2019年全国高考理科数学3卷

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学Ⅲ注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2101,,,-=A ，{}12≤=x x B ，则=B A ( ) A .{}101,,-B .{}10,C .{}11,-D .{}210,,2.若i 2)i 1(=+z ，则=z ( )A .i 1--B .i 1+-C .i 1-D .i 1+ 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为 了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读 过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ) A .5.0 B .6.0 C .7.0 D .8.04.42)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为( )A .12B .16C .20D .245.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且13543a a a +=，则=3a ( ) A .16 B .8C .4D .26.已知曲线x x a y xln e +=在)e 1(a ，处的切线方程为b x y +=2，则( )A .1e -==b a ,B .1e ==b a ,C .1e 1==-b a , D .1e1-==-b a ,7.函数xx x y -+=2223在]66[,-的图像大致为( )8.如图，N 为正方形ABCD ECD ⊥平面M 是线段ED 的中点，则( ) A .EN BM =，且直线BM ，EN 是相交直线B .EN BM ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C .EN BM =，且直线BM ，EN 是异面直线D .EN BM ≠，且直线BM ，EN 是异面直线9.执行右边的程序框图，如果输入的ε为01.0，则输出S 的值等于( )A .4212-B .5212- C .6212- D .7212- 10.双曲线C ：12422=-yx 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若PF PO =，则PFO ∆的面积为( )A .423 B .223 C .22 D .2311.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+,上单调递减，则( )A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛--322332241log f f f B .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛--233232241log f f fC .⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41log 2233223f f fD .⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41log 2232332f f f 12.设函数)5πsin()(+=x x f ω)0(>ω，已知)(x f 在]2π0[，有且仅有5个零点，下述四个结论：①)(x f 在)2π0(，有且仅有3个极大值点；②)(x f 在)2π0(，有且仅有2个极小值点；③)(x f 在)10π0(，单调递增；④ω的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1029512,.其中所有正确结论的编号是( )A .①④B .②③C .①②③D .①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知a ，b 为单位向量，且0=⋅b a ，若b a c 52-=，则>=<c a ,cos _____________. 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若01≠a ，123a a =，则=510S S _____________. 15.设1F 、2F 为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形， 则M 的坐标为__________.16.学生到工厂劳动实践，利用D 3打印技术制作模型，如图，该模型为长方体1111D C B A ABCD -挖去四棱锥EFGH O -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E 、F 、G 、H 分别为所在棱的中点， cm 6==BC AB ，cm 41=AA .D 3打印所用的原料密度为3cm g 9.0/， 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________ g . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须 作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.(本小题满分12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积 相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分 别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到)(C P 的估计值为70.0.(Ⅰ)求乙离子残留百分比直方图中a 、b 的值；(Ⅱ)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.图乙离子残留百分比直方.0.0.0绝密★启用前A BC D EMN 题第8题第9图甲离子残留百分比直方.0.0.0.0.0A B CD E OF 1A 1B 1C 1D GH 题第1618.(本小题满分12分)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知A b CA a sin 2sin =+.(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若ABC ∆为锐角三角形，且1=c ，求ABC ∆面积的取值范围.19.(本小题满分12分)图1是由矩形ABED ，ABC ∆Rt 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1=AB ，2==BF BE ，︒=∠60FBC .将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合.连结DG ，如图2. (Ⅰ)证明：图2中的A 、C 、G 、D 四点共面，且平面⊥ABC 平面BCGE ； (Ⅱ)求图2中的二面角A CG B --的大小.20.(本小题满分12分)已知函数b x a x x f +-=232)(.(Ⅰ)讨论)(x f 的单调性；(Ⅱ)是否存在a ，b ，使得)(x f 在区间]10[,的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由.21.(本小题满分12分）已知曲线C ：22x y =，D 为直线21-=y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A 、B .(Ⅰ)证明：直线AB 过定点；(Ⅱ)若以⎪⎭⎫⎝⎛250,E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.［选修44-：坐标系与参数方程］(本小题满分10分)如图，在极坐标系Ox 中，)02(，A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛4π2，B ，⎪⎭⎫ ⎝⎛43π2，C ，)π2(，D ，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在 圆的圆心分别是)01(，，)2π1(，，)π1(，，曲线1M 是弧AB ︵，曲线2M 是弧BC ︵，曲线3M 是弧CD ︵. (Ⅰ)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(Ⅱ)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且3=OP ，求P 的极坐标.23.［选修54-：不等式选讲］(本小题满分10分)设x ，y ，R ∈z ，且1=++z y x .(Ⅰ)求222)1()1()1(++++-z y x 的最小值； (Ⅱ)若31)()1()2(222≥-+-+-a z y x 成立，证明：3-≤a 或1-≥a .ABC DEFG 1图ABCD)(F E G2图参考答案一、选择题二、填空题三、解答题17.解：(Ⅰ)由已知得15.020.07.0++=a ，所以35.0=a ；10.070.015.005.01=---=b .(Ⅱ)甲离子残留百分比的平均值的估计值为05.405.0710.0620.0530.0420.0315.021=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ；乙离子残留百分比的平均值的估计值为00.615.0820.0735.0615.0510.0405.032=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x .18.解：(Ⅰ)由A b CA a sin 2sin=+得， A B CA A sin sin 2sin sin =+∵0sin ≠A ，∴B CA sin 2sin=+， 即B B sin 2πsin =-，∴2cos 2sin 22cos B B B =，∵02cos ≠B，∴212sin =B ，∵2π20<<B ， ∴6π2=B ， ∴3π=B .(Ⅱ)解法1：ABC ∆的面积为a B ac S 43sin 21==， 由正弦定理得21tan 23sin 3π2sin sin sin +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==C C C C A c a ， ∵ABC ∆为锐角三角形，∴2π0<<A ，2π0<<C ， 又3π2=+C A ，∴2π6π<<C ， ∴33tan >C ， ∴221<<a ， ∴2383<<S ， ∴ABC ∆面积的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛2383,. 解法2：ABC ∆的面积为a B ac S 43sin 21==， ∵ABC ∆为锐角三角形， ∴0cos >A ，0cos >C∴222a c b >+，即122->a b ，由余弦定理得1cos 22222+-=-+=a a B ac c a b ， ∴1122->+-a a a ， ∴20<<a ， 由0cos >C 得，222c a b >+，即221a b ->，∴2211a a a ->+-，∴21>a ， ∴221<<a ， ∴2383<<S ， ∴ABC ∆面积的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛2383,. 解法3：如图，ABC ∆中，3π=B ，1==c AB ，过点A 分别作AB AM ⊥，AB AN ⊥， 分别交射线BC 于M ，N ，则2121==AB BN ，22==AB BM ，∵ABC ∆为锐角三角形，∴BM BC BN <<， 即221<<a ， ∴2383<<S ， ∴ABC ∆面积的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛2383,. 19.解：(Ⅰ)证明：由图1得BE AD //，BF CG //， ∴在图2中，BE CG //，∴CG AD //，∴AD ，CG 确定一个平面ACGD ， 即A 、C 、G 、D 四点共面， 由图1知，BE AB ⊥，BC AB ⊥， ∴⊥AB 平面BCGE ， ∵⊂AB 平面ABC ， ∴平面⊥ABC 平面BCGE(Ⅱ)解法1：过点B 作CG BH ⊥交CG 的延长线于点H ，连接AH . ∵⊥AB 平面BCGE ，⊂GH 平面BCGE ， ∴GH AB ⊥，∵GH BH ⊥，B BH AB = ， ∴⊥GH 平面ABH ，∴⊂AH 平面ABH ， ∴AH GH ⊥，∴AHB ∠就是二面角A CG B --的平面角， 由已知︒=∠=∠60FBC BCH ，∴323==BC BH ， ∴33tan ==∠BH AB AHB ， ∴︒=∠30AHB ，∴二面角A CG B --的大小是︒30.(Ⅱ)解法2：以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间三角坐标系.则)010(,,A ，)002(,,C ，)301(,,E ，∴)012(,,-=AC ，)301(,,==BE CG ， 设平面ACG 的法向量为)(z y x ,,=m ，则⎩⎨⎧=+=-0302z x y x ，令1-=z ，则)1323(-=,,m ， 又平面BCG 的一个法向量为)010(,,=n ，∴23432cos ==>=<⋅n m n m n m ,，∴二面角A CG B --的大小是︒30.20.解：(Ⅰ) )(x f 的定义域为R .)3(226)(2a x x x a x x f -=-='，①当0=a 时，0)(≥'x f 恒成立， )(x f 在)(∞+-∞,上单调递增， ②当0>a 时，令0)(>'x f ，则0<x 或3a x >，令0)(<'x f ，则30ax <<， )(x f 在()0,∞-，⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+,3a 上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛30a ,上单调递减，③当0<a 时，令0)(>'x f ，则3a x <或0>x ，令0)(<'x f ，则03<<x a， A B C MN 2图A BCD)(F E GH2图)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3a ,，()∞+,0上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛03,a 上单调递减.(Ⅱ)满足题设条件的a ，b 存在.(ⅰ) 当0≤a 时，)(x f 在]10[,上单调递增，)(x f 的最大值为12)1(=+-=b a f ，)(x f 的最小值为1)0(-==b f ，∴0=a ，1-=b ，(ⅱ) 当3≥a 时，)(x f 在]10[,上单调递减，)(x f 的最小值为12)1(-=+-=b a f ，)(x f 的最大值为1)0(==b f ，∴4=a ，1=b ，(ⅲ) 当30<<a 时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛30a ,上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛13,a 上单调递增， )(x f 的最小值为12733-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛b a a f ，)(x f 的最大值为)0(f 或)1(f ， 当)(x f 的最大值为)0(f 时，1273-=+-b a ，1=b ， ∴27543>=a ，3>a ，与30<<a 矛盾，当)(x f 的最大值为)1(f 时，1273-=+-b a ，12=+-b a ， ∴0=a 或33±=a ，与30<<a 矛盾，综上，⎩⎨⎧-==10b a 或⎩⎨⎧==14b a .21.解：(Ⅰ)解法1：设⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,t D ，()11y x A ,，()22y x B ,，则2211x y =，2222x y =由22x y =得x y ='，所以切线DA 斜率为1x ，方程为)(21121x x x xy -=-，即11y x x y -=，因为点D 在切线上，所以1121y tx -=-，即2111+=tx y ， 即点A 在直线21+=tx y 上，同理点B 在直线直线21+=tx y 上， 所以，直线AB 方程为21+=tx y ，所以，直线AB 过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛210,.解法2：设⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,t D ，过点D 的切线方程为)(21t x k y -=+， 将22x y =代入切线方程得)(2122t x k x -=+，变形得， 01222=++-kt kx x ，∵直线与抛物线相切，∴0)12(442=+-=∆kt k ，即012=--kt k ，设两根为1k ，2k ，则121-=k k ，且1k ，2k 为两切线斜率，将1k k =代入方程01222=++-kt kx x 得切点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2211k k A ,，同理⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222k k B ,， 又设直线AB 方程为n mx y +=，将22x y =代入得0222=--n mx x ，设两根为1x ，2x ，则n x x 221-=，又11k x =，22k x =， ∴12121-==k k x x ，∴12-=-n ，21=n ，∴AB 方程为21+=mx y ， ∴直线AB 过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛210,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线AB 方程为21+=tx y ，将22x y =代入得，0122=--tx x ，则t x x 221=+，121-=x x ，设AB 中点为()33y x M ,，则t x x x =+=2213，2142)(422122122213+=-+=+=t x x x x x x y ， ∴()22-=t t ,，直线AB 的一个方向向量为()t ,1=，由已知得AB EM ⊥，则0=⋅， ∴0)2(2=-+t t t ，∴0=t 或1±=t ，又221212321+=+=++=t y y y AB ，点D ，E 到直线AB 的距离分别为144222221+=++=t t t d ，12444222+=+=t t d ，∴四边形ADBE 的面积为ABD ABD S S S ∆∆+=)121()1()()1(212122221221++++=++=+=t t t d d t d AB d AB ，将0=t 或1±=t 代入得四边形ADBE 的面积为3=S 或24=S .22.解：(Ⅰ) 由已知得，弧AB ︵，弧BC ︵，弧CD ︵所在圆的方程分别为θρcos 2=，θρsin 2=，θρcos 2-=，∴1M 的极坐标方程为θρcos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤4π0θ， 2M 的极坐标方程为θρsin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤43π4πθ，3M 的极坐标方程为θρcos 2-=⎪⎭⎫⎝⎛≤≤π43πθ.(Ⅱ)令3=ρ，当4π0≤≤θ时，3cos 2=θ，6π=θ， 当43π4π≤≤θ时，3sin 2=θ，3π=θ或32π=θ， 当π43π≤≤θ时，3cos 2=-θ，65π=θ， 综上，P 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛6π3,或⎪⎭⎫ ⎝⎛3π3,或⎪⎭⎫ ⎝⎛32π3,或⎪⎭⎫ ⎝⎛65π3,. 23.解：(Ⅰ)由柯西不等式得，)111(])1()1()1[(31)1()1()1(222222222++⋅++++-=++++-z y x z y x 34)1(31]1)1(1)1(1)1[(3122=+++=⋅++⋅++⋅-≥z y x z y x ，当且仅当111111+=+=-z y x ，1=++z y x 时取最小值34， 即35=x ，31-=y ，31-=z 时，222)1()1()1(++++-z y x 取最小值34.(Ⅱ)由柯西不等式得，)111(])()1()2[(31)()1()2(222222222++⋅-+-+-=-+-+-a z y x a z y x 222)2(31)3(31]1)(1)1(1)2[(31+=--++=⋅-+⋅-+⋅-≥a a z y x a z y x ，当且仅当11112a z y x -=-=-，1=++z y x 时取最小值2)2(31+a ， 即34a x -=，31ay -=，322-=a z 时，31)()1()2(222≥-+-+-a z y x 取最小值2)2(31+a .所以31)2(312≥+a ， 1)2(2≥+a ，12-≤+a 或12≥+a ，所以3-≤a 或1-≥a .。