2019年全国高考理科数学数学分类汇编---不等式与线性规划

2019年全国高考理科数学分类汇编——不等式与线性规划

1.（2019北京理科）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥?1，则3x+y 的最大值为

A. ?7

B. 1

C. 5

D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可. 【详解】由题意1,11y y x y -≤??-≤≤-?

作出可行域如图阴影部分所示.

设3,3z x y y z x =+=-,

当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.

【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画?移?解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识?基本技能的考查.

2.（2019北京理科）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：22

1||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C ；

③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A. ①

B. ②

C. ①②

D. ①②③ 【答案】C

【解析】

【分析】

将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.

【详

解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ??-=-- ??

?厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22

:1C x y x y +=+恰好经过

(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确. 由221x y x y +=+得,2222

12x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到

. 结论②正确.

如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,

四边形ABCD 的面积13111122

ABCD S =??+?=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.

故选C.

【点睛】本题考查曲线与方程?曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识?基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.

3.（2019北京理科）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．

【答案】 (1). 130 (2). 15.

【解析】

【分析】

由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.

【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.

(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,

120y <元时,李明得到的金额为80%y ?,符合要求.

120y ≥元时,有()80%70%y x y -?≥?恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,

即.