多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

第八节 多元函数的极值及其求法
教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定
方法、求极值方法，并能够解决实际问题。

熟练使用拉格朗日乘数法
求条件极值。

教学重点：多元函数极值的求法。

教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学内容：
一、 多元函数的极值及最大值、最小值
定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式
00(,)(,)f x y f x y <，
则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。

如果都适合不等式
),(),(00y x f y x f >，
则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。

使函数取得极值的点称为极值点。

例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。

因为对于点（0，0）的任
一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。

从
几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面
2243y x z +=的顶点。

例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。

因为在点（0，0）处函
数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，
点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。

例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。

因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：
0),(,0),(0000==y x f y x f y x
证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。

依极大值的定义，在点
),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式
),(),(00y x f y x f <
特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式
000(,)(,)f x y f x y <
这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有
0),(00=y x f x
类似地可证
0),(00=y x f y
从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面
))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-
成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。

仿照一元函数，凡是能使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(00y x 称为函数),(y x f z =的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。

但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数xy z =的驻点，但是函数在该点并无极值。

怎样判定一个驻点是否是极值点呢 ？下面的定理回答了这个问题。

定理2（充分条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0),(,0),(0000==y x f y x f y x ，令
C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===),(,),(,),(000000
则),(y x f 在),(00y x 处是否取得极值的条件如下：
(1)02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
(2)02<-B AC 时没有极值；
(3)02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

这个定理现在不证。

利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数),(y x f z =的极值的求法叙述如下：
第一步 解方程组
0),(,0),(==y x f y x f y x
求得一切实数解，即可以得到一切驻点。

第二步 对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值A ，B 和C 。

第三步 定出2B AC -的符号，按定理2的结论判定00(,)f x y 是否是极值、
是极大值还是极小值。

例1 求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值。

解 先解方程组
22(,)3690,(,)360,x y f x y x x f x y y y ⎧=+-=⎪⎨=-+=⎪⎩
求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。

再求出二阶偏导数
(,)66,(,)0,(,)66xx xy yy f x y x f x y f x y y =+==-+
在点(1,0) 处，06122>⋅=-B AC 又0>A ，所以函数在(1,0)处有极小值
(1,0)5f =-；
在点(1,2) 处，
0)6(122<-⋅=-B AC ，所以f (1,2)不是极值； 在点(-3,0) 处，06122<⋅-=-B AC ，所以f (-3,0)不是极值；
在点(-3,2) 处，
0)6(122>-⋅-=-B AC 又0<A 所以函数在(-3,2)处有极大值f (-3,2)=31。

例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m 3的有盖长方体水箱。

问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。

解 设水箱的长为xm ，宽为ym ，则其高应为m xy 2，此水箱所用材料的面积
)22(2xy x xy y xy A ⋅+⋅
+=， 即 )22(2y x xy A ++= （0>x ，0>y ）
可见材料面积A 是x 和y 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点),(y x 。

令 0)2(22=-=x y A x ，
0)2(22=-=y x A y
解这方程组，得：
32=x ，32=y
从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。

二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x φ下的可能极值点，可以先构成辅助函数
),(),(),(y x y x f y x F λφ+=
其中λ为某一常数求其对x 与y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+.0),(,0),(),(,0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x φλφλφ （1）
由这方程组解出x ，y 及λ，则其中x ，
y 就是函数),(y x f 在附加条件下0),(=y x φ的可能极值点的坐标。

这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。

例如，要求函数
),,,(t z y x f u =
在附加条件
0),,,(=t z y x φ，0),,,(=t z y x ψ (2)
下的极值，可以先构成辅助函数
),,,(),,,(),,,(),,,(21t z y x t z y x t z y x f t z y x F ψλφλ++=
其中1λ，2λ均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求解，这样得出的t z y x 、、、就是函数),,,(t z y x f 在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。

至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

例3 求表面积为2
a 而体积为最大的长方体的体积。

解 设长方体的三棱长为z y x ,,， 则问题就是在条件 0222),,,(2=-++=a xz yz xy t z y x ψ （3）
下，求函数
xyz V = )000(>>>z y x ，，
的最大值。

构成辅助函数
)222(),,(2a xz yz xy xyz z y x F -+++=λ
求其对x 、y 、z 的偏导数，并使之为零，得到
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++0)(20
)(20)(2z y xy z x xz z y yz
（4） 再与(10)联立求解。

因y x 、、z 都不等于零，所以由(11)可得
y x ＝z y z x ++， z y ＝z x y x ++． 由以上两式解得
z y x ==
将此代入式(10)，便得
z y x ===a 66
这是唯一可能的极值点。

因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。

也就是说，表面积为2
a 的长方体中，
/6
的正方体的体积为最大，最大体积3/36V =。

小结：
本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。

在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求
极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。

最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。