复变函数第四版(第六章)

(2)工程技术中所遇到的函数大部分是存在拉氏变 换的。
(3)如果f (t)为指数级函数，则其增长指数不唯一。
}
三、 拉氏逆变换
定理 若函数f (t)满足拉氏变换存在定理中的条件。
L f (t ) F (s)
β0为收敛坐标，则L
-1[F(s)]由下式给出
1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2j
}
2、积分变换的作用
}
§2 拉普拉斯变换简介
一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义
设函数f(t)当ｔ 0时有定义，而且积分 0 （s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此 积分决定的函数可写为 F (s) 0 f (t )est dt, (1) 称F ( s)为f (t ) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或 象函数，记为 L f (t ) ，即 F(s) L f (t ) 又称 f (t ) 为 F ( s) 的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏 逆变换）或象原函数，记 L-1F (s) 即 f (t ) L-1F (s)
T T , 2 2
上满足狄利克雷条件，即满足以下条件：
⑴ 连续或者只有有限个第一类间断点；
⑵ 只有有限个极值点。
那么在
T T , 2 2
上fT(t)可以展成付氏级数。
}
在fT(t)的连续点处，付氏级数的三角形成为
a0 fT (t ) (an cosnt bn sin nt ) 2 n1 (1)

则积分F () f ( )e j d存在,并且在f (t)的连续点处
1 jt f (t ) F ( ) e d 而在f (t)的间断点t0处，应以 2 1 f (t0 0) f (t0 0) 代替该式左端的f (t)。 2
fT(t)的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t) 的n次谐波频率。
2 T a0 2T fT (e)dt T 2
2 T d n 2T fT (e)dt (n 1,2,3,) T 2
2 其中 称为频率，频率ω对应的周期T与 T
2 T bn 2T fT (t ) sin ntdt (n 1,2,3,) T 2
f (t )e st dt

}
二、拉氏变换的存在定理
拉氏变换存在定理 设函数f (t)满足下列条件： 1、当t＜0时，f (t)=0； 2、f (t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间 断点的个数是有限个，且都是第一类间断点；
3、f (t)是指数级函数。
则f (t)的拉氏变换
F ( s)
}
1 f (t ) 2
f ( )e i d e jt d

这个公式称为函数f (t)的付里叶积分公式。
}
付氏积分定理 ： 若f (t)在(-∞，+∞)上满足下列条件： 1°在任一有限区间满足狄利克雷条件； 2° f (t ) dt
}
在fT(t)的间断点t0处，式 (t0 0) 2
2、付氏级数的复指数形式
fT (t )
3、付氏积分
n
in0t C e n

任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周 期函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。
fT (t ) 即 Tlim f (t )
0
f (t )e st dt
在半平面Re(s)=β＞βc上一定存在，此时上式右端 的积分绝对收敛而且一致收敛，同时在此半平面 内，F(s)是解析函数。
}
关于拉氏变换存在定理，做如下的几点说明： (1)从物理应用观点来看，条件2、3都是容易满足 的。实用上所考察的物理过程，往往是用时间函数来 描述的，并且是从某一时刻开始，因此可以选这时刻 为t=0，在此以前情况则不加考虑。例如sint，若要对 它进行拉氏变换则应把它理解为sintu(t)。
( s jw, t 0)
(2)
其中t为f(t)的连续点。 如果t为f(t)的间断点，则改成：
f (t 0) f (t 0) 1 j st F ( s ) e ds 2 2j j
这里的积分路线是平行于虚轴的任一直线 Res=β(＞β0)称(2)式为复反演积分公式。

}
二、 付氏变换
1、定义 设f (t)和F(ω)分别是定义在R上的实值和复 值函数，称它们是一组付里叶变换对，如果成立
F (w) f (t )e
jwt
dt
1 f (t ) 2



F ( w)e jwt dw
并称F(ω)为f (t)的象函数或付里叶变换，记为 F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象原函数或付里叶逆变 换，记为F-1[F(ω)]
第六章 积分变换
积分变换的内容主要包括傅里叶变换和拉普拉斯 变换的定义、性质、定理及运算等理论，其主要思想是通 过变换来化简函数，以达到解决问题的目的。 在自然科学和工程技术领域中均有广泛的应用， 是重要的运算工具。
}
§1 付里叶变换简介
一、付氏级数 1、付氏级数
设fT(t)是以T为周期的式值函数，如果在