复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
留数定理公式总结
留数定理公式总结留数定理是复变函数论中的一个重要定理，在数学分析和工程技术等领域都有着广泛的应用。
咱们先来瞅瞅留数定理的公式到底是啥样的。
留数定理表述为：设函数$f(z)$在区域$D$内除有限个孤立奇点$z_1,z_2,\cdots,z_n$外处处解析，$C$是$D$内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那$f(z)$沿$C$的积分就等于$2\pi i$乘以$f(z)$在$C$内各奇点的留数之和，即：$\oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{k = 1}^{n}Res[f,z_k]$这里的$Res[f,z_k]$表示$f(z)$在奇点$z_k$处的留数。
那留数又咋算呢？对于孤立奇点$z_0$，如果它是可去奇点，那留数为$0$；如果是$m$阶极点，就有公式$Res[f,z_0] = \frac{1}{(m -1)!}\lim_{z \to z_0}\frac{d^{m - 1}}{dz^{m - 1}}[(z - z_0)^mf(z)]$。
咱们通过一个具体例子来感受一下留数定理的魅力。
比如说，计算积分$\int_{|z| = 2} \frac{e^z}{z(z - 1)}dz$。
首先得找出被积函数的奇点，很明显，$z = 0$和$z = 1$是奇点。
对于$z = 0$，它是一阶极点，$Res[f,0] = \lim_{z \to 0} z\frac{e^z}{z(z - 1)} = -1$；对于$z = 1$，也是一阶极点，$Res[f,1] = \lim_{z \to 1} (z - 1)\frac{e^z}{z(z - 1)} = e$。
然后根据留数定理，原积分就等于$2\pi i (-1 + e)$。
留数定理在解决一些复杂的积分问题时特别有用。
比如说，计算一些实函数在无穷区间上的积分，通过巧妙地构造复变函数和积分路径，然后利用留数定理就能轻松搞定。
我记得有一次给学生们讲留数定理的应用，有个学生就特别迷糊，怎么都搞不明白。
复变函数与留数定理
复变函数与留数定理复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
复变函数具有许多独特的性质和定理，其中留数定理是复分析中的重要内容之一。
本文将介绍复变函数的基本概念和留数定理，并探讨其应用及相关性质。
一、复变函数的基本概念1. 复数与复平面复数由实部和虚部构成，可以表示为z=a+bi，其中a和b分别为实数部分和虚数部分，i为虚数单位。
复平面是以实部和虚部为坐标轴的平面，可将复数表示为一个点在平面上的位置。
2. 复变函数的定义复变函数f(z)是将复平面中的每个点z映射到另一个复数w的规则。
它可以表示为w=f(z)，其中z和w都是复数。
3. 解析函数解析函数是指在某个区域内可导的复变函数。
解析函数满足柯西-黎曼方程，即偏导数存在且连续。
4. 复变函数的性质与实变函数类似，复变函数也具有加法、乘法、除法和复合等性质。
此外，复变函数还具有解析性和保持拓扑的性质。
二、留数定理的基本概念1. 留数的定义留数是指复变函数在孤立奇点处的积分残余。
对于具有孤立奇点的复变函数，可以通过计算留数来求解相关积分。
2. 留数定理（1）留数定理的形式留数定理是指对于具有简单闭合围道的复变函数f(z)，其在围道内部的留数之和等于围道上的积分值。
数学上可表示为∮ f(z)dz = 2πi * (Sum(Res(f,zk)))，其中∮表示围道上的积分，Res表示留数。
（2）留数定理的应用留数定理在求解复分析中的积分具有重要作用。
它可以简化积分计算的过程，特别适用于含有极点和奇点的函数。
三、留数定理的应用案例1. 计算围道积分通过留数定理，我们可以将一些复杂的积分问题转化为计算围道内的留数。
根据留数定理，可以将围道上的积分转化为计算留数的和，从而简化计算过程。
2. 求解实数积分通过将实数积分转化为复数积分，并利用留数定理的性质，我们可以求解一些难以计算的实数积分。
这种方法被称为留数法，为求解实变函数积分提供了一种有效的途径。
3. 应用于物理问题留数定理在物理学中也有广泛的应用。
复变函数与留数定理
复变函数与留数定理复变函数在数学中有着重要的地位，它是实变函数的推广和扩展。
复变函数的研究依赖于留数定理，这是复分析中的重要概念。
本文将介绍复变函数以及留数定理的基本概念和应用。
一、复变函数的定义与性质复变函数是定义在复数域上的函数，其定义域和值域都是复数集合。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u和v是实变函数。
复变函数和实变函数的性质有相似之处，如连续性、可微性和可导性等。
但复变函数的导数是一个复数，具有方向和模的概念。
二、留数定理的基本概念留数是复变函数在孤立奇点处的特殊性质。
留数定理是复变函数理论中的核心内容之一。
对于函数f(z)，若z=a是它的孤立奇点，可以通过留数计算沿闭合曲线的积分。
留数定理包括留数定理、柯西公式和狄利克雷问题等。
1. 留数定理留数定理是针对有限孤立奇点的情况。
当f(z)在区域D内有孤立奇点a1,a2,...,an时，针对闭合曲线C内的函数f(z)，可以通过求解a1,a2,...,an处的留数来计算C上的积分。
这个定理在复积分计算、曲线积分和求和等问题中有广泛的应用。
2. 柯西公式柯西公式是留数定理的一个重要推论。
柯西公式表明，如果函数f(z)在区域D内解析（即可导），则它在D内的任何闭合曲线C上的积分为零。
这个结论为复变函数的求解和计算提供了方便。
3. 狄利克雷问题狄利克雷问题是留数定理与边值问题相结合的应用，它在电磁学和热传导等领域中起着重要作用。
狄利克雷问题可以通过留数定理求解，将定义在一条封闭曲线上的边值问题转化为计算特定点上的积分问题。
三、复变函数与实变函数的关系复变函数理论是实变函数理论的扩展和推广，两者之间有着密切的联系。
复分析的基本定理和方法可以归结为实分析的特殊情况，同时复分析也为实分析提供了新的解题思路和工具。
1. 复变函数的导数与实变函数的导数复变函数的导数是一个复数，可以表示为f'(z)=u_x+iv_x，其中u_x和v_x是u和v相对于x的偏导数。
(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。
8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。
6.2.函数在无穷远点的留数及其应用
∫
Γ−
− 2π i , dz = n z 0,
n = 1 n ≠ 1
f ( z) = L+ c−2 z−2 + c−1 z −1 + c0 + c1 z + L+ cn zn + L
dz −2π i , n = 1 及∫ − n = 可推出 Γ z n≠1 0,
∫
z=∞
Γ
f (z) =L+ c−2z + c−1z + c0 + c1z +L+ cnz +L 1)在0 <| t |≤ 1 内的洛朗展式为 则f ( t r
n
再利用洛朗级数证明这个公式 设f ( z)在r ≤| z |< +∞内的洛朗展式为
−2 −1
1) = L+ c t 2 + c t + c + c t −1 +L+ c t −n +L f (t 0 1 n −2 −1 1) 1 =L+ c + c t−1 + c t−2 + c t−3 +L+ c t−n−2 +L f ( t t2 0 1 n −2 −1
15
I = 2π i[− Re s f (z)]
z=∞
Re s f (z) = −c−1
z=∞
I = 2π i ⋅ c−1
z 易知z = ∞是f ( z) = 2 的一阶零点 2 4 3 ( z + 1) ( z + 2)
15
∴c−1 = limzf (z) = lim
z→∞ z→∞
在∞ 的去心邻域内有 c −1 c −2 ∴ f (z) = + 2 +L z cz ∴ zf ( z ) = c−1 + −2 + L 16 z z
留数的求法及应用总结
留数的求法及应用总结留数是一种在复变函数理论中用于计算复数函数在奇点处的残留的方法。
留数的计算方法有多种，例如通过直接计算留数公式、Laurent级数展开、辅助函数法、计算围道积分等。
留数的应用非常广泛，包括在计算复积分、求解微分方程、计算极限、求解物理问题等方面都有重要的应用。
首先，我们来看留数的求法。
在复变函数中，函数在奇点点处的留数可以通过以下方法求解：1. 直接计算留数公式：对于简单的函数，可以直接使用留数公式计算。
对于一阶奇点，留数可通过函数在该点的极限值计算：Res[f(z), z=a] = lim(z->a) [(z-a) * f(z)]。
对于高阶奇点，留数可以通过多次取导数再计算极限来求解。
2. Laurent级数展开：对于复变函数，在奇点附近可以进行Laurent级数展开。
然后通过观察Laurent级数的形式，可以读出相应奇点的留数。
3. 辅助函数法：对于一些复杂的函数，可以通过引入辅助函数来计算留数。
通过构造辅助函数，可以使得计算留数的过程变得更加简单。
4. 计算围道积分：复平面上的围道积分可以通过计算围道上的奇点处的留数之和来求解。
通过将围道逐步缩小，将围道上的奇点都计算在内，然后将结果相加即可得到围道积分值。
接下来，我们来看留数的应用。
1. 计算复积分：复积分可以通过计算围道上的奇点处的留数之和来进行计算。
通过围道积分的方法，可以将复积分转化为留数的求和问题，从而简化计算过程。
2. 求解微分方程：在微分方程的求解过程中，往往需要对复函数积分。
通过留数的方法，可以将复积分转化为留数的计算，从而简化问题的求解过程。
3. 计算极限：对于一些复杂的极限问题，可以通过计算极限点处的留数来进行求解。
通过将极限问题转化为留数问题，可以简化问题的求解过程。
4. 物理问题求解：在物理学中，通过留数的方法可以求解一些边界值问题、传热问题、电磁问题等。
通过将物理问题转化为留数问题，可以利用留数的性质来求解物理问题。
《复变函数论》第六章
第六章 留数理论及应用第一节 留数1、留数定理：设函数f (z )在点0z 解析。
作圆r z z C =-|:|0，使f (z )在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分⎰Cdz z f )(等于零。
设函数f (z )在区域R z z <-<||00内解析。
选取r ，使0<r<R ，并且作圆r z z C =-|:|0，那么如果f (z )在0z 也解析，则上面的积分也等于零；如果0z 是f (z )的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分⎰C dz z f i)(21π 定义为f (z )在孤立奇点0z 的留数，记作),(Res 0z f ，这里积分是沿着C 按逆时针方向取的。
注解1、我们定义的留数),(Res 0z f 与圆C 的半径r 无关：事实上，在R z z <-<||00内，f (z )有洛朗展式：∑+∞-∞=-=n n nz z z f )()(0α，而且这一展式在C 上一致收敛。
逐项积分，我们有,2)()(10-+∞-∞==-=∑⎰⎰απαi dz z z dz z f n Cnn C因此，10),(Res -=αz f 。
注解2、即f (z )在孤立奇点0z 的留数等于其洛朗级数展式中1z z -的系数。
注解3、如果0z 是f (z )的可去奇点，那么.0),(Res 0=z f定理1.1（留数定理）设D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C 。
设f (z )在D 内除去有孤立奇点n z z z ,...,,21外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点都解析，那么我们有：),,(Res 2)(1k nk Cz f i dz z f ∑⎰==π这里沿C 的积分按关于区域D 的正向取。
证明：以D 内每一个孤立奇点k z 为心，作圆k γ，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
注 2：条件可减弱为：f(z)连续到边界 C，且沿 C 有 f(z)≠0 4.（辅角原理）：
5.（定理 鲁歇（Rouche）定理）：设 C 是一条周线，函数 f(z)及 (z)满足条 件：
（1）它们在 C 的内部均解析，且连续到 C；
（2）在 C 上，|f(z)|>| (z)|
则函数 f(z)与 f(z)+ (z)在 C 内部有同样多（几阶算几个）的零点，即
§2.用留数定理计算实积分
一. 注：注意偶函数
→ 引入
二.
型积分
1.（引理 大弧引理）： 上
则
2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有
注：
可记为
三.
型积分
3.（引理 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周 上连续，且
在 上一致成立。则
2
4.（定理）：设 （1）Q 的次数比 P 高； （2）Q 无实数解； （3）m>0 则有
（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数 的一阶极点，并且
3
3.（定理 对数留数定理）：设 C 是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在 C 的内部是亚纯的； （2）f(z)在 C 上解析且不为零。 则有
注 1：当条件更改为：（1）f 在 Int(C)+C 上解析；（2）C 上有 f≠0，有 ，即
，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件：
特别的，上式可拆分成： 及
四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理 小弧引理）：
于 上一致成立，则有
五.杂例 六.应用多值函数的积分
§3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数：
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第六章留数理论及其应用
§ 1■留数
1.(定理6.1柯西留数定理)：
2.(定理6.2):设a为f(z)的m阶极点,
其中在点a解析，，则
3. (推论6.3):设a为f(z)的一阶极点, 则
4. (推论6.4)：设a为f(z)的二阶极点则
5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式
6. 无穷远点的留数：
即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号
7. (定理6.6)如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，设为，则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点(或解析点)，则可以不为零。
&计算留数的另一公式:
§ 2■用留数定理计算实积分
型积分一引入
注：注意偶函数
型积分
1.(引理6.1大弧引理)：上
2.(定理6.7)设为有理分式，其中
为互质多项式，且符合条件:
(1)n-m> 2;
(2)Q(z)没有实零点
于是有
注: 可记为
型积分
3.(引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周充分大上连续，且
在上一致成立。
则
4.（定理6.8）:设,其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件:
(1)Q的次数比P高;
(2)Q无实数解；
(3)m>0
则有
特别的，上式可拆分成：
——及——
四■计算积分路径上有奇点的积分
5.(引理
6.3小弧引理)：
于上一致成立，则有
五■杂例
六■应用多值函数的积分
§ 3■辐角原理及其应用
即为：求解析函数零点个数
1■对数留数：
2.(引理6.4)：( 1)设a为f(z)的n阶零点，贝U a必为函数------ 的一阶极点，并且
(2)设b为f(z)的m阶极点，贝U b必为函数--- 的一阶极点，并且
3. (定理6.9对数留数定理)：设C是一条周线，f(z)满足条件:
(1) f(z)在C的内部是亚纯的；
(2) f(z)在C上解析且不为零。
则有
注1:当条件更改为：(1) f在lnt(C)+C上解析；(2) C上有&0,有即
注2:条件可减弱为：f(z)连续到边界C,且沿C有f(z)工0
4. (辅角原理)：
5. (定理
6.10鲁歇(Rouche定理)：设C是一条周线，函数f(z)及(z)满足条件:
(1)它们在C的内部均解析，且连续到C;
(2)在C上，|f(z)|>| (z)|
则函数f(z)与f(z)+ (z)在C内部有同样多(几阶算几个)的零点，即
N( ,C)=N(f,C)
6. (定理6.11)：若函数f(z)在区域D内但也解析，则在D内f'(z)工0.。