第二章 相交线与平行线
相交线与平行线笔记整理
相交线与平行线笔记整理
相交线与平行线是几何学中的重要概念，下面是有关相交线和平行线的笔记整理：
一、相交线：
1. 定义：在平面上，如果两条直线有一个公共的交点，则称这两条直线为相交线。
2. 特性：
- 两条相交线的交点只有一个。
- 两条相交线的两个交线角互为补角。
- 如果两条相交线的交线角互为补角，则这两条直线相交。
二、平行线：
1. 定义：在平面上，如果两条直线没有交点，且方向相同或者重合，则称这两条直线为平行线。
2. 特性：
- 平行线不相交，也没有公共的交点。
- 平行线的交线角为零度。
- 平行线的交线角是对应角，即对应于同一边的内角互为补角。
三、判定平行线的方法：
1. 对称判定法：如果两条直线作为一条直线的平分线，且分出的同侧角相等，则这两条直线平行。
2. 次对称法：如果两条直线与另外一条直线作为一对同位角，且同位角相等，则这两条直线平行。
3. 逆定理法：如果两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线
平行。
4. 夹角法：如果两条直线与另外一条直线的夹角相等，则这两条直线平行。
5. 给定角的补角法：如果两条直线与另外一条直线的同侧内角互为补角，则这两条直线平行。
四、平行线性质：
1. 平行线的任意一对内错线互为消角。
2. 平行线的任意一对内错线互为内错角。
3. 平行线与切线的夹角等于对应弧所对的圆心角。
4. 平行线所夹平行线上的交线角相等。
以上是有关相交线与平行线的笔记整理，希望对你有所帮助。
北师大版七年级下册数学第二章相交线与平行线测试题(附答案)
北师大版七年级下册数学第二章相交线与平行线测试题(附答案)北师大版七年级下册数学第二章相交线与平行线测试题（附答案）一、单选题1.如图，已知直线l1∥l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝39°，则∠2等于（）A。
39° B。
45° C。
50° D。
51°2.如图.直线a∥b，直线L与a、b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C.若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A。
130° B。
50° C。
40° D。
25°3.如图，三点共线A、B、C，D、E、F三点共线，且AD∥CF，BE∥CD，下列结论错误的是（）A。
∠ABE＝∠XXX∠ABE＝∠CDEC。
∠ABE＝∠XXX∠ABE＝∠BDF4.如图，平行线AB∥CD，EF⊥CD，垂足为G，图中∠AGE＝（）A。
90° B。
45° C。
30° D。
60°5.如图，互余的角有（）A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个6.如图，AB∥CD，EF∥GH，则下列等式正确的是（）A。
∠AEF＝∠GHF B。
∠AEF＝∠HGFC。
∠XXX∠GHF D。
∠XXX∠HGF7.已知同一平面内的三条直线AB，CD，EF，AB∥CD，CD∥EF，则下列结论错误的是（）A。
AB∥EF B。
AB∥CD C。
EF∥CD D。
AB∥EF8.如果a＜b，且a＋b＝5c，如果c＜a，b＜c，比a与b 的和的3倍少2，那么a与b的位置关系是（）A。
a＜b B。
a＞b C。
a＝b D.无法确定9.如图，已知AB∥CD，AE＝2cm，EC＝3cm，则图中互相平行的线段是（）A。
AB//CD B。
AE//DC C。
BE//CD D。
AB//EC10.如图，AB∥CD，点E在直线AD上，且∠AEC＝34°，则∠BED的大小为（）A。
北师大版七年级下第二章相交线与平行线全章教案
课 题第二章 相交线与平行线1、两条直线的位置关系（第1课时）教 学 目 标1．知识与技能：在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题。
2．过程与方法：经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。
教学重、难点1. 2.教 学 过 程 教 学 内 容可根据学生实际增减内容 第一环节 走进生活 引入课题 活动内容一：两条直线的位置关系1． 巩固练习：教师展示下列图片，学生快速回答：2.1—1 2.1—2 结论：1.一般地，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种： 和 . 2.定义分别为： 。
问题1：在2.1—1中，直线m 和n 的关系是 ；a 和b 是 ；a 和n 是 。
问题2：在2,1—2你能提出哪些问题？第二环节 动手实践 探究新知动手实践一m nab请先画一画：两条直线直线和，交于点O,再回答下列问题..问题1：观察2.1—4：∠1和∠2的位置有什么关系？大小有何关系？为什么？小组合作交流，尝试用自己的语言描述对顶角的定义。
问题2:剪子可以看成图2.1—4，那么剪子在剪东西的过程中，∠1和∠2还保持相等吗？∠3和∠4呢？你有何结论？ 问题3：下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）问题4：如图2.1—6所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？为什么？动手实践二补角定义：一般地，如果两个角的和是1800，那么称这两个角互为补角（ ） 余角定义：如果两个角的和是900，那么称这两个角互为余角（ ） 动手实践三打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图2.1—7抽象成图2.1—8，与交于点O ，∠∠900，∠1=∠2小组合作交流，解决下列问题：在图2.1—8中 问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？1 2 1 2 1 212A B CD 注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。
北师大版初一(下)数学第二章相交线与平行线教案：相交线与平行线讲义(含解析)
北师大版初一（下）数学第二章相交线与平行线教案：相交线与平行线讲义（含解析）把握对顶角和邻补角的概念；把握垂线段的定义及其画法；3.把握三线八角的定义和找法；4.把握平行线的性质与判定.相交线在同一平面内，两条直线的位置关系有_________和________。
（2）相交：在同一平面内，有__________的两条直线称为相交线。
（3）邻补角：①定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。
②性质：位置——互为邻角数量——互为补角（两角之和为180°）（4）对顶角：①定义：有一个公共顶点，同时有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角②性质：对顶角相等几何语言：∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3（同角的补角相等）两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：注意点：⑴对顶角是成对显现的，对顶角是具有专门位置关系的两个角；⑵假如∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之假如∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶假如∠α与∠β互为邻补角，则一定有_____________；反之假如∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
2.垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做_______。
符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O垂线性质1：过一点_______________一条直线与已知直线垂直。
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：_______________。
3.垂线的画法：（1）过直线上一点画已知直线的垂线；（2）过直线外一点画已知直线的垂线。
第二章-相交线与平行线练习题(带解析)
第二章 相交线与平行线练习题（带解析）1、如图，直线a 、b 、c 、d ，已知c⊥a，c⊥b，直线b 、c 、d 交于一点，若∠1=500，则∠2等于【 】（1）（2）（5）（6）（7） 2、如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠EBC＝∠BCF，那么，∠ABE 与∠DCF 的位置与大小关系是 （ ） 3、如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能（ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．相等且互补4、下列说法中，为平行线特征的是（ ）①两条直线平行，同旁内角互补; ②同位角相等, 两条直线平行;③内错角相等, 两条直线平行; ④垂直于同一条直线的两条直线平行.A ．①B ．②③C ．④D ．②和④5、如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝50°，∠CEF＝150°，则∠BCE＝（ ）A ．60°B ．50°C ．30°D ．20°6、如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系为（ ）A ．α+β+γ＝360°B ．α-β+γ＝180°C ．α+β-γ＝180°D ．α+β+γ＝180°7、如图，由A 到B 的方向是（ ）8、如图，由AC∥ED，可知相等的角有（ ）（8） （9）A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对9、如图，直线AB 、CD 交于O ，EO⊥AB 于O ，∠1与∠2的关系是( )A.互余B.对顶角C.互补 D.相等10、若∠1和∠2互余，∠1与∠3互补，∠3=120°，则∠1与∠2的度数分别为( )A ．50°、40°B ．60°、30°C ．50°、130°D ．60°、120°11、下列语句正确的是( )A ．一个角小于它的补角B ．相等的角是对顶角C ．同位角互补，两直线平行D ．同旁内角互补，两直线平行12、图中与∠1是内错角的角的个数是( )A ．600B ．500C ．400D ．300A ．是同位角且相等B ．不是同位角但相等;C ．是同位角但不等D ．不是同位角也不等 A ．南偏东30° B ．南偏东60° C ．北偏西30° D ．北偏西60°A．2个B．3个C．4个D．5个13、如图，直线AB和CD相交于点O，∠AOD和∠BOC的和为202°，那么∠AOC的度数为( )A．89°B．101°C．79°D．110°14、如图，∠1和∠2是对顶角的图形的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．0个15、如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠5，②∠1=∠7，③∠2+∠3=180°，④∠4=∠7，其中能判定a∥b的条件的序号是( )A．①②B．①③C．①④D．③④分卷II分卷II 注释评卷人得分二、填空题(注释)16、如图，∠ACD＝∠BCD，DE∥BC交AC于E，若∠ACB＝60°，∠B＝74°，则∠EDC＝___°，∠CDB＝____°。
《相交线与平行线》课件
本课程将介绍相交线和平行线的定义、性质以及实际应用。通过本课程的学 习，您将对这些几何概念有更深入的了解。
相交线的定义和性质
什么是相交线
相交线是在平面上有一个 公共点的两条线段。
相交线的性质
相交线的两条直线之间会 形成一对垂直的角。
如何判断两条线是否 相交
可以通过检查线段是否有 公共点、检查线段的斜率 是否相等或使用交叉乘积 判断线段关系。
总结和回顾
相交线和平 行线的定义 和性质
如何判断两 条线是否相 交
相交线和平 行线的实际 应用
重要概念
如果两条线段的斜率相 等，它们就可能相交。
3 使用交叉乘积
通过计算线段的交叉乘 积可以判断线段之间的 关系。
相交线和平行线的实际应用
1
几何构图中的应用
平行线和相交线在绘制和构图几何图形时起到重要作用。Βιβλιοθήκη 2建筑设计中的应用
平行线和相交线在建筑设计中用于布局、平面图和立面图。
3
数学问题中的应用
平行线和相交线在解决数学问题时提供了一些有用的工具和线索。
平行线的定义和性质
什么是平行线
两条直线在平面上没有任何公 共点的线段被称为平行线。
平行线的性质
平行线之间的直线拓展无限延 伸，永远不会相交。
平行线的实际应用
平行线在几何构图、建筑设计 和数学问题中都有重要应用。
如何判断两条线是否相交
1 检查线段的公共点 2 检查线段的斜率
如果两条线段有公共点， 它们就相交。
北师大版七年级下数学第二章《相交线与平行线》全套教案
1北师大版七年级下数学第二章《相交线与平行线》教案 《2.1两条直线的位置关系》教案一：教学目标1、掌握两条直线平行与垂直的条件；2、会运用条件判断两直线是否平行或垂直；3、能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数.二：教学重点、难点两条直线平行与垂直的条件， 两条直线平行与垂直的条件的应用.三：教学设计（一）情景引入A ：两条直线位置关系当中平行为简单；现在我们来研究平面内两条直线平行的关系. ①先入为主的思想；在研究直线问题时首先考虑特殊情况：α=90°时，画图.这个情况很简单：当α=90°时只要x 1≠x 2，则两条直线平行.②一般情况：α≠90°时，则k 存在，∴y 1=kx +b 1 y 2=kx +b 2已知直线l 1，l 2的斜截式方程为：l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2，若l 1//l 2，则有α1=α2且b 1≠b 2，∴tan α=tan α [α1∈[0，180°），α2∈[0，180°）]∴k 1=k 2反之，是否成立？若k 1=k 2且b 1≠b 2则有tan α=tan α，∵0≤α1，α2＜π，∴α1=α2且b 1≠b 2，∴l 1//l 2结论一：①特殊情况：若两条直线l 1，l 2斜率都不存在也不重合，则两直线l 1，l 2平行； ②有斜率的两条直线l 1//l 2 <=> k 1=k 2且b 1≠b 2∴判断不重合的两条直线平行的程序：两条直线方程——两条直线斜率都不存在且不重合→平行.两条直线方程——化为斜截式方程→求两条直线斜率.若k 1=k 2且b 1≠b 2→平行若k 1≠k 2→相交或者若A 1B 2≠B 1A 2且B 1C 2≠B 2C 1或A 1B 2=A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1 则两条直线平行.例1：已知两条直线l 1:4x +2y -7=0，l 2:2x -y -5=0求证l 1∥l 212122∵l 1的斜率为，l 2的斜率为 ∴k 1=k 2∴l 1∥l 2 例2：求过点A （1，-4）且与直线2x +3y +5=0平行的直线的方程？解：已知直线的斜率为-，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是-. 根据点斜式，得到所求直线的方程是：y +4=-（x -1）即2x +3y +10=0 例3：如果直线ax +2y +2=0与3x -y -2=0平行，那么系数a =（）A .3B .-6C .-D . 例4：求与直线3x +4y +1=0平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线l 的方程？ 法一：设直线方程为3x +4y +m =0，交x 轴于点（-，0）交y 轴于点（0，-），由题意可得（-）+（-）=即m =-4， ∴所求直线l 的方程为3x +4y -4=0， 法二：设直线方程为+=1， ∴a +b =，-=-，可得a =，b =1， ∴所求直线l 的方程为3x +4y -4=0B ：平时我们已经理解了；接下来我们来研究两直线相互垂直的关系.①同样的先考虑特殊情况：若已知一条直线的倾斜角为90°，x =x 1，则求其另一条与它垂直的直线方程.②一般情况：若已知两条直线l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2 x +b 2，相互垂直则k 1与k 2有何关系？ α+（π-β）= ∴α-β=- ∴β=α+ 21213232322332373m 4m 3m 4m 37a x b y 37a b 43342π2π2π3tan β=tan （α+）=-cot α ∴tan α·tan β=tan α·（-cot α）=-1∴最后我们得证:若两条直线垂直则k 1k 2=-1.③α=90°时=>β=0°（特殊情况）k 1=0，k 2不存在.或者k 1不存在，k 2=0.例4:已知直线l 1：ax -y +2a =0与l 2：（2a -1）x +ay +a =0互相垂直，求a 的值一、①当α=90°即a =0时，l 2：x =0 ∴l 1：y =0 ∴l 1⊥l 2②当α≠90°则k 1·k 2=a ·（-）=-1 ∴a =1 二、A 1A 2+B 1B 2=0 =>a （2a -1）-a =0 2a ²-2a =0 =>a =1或a =0例5：求与3x +4y +1=0平行，且在两坐标轴上截距之和为7/3的直线l 的方程.（一）设直线方程为3x +4y +m =0，交x 轴于点（-，0）交y 轴于点（0，-） ∴（-）+（-）= ∴m =-4∴所求直线l 的方程为3x +4y -4=0（二）设直线方程为+=1 =>a +b =；-=-=>a =，b =1 ∴l ：3x +4y -4=0例6：已知三角形两条高线为x +y =0和2x -3y +1=0且一个顶点C （1，2），求三角形AC ，BC 边所在直线的方程.∵AC ，BC 与两条高线垂直∴AC ，BC 的斜率为1和- ∴边AC ，BC 所在直线的方程为y -2=1（x -1），y -2=-（x -1） 即x -y +1=0，3x +2y -7=0《2.2探索直线平行的条件》教案一、导学目标1.使学生能够熟练识别同位角；2πaa )12(-3m 4m 3m 4m 37a xb y 37a b 433423232.使学生会用同位角相等判定二条直线平行.二、重点难点1.重点（1）识别同位角.（2）用同位角相等判定二条直线平行.2.难点用同位角相等判定二条直线平行.三、导学过程一、自主学习：操作---观察---探索如图：3根木条（或硬纸条）相交成∠1、∠2，固定木条b、c，转动木条a.问：1.在木条a的转动过程中，木条a、b的位置关系发生了什么变化？∠2与∠1的大小关系发生了什么变化？2.改变图中∠1的大小，按照上面的方式再试一试，当∠2与∠1的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？二、合作探究：活动一：利用平移三角尺的方法画平行线，探索直线平行的条件.当∠1与∠2相等，直线a、b就；当∠1与∠2不相等时，直线a、b平行吗？活动二：通过观察、比较，认识“同位角”，探索直线平行的条件.直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为.请问图中还有没有其他的同位角？4归纳：相等，两直线.活动三：例题讲解.例：如图，∠1=∠C，∠2=∠C，请找出图中互相平行的直线，并说明理由.三、拓展提高：1.∠1与∠C、∠2与∠B、∠ 3与∠ C分别是哪两条直线被哪一条直线截成的同位角？2.如图，直线a、b被直线c所截，∠1=35°，∠2=145°，问：直线a与b平行吗？四、达标检测：1.如图，∠1与∠B是直线和被直线所截构成的同位角；∠2与∠A直线和被直线所截构成的同位角.2.如图，∠1、∠2、∠3中，和是同位角.3.如图，如果∠B=∠1，根据，那么可得DE//BC；如果∠B=∠2，根据同位角相等，两直线平行，那么可得// .4.如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠DNF，∠1＝∠2，那么MQ∥NP，为什么？AB CD EF13256《2.3平行线的性质》教案教学目标：理解平行线的性质的推导，掌握平行线的性质.教学重点：平行线的性质以及应用.教学难点：平行线的性质公理与判定公理的区别.教学过程：一、梳理旧知，引出新课平行线的判定：判定方法1、同位角相等，两直线平行.判定方法2、内错角相等，两直线平行.判定方法3、同旁内角互补，两直线平行.问题：反过来也成立吗？过去我们学过：如果两个数的和为0，这两个数互为相反数.反过来，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0.这两个句子都是正确的.现在换一个例子：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.它是对的.反过来，如果两个角相等，这两个角是对顶角.对吗？再看下面的例子：“如果一个整数个位上的数字是5，那么它一定能够被5整除.”对吗？这句话反过来怎么说？对不对？【结论】如果一个句子是正确的，反过来说（因果对调），就未必正确.二、动手操作，归纳性质上一节课，我们学过：同位角相等，两直线平行.反过来怎么说？它还是对的吗？（板书）性质1、两直线平行，同位角相等.P Q M N21F ED C B A7如果把平行线性质1：“两直线平行，同位角相等”看作是基本事实（公理），我们可以利用这个公理证明平行线性质2：“两直线平行，内错角相等”.【例】如图，已知：直线a 、b 被直线c 所截，且a ∥b ，求证：∠1=∠2.证明：∵a ∥b ，∴∠1=∠3（__________________）.∵∠3=∠2（对顶角相等），∴∠1=∠2（等量代换）.（板书）性质2、两直线平行，内错角相等【变式】下面我们来证明平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补.请模仿范例写出证明.如图，已知：直线a 、b 被直线c 所截，且a ∥b ，求证：∠1+∠2=180º.证明：（略）（板书）性质：两直线平行，同旁内角互补三、巩固新知，深化理解例1、如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截.（1）从∠1=110º．可以知道∠2是多少度吗？为什么？（2）从∠1=110º可以知道∠3是多少度吗？为什么？（3）从∠1=110º可以知道∠4是多少度吗？为什么？例2、如图，已知AB ∥CD ，AE ∥CF ，∠A = 39°，∠C 是多少度？为什么？ab1 2 3 c ab 1 23c ED CB A12348方法一解：∵AB ∥CD ， ∴ ∠C=∠1．∵ AE ∥CF ，∴ ∠A=∠1．∴ ∠C=∠A ．∵∠A = 39º，∴∠C = 39º．方法二解：∵AB ∥CD ，∴ ∠C=∠2.∵ AE ∥CF ，∴ ∠A=∠2.∴ ∠C=∠A .∵∠A = 39º，∴∠C = 39º．练习1：如图，已知直线a 、b 被直线c 所截，在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据： （1）∵a ∥b ，∴∠1=∠3（___________________）；（2）∵∠1=∠3，∴a ∥b （_________________）.（3）∵a ∥b ，∴∠1=∠2（__________________）；（4）∴a ∥b ，∴∠1+∠4=180º（_____________________________________）（5）∵∠1=∠2，∴a ∥b （___________________）；（6）∵∠1+∠4=180º，∴a ∥b （_______________）.练习2：教材第51页 随堂练习四、盘点收获，布置作业1、（1）平行线的性质是什么？（2）你能用自己的语言叙述研究平行线性质的过程吗？（3）性质2和性质3是通过简单推理得到的，在推理论证中需要注意哪些问题？2、作业G FED C B Aa b12 3 c 49《2.4用尺规作角》教案教学目的：1、经历尺规作角的过程，进一步培养学生的动手操作能力，增强学生的数学应用和研究意识.2、能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.教学重点：能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.教学难点：作图步骤和作图语言的叙述，及作角的综合应用.教学过程：一、问题的提出如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB .（1）请过点C 画出与AB 平行的另一条边.（2）如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？二 、新课内容一：（请按作图步骤和要求操作，别忘了留下作图痕迹）（一） 用尺规作一个角等于已知角.（1）已知：∠AOB求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB（2）已知：∠10求作：∠AOB ，使∠AOB=∠（二）用尺规作一个角等于已知角的倍数：（3）已知：∠1求作：∠MON ，使∠MON=2∠1∠COD ，使∠COD=3∠1（三）用尺规作一个角等于已知角的和：（4） 已知：∠1、∠2、∠3求作：①∠AOB ，使∠AOB=∠1+∠2②∠POQ ，使∠POQ=∠1+∠2+∠3③∠MON ，使∠MON=2∠1+∠2（四）用尺规作一个角等于已知角的差：已知：∠、∠、∠求作：①∠AOB ，使∠AOB=∠－∠②∠POQ ，使∠POQ=∠－∠－∠③求作一个角，使它等于2∠－∠（五） 综合练习：（通过以下练习，意味着你掌握了作角的真本领，多动一下脑筋，你一定会完成得很出色的）1、已知：线段AB 、 ∠、∠αα1αβγαβγαβαβγβγαβ13211求作：分别过点A 、点B 作∠CAB=∠、∠CBA=∠2、如图，点P 为∠ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线EF//BC .3、已知：直线L 和L 外一点P ，求作：一条直线，使它经过点P ，并与已知直线L 平行.4、已知：△ABC ，求作：直线MN ，使MN 经过点A ，且MN//BC .5、如图，以点B 为顶点，射线BA 为一边，在∠ABC 外再作一个角，使其等于∠ABC .（六）小结（七）作业αβLA αβ。
第二章 相交线与平行线
第二章相交线与平行线第1节两直线的位置关系∙知识点聚焦1.相交线与平行线（1）相交线：在同一平面内如果两条直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交.∙（2）平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线.注：（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.（2）两条直线相交，只有一个交点.2.对顶角与邻补角（1）对顶角：两条直线相交所成的四个角中，一个角的两边与另一个角的；两边互为反向延长线，这两个角叫作对顶角，对顶角相等.注：相等的角不一定是邻补角.（2）邻补角：两条直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角叫作邻补角，邻补角互补.注：互补的角不一定是邻补角.3.余角和补角（1）余角①定义：如果两个角的和是o90，那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角.②性质：同角或等角的余角相等.（2）补角180那么称这两个角“互为补角”，简称“互补”，①定义：如果两个角的和是o也可以说其中一个角是另一个角的补角.②性质：同角或等角的补角相等.4.垂线（1）定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足.（2）性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. ②连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短.简称垂线段最短.（3）点到直线的距离:直线外一点到这条到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.注：距离是指线段的长度，是一个数量；线段是图形，它们之间不能等同. （4）垂线的画法一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上. 二移：移到三角尺使已知点落在它的另一条直角边上. 三画：沿着这条直角画线.注：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.②过一点作线段的垂线，垂足可以线段上，也可以在线段的延长线上.典型例题 例1.如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共 构成哪几对邻补角？分析：⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角.12对邻补角.ABC DEF例2.如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.分析：⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴,21BOC EOC ∠=∠,21AOC FOC ∠=∠∴)(212121AOC BOC AOC BOC FOC EOC EOF ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠又∵︒=∠+∠180AOC BOC ∴︒=︒⨯=∠9018021EOF⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE.例3.（1）已知，如图，直线AB 、CD 交于点O ，且o BOC AOD 120=∠+∠，求AOC ∠的度数.（2）如图，AB 、CD 、EF 交于点O ，o AOE 25=∠，o DOF 45=∠，求AOD ∠的对顶角的度数.（3）如图，AB 、CD 交于点O ，OE 平分AOD ∠，o BOD BOC 30-∠=∠，求CO E ∠的度数.分析：（1）由对顶角相等可得o BOC AOD 60=∠=∠，从而可得o o o A O C 12060180=-=∠.CEF（2）由对顶角相等可知o DOF EOC 45=∠=∠，从而可得o o o o A O D 1102545180=--=∠.（3）o BOD COB 180=∠+∠，o BOD BOC 30-∠=∠，则o C O B 75=∠，o BOD 105=∠，o COB AOD 75=∠=∠，OE 平分AOD ∠，则o AOE 5.37=∠， o BOD AOC 105=∠=∠，则o o o AOE COA COE 5.1425.37105=+=∠+∠=∠.例 4.已知，如图所示直线AB 、CD 、EF 交于点O ，BOD APF ∠=∠2，AOC COE ∠=∠23，求COE ∠的度数.分析：方程思想，将图中的角用未知数表示，找到等量关系，设方程，一般设较小的为x .例5.如图，OE 与CD 相交与点O ，且21,90∠=∠︒=∠=∠COE DOE .（1）BOE AOE ∠∠与有什么关系？为什么？ （2）BOC AOD ∠∠与有什么关系？为什么？ 分析：（1）BOE AOE ∠∠与相等.因为21,902,901∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠且BOE AOE ，所以BOE AOE ∠=∠.（2）BOC AOD ∠∠与相等，21,1802,1801∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠且BOC AOD ,所以BOC AOD ∠=∠.例6.（1）如图，已知o ACB 90=∠，AB CD ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段 的长；线段DB 的长为点 到直线 的距离.AE CB OD12（2）如图，在直角三角形ABC 中，o C 90=∠，c AB =，b AC =，a BC =，则AB BC AC BC AB AB AC -++-+-= .分析：（1）垂线的性质.（2）垂线段最短+两点间线段最短.例7.探索规律(1)2条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角? (2)3条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角? (3)4条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角?(4)n 条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角?分析：两条直线相交时可出现两对不同的对顶角，故找对顶角的对数其实质就是找有多少对不同的直线相交.课堂练习1.下列说法正确的是（ ）A.同一平面内没有公共点的两条线段平行B.两条不相交的直线是平行线C.同一平面内没有公共点的两条直线平行D.同一平面没有公共点的两条射线平行2.下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的图形有( )A.0B.1C.2D.33.如图所示，∠1的邻补角是( )A ．BOC ∠B ．BOE ∠和AOF ∠C ．AOF ∠D ．BOE ∠和AOC ∠4.下列各图中,∠1与∠2互为余角的是( )A. B ．C ．D ．5.如图,直线1l 与2l 相交于点O ,1l OM ⊥,若o 44=∠α，则=∠β等于（ ）A ．o 56B ．o 46C ．o 45D ．o 446.若直线a 与直线b 相交于点A ，则直线b 上到直线a 距离等于2cm 的点的个数是（ ）个.A ．0B ．1C ．2D ．37.如图,已知直线AB 与CD 交于点O ,ON 平分DOB ∠,若o BOC 110=∠，则AON ∠的度数为___度.8.如图所示，o ACB 90=∠，AB CD ⊥，BC DE ⊥，①钝角与锐角互补； ②α∠的余角是α∠-090； ③β∠的补角是β∠-o 180；④若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互余.10.已知：如图,三条直线AB ,CD EF 相交于O ,且EF CD ⊥,11.已知，所示，o ACB 90=∠，cm BC 5=，cm AC 12=，12.通过画图，寻找对顶角和邻补角(不含平角)：(1)若2条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角. (2)若3条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角. (3)若4条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角.(4)通过(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n 条直线相交于同一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角.13.如图，AB ,CD ,EF 相交于点O ，如果o AOC 65=∠，o DOF 50=∠.（1）求BOE ∠的度数；（2）计算AOF ∠的度数，发现射线OA 有什么特殊性吗？14.如图，AOB 是一条直线，o EOC BOD AOD 90=∠==∠.1:3:=∠∠AOE BOD , (1)求COD ∠的度数. (2)图中有哪几对角互为余角? (3)图中有哪几对角互为补角?15.将一张长方形纸片按图中的方式折叠,BC ,BD 为折痕,求CBD ∠的大小.16.已知:如图,直线AB ,CD 相交于点O ,OE 平分BOD ∠,OF 平分COB ∠,1:4:=∠∠DOE AOD .求AOF ∠的度数.17.如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.18.如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．CDBAEO19.已知：直线AB 与直线CD 相交于点O ,o BOD 45=∠.(1)如图1，若AB EO ⊥，求DOE ∠的度数； (2)如图2，若FO 平分AOC ∠，求DOF ∠的度数.20.如图所示，已知直线AB 、CD 交于点0，x ＝1，1-=y 是方程34-=+y ax 的解，也是方程a ay bx 21+=-的解，且a b AOD AOC ::=∠∠，AB EO ⊥. (1)求EOC ∠的度数.(2)若射线OM 从OC 出发，绕点O 以s o /1的速度顺时针转动，射线ON 从OD 出发，绕点O 以s o /2的速度逆时针第一次转动到射线OE 停止，当ON 停止时，OM 也随之停止.在转动过程中，设运动时间为t ，当t 为何值时，ON OM ⊥. (3)在(2)的条件下，当ON 运动到EOC ∠内部时，下列结论：①BON EOM ∠-∠2不变；②BON EOM ∠+∠2不变，其中只有一个是正确的，请选择并证明.第2节 探索直线平行的条件∙知识点聚焦1.同位角具有1∠和5∠这样位置关系的角称为同位角， 图中的同位角还有2∠和6∠，3∠和7∠，4∠和8∠ 2.内错角具有3∠和5∠这样位置关系的角称为内错角， 图中的内错角还有4∠和6∠ 3.同旁内角具有4∠和5∠这样位置关系的角称为同旁内角，图中的同旁内角还有3∠和6∠ 注：（1）同位角、内错角、同旁内角是成对出现的，两直线被第三条直线所截形成的8个角中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.（2）同位角、内错角、同旁内角各自的位置关系：同位角是“同旁同侧”，内错角是“内部异侧”，同旁内角“内部同侧” 4.两条直线平行条件（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等.两直线平行.（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简称：内错角相等.两直线平行.（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简称：同旁内角互补.两直线平行. （4）平行于同一条直线的两条直线平行.（5）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 5.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行41 2 3 5 876ＤＣＢEＡF例1:如图所示：⑴图中∠1与∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？⑵图中∠1与哪个角是同位角？它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ ⑶∠3与∠C 是什么位置关系的角？它们是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？分析：⑴∠1与∠2是直线AB 、DE 被直线EF 所截形成的；⑵∠1与∠B 是同位角，它们是直线EF 、BC 被直线AB 所截形成的； ⑶∠3与∠C 是同旁内角，它们是直线AC 、DE 被直线BC 所截形成的.例2: 如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：分析：（1）∠1和∠2：是AB 、EF 被直线CD 所截而得到的，一组同位角（2）∠1和∠3：是AB 、CD 被直线CD 所截而得到的，一对内错角（3）∠1和∠6：是AB 、CD 被直线CD 所截而得到的，一对同旁内角（4）∠2和∠6：是EF 、CD 被直线AB 所截而得到的，一对同位角 （5）∠2和∠4：是EF 、AB 被直线CD 所截而得到的，一对同旁内角 （6）∠3和∠5：是EF 、CD 被直线AB 所截而得到的，一对内错角 （7）∠3和∠4：是AB 、CD 被直线EF 所截而得到的，一对同旁内角 例3:如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由. ⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°； ⑶∠ACD ＝∠BAC ；3CFEBAD1 423 65ABCDO分析： ⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.例4: 如图，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.分析：如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360° 这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°课堂练习01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ） A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DAC C ．∠ACF 是α的余角 D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ） A ．∠AMF B ．∠BMF C ．∠ENC D ．∠ENDl 1l 2l 3 l 4l 5l 6图⑴l 1l 2 l 3l 4l 5l 6图⑵A E BCF DABC D FEMNα第1题图 第2题图ABDC第4题图03．下列语句中正确的是（ ）A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ） ①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．605．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．小于4cmD ．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12.如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ， ∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81A C D EB A BC DEF 1 213．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ）⑵∵∠2＝ （已知）∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件 .使AD ∥BC ．15.在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.1 23 AB C DE F第13题图 AB C D E F第14题图GFEDCB A第3节 平行线的性质∙知识点聚焦1. 平行线的性质（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简称为：两直线平行，同位角相等.（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称为：两直线平行，内错角相等.（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称为：两直线平行，同旁内角互补.2.平行线的判定与性质的区别与联系 （1）直线平行的条件同位角相等；内错角相等；同旁内角互补；两直线平行； （2）平行线的性质两直线平行；同位角相等；内错角相等；同旁内角互补；例1 如图，平行线CD AB ,被直线AE 所截.(1) 从︒=∠1101可以知道2∠是多少度吗？为什么？ (2) 从︒=∠1101可以知道3∠是多少度吗？为什么？ (3) 从︒=∠1101可以知道4∠是多少度吗？为什么？ 分析：（1）︒=∠1102( 两直线平行，内错角相等.)(2)︒=∠1103 ( 两直线平行，同位角相等.) (4)︒=∠704 (两直线平行，同旁内角互补.)例2 如图，已知C A CF AE CD AB ∠︒=∠,39,//,//是多少度？为什么？ 分析：因为CF AE //，所以FGB A ∠=∠因为CD AB //,所以C FGB ∠=∠ 所以︒=∠39C例3 如图，AB ∥CD ，AE 、DF 分别是∠BAD 、∠CDA 的角平分线，AE 与DF 平行吗？•为什么？分析：平行． ∵AB ∥CD ，∴∠BAD=∠CDA （两直线平行，内错角相等）． ∵AE 、DF 分别是∠BAD 、∠CDA 的平分线，∴∠EAD=12∠BAD ，∠FDA=12∠CDA ．∴∠EAD=∠FDA ．∴AE ∥DF （内错角相等，两直线平行）．例4 如图，已知∠AMB=∠EBF ，∠BCN=∠BDE ，求证：∠CAF=∠AFD ．分析：∵∠AMB=∠DMN ，又∠ENF=∠AMB ，∴∠DMN=∠ENF ， ∴BD ∥CE ．∴∠BDE+∠DEC=180°．又∠BDE=∠BCN ，∴∠BCN+∠CED=180°， ∴BC ∥DE ，∴∠CAF=∠AFD ．例5 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A 是120°，第二次拐的角B 是150°，第三次拐的角是∠C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，问∠C 是多少度？说明你的理由.分析：∠C=150°．理由：如答图，过点B 作BE ∥AD ，则∠ABE=∠A=120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=150°-120°=30°． ∵BE ∥AD ，CF ∥AD ，∴BE ∥CF （平行于同一条直线的两直线平行）． ∴∠C+∠CBE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠C=180°-∠CBE=180°-30°=150°．西B 30°A北东南例6 （1）如图，若AB ∥DE ，∠B=135°，∠D=145°，你能求出∠C 的度数吗？（2）在AB ∥DE 的条件下，你能得出∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系吗？并说明理由．分析：（1）如答图5-3-2，过点C 作CF ∥AB ，则∠1=180°-∠B=180°-135°=45°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CF ∥AB ，DE ∥AB ，∴CF ∥DE （平行于同一条直线的两直线平行）．∴∠2=∠180°-∠D=180°-145°=35°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠BCD=∠1+∠2=45°+35°=80°． （2）∠B+∠C+∠D=360°．理由：如答图5-3-2过点C 作CF ∥AB ，得∠B+∠1=180°（两直线平行，•同旁内角互补）．∵CF ∥AB ，DE ∥AB ，∴CF ∥DE （平行于同一条直线的两直线平行）． ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠B+∠1+∠2+∠D=360°． 即∠B+∠BCD+∠D=360°．点拨：辅助线CF 是联系AB 与DE 的纽带．课堂练习01．如图，由A 测B 得方向是（ ） A ．南偏东30° B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等 B.同位角相等 C．内错角相等D．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①② B．②③C．③④D．①④06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52° B．南偏东52° C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种 B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD 的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.150°120°DBCE湖4321ABEFC D4P231A BEFC D12．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.13．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？14．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.第4节尺规作图知识点聚焦1.“尺规作图”的含义（1）在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．尺规作图在操作过程中不允许度量．（2）基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.2.熟练掌握尺规作图题的规范语言（1）用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .3.了解尺规作图题的一般步骤（1）已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；（2）求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；（3）作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.例1. 例2.例3. 典型例题如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于b a -2．解：（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ；（3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段．求作一个角等于已知角∠MON ．解：（1）作射线11M O ；（2）以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ； （3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ； （4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ； （5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的角．如下图，已知α∠及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ．∙作法 如下图（1）∠MBN =∠α；（2）在射线BM 上截取BC =a ；（3）以C 为顶点作∠PCB =∠α，射线CP 交BN 于点A ．△ABC 就是所要求作的等腰三角形．说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ．解（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点；（3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A 区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B 点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．分析 依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A 区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B 点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm ，就可以确定出蓝方指挥部的位置．解 如下图，图中C 点就是蓝方指挥部的位置．例4. 例5.课堂练习1.如图，已知∠A 、∠B ，求作一个角，使它等于B A ∠-∠.2.如图作△ABC ，使得BC=a 、AC=b 、AB=c3.如图，画一个等腰△ABC ，使得底边BC=a ，它的高AD=h4.如图，已知∠AOB 及M 、N 两点，求作：点P ，使点P 到∠AOB 的两边距离相等，且到M 、N 的两点也距离相等。
北师大版第二章单元设计：相交线与平行线
北师大版第二章单元设计：相交线与平行线第一部分：相交线在数学中，相交线是指两条线相交形成的交点。
它们可以在同一个平面内相交，也可以在平面外相交。
相交线是几何学中一个重要的概念，它们不仅在实际生活中有着广泛的应用，同时也有着深入的理论研究。
我们来讨论相交线的基本属性。
当两条线相交时，它们形成的交点将成为两条线的公共点。
如果两条线相交于一个点，并且该点同时也在其他平面内的其他线上，那么我们称这些线为共面线。
相交线在几何学中有着重要的地位，它们可以帮助我们理解和解决许多几何问题。
我们来探讨相交线的分类。
相交线可以分为直线与直线的相交以及直线与曲线的相交。
直线与直线的相交可以进一步分为三种情况：相交于一点、重合和平行。
相交于一点的情况是最常见的，两条直线不在同一条直线上但有一个共同的交点。
重合的情况下，两条直线完全重叠，它们有无数个公共点。
而平行的情况下，两条直线永远不会相交，它们在平面上保持同样的距离。
对于直线与曲线的相交，具体的情况则更加多样化，在实际问题中需要具体分析。
进一步地，我们来探究相交线的性质和定理。
在欧几里得几何中，有许多和相交线相关的重要定理，比如垂直线的定理、同位角的性质等。
其中最著名的定理之一是相交线的交角定理，也称为“内错定理”。
它指出，当两条平行线被一条横截线相交时，所形成的内错角相等。
该定理是解决平行线问题中的关键定理之一，被广泛应用于各个领域。
第二部分：平行线平行线是指在同一个平面上不相交的直线。
平行线有着独特的特点和性质，是几何学中一个重要的概念。
我们来讨论平行线的基本特点。
平行线永远不会相交，它们在平面上保持着相同的方向，且彼此之间的距离始终保持不变。
具体而言，如果两条直线被一条横截线所交，交角的大小将始终保持不变。
这个特点可以帮助我们解决很多与平行线相关的问题。
我们来研究平行线的性质和定理。
在欧几里得几何中，有许多关于平行线的定理，如平行线的判定定理、平行线之间夹角的性质等。
平行线的性质ppt课件
如图1,若AB∥DE , AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，
并说明理由.
F
解: ∠A =∠D.理由：
C
∵ AB∥DE( 已知 )
∴∠A=_∠_C__P_E__ ( 两直线平行,同位角相等)
∵AC∥DF( 已知 )
P
D
E
∴∠D=_∠_C_P_E__ ( 两直线平行,同位角相等 )
A
B
∴∠A=∠D (等量代换 )
1.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)从∠1=110o可以知道∠2 是多少度?为什么？ (2)从∠1=110o可以知道∠3是多少度？为什么？ (3)从∠1=110o可以知道∠4 是多少度？为什么？
A
2C E
1
43
B D
2. 如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.第一次拐的 角∠B是142o，第二次拐的角∠C是多少度？为什么？
∠3，∠4的度数吗？为什么？
解：∵DE∥BC(已知)，
∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)， ∠2＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互 补)． ∴∠2＝180°－∠1＝180°－65°＝115°.
又∵DF∥AB(已知)，
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)． ∴∠3＝115°(等量代换)．
E P
∴∠A+∠D=180o（ 等量代换
）
B
A
图2
归纳小结
两直线平行
性质 判定
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
1
3 2
c
探究三
三、平行线的基本性质3 思考：类似的，已知两直线平行，能否可以得到同旁内角之间的数 量关系？
如图,已知a//b,那么∠2与∠4有什么关系呢？为什么?
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1两条直线的位置关系第1课时对顶角、余角和补角1．在同一平面内不重合的两条直线的位置关系可能是()A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．平行或相交或重合2．下列说法中正确的是()A．不相交的两条直线是平行线B．在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线C．在同一平面内，两条直线不相交就重合D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线3．下列各组角中，是对顶角的一组是()A．∠2和∠4 B．∠1和∠4C．∠2和∠5 D．∠1和∠54．下列图形中∠1和∠2是对顶角的是()5．直线AB和直线CD相交于点O，若∠AOC＝40°，则∠BOC等于()A．40° B．60° C．140° D．160°6．如图，三条直线l1，l2，l3相交于一点，已知∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3＝.7．当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．如图所示，若∠1＝42°，∠2＝28°，则光的传播方向改变了.8．如图，直线AB与CD相交于点O，OE为射线．(1)写出∠AOC的对顶角；(2)若∠AOC＝38°，∠BOE＝108°，求∠DOE和∠AOE的度数．9．若∠A＝34°，则∠A的余角的度数为()A．146° B．54° C．56° D．66°10．计算：30°角的余角的补角是 .11．已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数．易错点对余角、补角的定义认识不清导致出错12．如图所示，O是直线AE上的一点，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．(1)图中互余的角有哪几对？(2)图中互补的角有哪几对？13．下列说法正确的是()A．两条直线相交所成的角是对顶角B．相等的角必是对顶角C．对顶角一定相等D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等14．如图，直线AB，CD相交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2，其推理依据是()A．同角的余角相等B．对顶角相等C．同角的补角相等D．等角的补角相等15．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角(注：两角互补且有一条公共边的角叫做邻补角)的是()16．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD＝40°，OA平分∠COE，则∠AOE＝°.17．如图，直线AB，CD相交于点O.已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE∶∠EOC＝2∶3.(1)求∠AOE的度数；(2)若OF平分∠BOE，问OB是∠DOF的平分线吗？试说明理由．18．探索研究：A：观察如图所示的各图，寻找对顶角(不含平角)：(1)如图a，图中共有对不同的对顶角；(2)如图b，图中共有对不同的对顶角；(3)如图c，图中共有对不同的对顶角；(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角；(5)若2 018条直线相交于一点，则可形成对对顶角．B：(1)3条直线两两相交最多有个交点，此时有对不同的对顶角；(2)4条直线两两相交最多有个交点，此时有对不同的对顶角；(3)n条直线两两相交最多有个交点，此时有对不同的对顶角；(4)计算2 018条直线两两相交最多有个交点，则可形成对不同的对顶角．第2课时垂线与垂线段1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是()A．35° B．40° C．45° D．60°2．如图所示，直线AB与CD相交于点O.下列说法不正确的是()A．若∠AOC＝90°，则AB⊥CD B．若AB⊥CD，垂足为O，则∠BOD＝90°C．当∠COB＝90°时，称AB与CD互相垂直D．AB与CD相交于点O，点O为垂足3．如图，点O为直线AB上一点，∠1＝20°，当∠2＝时，OC⊥OD.4．如图所示，直线AB与CD交于点O，MO⊥AB，垂足为O，ON平分∠AOD.若∠COM＝50°，求∠AON 的度数．5．在下列各图中，分别过点P画线段MN的垂线．(用三角尺画图)6．如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点，请按以下要求作图(注：下列求作的点均是格点)过点B作线段AB的垂线段BE.7．如图，已知OA⊥m，OB⊥m，所以OA与OB重合，其理由是()A．经过两点有且只有一条直线B．在同一平面上，一条直线只有一条垂线C．两点之间，线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8．如图所示，点P到直线l的距离是()A．线段P A的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度9．(2019·山东淄博一模)在下列图形中，线段PQ的长度能表示点P到直线l的距离的是()10．如图所示，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)点A到BC的距离是线段的长，点A到CD的距离是线段的长；(2)比较大小：AC AD，AC AB，AB BC(填“＞”“＜”或“＝”)，其根据是；(3)AD＋CD AC(填“＞”“＜”或“＝”)，其根据是．11．下列时刻中，时针与分针互相垂直的是()A．2时20分B．6时15分C．12时15分D．3时整12．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段BE时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个13．已知OA⊥OB，O为垂足，且∠AOC∶∠AOB＝1∶2，则∠BOC等于()A．45° B．135° C．45°或135° D．60°或20°14．两条直线相交成四个角，则：①如果有三个角相等，那么这两条直线垂直；②如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；③如果有一对对顶角互余，那么这两条直线垂直；④如果有两个角互补，那么这两条直线垂直．其中说法正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．415．小华站在长方形操场的左侧A处．(1)若要到操场的右侧，怎样走最近，在图1中画出所走路线．这是因为；(2)若要到操场对面的B处，怎样走最近，在图2中画出所走路线．这是因为．16．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC，且∠COE∶∠AOC＝2∶5，求∠DOF的度数．17．(2019·辽宁鞍山铁西区期末)已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF.(1)如图1，∠EOF在直线CD的右侧：①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系，并说明理由．(2)如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．2探索直线平行的条件第1课时同位角、内错角、同旁内角1．如图，直线a，b被直线c所截，则与∠2是内错角的是()A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠52．如图，直线AB，AF被BC所截，则与∠2是同位角的是()A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠43．如图，与∠1是同旁内角的是()A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠54．下列图形中，∠1与∠2是同位角的是()5．(2019·内蒙古呼伦贝尔期中)如图，下列说法错误的是()A．∠A与∠C是同旁内角B．∠1与∠3是同位角C．∠2与∠3是内错角D．∠3与∠B是同旁内角6．如图所示．(1)∠1与∠2是直线和直线被第三条直线所截而成的角；(2)∠2与∠3是直线和直线被第三条直线所截而成的角；(3)∠4与∠A是直线和直线被第三条直线所截而成的角．7．如图所示，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，图中的内错角有多少对？请把它们写出来．8．如图，下列结论正确的是( )A．∠5与∠2是对顶角B．∠1与∠3是同位角C．∠2与∠3是同旁内角D．∠1与∠2是同旁内角9．如图所示，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠B中，同位角是，内错角是，同旁内角是．易错点复杂图形中，混淆截线、被截线，进而分不清同位角、内错角、同旁内角10．如图所示，与∠A是同位角的是，是同旁内角的是.11．(2019·山东济南槐荫区期末)下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是( )12．(2018·广东广州中考)如图，直线AD ，BE 被直线BF 和AC 所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )A ．∠4，∠2B ．∠2，∠6C ．∠5，∠4D ．∠2，∠4 13．如图所示，以下几种说法，其中正确的个数是( )①∠3和∠4是同位角；②∠6和∠7是同位角； ③∠4和∠5是内错角；④∠2和∠5是同旁内角； ⑤∠2和∠7是同位角；⑥∠1和∠2是同位角． A ．3 B ．4 C ．5 D ．614．如图，能与∠1构成同位角的角有 个．15．如图，与∠2是内错角的是 ，∠3与∠B 是 角，与∠B 是同旁内角的是 .16．(2019·山东济南槐荫区期末)两条直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，∠2与∠3是内错角． (1)画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；(2)若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．17．一个“跳棋棋盘”(如图)，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上(棋子的落点在相应角的顶点处)，如从起始位置∠1跳到终点位置∠3的路径有：路径1：∠1――→同旁内角∠9――→内错角∠3；路径2：∠1――→内错角∠12――→内错角∠6――→同位角∠10――→同旁内角∠3.(1)写出从∠1到∠8，途经一个角的一条路径；(2)从起始∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8? (3)找出从起始∠1跳到终点∠8的路径，要求跳遍所有的角，且不能重复．第2课时平行线及其判定1．下列说法不正确的是()A．100米跑道的跑道线所在的直线是平行线B．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直C．若a∥b，b∥d，则a⊥dD．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行2．如图，已知AB∥EF，AB∥CD，还能得到哪两条直线平行，请补充完整的推理过程．因为AB∥EF，，所以∥( )．3．我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是()A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等4．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是()A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4C．∠3＝∠4 D．∠2＋∠3＝∠45．如图，AD是一条直线，∠1＝60°，∠2＝120°.试说明BE∥CF.6．如图，∠1＝∠2，则直线AB∥CD的是()7．如图，根据题意填空：因为∠1＝∠2(已知)，所以∥.因为∠2＝∠3(已知)，所以∥.所以∥.8．如图，∠1＝65°，∠DMN＝115°，试说明：CD∥AB.9．如图，在下列四个条件中，可得CE∥AB的条件是(D)A．∠2＝∠3 B．∠4＋∠ACD＝180°C．∠1＝∠4 D．∠2＋∠BCE＝180°10．如图，DE是过三角形ABC的顶点A的直线．(1)当∠B＝时，DE∥BC，理由是．(2)当∠B＋＝180°时，DE∥BC，理由是．11．如图，∠1＝70°，∠2＝110°，AB与ED平行吗？为什么？12．如图所示，a，b，c，d四条直线相交，如果∠1＝∠2，可得()A．a∥b B．c∥d C．a∥c D．a∥d13．(2018·湖南郴州中考)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是()A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180°C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠314．如图，(1)如果∠1＝∠B，那么∥，根据是；(2)如果∠3＝∠D，那么∥，根据是；(3)如果∠B＋∠2＝，那么AB∥CD，根据是．易错点不能正确识别截线与被截线，误判两直线平行15．(2019·湖北黄冈二模)如图，下列四个条件中，能判定DE∥AC的是()A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2C．∠EDC＝∠EFC D．∠ACD＝∠AFE16．已知直线a与点P，过点P画直线l的平行线b，下列结论正确的是()A．直线b最多有一条B．直线b至少有一条C．直线b一定有一条并且只有一条D．直线b的条数不能确定17．下列说法：①过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条；②一条直线的平行线只有一条；③两条不相交的直线叫做平行线；④过一点能画一条已知直线的平行线．其中，正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个18．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是()A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3C．∠4＝∠5D．∠2＋∠4＝180°19．如图，要使CF∥BG，你认为应该添加的一个条件是．20．如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD＝82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向旋转度．21．一块四边形木板和一把曲尺(直角尺)如图所示，把曲尺一边紧靠木板边缘PQ，画直线AB，与PQ，MN分别交于点A，B；再把曲尺的一边紧靠木板的边缘MN，移动使曲尺另一边过点B画直线，若所画直线与BA重合，则这块木板的对边MN与PQ是平行的，其理论依据是．22．(2019·山东济南市中区期末)请将下列证明过程补充完整．已知：如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠α＋∠β＝90°.求证：AB∥CD.证明：因为CE平分∠ACD(已知)，所以∠ACD＝2∠α( )．因为AE平分∠BAC(已知)，所以∠BAC＝(角的平分线的定义)．所以∠ACD＋∠BAC＝2∠α＋2∠β( )，即∠ACD＋∠BAC＝2(∠α＋∠β)．因为∠α＋∠β＝90°(已知)，所以∠ACD＋∠BAC＝( )．所以AB∥CD( )．23．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝15°，∠2＝15°，AE与BF平行吗？为什么？24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC，∠AED＝∠EDC，请你猜想DE与BF的位置关系并说明理由．25．如图所示，若MN⊥AB，垂足为Q，∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，试判断直线MN与EF的位置关系，并说明理由．3平行线的性质1．(2019·广西百色中考)如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是()A．122° B．85° C．58° D．32°2．(2019·云南中考)如图，若AB∥CD，∠1＝40°，则∠2＝ .3．(2019·广西梧州岑溪期末)如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，已知∠1＝60°，求∠2的度数．.4．(2019·北京石景山区期末)如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．若∠CBD＝55°，则∠EDA的度数是()A．145° B．125° C．100° D．55°5．(2019·辽宁锦州中考)如图，AC与BD交于点O，AB∥CD，∠AOB＝105°，∠B＝30°，则∠C的度数为()A．45° B．55° C．60° D．75°6．(2018·浙江衢州中考)如图，将长方形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E 处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于()A．112° B．110° C．108° D．106°7．如图，已知AB∥CD，BE∥CF，试说明∠1＝∠2.8．(2019·西藏中考)如图，AB∥CD，若∠1＝65°，则∠2的度数是()A．65° B．105° C．115° D．125°9．(2019·山东德州期末)将一块直角三角尺与两边平行的硬纸条如图所示放置，下列结论：(1)∠1＝∠2；(2)∠3＝∠4；(3)∠2＋∠4＝90°；(4)∠4＋∠5＝180°.其中错误的个数是()A．0 B．1 C．2 D．310．(2018·四川广安中考)一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝度．11．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．12．(2019·山东济宁中考)如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是()A．65° B．60° C．55° D．75°13．如图，下列推理：(1)若∠2＝∠3，则AB∥CD；(2)若AB∥CD，则∠1＝∠4；(3)若∠ABC＋∠BCD＝180°，则AD∥BC；(4)若∠2＝∠3，则∠ADB＝∠CBD.其中正确的个数是.14．如图，∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3，∠BCD＝80°，求∠ADC的度数．15．(2019·山东临沂沂水期末)如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF.试说明：∠DAF＝∠F.易错点忽视两直线平行这一条件是否存在16．如图所示，已知直线a，b被直线c所截，则以下结论正确的有()①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠3；④∠3＋∠4＝180°.A．1个B．2个C．3个D．4个17．(2019·广东深圳中考)如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是()A．∠1＝∠4 B．∠1＝∠5C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠318．(2019·四川乐山中考)如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC.若∠1＝35°，那么∠2等于()A．45° B．50° C．55° D．60°19．一条街道的路线图如图，若AB∥CD，且∠ABC＝130°，那么当∠CDE＝时，BC∥DE. 20．(2019·安徽淮北濉溪期末)如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝120°，则∠BFD＝.21．(2019 ·广东汕头潮南区期中)如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD.(1)试判断AB与CD的位置关系；(2)若∠EHF＝75°，∠D＝45°，求∠AEM的度数．22．(2019·山东临沂莒南期末)如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C.(1)若∠O＝40°，求∠ECF的度数；(2)试说明CG平分∠OCD；(3)当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．23．如图1所示，对于直线MN同侧的两个点A，B，若直线MN上的点P满足∠APM＝∠BPN，则称点P 为A，B在直线MN上的反射点．如图2所示，MN∥HG，AP∥BQ，点P为A，B在直线MN上的反射点，判断点B是否为P，Q在直线HG上的反射点，并说明理由．4用尺规作角1．尺规作图是指()A．用直尺规范作图B．用刻度尺和圆规作图C．用没有刻度的直尺和圆规作图D．直尺和圆规是作图工具2．下列关于尺规的功能说法不正确的是()A．直尺的功能：在两点间连接一条线段，将线段向两方向延长B．直尺的功能：可作平角和直角C．圆规的功能：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆D．圆规的功能：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧3．下列作图属于尺规作图的是()A．用量角器画出∠AOB的平分线OC B．已知∠α，作∠AOB，使∠AOB＝2∠αC．画线段AB＝3 cm D．用三角尺过点P作AB的垂线4．下列尺规作图语言中，正确的是()A．作∠AOB＝20° B．过点A，B作直线ABC．作一条线段AB，并使其长度为5 cm D．以点O为圆心，12 cm为半径画圆5．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB，根据图填空．作法：(1)作射线；(2)以点为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点，交OB于点；以点为圆心，以长为半径作弧，交射线O′A′于点C′；(3)以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点D′；(4)过点D′作射线，就是所求作的角．6．下列尺规作图的语句正确的是()A．延长射线AB到D B．以点D为圆心，任意长为半径画弧C．作直线AB＝3 cm D．延长线段AB至C，使AC＝BC7．利用尺规作∠AOB等于已知角时，下列说法不正确的是()A．点O的位置可任意选取B．∠AOB的一边的方向可任意选取C．∠AOB的大小可任意选取D．射线OA的长度可任意选取8．作∠EDF＝∠BAC的作图痕迹如图，关于图中各条弧的半径的下列说法中，正确的是() A．弧BC的半径为任意长B．弧EF的半径为任意长C．弧EG的半径为任意长D．弧BC、弧EF、弧EG的半径均为任意长9．如图，已知：∠α，∠β.求作：∠AOB，使∠AOB＝2∠α＋∠β.10．如图所示，已知直线MN及直线MN外任意一点P，请过点P作直线CD，使CD∥MN.1．(2018·湖南益阳中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是()A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°2．在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝3 cm，则点C到AB的距离为()A．4 cm B．3 cm C．2.4 cm D．2.5 cm3.如图所示，直线AB，CD，EF两两相交，若∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3＝，∠4＝，∠5＝，∠6＝.4．若∠1与∠2是对顶角，∠2的邻补角(有一条公共边且互补的角)是∠3,∠3＝45°,则∠1的度数为. 5．(2019·江苏泰州月考)若∠A和∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的两倍少30°，则∠B的度数是.6．(2019·辽宁大连甘井子区期中)如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OF⊥CD，∠AOD＝50°，求∠DOP的度数．7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOD＝2∶1.(1)求∠DOE的度数；(2)求∠AOF的度数．8．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF.(1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；(2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数；(用含α的式子表示)(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？9．(2019·陕西中考)如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为()A．52° B．54° C．64° D．69°10．(2019·贵州安顺中考)如图，三角尺的直角顶点落在长方形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是()A．35° B．45° C．55° D．65°11．(2019·山东菏泽中考)如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2－∠1的度数是.12．(2019·广东惠州惠阳区期末)如图，EF∥AD，EF∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°.(1)求∠ACB的度数；(2)若∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．13．(2019 ·广西贵港覃塘区期末)如图，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E，∠ADE＋∠BCF＝180°.(1)请说明AB∥EF；(2)若AF平分∠BAD，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．14．(2019·四川成都郫都区期中)如图，直线a∥b，直线c和直线a，b分别交于点C和D，在C，D之间有一点P.(1)判断图中∠P AC，∠APB，∠PBD之间有什么关系，并说明理由；(2)如果点P在C，D之间运动，∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化？(3)若点P在直线c上C，D两点的外侧运动(点P与点C，D不重合)，试探究∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？分别画出图形并说明理由．。