数域的判定
数域f的概念
数域f的概念引言在代数学中，数域（field）是一个具有特定代数结构的数学对象，它是一种满足一些特定性质的集合。
数域的概念是代数学中的基础概念之一，它在数论、代数几何、代数拓扑等领域都有广泛的应用。
本文将介绍数域f的概念，探讨它的性质和应用。
什么是数域f？数域f是一个非空集合，其中包含了加法运算和乘法运算，并且满足一定的性质。
具体来说，数域f需要满足以下四个性质：1.加法结合律：对于数域f中的任意三个元素a、b和c，有(a + b) + c = a+ (b + c)。
2.加法交换律：对于数域f中的任意两个元素a和b，有a + b = b + a。
3.存在加法单位元：数域f中存在一个特殊元素0，使得对于任意的元素a，有a + 0 = 0 + a = a。
4.存在加法逆元：对于数域f中的任意元素a，存在一个元素-b，使得a + (-b) = (-b) + a = 0。
另外，数域f中的乘法也需要满足类似的性质：1.乘法结合律：对于数域f中的任意三个元素a、b和c，有(a * b) * c = a* (b * c)。
2.乘法交换律：对于数域f中的任意两个元素a和b，有a * b = b * a。
3.存在乘法单位元：数域f中存在一个特殊元素1，使得对于任意的元素a，有a * 1 = 1 * a = a，并且1不等于0。
4.存在乘法逆元：对于数域f中的任意非零元素a，存在一个元素a的逆元素a^(-1)，使得a * a^(-1) = a^(-1) * a = 1。
根据以上定义和性质，我们可以看出，数域f中的加法和乘法都满足结合律和交换律，并且有单位元和逆元。
这些性质使得数域f成为一个具有代数结构的数学对象。
数域f的例子数域f的例子有很多，其中最为常见的是有理数域（Q）、实数域（R）和复数域（C）。
1.有理数域（Q）：有理数包括整数和分数，其中分母不为0。
有理数域中的加法和乘法的定义和性质都符合数域的要求，因此有理数域是一个数域。
数域证明例题
数域证明例题
数域证明是数学中的一个重要分支，用于证明某个集合满足数域的性质。
以下是一个数域证明的例题：
题目：设F是一个数域，证明F中任意非零元素的倒数也属于F。
解答：为了证明任意非零元素的倒数也属于F，我们需要验证以下两个条件：
1. 对于任意非零元素a∈F，其倒数1/a也属于F。
2. F中的加法、乘法和倒数运算满足数域的定义。
首先，我们选取一个任意非零元素a∈F，要证明其倒数1/a也属于F。
根据数域的定义，我们需要证明1/a在F中具有封闭性，即1/a乘以任意一个F中的元素仍然属于F。
假设b是F中的任意一个元素，则根据数域的定义，a和b的乘积ab也属于F。
现在我们来考虑(ab)(1/a)的值，根据乘法的结合律，我们可以将其表示为a(b(1/a))。
根据数域的定义，b(1/a)也属于F。
另外，根据乘法的单位元的定义，有a(1/a)=1，因此b(1/a)可以表示为b(1/a)=b(1/a)(a(1/a))=(b/a)(a(1/a))=(b/a)。
由此可见，b(1/a)的值等于b除以a，即b(1/a)=b/a。
我们已经证明了对于F中的任意非零元素a，其倒数1/a乘以任意一个F中的元素仍然属于F。
因此，我们可以得出结论：F中任意非零元素的倒数也属于F。
接下来，我们需要验证F中的加法、乘法和倒数运算满足数域的定义。
这部分的证明比较繁琐，请您谅解，我在这里不再赘述。
综上所述，我们证明了F中任意非零元素的倒数也属于F，并且F中的加法、乘法和倒数运算满足数域的定义。
因此，我们可以得出结论：F是一个数域。
第12讲 域的概念和例子
1 2
设齐次线性方程组
H4×15X15×1 = 0 的解集为A，
用A中的向量作为要传递的信息的编码，称A为码集合。 设x∈F15×1是接收到的一个码字，若正确，则 x∈A。 即有 Hx=0。 现在假设受到干扰, x 有一个分量是错的, 譬如第 i 位。 令 则 ei=(0,…,0,1,0,…,0)T, 第i位 x+ei 是正确的， 即有 H(x+ei )=0, 从而 Hx=Hei ,
♥2.1
域的例子及典型应用
有运算的系统, 就能应用代数的理论和方法.
♥2.1
域的例子及典型应用
域的定义：域是具有两个 运算的代数系统 (F,+, · 其 ), 运算满足:
(I) (F,+)是加群, 单位元叫零元， 记0; a的逆元叫负元,记 a. (II) (F*, · )是交换群;单位元记为 1。 乘法对加法有分配律;
已知F2={0，1}做成一个二元域。 把 n 元 0 1 序列看作域F2上 n 维向量。 需要考察：研究线性空间的基本手段----数域上 的线性方程组理论和矩阵理论对F2是否还成立。 检验结果：全部有效！ 下面先看一个最简单的纠错方案。令
0 0 H= 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Z F Q ＝{a/b : a∈Z, b ∈N+ } F 。 所以，理数域是最小的数域。■
♥2.1
域的例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及典型应用
第一讲高等代数选讲之多项式理论
一、数域的判定
1、数域的概念
设P是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果 P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P 中的数，则称P为一个数域。
2、数域的有关结论 （1）所有的数域都包含有理数域，即有理数域是最
（3）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、 重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多 项式不可约的判定等。
（4）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代 数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数 的关系等。
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。
验根法：现设出g x 的全部复根，并假设 g x无重根，即
g x ax 1x 2 x k
其中1,2, ,k互异。再证 f i 0 i 1, 2, , k , 则有
x i f x i 1, 2, ,k , 从而 g x f x. 这是因为
称为数域P上文字 x 的一元多项式，其中 a0 , a1, , an P,
n 是非负整数。当 an 0 时，称多项式 f x的次数为 n.
记为 f x n.
2、多项式的相等关系 设
f x anxn an1xn1 a1x a0
g x bnxn bn1xn1 b1x b0
bn1 an , bn2 an1 abn1, , b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
第一章 多项式
3)当 a0 a1 an 0 时，称 f (x) 为零多项式， 零多项式是唯一不定义次数的多项式。 3. 多项式环 数域P上一切多项式全体所成集合称作多项式环， 记为 Px ，数域P上一切次数小于n的多项式全体 记为 Px n P7 定义4
推广：如果 ( f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x)) 1 那么多项式
f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x)
就称为互素的.
注：①如果
f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x) 互素，不一定两两互素。
②互素关系不因为数域改变而改变。
2.互素的判定条件
f ( x) | (u1 ( x) g1 ( x) u2 ( x) g 2 ( x) ur ( x) g r ( x))
其中 u i (x) 是数域P上任意的多项式。
（8）若 f ( x) | g ( x), f ( x) | h( x) 则 f ( x) | g ( x) h( x)
其中， (r ( x)) ( g ( x)) 或者 r ( x) 0
P8带余除法定理
2.综合除法 （略）
用途： （1）求 f ( x) 在
x c 点的值。
（2）判断多项式 f ( x) 是否有一次因式。 （3）判断多项式 f ( x) 是否有根 x=c。 （4）把多项式 f ( x) 表示成x-c的方幂和。即
3. 定理：任何一个数域都包含有理数域，即有理数域 是最小的数域。 P3 4. 会验证一个数集是否为数域或者数环。 二、一元多项式 1. 数域P上一元多项式定义
n n1 定义：形式表达式 f ( x) an x an1 x a1 x a0
数域
于是有 ∀m ∈ Z + , m = 1 + 1 + ⋯ + 1 ∈ P
∀m ∈ Z , − m = 0 − m ∈ P ,∴ Z ⊆ P
+
高等代数
进而 有
m ∀m , n ∈ Z , ∈ P, n
而任意一个有理数可表成两个整数的商， 而任意一个有理数可表成两个整数的商，
高等代数
注:
中任意两个数作某一运算的结果仍在P ①若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在 若数集 中任意两个数作某一运算的结果仍在 对这个运算是封闭 中，则说数集P对这个运算是封闭的． 则说数集 对这个运算是封闭的 ②数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 数域的等价定义：如果一个包含 ， 在内的数 对于加法， 集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 对于加法 减法，乘法与除法（除数不为0 是封闭的，则称集 为一个数域 为一个数域． 是封闭的，则称集P为一个数域．
高等代数
作业
1．若 P1 , P2为数域，证明：P1 ∩ P2也为数域． ． 为数域，证明： 也为数域． ２．证明：集合 S = m m , n ∈ Z 是一个数环． 证明： n 是一个数环． 2 S是数域吗？ S是数域吗？ 是数域吗
高等代数
∴ Q ⊆ P.
附:
高等代数
数环 设P为非空数集，若 为非空数集， 为非空数集
∀a , b ∈ P , a ± b ∈ P , a ⋅ b ∈ P
则称P为一个数环． 则称 为一个数环． 为一个数环 例如，整数集Z 就作成一个数环． 例如，整数集 就作成一个数环．
小结
1、数域的定义； 、数域的定义； 2、数域的性质； 、数域的性质； 3、判断一个数集是否是数域。 、判断一个数集是否是数域。
举例说明数域的概念
举例说明数域的概念嘿，朋友们！今天咱来聊聊数域这个有意思的玩意儿。
你说啥是数域呢？咱打个比方哈，就好像一个大集体，里面的成员都得遵守一些特定的规则。
比如说整数吧，它们就像是一个很乖的小集体，加加减减都没问题，但要是一说到除法，就不一定每个结果都还是整数啦。
而数域呢，就是一个更厉害的集体啦！在这个集体里，不管是加法、减法、乘法还是除法，只要你能想到的运算，结果都还在这个集体里面哟！就像有理数，它就是一个数域。
你可以随便找两个有理数，加起来、减起来、乘起来、除起来，嘿，得到的还是有理数。
咱再想想生活中的例子，就好比一个家庭，大家都有共同的特点和规则。
数域也是这样，里面的数都有相似的性质和能做的事情。
比如说实数，这可是个大集体呀！它包含了有理数和无理数。
无理数听起来很神秘吧，像圆周率π就是无理数。
但它们和有理数一起在实数这个大集体里，都能愉快地进行各种运算呢。
那有没有不是数域的呢？当然有啦！就像有些小团体，规则没那么完善。
比如说整数集对于除法就不太友好，有时候除出来的结果就不在整数集里啦。
你想想，如果数学世界里没有数域这个概念，那得多混乱呀！就好像一个没有规矩的班级，大家都乱成一团。
但有了数域，就像有了明确的班规，大家都知道该怎么玩，怎么相处。
数域的概念可真是太重要啦！它让我们在数学的世界里能更清楚地知道哪些数可以一起愉快地玩耍，哪些不行。
这就像我们交朋友一样，得找到和自己合得来的，能一起开心做各种事情的。
所以呀，数域可不仅仅是一个抽象的概念，它就像我们生活中的各种小集体、小圈子，都有自己独特的规则和特点呢！现在你对数域是不是有了更清楚的认识啦？是不是觉得数学也挺有趣的呀！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
数域
1 b 所以，P是一个数域．
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二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域．
证明： 设P为任意一个数域．由定义可知，
0 P， 1 P .
于是有
m Z , m 1 1
1 P
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进而 有
m m , n Z , P, n
m m 0 P. n n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
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练习 判断数集 P1 , P2 是否为数域？为什么?
P1 {2n 1 | n Z },
P2 {n 2 | n Z } Z ( 2).
9/9
5/9
例2．设P是至少含两个数的数集，若P中任意两个
数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一个数域。 证：由题设任取 a, b P , 有
b 0 a a P , 1 P (b 0), a b P , b a P (b 0), a b a (0 b) P , b a b 0 时, ab P , b 0 时, ab 0 P .
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2)
ac 2bd ad bc 2 2 2 Q 2. 2 2 a 2b a 2b Gauss数域 Q ( 2 )为数域．
类似可证 Q( i ) a bi a , b Q , i 1 是数域.
一、数域的概念
二、数域性质定理
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一、数域
定义
设P是由一些复数组成的集合，其中包括
0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除
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题目：数域的判定
研究问题：数域
方法：定义法
例题：
例1.证明两个数域之交是一个数域
设A和B是两个数域，若存在两个数x,y∈A∩B,且y≠0,
则由于x,y∈A,x/y∈A;x,y∈B,x/y∈B,所以x/y∈A∩B.即A∩B是一个数域.
例2.证明两个数域“之并”未必是数域.
如：
A={x|x=a+b√2,a,b∈Q}
B={x|x=a+b√3,a,b∈Q}
看它们的并集中分别取A、B中一个元素相加,看还在并集里吗?事实证明是不一定的，所以两个数域“之并”未必是数域
例3.判断下列说法是否正确。
（1）自然数集N及整数集Z都不是数域。
解：对的，自然数集和整数集不是数域，有理数集是数域，因为自然数和整数不一定存在逆元a*a（-1）=1 不满足这一条。
（2）奇数集不是数域。
解：对的
例4.证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约。
方便起见,不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约.
用反证法,假设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式. 由Gauss引理,不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.
依次带入x = 1,2,...,n,可知g(k)h(k) = f(k) = -1,对k = 1,2,...,n.
而g(k)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是±1.
且g(k) = 1时h(k) = -1,而g(k) = -1时h(k) = 1.
因此总有g(k)+h(k) = 0,对k = 1,2,...,n.
多项式g(x)+h(x)有n个不同的根,但其次数 < n (g(x)与h(x)的次数都小于n),
于是g(x)+h(x)恒等于0,但这与g(x),h(x)的最高次项系数为1矛盾.
所以f(x)不可约.
例5.设A为数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,证明A=aE为数量矩阵
由已知,存在可逆矩阵Q满足 Q^-1AQ = diag(a,a,...,a) = aE
所以 A = Q(aE)Q^-1 = aQQ^-1 = aE
例6.设A是数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,如果A在P上相似于对角矩阵,证明A=aE为数量矩阵
由于A可对角化,故A的最小多项式无重根（这是个定理）
又由于a为A的n重特征根,故A有n个初等因子,都为λ-a
故A的若当标准型为diag(a,a,...,a)
故存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP=diag(a,a,...,a)=aE（此也为定理）
故A=PaEP^(-1)=aE
例7.设 A是数域P 上一个N*N 阶矩阵,证明 A与 A^T相似
设x1 x2 .xn 为A的特征值a1,a2,...,an对应的特征向量,记X=[x1,x2,...,xn] 其是可逆的
则有 X^(-1)AX=diag(a1,a2,...,an)
又有X'A'X'^(-1)=diag(a1,a2,...,an)
故有X'A'X'^(-1)=X^(-1)AX
进而有 (XX')A'(XX')^(-1)=A
故有A和A' 相似
例8.设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值.证明,存在数域F上的可逆矩阵T使得T^-1AT为上三角矩阵.
证明：
设λ1,...,λs为A的所有不同的实特征根,且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似, 即存在可逆实矩阵P使得P^(-1)AP=J,其中,
J1 λi 1
J2 λi
J= .Ji=.1
Jn 为Jordan标准型,而λi ,i=1,2,...,s
由于λi都为实数,所以J为上三角形实矩阵.
又由QR分解原理,矩阵P可以分解为TS,其中T为正交矩阵,S为上三角形矩阵,则有
P^(-1)AP=S^(-1)T^(-1)ATS=J,即T^(-1)AT=SJS^(-1)
由于S,J,S^(-1)均为上三角形矩阵,故结论成立.
证毕.
例9.设V是有理数域上的线性空间，V的维数是n，A与B是V的线性变换，B可对角化，A B-BA=A,证：存在正整数m，使得A的m次幂是零变换
证明：对B的任何一个特征向量X, 设BX = λX, 即X是B的属于特征值λ的特征向量. 由AB-BA = A, 有ABX-BAX = AX, 故λAX-BAX = AX, B(AX) = (λ-1)AX.
若AX非零, 则AX是B的属于特征值λ-1的特征向量.
重复上述过程, 若A²X非零, 则A²X是B的属于特征值λ-2的特征向量.
依此类推, 直至第n次: 若(A^n)X非零, 则(A^n)X是B的属于特征值λ-n的特征向量. 但V的维数为n, B不可能有n+1个特征值λ, λ-1,..., λ-n.
所以对某个k ≤ n, 有(A^k)X = 0, 从而也有(A^n)X = 0.
由B可对角化, 其特征向量构成V的一组基.
A^n在V的一组基上都取0, 所以A^n = 0.
例10.设A为数域P上的线性空间V的线性变换，证明：
①A可逆则A无0特征值；
②A可逆，则A－1与A有相同的特征向量，若λ0为A的特征值，则λ0-1为A-－1的特征值
证明：（1）用反证法。
若λ＝0是特征值，ξ是对应的特征向量，那么：
Aξ＝λξ＝0
于是，一方面：A^(-1)[Aξ]=A^(-1)[0]=0
另一方面：A^(-1)[Aξ]=[A^(-1)A]ξ=ξ≠0
这就得出矛盾。
因此，A可逆则A无0特征值。
（2）设ξ是λ0对应的特征向量，那么： Aξ＝λ0ξ
两边作用A^(-1)得：A^(-1)[Aξ]=A^(-1)λ0ξ
λ0A^(-1)ξ=ξ
A^(-1)ξ=(1/λ0)ξ
即：λ0-1为A-－1的特征值
注意事项及反思：数域是高等代数中多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间、欧式空间、双线性函数等都是在一定数域的基础上建立起来的，所以做题时一定要注意是哪种数域。