17.2：空间图形与相交线和平行线

两条牛打架（打一数学名词）—— 对顶角
7．两条直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们说这两
条直线互相 垂直 ，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线 ， 它们的交点叫做 垂足 ． 从直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 ，叫做点到直线的 距离．连结直线外一点与直线上各点的所有线段 中 垂线段最短 ． 8．垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段 的 垂直平分线 ，也叫线段的中垂线． 9．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点， 有且只有一条直线和这条直线平行．
间必须比赛一场)，一共要进行多少场比赛？
2×1 有2个球队时，要进行 ＝1(场)比赛，有3个球队时，要进 2 4×3 3×2 ＝6 场比赛． 行 ＝3(场)比赛，有4个球队时，要进行__________ 2 2
探究提高 此题给出了几种特殊情况，从分子、分母数字的变化规律 也可以得到探究结果，熟记本题的探究结果，对解决一些问题会 有所帮助．
①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件；
②学会观察图形，找出线段之间的关系，列算式或方程来解答．
知能迁移1
在直线l上，线段AB＝7 cm，BC＝3 cm，D是AC的中
点，求DB的长度．
解：(1)当点C在线段AB延长线上，如图：
有AC＝AB＋BC＝7＋3＝10. ∵D是AC的中点，∴AD＝ AC＝5.
果∠EOD＝42°，则∠AOC＝________. 48° 解析：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°.
∴∠AOC＋∠EOD＝180°－∠AOE＝90°.
∵∠EOD＝42°， ∴∠AOC＝90°－42°＝48°. 探究提高 当已知中有“相交线”出现的时候，要充分挖掘其中隐含
的“邻补角和对顶角”，以帮助解题．
1 2
剖析
若不用方程的思想方法来考虑本题，可能无法下手，或以
错误告终．本题已知角度的数量关系及某一个角的度数，要求 其他角的度数，因为给出度数的角∠DOE不能运用角平分线，
第17课 空间图形与 相交线和平行线
要点梳理
1．线段沿着一个方向无限延长就成为 射线 ；线段向两方无限延 长就成为 直线 ；线段是直线上两点间的部分，射线是直线上 某一点一旁的部分． 2．直线的基本性质： 两点确定一条直线 ． 线段的基本性质： 两点之间线段最短 的 ，连结两点 线段的长度 ，叫做两点之间的距离．
可以延长；直线与射线是可以无限延伸，线段向一方延长的部分，
叫做线段的延长线，指定哪个方向延长就是向哪个方向延长；反 向延长的部分叫做反向延长线，如延长线段AB即为反向延长线段
BA.
线段的延长线即指线段向一方延长的部分，延长线常画成虚 线．线段的延长线是有方向的，作延长线时要特别注意表示线段 的字母的顺序，以便确定延长方向．注意：一条线段可以延长， 但线段的延长线不是原线段的一部分． 2．理解同一平面内两条直线的相互位置关系
解：如图，设AE＝2x，EF＝3x，FB＝4x，则AB＝9x.
∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝4.5x.
∵FB＝12，∴4x＝12，x＝3. 又AF＝2x＋3x＝5x，
∴DF＝5x－4.5x＝0.5x＝0.5×3＝1.5.
∴AE∶AD＝2x∶4.5x＝2∶4.5＝4∶9.
探究提高 在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平
行．“在同一平面内”是其前提，离开了这个前提，不相交的直 线就不一定平行了，因为在空间里存在着既不平行也不相交的两
条直线，如正方体的有些棱所在的线既不相交也不平行．
基础自测
1．(2011·桂林)下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是( B )
解析：在B图中，∠1、∠2有 相同的顶点，且角的两边互 为反向延长线，∠1与∠2是 对顶角，所以∠1＝∠2.
[ 难点正本 疑点清源 ]
1. 正确理解线段、射线、直线的概念
点通常表示一个物体的位置，无大小可言．点动成线，线有
弯曲的，也有笔直的，弯曲的线叫做曲线；而笔直的线，若向两 边无限延伸，没有端点且无粗细可言就叫做直线，射线是直线的
一部分，向一方无限延伸，有一个端点，线段也是直线的一部分，
有且只有两个端点． “延伸”和“延长”是两个不同的概念．线段不能延伸，但
6×5 ＝15次，问好6×5＝30次． 2
易错警示
13．因概念理解不清，造成角的计算错误 试题 如图，已知：∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD是∠AOB的 平分线，OE在∠BOC内，∠BOE＝ ∠EOC，∠DOE＝72°， 求∠EOC的度数． 解：设∠AOD＝x， ∵OD是∠AOB的角平分线，∴∠BOD＝∠AOD＝x. 又∵∠DOE＝72°，∴∠BOE＝72°－x. ∵∠BOE＝∠EOC，∴∠EOC＝2×(72°－x)． ∵∠AOD＋∠DOB＋∠BOE＋∠EOC＝180°， ∴x＋x＋(72°－x)＋2×(72°－x)＝180°. ∴x＝36°，即∠AOD＝36°. ∴∠EOC＝2×(72°－36°)＝72°.
∠2＝75°，则∠3等于
B．60° D．70°
( C )
解析：如右图，在△ABC中， ∠BAC＝∠2＝75°，∠ABC＝∠1＝40°.
∴∠3＝180°－∠BAC－∠ABC＝65°.
(2)如图，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是( B ) A．75° B．65° C．55° D．50°
解析：平面上不同的几个点最多可确定 nn－1条直线，
2 nn－1 则 ＝21，n2－n－42＝0，(n－7)(n＋6)＝0， 2
n＝7或n＝－6(舍去)，所以n＝7.
题型分类 深度剖析
题型一
【例 1】
线段的计算
已知E、F两点把线段AB分成2∶3∶4三部分，D是线段
AB的中点，FB＝12，求DF的长及AE：AD.
点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是 ( B )
A．30°
C．20°
B．25°
D．15°
解析：∴AB∥CD，又∠3＋∠2＝45°，
∴∠3＝∠1＝20°， ∴∠2＝45°－∠3＝45°－20°＝25°.
4．(2011·绍兴)如图，已知AB//CD，BC平分∠ABE，∠C＝34°， 则∠BED 的度数是( D ) A．17° C．56° B．34° D．68°
解析：如图，过点B画，c∥a.
∵a∥b，∴b∥c.
∴∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°， ∴∠4＝75°，∠5＝40°，
∴∠3＝180°－∠4－∠5＝65°，选B.
题型四 与直线交点个数有关的探究问题
【例 4】 阅读下列材料并填空：
(1)探究：平面上有n个点(n≥2)且任意3个点不在同一条直线上， 经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？ 我们知道，两点确定一条直线，平面上有2个点时，可以画
( C )
BC∥AD的是 A．∠3＝∠4
B．∠A＋∠ADC＝180°
C．∠1＝∠2 D．∠A＝∠5 解析：BC、AD被BD所截，当∠1＝∠2时，BC∥AD，应选C.
(2)如图，a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，求 ∠1＋∠2＋∠3之和．
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解:思路一： 延长MP交b于Q，
3. 有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，也可以把角看成
是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形． (1)1周角＝ 1′＝ 2 平角＝ ，1°＝ 60′ ， 4 直角＝ 360° . 60″
(2)小于直角的角叫做 锐角 ；大于直角而小于平角的角叫 做 钝角 ；度数是90°的角叫做 直角 ． 4. 两个角的和等于90°时，称这两个角 互为余角 ，同角(或 等角)的余角相等． 两个角的和等于180°时，称这两个角 互为补角 ，同角(或 2(cm)．
(2)当点C在线段AB上，如图：
有AC＝AB－BC＝7－3＝4.
∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝ AC＝2. ∴DB＝DC＋CB＝2＋3＝5(cm)．
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综上，DB的长度为2 cm或5 cm.
题型二 【例 2】
相交线 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如
知能迁移4 A．1条 C．3条
(1)(2011·柳州)如图，点A、B、C是直线l上的三个 ( C ) B．2条 D．4条
点，图中共有线段条数是
解析：有三条线段AB、AC、BC.
(2)在某次商业聚会中，聚会结束后同桌的六个客人都互相握了
手，聚会开始时这六个客人也都互相问了好，那么，他们一
共有多少次握手，多少次问好？ 解：共握手
5．角平分线和线段中垂线的性质：角平分线上的点 到 角两边的距离相等 ． 线段中垂线上的点到线段 两个端点的距离相等 ． 到角两边的距离相等的点在角平分线上． 到线段两个端点的距离相等的点在线段的中垂线上． 6．两条直线相交，只有 一个交点 ．两条直线相交形成四个角， 我们把其中相对的每一对角叫做对顶角，对顶角 相等 ．
10. 平行线的判定及性质：
(1)判定：
①在同一平面内 不相交 的两条直线叫做平行线； ② 同位角 相等，两直线平行；
③ 内错角 相等，两直线平行；
④ 同旁内角互补 ，两直线平行； ⑤在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行；
⑥平行于同一直线的两直线平行．
(2)性质： ①两直线平行， 同位角相等 ； ②两直线平行， 内错角相等 ； ③两直线平行， 同旁内角互补 ．
解析：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠ABC＝34°，∠BED＝∠ABE. 又∵BC平分∠ABE， ∴∠ABE＝2∠ABC＝2×34°＝68°， ∴∠BED＝68°.
5．(2011·黄石)平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点 最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条 直线，则n的值为 A．5 B． 6 C． 7 D． 8 ( C )