经济数学基础作业4答案

经济数学基础作业4答案
1.设f(x) = x^2 - 2x + 1.求f(3).
解：将x=3代入f(x)得f(3) = 3^2 - 2*3 + 1 = 4.
2.已知y = x^2 + 2x + 1.求dy/dx.
解：对y求导得dy/dx = 2x + 2.
3.计算不定积分∫(2+x^2)dx.
解：将积分变量x变为u=2+x^2，利用凑微分方法将原积分变形为∫du，再由基本积分公式进行直接积分，得∫(2+x^2)dx = (2+x^2) + C.
4.计算不定积分∫(2xcosx + 4sinx)dx.
解：这是幂函数与正弦函数相乘的积分类型，所以考虑用分部积分法。

设u=x。

v' = cosx，则du/dx=1.v=sin(x)，根据不定积分的分部积分法得∫(2xcosx + 4sinx)dx = -2xcosx + 4sinx + C.
5.计算定积分∫e^(-x)dx在区间[1,2]上的值.
解：采用凑微分法，将原积分变量为∫e^(-x)dx = -e^(-x)在区间[1,2]上的值为-e^(-2) + e^(-1).
6.计算定积分∫(xlnx)dx在区间[1,2]上的值.
解：本题为幂函数与对数函数相乘的积分类型。

可考虑用分部积分法。

设u=lnx。

v' = x，则du/dx=1/x。

v=x^2/2，根据定积分的分部积分法得∫(xlnx)dx = [xlnx - x^2/4]在区间[1,2]上的值为e^(-2) - 1/4.
7.设A = [131.151.-2.1-2]。

求(A+I)^(-1).
解：计算得A+I = [132.151.-2.2-1]，然后求逆得(A+I)^(-1) = [-1/5.1.2.-1].
8.设矩阵A = [1.2.3.4]。

B = [5.6]。

求解矩阵方程XA=B.
解：由XA=B。

得X = AB^(-1) = [1.2.3.4][1/5.-1/5.-
3/10.3/10] = [-2/5.7/10].
9.求齐次线性方程组：
x1 + 2x2 = 0
3x1 + 6x2 = 0
的基础解系.
解：将方程组写成增广矩阵的形式，得[1.2.0.3.6.0]，然后进行初等行变换，得[1.2.0.0.0.0]，即x1+2x2=0，解得x1=-2x2，所以基础解系为(-2.1).
解析：
原文存在一些格式错误和表述不清晰的地方，需要进行修改和澄清。

修改后的文章如下：
原方程的系数矩阵变形过程为：
begin{pmatrix}
2 & -1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & -3 &
2 & -1
end{pmatrix} \xrightarrow[]{\text{初等行变换}}
begin{pmatrix}
2 & -1 & 2 & -1 \\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
end{pmatrix}
由于秩(A)=2<n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为：
begin{cases}
x_1 = -2x_3 + x_4 \\
x_2 = \frac{1}{2}x_3 - \frac{1}{2}x_4 \\
x_3 \text{和} x_4 \text{为自由未知量}
end{cases}
10．求为何值时，线性方程组
begin{cases}
x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\
2x_1 + 4x_2 - 2x_3 = k \\
3x_1 + 6x_2 - 3x_3 = 2
end{cases}
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
begin{pmatrix}
1 &
2 & -1 & 1 \\
2 & 4 & -2 & k \\
3 & 6 & -3 & 2
end{pmatrix} \xrightarrow[]{\text{初等行变换}} begin{pmatrix}
1 &
2 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & k-2 \\
0 & 0 & 0 & -1
end{pmatrix}
由此可知当 $k=2$ 时，方程组无解。

当 $k \neq 2$ 时，方程组有解。