高中数学人教B版必修四讲义：第一章 1.3 1.3.1 第二课时 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) Word版含答案

1．3.1正弦函数的图象与性质

第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)

(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？

(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？

(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？

(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？

[新知初探]

1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义

[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π

4

. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响

(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响

(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响

[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．

(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )

(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)×

2．函数y ＝1

3sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π

6

B ．6π，13，π

6

C ．3π，3，－π

6

D ．6π，3，π

6

答案：B

3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A

4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

4倍(纵坐标不变)得________

的图象．

答案：y ＝sin 4x

[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]

y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍

且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到

原来的

12

y

＝－2sin 2x 的图象π

−−−−−−−→12向右平移

个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度

y ＝－2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π

6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩]

y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍

且关于x 轴作对称变换

y ＝－2sin x 的图象π

−−−−−−−→6

向右平移个单位长度

y ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π

6＋1的图象．

由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤

[活学活用]

1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π

6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

6 C ．y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

6 D ．y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象π

−−−−−−→6向左平移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦

⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．

2．把函数y ＝f (x )的图象向左平移π

4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所

得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )

A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

2＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫12x ＋π

4－1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫

12x ＋π2－1

解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的1

2(纵坐标保持不

变)，得到函数y ＝sin 2x 的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，再将所得图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin2x －π2＋1的图象．故选B.

[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<

π

2)的图象的一部分，求此函

数的解析式．

[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝

5π6－⎝⎛⎭⎫

－π6＝π， ∴ω＝

2π

T

＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．

∵点⎝⎛⎭⎫－π

6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭

⎫－π

6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π

3＋k π(k ∈Z)．

∵|φ|<π2，∴φ＝π

3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]

由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫

5π6，0，