，
如图：小明想测量电线杆AB的高度，发现电线
杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上，测
得CD=4m,BC=10m，CD与地面成30度角，且此时测
得1米杆子的影子长为2米，那么电线杆的高度是
多少？
A
D
B C
通过今天的学习，你有什么收获
解决实际问题时，首先要把实际问题 转化为几何模型即建模，再利用三角 形相似的相关知识来解决。
父亲的话提哥，我们分头行动，来个君子拜访面对面的交流，大街以东你 去，大街以西有我„„
背后传来了母亲的责备声，“你看这孩子，不是吃了饭再„„” “娘——，你们先吃吧，办不好正事儿吃饭也不香„„”我回过头，回了她一句。
即可近似算出金字塔的高度OB．如果O′B′＝1，A′B′ ＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB.
如图，我 们想要测 量河两岸 相对应两 点A、B之 间的距离 (即河宽) ， 你有什么 方法？
方案：先从B点出发与AB成90°角方向走50m到D处立一标杆，
然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CE方向 再走17m到达E处，使得A、D、E在同一条直线上。那么A、B之间