传递过程原理读书笔记

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第4章 微元平衡法与通用微分方程组

1. 对矢量式作各种推导和运算 → 应于于正交曲线坐标系——直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。 4.1.3连续方程的推导：

先对流动的流体作质量衡算: 4.1连续方程——质量平衡方程 4.1.1物理模型和数学模型的关系 4.1.2微元平衡法:

2. 在直角坐标系中取取长方体微元 →应用守恒定律→ 微分方程分量式

3. 直角坐标系分量式 → 矢量式

微元法推导连续方程:

Δx y z 取极限 即， 即 速度场散度的物理意义: 对不可压缩流体:

4.2运动方程——动量平衡方程

4.2.1流体动量衡算:取一固定空间体积微元

，对流动的流体作动量衡算，

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧率速质量输出率速质量输入率速质量累积-x

y v v z x v v z y v v z y x t t m z z z z z y y y y y x x x x x ∆∆-+∆∆-+

∆∆-=∆∆∆∆∆=∆∆∆+∆+∆+]|)(|)[(]|)(|)[(]|)(|)[(ρρρρρρρ)]()()([z y x v z

v y v x t ρρρρ∂∂

+∂∂+∂∂-=∂∂]

[v ρρ•-∇=∂∂t

v

v v v •∇+=•∇+∇•+∂∂=•∇+∂∂ρρρρρρρt t t

d d )(][v •∇-=ρρ

t

d d t

d d 1ρ

ρ-=•∇v 0

=•∇v ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧元的总力作用于微率速动量输出率速动量输入率速动量累积-

微元法推导运动方程 x 分量

x y z 取极限 类似地:

4.2.2向量式的运动方程 运动方程矢量式:

分量式:

矢量式:

代入得:

4.16式

直角坐标系下的运动方程:略 柱坐标系下的运动方程:

z y x g x y z x z y z y x v t

x z z zx z zx y y yx y yx x x xx x xx x ∆∆∆+∆∆-+

∆∆-+∆∆-=∆∆∆∂∂

∆+∆+∆+ρφφφφφφρ]|)(|)[(]|)(|)[(]|)(|)[(x zx yx xx x g x

x x v t ρφφφρ+∂∂

+∂∂+∂∂-=∂∂)(x

zy yy xy y g x

x x v t ρφφφρ+∂∂

+∂∂+∂∂-=∂∂)(x

zz yz xz z g x

x x v t ρφφφρ+∂∂

+∂∂+∂∂-=∂∂)(i i i g v t

ρφρ

+•∇-=∂∂][g

v ρφρ+•∇-=∂∂][t

g vv v ρτρρ

+•∇-∇-•∇-=∂∂][][p t

t

p t t t d d )(][v v v v v v v vv v ρρρ

ρρρ=•∇+∇•+∂∂+∂∂=•∇+∂∂g v ρτρ+•∇--∇=p t d d

球坐标系下的运动方程:略

纳维-斯托克斯方程： 根据牛顿粘性定律:

对不可压缩流体: 当和皆为常量时，4.16式运动方程简化为：

欧拉方程

忽略流场中粘性影响，4.16式可简化为:

贝努利方程

对稳态过程:

4.2.3机械能方程：用速度点乘运动方程4.16式，即得机械能方程

r rz r rr z

z r r r r g z

r r r r r t p z v v r v v r v r v v t v ρττθττθρθθθθθ+∂∂+-∂∂+∂∂-∂∂-=∂∂+-∂∂+∂∂+∂∂]1)(1[(2δ

v v v τ))(3

2

(])()[(•∇-+∇+∇-=κμμT S

τμ2-=x

x zx yx xx x v x

v z

y x 22)()(

][∇=•∇∂∂

+∇=∂∂+∂∂+∂∂-=•∇-μμμτττv τv

τ2][∇=•∇-μg v v

ρμρ

+∇+-∇=2d d p t

g v

ρρ+-∇=p t

d d v

v v v ∇•+∂∂=t t d d ]]

[[)(2

1

v v v v v v ⨯∇⨯-•∇=∇•g

v v ρρρ+-∇=∇=•∇p v )2

1()(212]

[]d d [g v ρτρ+•∇--∇•=•p v t

v 2

d d 21d d v t t =•v v )(])[()()2(d d 2

g v v v •+•∇•-∇•-=ρτρp v t

4.2.4自然对流的非等温运动方程：自然对流中，流体的运动一般很慢，可假定此时系统的压力梯度同流体不运动是一样的，即：

4.3能量方程——能量平衡方程 4.3.1流体能量衡算:

4.3.2总能方程和内能方程

能量方程: 考虑重力势能并且假定和时间无关的函数，可以推导出总能方程

总能方程: 令: g = Φ

令:

将内能加动能方程减去动能方程，并应用矢量微分运算恒等式和张量恒等式，

内能方程: g

v ρτρ+•∇--∇=p t d d g ρ=∇p )(T T a v --=ρρρg v )(d d T T a t v -+•-∇=ρτρ⎭

⎬

⎫

⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩

⎨⎧速率热源做功的速率外界对系统热量净输入速率有传导引入的动能净输入速率对流导致内能和累积速率内能和动能-S p v U t +•+••∇-•∇-•∇-=+)(])[(])[()()2

(d d 2

v g v v q ρτρS p v ΦU t +••∇-•∇-•∇-=++])[(])[()()2(d d 2

v v q τρ2

2

v ΦU E ++=S p t E +••∇-•∇-•∇-=])[(])[()(d d v v q τρS p v U t +•+••∇-•∇-•∇-=+)(])[(])[()()2

(d d 2

v g v v q ρτρ