多元函数求极值(拉格朗日乘数法)
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第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。
如果都适合不等式 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。
例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。
例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。
依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数极值常用的方法，该方法针对某些高考中二元及三元变量最值问题，不失为一种既实用又简便的方法。
拉格朗日乘数法：求在约束条件
,下f(x,y,z)的极值时，拉格朗日函数 L(x,y,z)= f(x,y,z)-λ μ ,可由L x =0, L y =0, L z =0, , ,解出函数可能的极值点，求出目标函数f(x,y,z)的极值。
这里L x =0, L y =0, L z =0可以理解为关于x,y,z 求偏导数，λ，μ称为拉格朗日乘数。
例．已知22
3x y xy ++=，求22x y xy +-的最大值和最小值。
1.已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则1x y ++的最小值为__________．
2.若正实数
的最大值是 ． 3.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值_________.
4.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )
5.设a,b,c 为实数，且满足a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为__________
6．已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, a 2+b 2+c 2=1,则a 的最大值为___________.
7．对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，
345a b c
-+的最小值为 .8.已知a,b [0,1],a+b=1,求 + +(1-a)(1-b)的取值范围。
（若去掉条件a+b=1呢）
y x ，x y +。
一些典型的多元函数极值问题
一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象，它们存在于许多实际问题中。
本文将介绍一些典型的多元函数极值问题，包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。
在该方法中，将约束条件加入到目标函数中，并利用等式约束条件和拉格朗日乘数，将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。
下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。
假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$，同时满足约束条件$x+2y+3z=6$，其中 $x,y,z$ 均为实数。
现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。
根据拉格朗日乘数法，我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$，并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
于是，我们可以写出拉格朗日函数：$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来，我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，令其都等于零，求得极值点。
即：$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到：$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。
多元函数求极值（拉格朗日乘数法）
第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内),(y x f z =),(00y x 异于的点，如果都适合不等式),(00y x ，00(,)(,)f x y f x y <则称函数在点有极大值。
如果都适合不等式(,)f x y ),(00y x 00(,)f x y ，),(),(00y x f y x f >则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。
(,)f x y ),(00y x ),(00y x f 使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的2243y x z +=任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。
2243y x z +=例２ 函数在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处22y x z +-=函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。
xOy 22y x z +-=例３ 函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在xy z =点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数在点具有偏导数，且在点),(y x f z =),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：),(00y x 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证 不妨设在点处有极大值。
多元函数条件极值拉格朗日乘数怎么解
多元函数条件极值拉格朗日乘数怎么解1. 转化为无条件极值在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点（可能的极值点）外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。
如求的极值，就是无条件极值问题。
然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。
比如，讨论表面积为的长方体的最大体积问题。
若设长方体的三度为, 则体积，同时应满足于是我们的问题的数学含义就是：当自变量满足条件下取何值时能使函数取得最大值。
（这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值）。
一般抽象出来，可表为如下形式：即函数在条件下的取极大（小）值问题。
今后，我们称这种问题为函数的条件极值问题。
对自变量有附加条件的极值称为条件极值。
一般称为目标函数，为约束条件( 或约束方程) 。
对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。
例如上述问题, 由条件, 解得, 于是得 V .只需求 V 的无条件极值问题。
例6 求函数在约束条件下的条件极值。
解由约束条件可解出代入目标函数，有：令得驻点由于当时，，当时，在时取极大值，又当时，由约束条件可解出，而，此例说明条件极值可有如下一种解法：如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。
通过讨论无条件极值可得问题的解答。
但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。
因此，对条件极值我们应讨论一般解法。
2. 关于条件极值的拉格朗日乘数法在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易。
需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法：要找函数 z = f ( x , y ) 在条件 j ( x , y ) = 0 下的可能极值点, 可以先构成辅助函数 F ( x , y ) = f ( x , y )+ lj ( x , y ) , 其中 l 为某一常数。
然后解方程组.由这方程组解出 x , y 及 l , 则其中( x , y ) 就是所要求的可能的极值点。
用拉格朗日乘数法求极值步骤
用拉格朗日乘数法求极值步骤全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日乘数法是一种常用的数学工具，用于求解带有约束条件的极值问题。
在实际问题中，很多情况下都会存在一些条件限制，而拉格朗日乘数法正是针对这种情况而提出的一种解决方法。
下面我们将详细介绍使用拉格朗日乘数法求极值的步骤。
我们先来看一个简单的例子，假设我们要求函数f(x, y) = x^2 +y^2 在条件g(x, y) = x + y = 1下的最小值。
这个问题可以用如下的拉格朗日函数表示：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = x^2 + y^2 - λ(x + y - 1)λ为拉格朗日乘数。
接下来的步骤就是通过对L(x, y, λ) 求偏导数来确定函数f(x, y) 在条件g(x, y) 下的极值点。
步骤一：计算L(x, y, λ) 对x, y的偏导数，并令其等于0，即求解以下方程组：步骤二：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
在本例中，解方程组可得x = y = 1/2，λ = 1。
代入原函数f(x, y) = x^2 + y^2 可得最小值为1/2。
问题的解是f(x, y) = 1/2。
上面是一个简单的例子，下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法求极值的一般步骤：步骤一：建立带有约束条件的拉格朗日函数。
假设我们要求函数f(x1, x2, ..., xn) 在条件g(x1, x2, ..., xn) = 0下的极值，那么其对应的拉格朗日函数为：步骤二：求解拉格朗日函数的梯度，令其等于零。
即求解以下方程组：∂L/∂x1 = ∂f/∂x1 - λ∂g/∂x1 = 0∂L/∂x2 = ∂f/∂x2 - λ∂g/∂x2 = 0...∂L/∂xn = ∂f/∂xn - λ∂g/∂xn = 0g(x1, x2, ..., xn) = 0步骤三：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。
解方程组可能有多个解，需要通过二阶导数判断哪一个是极值点。
(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 解 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z ,
由题意知，周长： x y z 18
长方体的体积为 V xyz
18
下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 z f ( x, y ) 在约束条件 ( x , y ) 0
利用隐函数的概念与求导法 (1)
(2)
下取得 极值的必要条件. 如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求的极值, 那末首先有 ( x0 , y0 ) 0 (3) 由条件 ( x, y ) 0 确定y是x的隐函数 y y( x ). 不必将它真的解出来,则 z f ( x , y ( x )),于是函数(1) 在( x0 , y0 ) 取得所 求的极值. 即, x x0 取得极值.
则f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC B 2 0时有极值,
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值;
(2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时 可能有极值,也可能无极值.
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z f ( x , y ( x ))在 x x0 取得极值.
z f ( x , y ) (1) ( x , y ) 0 ( 2)
由一元可导函数取得极值的必要条件知:
f dy f dz 0 (4) x x y 0 dx x x 0 x0 dx x x0 x x y y0 y y0 ( x, y ) 0 x ( x 0 , y0 ) dy 其中 代入(4)得: y ( x 0 , y0 ) dx x x0 ( x0 , y0 ) 0 ( 3) x ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 0 ( 5) y ( x 0 , y0 ) (3) ,(5)两式 就是函数(1)在条件(2)下的在( x0 , y0 ) 取得极值的必要条件.
多元函数微分学求最值,直接建立拉格朗日乘数法
多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法【多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法】引言在高等数学中，多元函数微分学是一个重要的分支，它研究多元函数的极值与最值问题。
其中一种常见的求最值的方法是通过建立拉格朗日乘数法。
本文将从简单到复杂的角度，逐步探讨多元函数微分学求最值的方法，并结合拉格朗日乘数法来解决实际问题。
一、多元函数的极值1.1 极值概念在单变量函数中，我们通过求导数，令导数为零来判断函数的极值点。
而在多元函数中，我们需要通过求偏导数来判断函数的极值点。
对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，偏导数用$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示。
1.2 极值的判断条件多元函数的极值点与一元函数类似，也需要满足导数为零的条件。
对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，如果在某一点$(a_1,a_2,…,a_n)$处，满足以下条件：$\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\\frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\……\\\frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1,a_2,…,a_n)=0$那么该点就是函数的极值点。
但这仅仅是极值的必要条件，并不一定是充分条件。
二、最值问题的解决方法2.1 直接法在一元函数中，我们通过求导数来解决最值问题，而在多元函数中，我们也可以直接计算偏导数，并令其为零来解决最值问题。
举例说明：设有一个二元函数$f(x,y)=2x^2+3y^2$，我们要求在$x^2+y^2=1$的条件下，函数$f(x,y)$的最小值。
解法：根据条件$x^2+y^2=1$，我们可以得到一个方程组：$2x-λ\cdot2x=0\\2y-λ\cdot2y=0\\x^2+y^2-1=0$其中，λ为拉格朗日乘子。
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第八节多元函数的极值及其求法
教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极
值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：
一、多元函数的极值及最大值、最小值
定义设函数z f（x, y）在点（X。
, y。
）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异
于（X。
，yo）的点，如果都适合不等式
f （X, y） f（X o,y。
）
则称函数f（X，y）在点（X0，y。
）有极大值f（X0，y。
）。
如果都适合不等式
f （X, y） f（X。
,y。
），
则称函数f（X，y）在点（X0,y。
）有极小值f（X0,y。
）.极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。
22
例1 函数z 3X 4y在点（。
，。
）处有极小值。
因为对于点（。
，。
）的任一邻域内异于（。
，。
）的点，函数值都为正，而在点（。
，。
）处的函数值为零。
从22 几何上看这是显然的，因为点（。
，。
，。
）是开口朝上的椭圆抛物面z 3X2 4y2 的顶点。
例2函数z x y在点（0, 0）处有极大值。
因为在点（0, 0）处函数值为零，而对于点（0, 0）的任一邻域内异于（0, 0）的点，函数值都为负，
点（0, 0, 0）是位于xOy平面下方的锥面z: x2 y2的顶点。
例3 函数z xy在点（0, 0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在
点（0, 0）处的函数值为零，而在点（0, 0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1 （必要条件）设函数z f（x，y）在点（X0，y。
）具有偏导数，且在点（X o, y o）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：
f x（X o,y°）0, f y（x o,y°）0
证不妨设z f（x，y）在点（x0，y0）处有极大值。
依极大值的定义，在点
（X。
，y。
）的某邻域内异于（X。
，y。
）的点都适合不等式
f （x, y） f（x°,y o）
特殊地，在该邻域内取y y0，而x X0的点，也应适合不等式
f（x, y°） f（X o,y°）
这表明一元函数f（x，y o）在X X o处取得极大值，因此必有
f x（X o,y o）0
类似地可证
f y(X o,y o) 0
从几何上看，这时如果曲面z f(x，y)在点(x o,y0,z o)处有切平面，则切平面
z z0 f x(x0,y0)(x x0) f y(x0,y0)(y y0)
成为平行于xOy 坐标面的平面z z0 0。
仿照一元函数，凡是能使fx(x，y) O,f y(x,y) 0同时成立的点(X0,y。
)称为函数z f (x, y)的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。
但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点(0，0)是函数z xy的驻点，但是函数在该点并无极值。
怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。
定理2 (充分条件) 设函数z f(x，y)在点(x o，y o)的某邻域内连续且有一
阶及二阶连续偏导数，又f x(x0,y0) 0,f y(x0,y0) 0，令
f xx(x0,y0) A,f xy(x0,y0) B,f yy(x0,y0) C
则f(x,y)在(x o,y o)处是否取得极值的条件如下：
2
(1)AC B 0时具有极值，且当A 0时有极大值，当A 0时有极小值;
2
(2)AC B20时没有极值;
2
(3)AC B20时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
这个定理现在不证。
利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数
z f (x, y)的极值的求法叙述如下：
第一步解方程组
f x （x,y ） 0, f y （x,y ） 0
求得一切实数解，即可以得到一切驻点。
第二步 对于每一个驻点（X 0，y 0），求出二阶偏导数的值A , B 和C 。
第三步 定出AC B 2的符号，按定理2的结论判定f （x 0，y 0）是否是极值、 是极大值还是极小值。
3 3 2 2
例1求函数f （x,y ） x y 3x 3y
9x 的极值。
解 先解方程组
2
f x (x, y) 3x 6x 9 0, f y (x,y) 3y 2 6y 0,
求得驻点为（ 1,0 ）、
（ 1,2 ）、
（ -3,0 ）、
（ -3,2 ）。
再求出二阶偏导数
f xx (x,y) 6x 6, f xy (x,y) 0, f yy (x,y) 6y 6
在点(1,0)
处， AC
B 2
12 6 0又 A
0，所以函数在 （1,0）处有极小值
f(1,0) 5 ；
在点(1,2) 处， AC B 2
12 ( 6) 0 ，
所以 f （1,2） 不是极值；
在点(-3,0)
处， AC
B 2
12 6 0 ， 所以 f （-3,0） 不是极值；
2
在点(-3,2)处，AC B 12 ( 6) 0又A 0所以函数在(-3,2)处有极大
值 f (-3,2)=31。
例2某厂要用铁板作成一个体积为2m i的有盖长方体水箱。
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。
2 m
解设水箱的长为xm，宽为ym，则其高应为xy ，此水箱所用材料的面积
22
A 2(xy y—x)
xy xy，
A 2(xy 2
-)
即x y(x 0，y0)
可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点(X，y)
A x2(y
x
A y2(x 2
2)
y0
解这方程组，得：
x V2，y V2
从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。
、条件极值拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法要找函数z f (x,y)在附加条件(x, y) 0下的可能极值
点，可以先构成辅助函数
F(x, y) f (x,y) (x,y)
其中为某一常数求其对X与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联
f x(x,y)x(x,y) 0,
f y(x, y)y(x,y) 0,
(x,y) 0.
(1) 由这方程组解出x，y及，则其中x，y 就是函数 f (x,y)在附加条件下
(x, y) 0的可能极值点的坐标。
这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。
例如，要求函
数
u f (x,y,z,t)
在附加条件
(x,y,z,t) 0，(x, y,z,t) 0
下的极值，可以先构成辅助函数
F(x, y,z,t) f(x,y,z,t) 1 (x,y,z,t) 2 (x,y,z,t)
(2)
4)
其中 1， 2 均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与 (2) 中的两个方程 联立起来求解，这样得出的X 、y 、z 、t 就是函数f(x,y, z,t)在附加条件⑵下的 可能极值点的坐标。
至于如何确定所求得的点是否极值点， 在实际问题中往往可根据问题本身的 性质来判定。
2
例 3 求表面积为 a 2 而体积为最大的长方体的体积。
解 设长方体的三棱长为 x,y,z ， 则问题就是在条件
(x, y,z,t)
2
2xy 2yz 2xz a 2 0
(3)
下，求函数
V xyz
(x 0，y 0， z 0)
的最大值。
构成辅助函数
F(x, y,z) xyz
2
(2xy 2yz 2xz a 2
)
求其对X 、y 、z 的偏导数, 并使之为零，得到
yz 2(y z) 0 xz 2(x z) 0
xy 2(y z) 0
再与 (10) 联立求解。
因x 、y 、z 都不等于零，所以由(11)可得
y x y y= y z, z = x z .
由以上两式解得
将此代入式（10），便得
-,6
a
z= 6
这是唯一可能的极值点。
因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在
2 _ 这个可能的极值点处取得。
也就是说，表面积为a的长方体中，以棱长为,6a/6
的正方体的体积为最大，最大体积V 、、6a3/36。
小结：
本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。
在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。
最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。