多项式因式分解(十字相乘法)
因式分解之十字相乘法
因式分解之十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
（1）二次项系数为1的十字相乘法：如果二次三项式2++x px q 中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，且一次项系数p 恰好是+a b ，那么2++x px q 可以进行如下分解因式，即()()()22++=+++=++x px q x a b x ab x a x b ，用十字交叉线来表示：x+ax +b【要点诠释】①在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号（若0c <，则p q 、异号），然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；②若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止。
（2）二次项系数不为1的十字相乘法：在二次三项式2ax bx c ++（a ≠0）中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘、再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.【要点诠释】①分解思路为“看两端，凑中间”；②二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。
基础强化练习【例1】因式分解：（1）21124x x ++=；（2）21024x x ++=；（3）2224x x --=；（4）2524x x +-=；（5）22524x x ++=；（6）21424x x ++=；（7）21024x x +-=；（8）22324x x --=.【例2】将下列各式因式分解：（1）2109x x ++（2）2212x xy y --（3）2310x x --（4）2243n mn m --（5）22712x y xy -+（6）2412n n x x --（7）2(2)6(2)27x y x y +++-（8）42536x x --（9）()()222812a a a a +-++（8）22483m mn n ++（9）22627x y xy +-（10）2215x x --（11）22443(2)2m mn n m n -+--+（12）632827x x -+（13）()()2222483482x x x x x x x ++++++（14）20322--x x （15）222064xy y x -++（16）256x x -++（17）22(1)7(1)3x x ++++（18）22()5()3x y x y -+--（19）()()421336a b a b +-++（20）()()21623122x y x y +-+-（21）2222(6)4(6)5x x x x ----（22）(1)(2)(3)(6)20x x x x +---+（23）22(1)(2)12x x x x ++++-（24）22(6)(8)24x x x x +-+--（25）()()2243123515x x x x +++++【例3】用十字相乘法解方程：（1）22730x x -+=（2）26750x x --=（3）22530x x --=（4）221570x x ++=（5）23840a a -+=（6）25760x x +-=（7）2611100y y --=（8）2250x -+=（9）2252x x -=-【例4】已知二次三项式218x ax +-能在有理数范围内分解因式，求整数a 的可能值，并分解因式。
十字相乘法因式分解
十字相乘法因式分解十字相乘法是乘法公式：(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解，用于分解可写成x²+(a+b)x+ab的一元二次方程。
使用十字相乘法前的判定：形如ax²+bx+c的多项式，是否能够使用十字相乘法进行因式分解取决于Δ=b²-4ac是不是完全平方数，当Δ是完全平方数时才能在整数范围内进行十字相乘分解。
例子：a²+a-42首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a + ？）×(a -？），然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，（-42）是-6×7 或者6×（-7）也可以分解成 -21×2 或者21×（-2）。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除后者。
然后，再确定是-7×6还是7×（-6）。
﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因为一次项系数为1，所以确定是7×﹣6x所以a²+a-42就被分解成为(a+7）×(a-6）十字相乘法就是要将二次函数各项系数反过来拆成这样的四个数，使之符合上图规律，找到这样的四个数就可以将二次函数转化为两个一次二项式的相乘的形式十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
对于像ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2 + a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)(ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bd十字相乘法因式分解练习题：x²-x-56 3x²+4x-15 x²-10x+16 6y²+19y+15 14x²+3x-27 10（x+2）²-29（x+2）+10 2x²-7x+3。
十字相乘
X=(C-B)/(A-B)
1-X=(A-C)/(A-B)
因此：X∶（1-X）=（C-B）∶(A-C)
上面的计算过程可以抽象为：
A ………C-B
……C
B……… A-C
这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=－3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
十字相乘法
解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。
本科生：-2%………8%
…………………2%
研究生：10%……… -4%
本科生∶研究生=8%∶(-4%)=-2∶1。
去年的本科生：7500×2/3=5000
第四章因式分解—十字相乘(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解十字相乘的基本概念。十字相乘是一种因式分解的方法，通过将多项式的项按照一定规则排列，找到两个数使得它们的乘积等于常数项，而它们的和等于一次项的系数。这种方法是解决二次多项式分解问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如分解x^2 + 5x + 6。这个案例将展示十字相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-难点突破方法：
-使用图表、动画或实物模型来形象化展示十字相乘的过程；
-通过多个例题，展示不同情况下十字相乘的应用，强调识别和选择合适数字的策略；
-分组讨论，让学生在小组内相互解释和交流，共同解决难点问题；
-设计具有挑战性的问题，鼓励学生独立思考和探索，如让学生尝试分解含有一个变量和常数的二次多项式；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对十字相乘的概念接受度较高，但实际操作时仍有一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用生动的语言和具体的例子来阐述，希望让学生能够更好地理解。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。
然而，当我让学生们尝试自己分解一些多项式时，部分学生显得有些迷茫。他们对于如何选择合适的数进行十字相乘感到困惑。这时，我意识到需要在教学过程中加强对这一难点的讲解和练习。或许，我可以设计一些更具针对性的练习题，让学生们在课堂上即时巩固所学知识。
-理解并记忆十字相乘法的步骤，尤其是如何确定乘积和和；
-在应用十字相乘法时，如何灵活变通，处理各种不同类型的二次多项式；
-将实际问题转化为数学表达式，并运用十字相乘法进行因式分解。
举例：难点在于如何引导学生从简单的例子中总结出十字相乘的规律，如对于多项式x^2 + 5x + 6，学生需要找出两个数（2和3），使得它们的乘积等于6，和等于5。学生可能在这一过程中遇到困难，需要教师通过具体例子和图示来帮助学生理解。
初中多项式因式分解双十字相乘法
初中多项式因式分解双十字相乘法练习及答案(1)2249517214x xy y x y+++++ (2)22726715743114m mn n m n++--+ (3)2354237366p pq p q++++(4)2221371246177m mn n m n++---(5)2228457294235x xy y x y--++-(6)2240436862942x xy y x y+---+ (7)224031354025x xy y x y--++(8)227108162215x xy y x y+--+-(9)22613711132x xy y x y++++-(10)22212412141930x y z xy yz xz++--+ (11)22245328352149a ab b a b++++-(12)22492418x xy x y+---(13)222251230201855x y z xy yz xz-++--(14)23530344221x xy x y+---(15)2294930636x xy y x y+-++(16)2282812343221m mn n m n+++++(17)2221635248588x y z xy yz xz --+-+(18)224106273735x xy y x y -++-+(19)22209918x xy y x y ---+-(20)22631363956x xy y x y +---+(21)22253630246619x y z xy yz xz --+-+(22)22272416464032a b c ab bc ac +++--(23)222121376128m n m n ----(24)2228254213415x xy y x y ---+-(25)22251815213320x y z xy yz xz +++--(26)222222541515x y z xy yz xz++-+-(27)2223298366x y z xy yz+-++(28)2221562628a ab b a b +---+(29)22283512475250x y z xy yz xz+++++(30)2221063321911a b c ab bc ac++--+(31)22284115342510x xy y x y -+-++(32)22236245602624x y z xy yz xz+--+-(33)22294243212x y z xy yz xz-++--(34)222718415611x y z xy yz xz-++++(35)22184620554525x xy y x y-++-+ (36)222419227842m mn n m n+++--(37)22644043273x xy y x y++--+ (38)2225562033x xy y x y+-+-+ (39)227268661x xy y x y+-+--(40)2242252835537x xy y x y+----(41)230101925x xy x y----(42)22251433714a b c ab bc ac+-+-+ (43)225622255136x xy y x y+++++(44)22212103235a ab b a b++---(45)2281430241310m mn n m n+--++ (46)2210712371a ab b a b+--+-(47)222831149a b c ab bc ac++-+-(48)226211513196x xy y x y+++++ (49)221670491449x xy y x y++++(50)22354510382u uv v u v-+-+-(51)22235308173218x y z xy yz xz---++ (52)22248218221560a b c ab bc ac++--+(53)22319288275u uv v u v +++++(54)22273914332842x xy y x y ++---(55)224414749x xy x y -+--(56)2366328148m mn m n ++--(57)22249201571356x y z xy yz xz -++++(58)22462952x xy y x y +++++(59)2285321314021x xy y x y +---+(60)222734721836a ab b a b +---+(61)22235496143547a b c ab bc ac -+-++(62)229374682735a ab b a b -++-+(63)22242288733040x y z xy yz xz+++--(64)2245396165x xy y x y -+---(65)22264103241116x y z xy yz xz---++(66)21515173542m mn m n +++-(67)22426721191435m mn n m n -+++-(68)2232202560307m mn n m n ----+(69)22541054936356x xy y x y -+-++(70)22224730592933x y z xy yz xz+----(71)2232528153712a ab b a b +++++(72)2315132012p pq p q +--+(73)226181213176m mn n m n ++--+(74)224942735436a ab b a b ---+-(75)22205535537435x xy y x y +++++(76)240252757x xy x y -++-(77)2273528361836m mn n m n ++++-(78)2224014151931a b c ab bc ac --+-+(79)22816312812914x xy y x y -+-++(80)221034313014x xy y x y +----(81)22401030335118p pq q p q +-+--(82)2242336792935x xy y x y +++++(83)228192363x xy y x y +--++(84)224230241735x xy y x y --+-+(85)22363710372010x xy y x y -----(86)2272362033m mn n m n ++++-(87)22815104025m mn n m n ++--+(88)22164218105121m mn n m n +--+-(89)22354412563221x xy y x y++--+ (90)2218893435m n m n----(91)222451212288x y z xy yz xz+---+ (92)222835318262a b c ab bc ac---+-(93)2210184331120x xy y x y--+-+ (94)22235356243737a b c ab bc ac-----(95)248969x xy x y++--(96)222724163088a ab b a b--+-+ (97)22493562833p pq q p q--+-+ (98)2274624324016x xy y x y++--+ (99)2223058251414a b c ab bc ac-----(100)223522354227x xy y x y+++++初中多项式因式分解双十字相乘法练习答案(1)(4)(451)x y x y++++ (2)(832)(957)m n m n+-+-(3)(76)(561)p p q+++(4)(347)(731)m n m n+-++ (5)(477)(75)x y x y-++-(6)(567)(86)x y x y+---(7)(575)(85)x y x y-++(8)(745)(23)x y x y-++-(9)(2)(671)x y x y+++-(10)(643)(24)x y z x y z-+-+(11)(347)(877)a b a b+++-(12)(6)(243)x x y-++ (13)(525)(566)x y z x y z--+-(14)(763)(57)x y x++-(15)(956)(6)x y x y-++ (16)(423)(267)m n m n++++ (17)(476)(454)x y z x y z++--(18)(5)(467)x y x y-+-+ (19)(43)(56)x y x y-++-(20)(923)(732)x y x y--+-(21)(65)(566)x y z x y z++--(22)(64)(744)a b c a b c+-+-(23)(337)(774)m n m n--++ (24)(765)(471)x y x y+--+ (25)(565)(33)x y z x y z+-+-(26)(225)(5)x y z x y z----(27)(432)(834)x y z x y z+-++(28)(734)(322)a b a b--+-(29)(872)(56)x y z x y z++++(30)(53)(26)a b c a b c-+-+ (31)(755)(432)x y x y----(32)(66)(645)x y z x y z-+--(33)(372)(362)x y z x y z+---(34)(764)(3)x y z x y z-+++ (35)(955)(245)x y x y-+-+ (36)(87)(326)m n m n+-++ (37)(843)(81)x y x y+-+-(38)(533)(521)x y x y++-+ (39)(721)(41)x y x y--++ (40)(671)(747)x y x y++--(41)(625)(51)x y x--+(42)(73)(52)a b c a b c+++-(43)(821)(76)x y x y++++(44)(225)(51)a b a b+-++ (45)(452)(265)m n m n--+-(46)(231)(541)a b a b+--+(47)()(83)a b c a b c----(48)(332)(253)x y x y++++ (49)(877)(27)x y x y+++ (50)(551)(722)u v u v-+--(51)(564)(752)x y z x y z-++-(52)(623)(86)a b c a b c-+-+ (53)(375)(41)u v u v++++ (54)(326)(977)x y x y+-++ (55)(47)(67)x x y+--(56)(474)(92)m n m++-(57)(745)(753)x y z x y z-+++ (58)(2)(421)x y x y++++ (59)(73)(837)x y x y+---(60)(946)(36)a b a b+---(61)(77)(576)a b c a b c++-+(62)(47)(95)a b a b-+-+ (63)(742)(674)x y z x y z+-+-(64)(965)(51)x y x y---+ (65)(82)(853)x y z x y z+--+ (66)(556)(37)m n m+-+ (67)(677)(735)m n m n-+--(68)(457)(851)m n m n--+-(69)(973)(672)x y x y----(70)(376)(85)x y z x y z---+(71)(343)(74)a b a b++++ (72)(53)(34)p q p+--(73)(332)(243)m n m n+-+-(74)(76)(771)a b a b+--+ (75)(475)(557)x y x y++++ (76)(51)(857)x x y--+ (77)(776)(46)m n m n+-++(78)(523)(875)a b c a b c--++ (79)(947)(932)x y x y----(80)(27)(542)x y x y--++ (81)(863)(556)p q p q--++ (82)(637)(725)x y x y++++(83)(923)(91)x y x y+---(84)(257)(265)x y x y++-+ (85)(455)(922)x y x y--++ (86)(721)(33)m n m n+-++ (87)(35)(55)m n m n+-+-(88)(263)(837)m n m n+--+ (89)(767)(523)x y x y+-+-(90)(647)(325)m n m n++--(91)(26)(252)x y z x y z-+--(92)(453)(27)a b c a b c+--+ (93)(54)(245)x y x y++-+(94)(75)(576)a b c a b c++--(95)(23)(43)x y x++-(96)(342)(944)a b a b-+++ (97)(763)(71)p q p q-+++ (98)(64)(744)x y x y+-+-(99)(554)(62)a b c a b c--++ (100)(731)(57)x y x y++++。
十字相乘法分解因式举例
十字相乘法分解因式举例十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）。
对于像ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。
运算举例a²+a-42首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a + ？）×(a -？），然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，（-42）是-6×7 或者6×（-7）也可以分解成-21×2 或者21×（-2）。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除后者。
然后，再确定是-7×6还是7×（-6）。
﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因为一次项系数为1，所以确定是7×﹣6。
所以a²+a-42就被分解成为(a+7）×(a-6），这就是通俗的十字分解法分解因式。
分解因式例1、因式分解。
x²-x-56分析：因为7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、因式分解。
十字交叉相乘法
十字交叉相乘法
十字相乘法是因式分解中十四种方法之一。
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。
[1] 十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。
对于像ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a₁,a₂的积，把常数项c分解成两个因数c₁,c₂的积，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数为1时，可表达为x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)；当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
1十字相乘法进行因式分解
解：设另一个多项式为 x2 bx 3，则 x4 6x2 x 12 (x2 ax 4)( x2 bx 3) x4 (a b)x3 (3 4 ab)x2 (3a 4b)x 12 ， ∵ x4 6x2 x 12 与 x4 (a b)x3 (3 4 ab)x2 (3a 4b)x 12 是同一个多项式，所以其对应项
x2 (2 y 5)x ( y 6)( y 1) [ x ( y 6 )][ x ( y 1)] ＝(x－y－6)(x－y＋1)．
例 7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．
点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)
点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙， 令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个 重要环节．
例 6 分解因式 x2 2xy y2 5x 5y 6 ．
点悟：方法 1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式． 方法 2：把字母 y 看作是常数，转化为关于 x 的二次三项式．
点悟：把 x2 2x 看作一个变量，利用换元法解之．
解：设 x2 2x y ，则原式＝(y－3)(y－24)＋90 y2 27 y 162 ＝(y－18)(y－9)
(x2 2x 18)(x2 2x 9) ．
点拨：本题中将 x2 2x 视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外， y2 27 y 162 ( y 18)( y 9) 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．
初中多项式因式分解双十字相乘法
初中多项式因式分解双十字相乘法练习及答案(1) 2249517214x xy y x y +++++(2) 22726715743114m mn n m n ++--+(3) 2354237366p pq p q ++++(4) 2221371246177m mn n m n ++---(5) 2228457294235x xy y x y --++- (6) 2240436862942x xy y x y +---+ (7) 224031354025x xy y x y --++ (8) 227108162215x xy y x y +--+-(9) 22613711132x xy y x y ++++-(10) 22212412141930x y z xy yz xz ++--+(11) 22245328352149a ab b a b ++++-(12) 22492418x xy x y +---(13) 222251*********x y z xy yz xz -++--(14) 23530344221x xy x y +---(15) 2294930636x xy y x y +-++(16) 2282812343221m mn n m n +++++(17) 2221635248588x y z xy yz xz --+-+ (18) 224106273735x xy y x y -++-+ (19) 22209918x xy y x y ---+-(20) 22631363956x xy y x y +---+ (21) 22253630246619x y z xy yz xz --+-+(22) 22272416464032a b c ab bc ac +++--(23) 222121376128m n m n ----(24) 2228254213415x xy y x y ---+- (25) 22251815213320x y z xy yz xz +++--(26) 222222541515x y z xy yz xz ++-+-(27) 2223298366x y z xy yz +-++(28) 2221562628a ab b a b +---+(29) 22283512475250x y z xy yz xz +++++(30) 2221063321911a b c ab bc ac ++--+(31) 22284115342510x xy y x y -+-++(32) 22236245602624x y z xy yz xz +--+-(33) 22294243212x y z xy yz xz -++--(34) 222718415611x y z xy yz xz -++++(35) 22184620554525x xy y x y -++-+(36) 222419227842m mn n m n +++-- (37) 22644043273x xy y x y ++--+(38) 2225562033x xy y x y +-+-+(39) 227268661x xy y x y +-+-- (40) 2242252835537x xy y x y +---- (41) 230101925x xy x y ----(42) 22251433714a b c ab bc ac +-+-+(43) 225622255136x xy y x y +++++(44) 22212103235a ab b a b ++---(45) 2281430241310m mn n m n +--++(46) 2210712371a ab b a b +--+-(47) 222831149a b c ab bc ac ++-+-(48) 226211513196x xy y x y +++++(49) 221670491449x xy y x y ++++(50) 22354510382u uv v u v -+-+-(51) 22235308173218x y z xy yz xz ---++(52) 22248218221560a b c ab bc ac ++--+(53) 22319288275u uv v u v +++++ (54) 22273914332842x xy y x y ++--- (55) 224414749x xy x y -+-- (56) 2366328148m mn m n ++--(57) 22249201571356x y z xy yz xz -++++(58) 22462952x xy y x y +++++(59) 2285321314021x xy y x y +---+(60) 222734721836a ab b a b +---+(61) 22235496143547a b c ab bc ac -+-++(62) 229374682735a ab b a b -++-+(63) 22242288733040x y z xy yz xz +++--(64) 2245396165x xy y x y -+---(65) 22264103241116x y z xy yz xz ---++(66) 21515173542m mn m n +++-(67) 22426721191435m mn n m n -+++-(68) 2232202560307m mn n m n ----+(69) 22541054936356x xy y x y -+-++(70) 22224730592933x y z xy yz xz +----(71) 2232528153712a ab b a b +++++(72) 2315132012p pq p q +--+ (73) 226181213176m mn n m n ++--+(74) 224942735436a ab b a b ---+-(75) 22205535537435x xy y x y +++++ (76) 240252757x xy x y -++- (77) 2273528361836m mn n m n ++++- (78) 2224014151931a b c ab bc ac --+-+ (79) 22816312812914x xy y x y -+-++(80) 221034313014x xy y x y +----(81) 22401030335118p pq q p q +-+--(82) 2242336792935x xy y x y +++++(83) 228192363x xy y x y +--++(84) 224230241735x xy y x y --+-+(85) 22363710372010x xy y x y -----(86) 2272362033m mn n m n ++++-(87) 22815104025m mn n m n ++--+(88) 22164218105121m mn n m n +--+-(89) 22354412563221x xy y x y ++--+ (90) 2218893435m n m n ---- (91) 222451212288x y z xy yz xz +---+ (92) 222835318262a b c ab bc ac ---+-(93) 2210184331120x xy y x y --+-+(94) 22235356243737a b c ab bc ac -----(95) 248969x xy x y ++--(96) 222724163088a ab b a b --+-+(97) 22493562833p pq q p q --+-+(98) 2274624324016x xy y x y ++--+(99) 2223058251414a b c ab bc ac -----(100) 223522354227x xy y x y +++++初中多项式因式分解双十字相乘法练习答案(1)(4)(451)x y x y++++(2)(832)(957)m n m n+-+-(3)(76)(561)p p q+++(4)(347)(731)m n m n+-++ (5)(477)(75)x y x y-++-(6)(567)(86)x y x y+---(7)(575)(85)x y x y-++(8)(745)(23)x y x y-++-(9)(2)(671)x y x y+++-(10)(643)(24)x y z x y z-+-+(11)(347)(877)a b a b+++-(12)(6)(243)x x y-++(13)(525)(566)x y z x y z--+-(14)(763)(57)x y x++-(15)(956)(6)x y x y-++(16)(423)(267)m n m n++++ (17)(476)(454)x y z x y z++--(18)(5)(467)x y x y-+-+ (19)(43)(56)x y x y-++-(20)(923)(732)x y x y--+-(21)(65)(566)x y z x y z++--(22)(64)(744)a b c a b c+-+-(23)(337)(774)m n m n--++ (24)(765)(471)x y x y+--+ (25)(565)(33)x y z x y z+-+-(26)(225)(5)x y z x y z----(27)(432)(834)x y z x y z+-++(28)(734)(322)a b a b--+-(29)(872)(56)x y z x y z++++(30)(53)(26)a b c a b c-+-+ (31)(755)(432)x y x y----(32)(66)(645)x y z x y z-+--(33)(372)(362)x y z x y z+---(34)(764)(3)x y z x y z-+++ (35)(955)(245)x y x y-+-+ (36)(87)(326)m n m n+-++ (37)(843)(81)x y x y+-+-(38)(533)(521)x y x y++-+ (39)(721)(41)x y x y--++ (40)(671)(747)x y x y++--(41)(625)(51)x y x--+(42)(73)(52)a b c a b c+++-(43)(821)(76)x y x y++++(44)(225)(51)a b a b+-++ (45)(452)(265)m n m n--+-(46)(231)(541)a b a b+--+(47)()(83)a b c a b c----(48)(332)(253)x y x y++++ (49)(877)(27)x y x y+++(50)(551)(722)u v u v-+--(51)(564)(752)x y z x y z-++-(52)(623)(86)a b c a b c-+-+ (53)(375)(41)u v u v++++ (54)(326)(977)x y x y+-++ (55)(47)(67)x x y+--(56)(474)(92)m n m++-(57)(745)(753)x y z x y z-+++ (58)(2)(421)x y x y++++ (59)(73)(837)x y x y+---(60)(946)(36)a b a b+---(61)(77)(576)a b c a b c++-+(62)(47)(95)a b a b-+-+ (63)(742)(674)x y z x y z+-+-(64)(965)(51)x y x y---+ (65)(82)(853)x y z x y z+--+ (66)(556)(37)m n m+-+(67)(677)(735)m n m n-+--(68)(457)(851)m n m n--+-(69)(973)(672)x y x y----(70)(376)(85)x y z x y z---+(71)(343)(74)a b a b++++ (72)(53)(34)p q p+--(73)(332)(243)m n m n+-+-(74)(76)(771)a b a b+--+ (75)(475)(557)x y x y++++ (76)(51)(857)x x y--+(77)(776)(46)m n m n+-++(78)(523)(875)a b c a b c--++ (79)(947)(932)x y x y----(80)(27)(542)x y x y--++ (81)(863)(556)p q p q--++ (82)(637)(725)x y x y++++(83)(923)(91)x y x y+---(84)(257)(265)x y x y++-+ (85)(455)(922)x y x y--++ (86)(721)(33)m n m n+-++ (87)(35)(55)m n m n+-+-(88)(263)(837)m n m n+--+ (89)(767)(523)x y x y+-+-(90)(647)(325)m n m n++--(91)(26)(252)x y z x y z-+--(92)(453)(27)a b c a b c+--+ (93)(54)(245)x y x y++-+(94)(75)(576)a b c a b c++--(95)(23)(43)x y x++-(96)(342)(944)a b a b-+++ (97)(763)(71)p q p q-+++ (98)(64)(744)x y x y+-+-(99)(554)(62)a b c a b c--++ (100)(731)(57)x y x y++++。
十字相乘法分解因式教案
十字相乘法1.二次三项式多项式ax2+ bx + c,称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次项，C为常数项.例如，x2 -2x-3和x2 + 5x + 6都是关于x的二次三项式.在多项式x2 -6xy + 8j2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式.在多项式2a2b2—7ab + 3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2 -7(ab) + 3，就是关于ab的二次三项式.同样，多项式(x + y)2 + 7(x + y) +12，把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2.十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规律是：31)对于二次项系数为1的二次三项式x2 + px + q ,如果能把常数项q分解成两个因数a,b的积，并且a+b为一次项系数p，那么它就可以运用公式x2 + (a + b)x + ab =(x + a)(x + b)3 •因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”.【典型热点考题】例1把下列各式分解因式:(1)x2 -2x-15 ；(2) x2 —5xy + 6y2.点悟：(1)常数项一15可分为3义(一5),且3 + (—5)=—2恰为一次项系数；(2)将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y2可分为(一2y)( —3y),而(一2 y ) + ( —3 y ) = (—5 y)恰为一次项系数.解：(1) x2 - 2x -15 =(x + 3)(x - 5)；(2)x2 -5xy + 6y2 =(x-2y)(x-3y).例2把下列各式分解因式：(3)2x2 -5x-3 ； (2) 3x2 + 8x-3 .点悟：我们要把多项式ax2 + bx + c分解成形如(ax1+ ,)(ax2 + c2)的形式，这里4a2 = a ,c c = c而a c + a c = b .解：(1) 2x2 - 5x - 3 =(2x +1)(x - 3)；(4)3x2 + 8x- 3 =(3x-1 )(x + 3).点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性.例3把下列各式分解因式：(1 ) x 4 -10 x 2 + 9 ；(5)7(x + y)3 -5(x + y)2 -2(x + y)；(6)(a2 + 8a)2 + 22(a2 + 8a) +120 .点悟：(1)把x2看作一整体，从而转化为关于x2的二次三项式；(2)提取公因式(x+y )后，原式可转化为关于(x+y )的二次三项式；。